勾股定理及直角三角形的判定
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勾股定理及直角三角形的判定
知识要点分析
1、勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证
勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数
满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】
考点一：勾股定理
例1：在△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=3，b=4，则c=__________；
（2）若a=6，c=10，则b=__________；
（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.
例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：
考点二：勾股定理的验证
例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）
是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明）
【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。 解：（1）如下图。直角梯形
（2）
（3）用4个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。
考点三：直角三角形的判别条件
例4：已知△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形?
【思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形.
解：
例5：如图，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，说明BC⊥BD.
解：
例6：若△ABC的三边长a、b、c满足条件a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状。
【思路分析】欲判断△ABC的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b、c的值，然后确定a、b、c的关系，从而判断出△ABC的形状。
考点四：勾股数的考查
例7：下列各组数是勾股数吗？为什么？
（1）7，24，25 （2）0.3，0.4，0.5
解：
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A. 13 B. 13或119 C. 13或15 D. 15
2. 直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3. 如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 42
*4. 若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为（ ）
A. 6㎝ B. 1380㎝ C. 8㎝ D. 1360㎝
*5. 等腰三角形底边长10，腰长为13，则此三角形的面积为（ ）
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
6. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A. b2=c2－a2 B. a∶b∶c=3∶4∶5C. ∠C=∠A－∠B D. ∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
*7. 三角形的三边长为abcba2)(22，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
*8. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）
A. ∠A符合要求B. ∠BDC符合要求 C. ∠A 和 ∠ BDC都符合要求D. ∠A 和∠BDC都不符合要求
*9. 一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高（）
A. 10.5米B. 7.5米C. 12米D. 8米
10. 如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子将平滑（）
A. 9分米 B. 15分米C. 5分米 D. 8分米
二、填空题：
11. 假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足，其中边是直角所对的边.
*12. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是.
13. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数，，.
*14. 若一个三角形的三边之比为3：4：5，且周长为60cm，则它的面积为.
15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
*16. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____海里.
三、计算题：
*17、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．
18. 如果a，b，c是一组勾股数，且a，b，c没有大于1的因子，那么我们称这一组勾股数为基础勾股数，如：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41都是基础勾股数。观察这些基础勾股数，你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点？勾、股、弦三者的积有何特点?写出你的发现结果。
**19. 如图所示，隔湖有两点A，B，从与BA 方向成直角的BC上的C点，测得CA=50米，CB=40米。求：（1）A，B两点的距离。（2） 你能知道B点到直线AC的最短距离吗？
