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傅里叶分析教程(完整版)

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傅里叶分析报告教程(完整版)

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傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。

转载的同学请保留上面这句话，谢谢。

如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。

一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

数学分析傅里叶章节课件

数学分析傅里叶章节课件
n →∞ n →∞
定理 2( R n点列收敛与数列收敛的关系)
设 R n中点列X i = ( xi 1 , xi 2 , ..... xin ) 和向量A = ( a1 , a2 , .....an )
m →∞ m →∞
则 lim X m = A ⇔ lim xml = al , l = 1, 2, ....., n
m =1 ∞
因此A = B .
定 理 7 ( H eine-B orel, 有 限 覆 盖 定 理 )
则 {w α , α ∈ I } 一 定 有 有 限 个 集 合 覆 盖 E .
设 E ⊂ R n 为 紧 集 ,{ w α , α ∈ I } 为 E 的 开 覆 盖 ,
Cauchy收敛定理, Bolzano-Weierstrass定理 定理, Cauchy收敛定理, Bolzano-Weierstrass定理, 收敛定理 Cantor 闭区域套定理 , Heine-Borel 定理称为 HeineEuclid空间的基本定理 它们相互等价. 空间的基本定理, Euclid空间的基本定理, 它们相互等价. 思考相互等价的证明方法. 思考相互等价的证明方法
引理2 引理 2 A为集合 E ⊂ R n 聚点的充分必要条件 E 中存在 收敛到 A的点列.
下面给出定理5的证明. 下面给出定理5的证明.
首先证明必要性 为紧集. 证明 : 首先证明必要性 设E ⊂ R n为紧集. 根据引理1 得到E 为闭集.如果E无界 ,则 根据引理1, ∀m ∈ N ⋅ , ∃X m ∈ E ,: X m > m , 没有任何收敛的子列 可见 { X m } 没有任何收敛的子列, 矛盾 !
k =1
∀ε > 0, ∃N ∈ N , ∀k > N , ∀m > 0 : ∑ X l +1 − X k + l −1 < ε ,

傅里叶分析之掐死教程(完整版)

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傅里叶分析之掐死教程（完整版）投递人itwriter发布于2014-06-07 10:50 评论(24)有34667人阅读原文链接[收藏]«»作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。

转载的同学请保留上面这句话，谢谢。

如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…….本文无论是cos 还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。

傅里叶教程

傅里叶教程
完全解完全解是齐次解与特解之和如果微分方程的特征根全为单根则微分方程的全解为ii?当特征根中为重根当特征根中1为重根而其余n个根均为单根时方程的全解为1intpytceyt而其余个111ytinttiipijctecejyt???如果微分方程的特征根都是单根则方程的完全解为nytce?将给定的初始条件分别代入到式中及其各阶导数可得方程组及其各阶导数可得方程组y0c1c2
（2-1）
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
整理上式后，可得
2 1 d i ( t ) d i ( t ) di ( t) d i ( t) S L L L ( i t) i ( t) )R ( )L 2 R S( L 1 2 C d t d t d t d t
2
2
(2)求系统的完全响应
完全解＝齐次解＋特解 齐次解
特征方程为：
特征根为： 齐次解为：
7 10 0
2
2 , 5 1 1
i ( t ) A e A e h 1 2
2 t 5 t
特解： 由于t 0+时,e(t)=4V 右端为4X4，令特解为I p（t）＝B 即

系统分析的任务：给定系统模型和输 入信号求系统的输出响应。
f T[.] y

求响应系统分析方法很多，系统时 域分析法不通过任何变换，直接求 解微分、积分方程； 时域分析方法，直观、物理概念清建立和求解
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模 型是线性常系数微分方程。 对于电系统，列写数学模型的基本依 据有如下两方面:元件约束、结构约束。 1. 元件约束VAR (1)电阻R uR(t)=R· iR(t)；

傅立叶分析_图文

傅立叶分析_图文

脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析一、实验简介任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。

傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。

利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。

也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。

二、实验目的1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。

2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义三、实验仪器脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器四、实验原理1、周期信号傅里叶分析的数学基础任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000000001()(cos sin )21()()1()cos()()1()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t ππππππωωωωπωωωπωωωπ∞=---=++===∑⎰⎰⎰ 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。

任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。

对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:(0t<)2() (-t 0)2h f t h ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：0100041()()sin(21)21411(sin sin 3sin 5)35n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞==--=+++∑ 同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：4t (-t <)44()232(1) (t )44h T T f t t T T h T π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：1202100022281()(1)()sin(21)21811(sin sin 3sin 5)35n n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞-==---=-++∑图1 方波 图2 三角波从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。

傅里叶分析教程

傅里叶分析教程

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：昊知乎：Heinrich微博：花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及晶泊老师。

的同学请保留上面这句话，。

如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。

一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

第一章 傅里叶分析

普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学•第2版》电子教案
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y


n m


( x na, y mb)

1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d

1.傅里叶分析P1-P3-ENGLISH

Because some of articles are from English Internet station, I can't give the titles, and you will understand me.因为某些文章来自英文网站，所以我无法给出标题，这一点你们会理解我的。

Basic mission：reading the article 1，everyone.基本任务：每个人都要阅读文章1。

The number '1' in begin of the next double line is a code of mission for some students. We called your mission 'article 1', or A1.在双线前面的数字“1”是某些学生任务开始的代码，我们把你的任务成为“文章1”，或者A1。

=1==============================================================这篇文章的核心思想就是：The main idea of this article is:要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

To allow readers to understand Fourier analysis without looking at any mathematical formulas.傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所will you die for writing a funny textbook以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

傅里叶分析1


A y st

例1
1 1 2 / 2
3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。
求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知
0.5
P
24 EI P sin t 解. k 11 l3 l P Pl 3 y st k 11 24 EI 1 4 1 2 / 2 3
l
=1
11
解: y st
1 1 Pl l 5 5 Pl l EI 2 2 2 6 48 EI 1 4 1 2 / 2 3 3 5 Pl A y st 36 EI
l
=1
11
I mA
5 P 48
2
mA
1 2 A 4 4 11
Q 35 kN , P 10 kN , n 500 转 / 分 .
m
l 0 . 722 10 7 m/N 48 EI 1 重力引起的弯矩 M Q Ql 35 kN 4 3 重力引起的位移 Q Q 11 2 .53 10 m
解.
11
3
(t ) m y y (t ) P sin t
2
例2：图示机器与基础总重量W=60kN，体系自振周期44.27s， 基 础 下 土 壤 的 抗 压 刚 度 系 数 为 cz=0.6N/cm3 ， 基 础 底 面 积 A=20m2 。当机器运转产生 P0sinθt， P0=20kN ，转速为 400r/min ，求振幅及地基最大压力。
3
29 Pl 48
P
5 P 48
5 Pl 96 动弯矩幅值图
例:求图示体系右端的质点振幅
P sin t
P m o

第5章傅里叶分析


ck
1 2
(a k
ib k ),
(5 .5)
c k
1 2
(a k
ib
k
)
则其复数形式为：
其中：
f ( t ) c k e ik t k
c k
1 T
T
2 f ( t ) e ik t
T 2
(5 .6 ) (5 .7 )
三、傅里叶变换
为了得到傅里叶变换的
具体形式，
首先考虑定义在－ l x l上的傅里叶
5 n 阶导数的傅里叶逆变换
为：
F － 1 f ( n ) (t ) ( it ) n F 1 f (t )
6 平移的傅里叶变换为：
F f (t a )( ) e ia F f ( )
7 傅里叶变换的比例性质 为：
F f (bt )( ) 1 F f ( )
b
b
8若t0时有f (t) 0,则：
由下式给出：
F t n f ( t ) ( ) i n d n F f ( ) dn
3 f与 n 乘积的傅里叶逆变换
由下式给出：
F 1 n f ( ) (t ) ( i ) n d n F 1 f (t ) dn
4 n 阶导数的傅里叶变换为
：
F f ( n ) ( ) (i ) n F f ( )
(5.2)
上式为一三角级数，当
n 时，即
f (t ) a 0 2 ( a k cos k t b k sin k t ) k 1
称为傅里叶级数。其中
a k , b k 为傅里叶系数，
可按最小二乘原理解出
为：
a 0
2 T
a k
2 T
T
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傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
Heinrich · 6 个月前
作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事
谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。

转载的同学请保留上面这句话，谢谢。

如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

——————————————以上是定场诗——————————————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。

一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。

而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？。