2021版新高考数学(文科)一轮复习课后限时集训39 基本不等式

基本不等式

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一、选择题

1．下列命题中正确的是()

A．函数y＝x＋1

x的最小值为2

B．函数y＝x2＋3

x2＋2

的最小值为2

C．函数y＝2－3x－4

x(x＞0)的最小值为2－4 3

D．函数y＝2－3x－4

x(x＞0)的最大值为2－4 3

D[由x＞0知3x＋4

x≥43，当且仅当3x＝

4

x，即x＝

23

3时等号成立，则2

－3x－4

x≤2－43，因此函数y＝2－3x－

4

x(x＞0)的最大值为2－43，故选D.]

2．若log2x＋log2y＝1，则2x＋y的最小值为()

A．1B．2C．22D．4

D[由log2x＋log2y＝1得，x＞0，y＞0且xy＝2.

∴2x＋y≥22xy＝4，当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时等号成立，故选D.]

3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1

a＋

4

b的最小值是()

A.7

2B．4 C.

9

2D．5

C[由a＞0，b＞0，a＋b＝2知1

a＋

4

b＝

1

2(a＋b)⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

a＋

4

b＝

1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

5＋

b

a＋

4a

b≥

9

2，当

且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4

3时等号成立，故选C.]

4．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝

⎛⎭⎪⎫

a ＋

b 2，则( ) A ．R

D ．P

C [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 1

2(lg a ＋lg b )>lg a ·

lg b ，即Q >P .

∵a ＋b 2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝1

2(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P

A ．80元

B ．120元

C ．160元

D ．240元

C [设容器底面矩形的长和宽分别为a 和b ，容器的总造价为y 元，则ab ＝4，y ＝4×20＋10×2(a ＋b )＝20(a ＋b )＋80，∵a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时等号成立)，∴y ≥160，故选C.]

二、填空题

6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1

8b 的最小值为 ．

1

4 [由题知a －3b ＝－6，因为2a ＞0,8b ＞0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝

2×

2a －3b ＝14，当且仅当2a ＝1

8b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号．] 7．已知函数y ＝x ＋

m

x －2

(x ＞2)的最小值为6，则正数m 的值为 ． 4 [∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴y ＝x ＋

m x －2

＝x －2＋

m x －2

＋2≥2

(x －2)×

m x －2

＋2＝2m ＋2，

当且仅当x －2＝m

x －2，即x ＝2＋m 时等号成立．

由题意知2m ＋2＝6，解得m ＝4.]

8．已知实数a ＞0，b ＞0，2是8a 与2b 的等比中项，则1a ＋2

b 的最小值是 ．

5＋26 [由题意知8a ×2b ＝2，即23a ＋b ＝2，∴3a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(3a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＋2b ＝5＋6a b ＋b a

≥5＋2

b a ·6a

b ＝5＋26，

当且仅当6a b ＝b

a ，即

b ＝6a ＝6－2时等号成立．] 三、解答题

9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋8

2x －3的最大值；

(2)设0

2

＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <3

2时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x

≥2

3－2x 2·8

3－2x

＝4，

当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－1

2时取等号．

于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－5

2. (2)∵00，

∴y ＝

x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x

2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即

x ＝1时取等号，

∴当x ＝1时，函数y ＝

x (4－2x )的最大值为 2.

10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．

[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2

8x ·2y ＝8xy

，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.

(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2

2x y ·8y

x ＝18.

当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.

1．(2019·上海高考改编)若x ，y ∈R ＋，且1x ＋2y ＝3，则y

x 的最大值为( ) A.32 B.34 C.94 D.98 D [由x ，y ∈R ＋得3＝1

x ＋2y ≥2

1

x ·

2y ，