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自适应信号处理(第六章一些改进的自适应算法)

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自适应信号处理

自适应信号处理

1.自适应信号处理基本概念，解决的问题，适用条件下（平稳、短时平稳），结构分类。

自适应信号处理:是研究一类结构可变或可以调整的系统，它通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。

通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传送变化的环境和要求。

自适应系统和一般系统类似，可以分为开环系统（闭环：计算量小，收敛慢；开环：计算量大，收敛快）和闭环系统两种类型。

开环系统仅由输入确定，而闭环不仅取决于输入，还依赖于系统输出的结果。

自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信号，也可以是局部平稳随机信号，也可以是窄带或者是宽带信号。

2、信号相关矩阵及其性质，梯度运算:输入信号的相关矩阵：R E[X *X T ]=，相≝[E[x *0x 0]⋯E[x *0x L ]⋮⋱⋮E[x *L x 0]⋯E[x *L x L ]]关矩阵R 是厄米特矩阵，即满足R * = R T 。

作为厄米特矩阵，它具有以下性质：①对应于R 的不同特征值的特征向量都是正交的。

②R 是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数，且大于或等于零。

③所有特征值之和等于矩阵R 的迹，即为输入信号的功率。

【定义一个幺向量：1=[1 1 … 1]T ，于是，R 的特征值之和为1T ∧1=1T Q H RQ1= = ∑L m =0 ∑L n =0r mn Q H m Q n∑Ln =0E[|x n |2]上式等号右边的求和即为矩阵R 的迹（矩阵主对角线所有元素之和），亦即系统输入信号的功率。

】④信号相关矩阵R 可以被分解为一个实对称矩阵和一个实会解决工作原理通信中信道均衡：自适应均衡，盲均衡→雷达中：通道一致性问题。

两个通道相关性越强，对消越好。

两个接收机不一致，使两个通道信号去相关，两个通道不一致，不去相关。

a.目标：保证通道一致性b.应用注意问题：馈入信号形式：带内覆盖一致性。

馈入信号在某个频点能量大，则噪声对结果影响也大。

c.滤波器阶数的收敛性：除数↑，收敛慢。

自适应信号处理概要

自适应信号处理概要

自适应信号处理前言在这几十年里,数字信号处理技术取得了飞速发展,特别是字适应信号处理技术以其计算简单、收敛速度快等许多优点而广泛被使用。

它通过起内部参数的最优化来自动改变其特性。

自适应滤波算法在统计信号处理的许多应用中都是非常重要的。

本论文主要对自适应滤波这一重要的课题展开研究和讨论,在算法原理、算法性能分析和通过计算机仿真来说明其各自算法的优越性,在每一个算法中的通过收敛性、学习曲线和失调分析这三个方面来论述。

这里主要对LMS算法及一些改进的LMS算法(NLMS算法、变步长LMS算法、变换域LMS算法之间的不同点进行了比较,在传统的LMS算法的基础上发展了LMS算法的应用。

另一方面又从R LS算法的分析中对其与LMS算法的不同特性进行了比较。

这篇论文主要围绕算法的优缺点、收敛性等方面进行了横向和纵向比较得出一些有益的结论。

在自适应信号处理技术的基础上对其算法的简单在某些方面的应用作了说明。

对当前自适应信号处理中比较前沿的盲自适应信号处理做了原理上的介绍和分析。

由于知识水平有限对卡尔曼滤波、自适应神经网络、QR分解等没有作为研究对象。

在以后的工作中,在这些方面还需展开学习和研究。

目录前言 (1目录 (2一绪论 (41本论文的研究内容 (42自适应滤波器的基本原理 (43自适应滤波理论与算法 (5二最小均方(LMS自适应算法 (81 LMS算法的基本原理............... (82 最小均方(LMS自适应算法性能分析 (103 仿真结果分析 (12三归一化LMS算法 (141归一化LMS算法原理与性能分析 (142仿真结果分析 (16四可变步长LMS自适应滤波算法 (181可变步长LMS算法原理 (182算法性能分析 (18五变换域LMS自适应算法 (211基本原理 (212与普通LMS自适应滤波器之间的关系 (22 3变换域LMS算法的收敛性能 (22六最小二乘自适应滤波器 (241递推最小二乘(R LS算法 (242仿真结果分析 (263 RLS算法与LMS算法的比较 (27七格型自适应滤波器 (35八递归型(IIR型自适应滤波器 (39九盲自适应均衡 (411 Godard盲自适应均衡算法 (412过采样与独立分量分析得盲均衡算法 (43十应用 (451自适应均衡器 (452 自适应陷波器 (463 自适应滤波器 (46总结与感谢 (48参考文献 (49附录:matlab程序代码 (50附录:翻译 (57附录:翻译原文 (67一.绪论1本论文的研究内容自适应滤波是近30年以来发展起来的一种最佳滤波方法。

6现代信号处理-自适应信号处理

6现代信号处理-自适应信号处理

自适应信号处理
二、LMS 自适应横向滤波器 2.2. 用LMS准则求最佳权系数和最小均方误差
E[e2 ] 在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常 j
称它为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它
的最小点，一些有用的自适应方法都是基于梯度法的， 用
j 表示
E[e2 ] 的梯度向量，它是用对每个权系数求 j
自适应信号处理
1 引言
2 LMS自适应横向滤波器
3 LMS自适应格型滤波器 4 最小二乘自适应滤波器 5 自适应滤波的应用
自适应信号处理
一、引 言 自适应滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种 准则的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适
用于平稳随机信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，
必须要求输入信号是平稳的，且必须信号和噪声自相 关特性。在实际中，常常无法知道这些特性，且信号 和噪声自相关函数还会随时间变化，因此实现最佳滤 波是困难的。
自适应信号处理
二、LMS 自适应横向滤波器 2.3.最陡下降法 2.3.2 收敛条件
由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条 件，即当迭代次数 j 趋于∞时，权系数收敛最佳时的 条件。得出只有当：
| 1 2i | 1 0 i 1,2,, N 1
(2.3.3) (2.3.2)
一个单输入系统， 实际上也是一个自适应横向滤波器。 其输出y(n)用滤波器的单位脉冲响应表示成下式：
y(n) w(m) x(n m)
m 0
N 1
(2.1.1)
自适应信号处理
二、LMS 自适应横向滤波器 2.1. 自适应滤波器的矩阵表示式
x(n) z－1 x(n －1) z－1 x(n －2) … wN－1 z－1 wN e(n) x(n －N)

通信系统中的自适应信号处理与均衡算法

通信系统中的自适应信号处理与均衡算法

通信系统中的自适应信号处理与均衡算法在通信系统中，自适应信号处理与均衡算法扮演着重要的角色。

这些算法可以有效地降低通信信道带来的干扰和失真，提高信号质量和系统性能。

本文将探讨通信系统中常见的自适应信号处理和均衡算法，并分析其原理和应用。

一、自适应信号处理算法1. 最小均方误差（LMS）算法最小均方误差算法是一种经典的自适应滤波算法。

它通过不断调整滤波器的系数以最小化输入信号与期望输出信号的均方误差。

LMS算法的优点在于实现简单、计算效率高，适用于大多数通信系统中的实时应用。

2. 最小均方归一化（LMN）算法最小均方归一化算法是LMS算法的改进版本。

相比于LMS算法，LMN算法引入了归一化因子，使得滤波器系数的更新速度更慢，从而提高了系统的稳定性和收敛性能。

LMN算法在处理非平稳信号和有频率衰减的噪声时表现出更好的性能。

3. 逆滤波器算法逆滤波器算法是一种基于正弦信号模型的自适应算法。

它通过提取信号的频率响应并运用逆滤波器来抵消信道引起的失真和频率选择性衰减。

逆滤波器算法在抗干扰和提高信号传输质量方面具有良好的性能。

二、自适应均衡算法1. 线性均衡算法线性均衡算法是一种基于滤波器的均衡技术。

它通过设计合适的滤波器将接收到的信号进行补偿，使其恢复到原始发送信号的形态。

线性均衡算法常用的方法包括零离子均衡器（ZIE）和频率域均衡器（FDE）。

这些方法能够有效地抑制多径干扰和时延扩展，提高系统的传输性能。

2. 非线性均衡算法非线性均衡算法采用非线性函数对接收信号进行处理，以提高系统的抗多径传播和干扰的能力。

常见的非线性均衡算法包括最大似然序列估计器（MLSE）和广义序列估计器（GSE）。

这些算法能够较好地抵消信道引起的非线性失真，提高系统的误码率性能。

三、自适应信号处理与均衡算法的应用1. 无线通信系统在无线通信系统中，自适应信号处理和均衡算法广泛应用于调制解调、信道估计、自动增益控制等关键技术中。

它们有效地改善了信号的传输质量，提高了系统的容量和覆盖范围。

自适应信号处理a

自适应信号处理a

第六章自适应信号处理自适应(Adapt Adaptation)生物体的某些结构和功能经自然选择发生改变，以更好地适应环境而生存和繁殖。

适者生存，优胜劣汰。

从用来说明生物体对环境的自适应推广到人工、人造的自适应系统AGC自动增益控制，接收机灵敏度与输入信号的平均强度成反比，可以使接收机能适应很宽的输入电平动态范围。

自适应系统的特征：1、能自动适应变化的环境与变化的系统要求；2、能通过训练、学习某种功能去完成特定的滤波或判决任务；3、自行设计－该系统不需要精确的综合设计方法；4、经少量的训练信号或模式，就能外推至一个新的性能模型并可对付新的环境；5、在有限范围内，能自我修复－适应内部故障；6、时变的、非线性系统；7、系统复杂、分析困难。

但是、自适应系统为在输入信号特性未知或时变的情况下，提供了一种改善系统性能的新的途径。

最基本的特性：时变、自调整、非线性。

1960年代以前－早期的自适应发展－自适应控制与迭代数学1960年、B.Widrow提出自适应滤波的概念实际上，这里所讨论的自适应滤波是线性滤波的一种推广。

线性滤波－假定输入的有用信号与加性噪声的某些统计特性已知，然后设计线性滤波器，使其输出中的噪声影响最小。

所谓影响最小是依据某一统计准则，如误差信号的均方值最小。

这样对于输入若为平稳过程－Wiener滤波器，若为非平稳过程－Kalman滤波器。

但是、这都需要有待处理数据统计特性的先验知识。

所谓最佳滤波是指基于这些先验知识设计的滤波器与输入数据的统计特性相匹配。

而当这些先验知识未知或仅有部分已知时，就不能用上述方法来设计Wiener滤波器，或者说所设计的滤波器不是最佳。

此时，所能采用的最直接的方法就是“猜测试验法”，即先猜测有关信号的统计特性，然后再设计计算滤波器的参数。

另一种方法就是采用自适应滤波器。

所谓自适应就是一种自我设计的过程(Self-designing)，通常是一种递归算法。

算法从某一初始条件出发，在平稳环境下，算法经过若干次迭代，便会收敛于（某种统计意义上的）最佳维纳解。

自适应信号处理

自适应信号处理
min (WK W * )T R (WK W * )
(WK ) 2R (WK W * ) (WK ) 2R
∴ WK 1 WK (WK W * ) W *
一次迭代
26
又有最小均方误差加权矢量
W * R1 Rdx
梯度向量
2RW 2Rdx 2R(W W * )
故
W * W 1 R1 2
取其最佳值 W * ，使梯度为0，即
0 2R W* 2Rdx W * R1 Rdx
这是Wiener-Hopf方程的一种矩阵表示，则最小均方误差 min 为
min E[dK2 ] W*T R W* 2RdTxW*
E[dk2] [R1Rdx ]T R R1Rdx 2RdTxR1Rdx
min E[dk2] RdTx R1Rdx E[dk2] RdTxW*
7
C1.1.3 自适应系统指标
（1）收敛速率 滤波器从初始参数调节到输出充分接近最优所需 的迭代次数
（2）失调 充分接近与最优的偏离程度
（3）计算量（复杂度）
8
C1.1.4 自适应算法
根据滤波器结构和算法准则, 自适应算法主要有： ❖ 梯度算法 ❖ 最小均方滤波器 ❖ 格型自适应滤波器 ❖ 最小二乘自适应滤波器 ❖ 快速横向自适应滤波器 ❖ 自适应无限冲激响滤波器
随机梯度 滤波算子
9
C1.1.5 自适应滤波应用范围
❖ 系统辨识 ❖ 自适应均衡 ❖ 语音处理 ❖ 谱分析 ❖ 自适应信号检测 ❖ 自适应噪声消除 ❖ 自适应动目标检测
10
C1.2 自适应系统基本原理
C1.2.1 自适应线性组合器
❖ 非递归自适应滤波器
xk
z-1 xk-1 z-1 xk-2 ...

《自适应信号处理》课件


自适应信号处理技术可用于雷达跟踪系统，通过实时调整滤波器参数，提高目标跟踪的准确性和稳定性。
雷达在复杂环境中工作时，常常受到杂波干扰，自适应信号处理能够自适应地调整滤波器，有效抑制杂波干扰，提高目标检测能力。
杂波抑制
雷达跟踪
超声成像
在医学超声成像中，自适应信号处理能够优化图像质量，提高分辨率和对比度，有助于医生准确诊断。
优化算法性能
通过简化算法、采用低精度计算等方法，降低计算成本，提高算法的实用性。
降算法在某些情况下可能会出现不稳定的现象，如收敛速度过快或发散等。
改进稳定性
可以采用约束条件、正则化方法等手段，提高算法的稳定性，保证算法能够可靠地处理各种信号。
动态调整参数
根据信号的特性和处理需求，动态调整算法的参数，以获得更好的处理效果。
02
快速收敛
RLS算法具有快速收敛的特点，适用于实时处理和快速变化的环境。
自适应偏置消除
APA算法通过自适应偏置消除技术，提高了算法的稳定性和收敛速度。
性能优化
APA算法在某些情况下可以获得更好的性能表现，尤其是在处理非线性信号时。
计算复杂度
APA算法的计算复杂度相对较高，需要更多的计算资源和存储空间。
01
02
03
自适应信号处理算法
最小均方误差
LMS算法是一种最小均方误差算法，通过不断调整滤波器系数，使得输出信号与期望信号之间的误差的均方值最小化。
03
计算复杂度
RLS算法的计算复杂度较高，需要更多的计算资源和存储空间。
01
递归最小二乘法
RLS算法采用递归最小二乘法，通过迭代更新滤波器系数，使得输出信号与期望信号之间的误差的平方和最小化。

062.第六章自适应信号处理2


det(R-λI)=0…(6-58)
式(6-58)称为特征方程,它是λ的n次代数方程.n个解为λ0, λ1,…λn-1, 它们是R的特征值。由式(6-57),则
RQL=λLQL …(6-59)
式中,QL称为与λL有关的、为R的特征向量。 推广式(6-59),可以得
0 0 1 ...(6 60) R[Q0 , Q1 ,...Qn1 ] [Q0 , Q1 ,...Qn1 ] 0 n 1
是矩阵R的特征向量。因此，输入相关矩阵的特征向量确定了误 差表面的主轴。
将表征特征向量与特征值的几何意义的这些几何关系归纳如下
min (W Wopt )T R(W Wopt )...(6 67)
min V T RV ...(6 68)
min V T (QQ T )V min (Q T V T ) (Q T V ) min (V )T V ...(6 69)
§6.3 搜索性能表面的最速下降法 所谓搜索是指自适应过程.在平稳信号自适应理论 中,自适应信号处理中的性能表面具有不变的统计特性, 性能表面的形状将保持不变。从性能表面某点出发,向
下运动至最小点附近,最后停止在这点。 在非平稳信号自适应理论中,若信号是非平稳的,并 且有慢变化的统计特性,自适应过程不仅向下运动至最 小点,而且当性能表面移动时,还要跟踪它的最小点。
因而式（6-69）中的V‘代表主轴坐标系，相应于式（6-68）与式
（6-69）的变换，为： 平移 旋转
V W Wopt (6 71) T 1 V Q V Q V (6 72 )
R的特征值同样具有重要的几何意义。由式（6-70），ξ沿着任 何主轴v‘L的梯度，可以写为

声学信号处理中的自适应算法研究

声学信号处理中的自适应算法研究声学信号处理这事儿啊，说起来还挺有意思的。

就拿咱们日常生活来说，您想想，在一个嘈杂的餐厅里，您还能清楚地听到对面朋友跟您说的话，这里头就有声学信号处理的功劳。

咱先来说说啥是声学信号。

简单来讲，声音就是一种波，它传到咱们耳朵里，就成了声学信号。

那啥又是自适应算法呢？就好比您在走路，路不平坦，您得随时调整步伐，这自适应算法就像您调整步伐的那个能力，能让声学信号处理变得更聪明、更灵活。

比如说，您在打电话的时候，有时候信号不好，声音一会儿大一会儿小，或者有很多杂音。

这时候自适应算法就出马了，它会自动调整一些参数，让您听到的声音尽量清晰、稳定。

这就像是一个聪明的小助手，默默地帮您解决问题。

我记得有一次，我参加一个学术会议。

会场里人很多，声音特别嘈杂。

有个专家在台上讲声学信号处理中的自适应算法，我在台下听得那叫一个费劲。

但是，当他举了一个例子，说就像在闹市中能清晰地分辨出特定的钟声一样，通过自适应算法可以把我们想要的声音从一堆杂音里“揪”出来，我一下子就好像明白了点啥。

在声学信号处理中，自适应滤波算法是个常见的家伙。

它就像是一个挑剔的筛选器，能根据输入信号的特点，自动调整自己的参数，把有用的信号留下，把没用的杂音给去掉。

比如说，在录音棚里录制音乐的时候，自适应滤波算法可以帮助消除环境噪音，让歌手的声音更加纯净动听。

还有自适应波束形成算法，这玩意儿就像是一个智能的声音聚光灯。

它可以让接收设备更专注地接收来自特定方向的声音，而减少其他方向的干扰。

想象一下，您在一个大型的活动现场，有很多人在同时说话，但是通过自适应波束形成算法，您的麦克风就能主要接收您正前方舞台上的声音，而把周围观众的嘈杂声降低。

自适应均衡算法也挺厉害。

它能解决信号在传输过程中出现的失真问题。

就好比您寄了一个包裹，在路上被压坏了一点，自适应均衡算法就是那个能帮您把包裹修复好的工具，让收到的信号和原来发送的信号尽量一致。

现代信号课件第6章自适应滤波课件


自适应滤波器的计算复杂度较高 ，尤其是在处理大规模数据时，
计算量会变得非常大。
计算复杂度问题可能导致滤波器 实时性差、功耗大等问题，限制
了其在某些领域的应用。
解决计算复杂度问题的方法包括 优化算法、采用并行计算等技术
。
自适应滤波器的未来发展方向
未来自适应滤波器的发展方向主要包 括提高性能、降低计算复杂度、拓展 应用领域等方面。
自适应滤波器的发展历程
20世纪50年代
20世纪60年代
自适应滤波器的概念开始出现，最早的应 用是在通信领域。
线性自适应滤波器的研究取得突破性进展 ，如最小均方误差（LMS）算法和递归最 小二乘（RLS）算法等。
20世纪70年代
21世纪初
非线性自适应滤波器开始受到关注，如神 经网络和模糊逻辑等。
随着数字信号处理技术的发展，自适应滤 波器的应用领域不断扩展，涉及通信、雷 达、图像处理、医学成像等多个领域。
稳态误差
自适应滤波器的稳态误差 越小，说明其跟踪期望信 号的能力越强。
鲁棒性
自适应滤波器的鲁棒性越 好，说明其对输入信号的 异常变化和噪声干扰的抵 抗能力越强。
03
自适应滤波器的实现方 法
最小均方误差算法
最小均方误差算法（LMS）是一种常用的自适应滤波算法，其基本思想是使滤波器 的输出信号与期望信号之间的均方误差最小。
。
05
自适应滤波器的挑战与 展望
自适应滤波器的稳定性问题
稳定性是自适应滤波器的核心 问题之一，它关系到滤波器的 性能和可靠性。
稳定性问题主要表现在系Байду номын сангаас参 数的变化和噪声的影响，可能 导致滤波器性能下降甚至失稳 。
解决稳定性问题的方法包括改 进算法、增加系统稳定性约束 条件等。
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H
两边分别对w(n+1)的瞬时(n+1)值求偏导数，并令其等于 零，经整理后，得到
w(n 1) w(n) 1 / 2 R 1(n)
(6-1-3)
这就是牛顿方法迭代计算公式。在理想情况下，R和▽(n) 精确已知，此算法可达最佳滤波结果，且在一次简单迭代运 算后就得最佳解，即：
w( n 1) R P w0
的建模，即用阶为0到M-1的预测器的反向预测误差把矢量 X(n)换成新矢量 ，即有
b(n) [b0 (n) b1 (n) bM 1 (n))]T
X (n) [ x(n) x(n 1) x(n M 1)]T
b(n)=Lx(n)
(6-1-12)
式中，L为下三角矩阵，它由预测器系数 ai , j 表示其元素，这里 ai , j 为第i阶预测器的第j个系 数，三角矩阵L的形式是
(6-1-14)
E[ LX (n) X T (n) LT ] LR (n) LT
这是一种快速LMS牛顿算法.
6.2 归一化LMS
基本思路：不希望用与估计输入信号矢量有 关的相关的矩阵来加快LMS算法的收敛速度，可 用变步长方法来缩短其自适应收敛过程，变步长 μ(n)的更新公式写成
w(n 1) w(n) (n)e(n) x(n) w(n) w (n)
1
(6-1-4)
实际应用中，仅有效地估计自相关矩阵R和梯度 的估计值用到类似牛顿方法迭代计算公 R 式中，如下式
ˆ 1 ( n) ˆ (6-1-5) w( n 1) w( n) R ( n)
这里,0<μ<1,应用收敛因子μ是为了保证R与 ▽(n)的噪化估计也能使算法收敛.
我们可以认为， b0 (n), b1 (n),...bM 1 (n) 都是互不 相关的，这意味着它们的相关矩阵 Rbb是一个对角 线矩阵，所以求它的逆矩阵比较容易，即
ˆ 1 ( n) X ( n) LT R 1b( n) R bb
可得到 Rbb E[b(n)bT (n)] E[ LX (n){LX (n)}T ]
1 a 1,1 L a2 , 2 aM 1, M 1 0 1 a2,1 aM 1, M 2 0 0 1 aM 1, M 3 ... ... ... 0 0 0 0 0 0 1
(6-1-13)
... aM 1,1
当输入信号为平稳随机过程时，R的无偏估计值等于
n 1 T ˆ ( n) R x ( i ) x (i ) n 1 i 0 n ˆ 1 R ( n 1) x ( n) x T ( n) n 1 n 1
(6-1-6)
因为估值的数学期望为
ˆ (n)] (1 / n 1) E[ x(i ) xT (i )] R E[ R
第六章 改进的自适应LMS算法
• 6.1 LMS牛顿算法 • 6.2 归一化LMS算法 • 6.3 变换域LMS算法 • 6.4 频域LMS算法 • 6.5 简介其它LMS算法自适应滤波器
6.1
LMS牛顿算法
当滤波器的输入信号为有色随机过程时，特别是 输入信号为高度相关的情况，大多数自适应滤波算法 的收敛速度都要下降，对于典型的LMS算法，此问题 更加突出。LMS牛顿算法可以很好地解决这个问题。 它不仅可以提高收敛速度也不会太增加计算复杂度. LMS牛顿算法公式推导：
T

w (n) x(n) x (n)w (n)
T T
(6-2-4)
n) 把 w (n) (n)e(n) x( 的关系式代入式 (6-2-4)中，得到
e (n) 2 (n)e (n) x (n) x(n)
2 2 T
(n)e (n)[ x (n) x(n)]
2 2 T
2
(6-2-5)
为了增加收敛速度，合适地选取μ(n)使平方 误差最小化，故将式(6-2-5) 对变系数μ(n)求偏导 数，并令其等于零，求得：
1 ( n) T x ( n) x ( n)
(6-2-6)
这个步长值 μ(n)导致 e 2 (n)出现负的值，这对应 于 e 2 (n)的最小点，相当于平方误差 e 2 (n) 等于 零。
E[ x T (n) x(n)] tr[ R ] e( n ) x ( n ) E[e(n) x(n)] E[ T ] x ( n) x ( n) E[ x T (n) x(n)]
(6-2-8)
然后对收敛因子的平均值应用更新LMS的方向 e(n)x(n)是μ/2tr[R] ，最后，将归一化LMS算法的 更新公式与经典LMS算法更新公式相比较，可以 得到收敛因子μ的上界不等式条件，如下： 0< μ(n)= μ /2tr[R]<1/ /2tr[R] 或 0< μ<2 显然，由式(6-2-7)与(6-2-9)可构成归一化LMS算 法，其中 0≤ γ ≤1，选择不同的γ 值可以得到 不同的算法. (6-2-9)
e ( n) e ( n)
2 2
2w (n) x(n) x (n) w(n)
T T
w (n) x(n) x (n)w (n)
T T
2d (n)w (n) x(n)
T
(6-2-3)
2 e ( n) 在此情况下，瞬时平方误差的变化量 定义为
e 2 (n) e 2 (n) e 2 (n) 2w (n) x(n)e(n)
当γ=0时，由式(6-2-7)可以写成
w(n 1) w(n)
(d (n) wT (n) x(n)) x(n)
x ( n)
2
(6-2-10)
这种算法是NLMS算法的泛化形式，其中随机 梯度估计是除以输入信号矢量元素平方之和。 所以步长变化范围比较大，可有较好的收敛性 能。
在此情况下，算法的归一化均方误差NMSE 可由式(6-2-10)得到
d (n) w(n) x(n) 2 (n) E x ( n ) (6-2-11) 最佳滤波权矢量可由 对w(n)求偏导数，并 (n) 令其等于零，即由式
T ' d (n) x (n) w0 x(n) E x ( n ) x ( n)
e 2 ( n) [ d ( n) x T ( n) w( n)]2 d 2 ( n) wT ( n) x( n) x T ( n) w( n) 2d ( n) wT ( n) x( n)
(6-2-2)
w ( n) 如果滤波权矢量的变化量 w(n) w(n) , 则对 应的平方误差 可以由上式得到 e 2 ( n)
i 0 n
因此是无偏的。当然，还有其他相关矩阵估计方法， 这里不再赘述了.
为了避免求 演引理公式：
ˆ (的逆，我们可以利用下列矩阵反 R n)
[ A BCD]1 A1 A1 B[ DA1 B C 1 ]1 DA1
(6-1-7)
其中，A和C为非奇异矩阵. ˆ (n 1), B DT x(n), , 如果我们选用 A (1 ) R 可以导 C 出 的计算公式： ˆ 1 (n) R
1 1 T 1 ˆ ˆ ˆ R (n 1) R (n 1) x(n) x (n) R (n 1) 1 ˆ R (n) (1 / 1 )[ ] T 1 ˆ (n 1) x(n) (1 / ) x (n) R (6-1-8)
从每次迭代运算所需乘法来看，上式计 ˆ (n)的 ˆ 1 (n) 的运算量为O(Ν 2 ),低于直计算R 算 R 逆的运算量O( Ν 3 ). 如果在式(6-1-5)中用LMS算法来估计梯度矢量， 则LMS牛顿算法的滤波权系数更新公式将如下式：
(6-2-1)
w (n) (n)e(n) x(n) 表示滤波权矢 式中， 量迭代更新的调整量。为了达到快速收敛的目 的，必须合适地选择变步长μ(n)的值，一个可能 的策略是尽可能多地减小瞬时平方误差，即用 瞬时平方误差作为均方误差MSE的简单估计， 这也是LMS算法的基本思想。瞬时平方误差可 以写成
小结：LMS梯度方向趋向于理想梯度方向， 类似地，由 R ˆ 1 (n) 相乘所生成的矢量的方向接近 于牛顿的方向，所以LMS牛顿算法朝均方误差曲 面最小点方向的路径收敛。而且算法的收敛特性 表明与相关矩阵R的特征值扩张无关.
一种快速LMS牛顿算法
ˆ 1 (n) x来实现 直接计算式(6-1-9)中的 R LMS牛顿算法。 ( n) 算法的基本思想是用自回归（AR）模型来做输入信号矢量
为了控制失调量，考虑到基于瞬时平方误差的 导数不等于均方误差MSE求导数值，所以以LMS算法 的更新迭代公式作如下修正：
w(n 1) w(n)
e(n) x(n) x ( n) x ( n)
T
(6-2-7)
式中，μ为控制失调的固定收敛因子，γ参数是 为避免x(n) xT (n)过小导致步长值太大而设置的。 通常称式(6-2-7)为归一化LMS算法的迭代公式. 为了保证自适应滤波器的工作稳定，固定 收敛因子μ的选取应满足一定的数值范围。现 在我们来讨论这个问题。首先考虑到下列关系：
w(n 1) w(n)
e(n) x(n)
1 x ( n) x ( n)
T
(6-2-14)
由此可得到NLMS算法的特殊形式：
w(n 1) w(n) [d (n) wT (n) x(n)]x(n)
x ( n)
1
2
(6-2-15)
[d (n) wT (n) x(n)]x(n) w(n 1) w(n) 2 1 x ( n)
自适应横向滤波器的滤波系数矢量的二次方函 数所构成的均方误差曲面，可由其均方误差ξ(n+1) 描述滤波特性，