126可降阶的高阶微分方程学生版

第六节
第十二章
可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
2019/9/1
高等数学课件
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一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
2019/9/1
高等数学课件
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例6. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2


k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
y
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H
T
M
M 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
H
( : 密度, s :弧长)
A g s
ox
两式相除得
故有
y

1 a
x
0
2019/9/1
(其中a

H
g
)
1 y2 dx
高等数学课件
y 1 1 y2 a
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
2019/9/1
高等数学课件
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例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?

三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】

解
设y
P( y), 则y
P
d d
p y
,
将y,
y代入原方程得：
2 yP
d d
p y
1
P 2，分离变量得
2p 1 p2
dp
1 y
dy,
两端积分,得 ln(1 p2 ) ln y ln C, 即1 p2 Cy,
y 1, y 1,
x0
x0
p 1, y1
则得 C 2.
于是有1 p2 2 y, p 2 y 1.
解法：作变量代换u y , 即 y xu, 则 d y u x d u .
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
2
4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 dy P( x) y 0 dx
（2）通解公式 y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
8
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p ln
y ln C1，
15
阐明: y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1. 若y1( x)、y2( x)是y P( x) y Q( x) y 0 的解
则由定理1知y y1( x) y2( x)、y 2 y1( x)、y 2iy1( x)是方程(1)的解.

即 由
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.

§10.3 可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为

5.5 可降阶的高阶微分方程
5.5
可降阶的高阶微分方程
y
( n)
= f ( x ) 型的方程
y′′ = f ( x , y′ ) 型的方程
y′′ = f ( y , y′ ) 型的方程
小结
思考题
作业
1
第5 章
微分方程
5.5 可降阶的高阶微分方程
一、 y
(n) n
= f ( x ) 型的方程 = ( x)
L 对于不含有 y、y′、 、y ( k −1)的n阶方程 F ( x , y ( k ) ,L y ( n ) ) = 0
只须作变换, 只须作变换 令 p = y . 方程就可化为 n − k 阶方程
(k )
F ( x , p, L , p ( n − k ) ) = 0
求出通解后, 再积分k次 即可求得原方程的通解. 求出通解后 再积分 次, 即可求得原方程的通解
3 x 2 y′ y′′ = 1 + x3 y x = 0 = 1, y′ x = 0 = 4
因方程中不含未知函数y, 解 因方程中不含未知函数 属y′′ = f ( x, y′)型 代入原方程, 令 y′ = p, y′′ = p′, 代入原方程 得
3x p p′ = 1 + x3
2
p的可分离变量的一阶方程 的可分离变量的一阶方程
2
8
5.5 可降阶的高阶微分方程
三、y′′ = f ( y , y′) 型的方程
方程缺自变量x 特点 方程缺自变量
dy p = p( y) =p( y(x )) =p 解法 设 y′ = dx dp d 2 y dp dp dy 则 y′′ = 2 = = ⋅ = p , 方程变成 dy dy dx dy dx dx dx dp p = f ( y , p). 这是关于变量 p 的一阶方程 这是关于变量y, 一阶方程. dy

pp f ( y, p)
p( y ) ( y, C1 )
代入 ( 3) 得 :
解此一阶方程, 得 :
即
dy dx ( y , C1 )
dy dx ( y , C1 )
dy ( y, C ) x C2 1
(隐式通解 )
例5
y 2 0 yy

x 例 1 试求 y x 的通过点(0, 1 ) 且在此点与直线 y 2 1
相切的积分曲线.
解
y x 1 y(0) 1, y (0) 2
(4)
(5)
解方程 (4) :
x2 c , y 1 2
y x 3 c1 x c2 (方程通解) . 6
''
代入原方程得:
p 1 pΒιβλιοθήκη 0 x' 1 p( x ) C e
' ' 1

1 dx x
C e
' ln x 1
C x
' 1
y C x
1 ' 2 y C1 x C 2 2
所以 y C1 x 2 C2是原方程的通解.
(1 x 2 ) y 2x y 例4 y x 0 1 , y x 0 3 解 设 y p( x )
解 设 y p( y) , 则 y pp ,
ypp p2 0 代入原方程得: yp p 0 或 p( y) 0
由 即
p 1 p 0 p C1e y
1 y dy
C1e ln y C1 y
C1 x
y C1 y y C 2e

dy 4(1 x3 )dx y x4 4x C2
再由初始条件
y x0
1,
知C2 = 1
故所求解为
y x4 4x 1
6
可降阶的高阶微分方程
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p dx
p p( y) p( y(x ))
则
y
d2 y dx 2
如果其通解为 p p( x,C1 ),则由 y p( x,C1 )
再积分一次, 可求出原方程的通解
y p( x,C1)dx C2
4
可降阶的高阶微分方程
例
解方程
y

3x 1
2 y x3
y x0 1, y x0 4
解 因方程中不含未知函数y, 属y f ( x, y)型
令 y p, y p, 代入原方程, 得
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解.
2
可降阶的高阶微分方程
例 求解方程 y e3x cos x
解 将方程积分三次, 得
y
1 3
e3x
sin
x
C1
y
1 9
e3x
p
3x 1
2p x3
p的可分离变量的一阶方程
dp p
3x2 1 x3
dx
ln p ln(1 x3 ) lnC1
p C1(1 x3 ) 由初始条件 y x0 4
知C1=4, 所以 y 4(1 x3 ) y的分离变量方程
5
可降阶的高阶微分方程

14
练习题答案
一、1、 y
xe x
3e x
C1 2
x
C2 x
C3；
2、 y ln cos( x C1 ) C2 ；
3、 y arcsin(C2e x ) C1 ；
4、 y 1 1 . C1 x C2 x
二、1、 y 2 x x2 ；
2、 y 1 ln(ax 1)； a
3、 y (1 x 1)4 . 2
( x,C1 )
原方程通解为： y ( x,C1 )dx C2 .
2021/4/21
3
例 2 求方程 (1 x2 ) y 2 xy 的通解.
解 令y P,则y dP dx
方程化成 (1 x2 ) dP 2xP dx
分离变量 1 dP 2x dx
P
1 x2
积分
P＝y＝C（1 1＋x2）
原方程通解为
y
C eC1x 2
.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 设 y e zdx , 代入原方程,得 zx z，
解其通解为 z C x,
原方程通解为
y e Cxdx
C eC1x2 2
.
2021/4/21
11
思考题
已知 y1 3， y2 3 x 2 ， y3 3 x2 e x 都是微分
y,C1 )
x
C2
2021/4/21
5
例 3 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设y P( y),则y P dP , dy
y P dP P 2 0, 即P( y dP P) 0,
dy
dy
由y
dP dy
P
0, 可得P
C1

例 解
解三阶方程： 积分
y sin x cos x
y ydx (sin x cos x)dx
再积分
cos x sin x C1
y ydx ( cos x sin x C1 )dx
sin x cos x C1 x C2
12.6 可降阶的高阶微分方程
Reduction of Order

四川大学数学学院 徐小湛
Revised March 2006 June 2005
二阶微分方程的一般形式：
F ( x, y, y, y) 0
或
y f ( x, y, y)
通解：
通解：
y ( x, C1 , C2 , )
Revised March 2006 June 2005

四川大学数学学院 徐小湛
一、 n 阶微分方程 y
(n)
f ( x)

四川大学数学学院 徐小湛
Revised March 2006 June 2005
p ( x, C1 )
一阶方程
通解：y学数学学院 徐小湛
Revised March 2006 June 2005
例
解二阶方程：
y y
2
解
方程缺 y，用降阶法 令
y p
则
dp y dx
dp F ( y , p, p ) 0 dy
已经降阶 以下的事情就好办了

四川大学数学学院 徐小湛
p 和 y 的一阶方程
Revised March 2006 June 2005
例
解
1 2 解二阶方程： y y 0 1 y