第8节 函数的周期性
【基础知识】
1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
3．关于函数周期性常用的结论
(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；
(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()
f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；
(3)若函数满足1()()
f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．
（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．
（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．
（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．
【规律技巧】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式
T ＝2π|ω|
计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．
2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．
4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
【典例讲解】
例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．
(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.
又f (x )是周期为4的周期函数，
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)
＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0.
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.
【拓展提高】
判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．
【变式探究】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－
1f x ，当2≤x ≤3时， f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.
【答案】2.5
【针对训练】
1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．
【答案】1006
2、已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则
(2013)f 等于（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．﹣1
D ．2013
【答案】A
3、已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -≤≤时，2()1f x x =-.若直
线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )
A ．3{|24a a k =+或52,}4
k k Z +∈ B ．1{|24a a k =-或32,}4
k k Z +∈ C ．{|21a a k =+或52,}4k k Z +∈ D ．{|21a a k =+,}k Z ∈
【答案】C
【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．
【练习巩固】
1、已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )
A.()()()7 6.5 4.5f f f <<
B.()()()7 4.5 6.5f f f <<
C.()()()4.5 6.57f f f <<
D.()()()4.57 6.5f f f <<
【答案】D
2、设()g x 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为
[-2,5],则()f x 在区间[0,3]上的值域为 .
【答案】()[]2,7f x ∈-
