算理与算法

算理与算法，孰重孰轻？张丹:以数的运算为例谈整体把握小学数学课程我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，重视培养学生的运算能力，并且取得了很多优秀的成绩和宝贵的经验。

但长期以来，一些人对运算能力的理解并不全面，将其仅仅等同于运算技能（即算得又对又快），并且由于考试等原因对运算难度和速度的要求越来越高。

在信息技术如此发达的今天，是否还需要学生计算那样难的题目，并且算得那样快？当然，基本的运算技能是必需的，但“基本”的标准是什么？学生是否应将精力放在其他有价值的内容上？还有哪些有价值的内容？实际上，数的运算和运用运算解决问题是具有天然联系的，因此《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）将其整合在一起。

于是，数的运算就包括如下几条主线：第一，数的运算的意义及四则运算之间的关系；第二，获得运算的结果（包括估算、精确计算）；第三，运算律及运算性质；第四，运用运算解决实际问题。

限于文章篇幅，本文将集中阐述“获得运算的结果”中有关精确计算的内容。

进一步，我和我的团队认为，精确计算的学习又可以细分为四条线索：第一，计算方法的探索及算理的理解；第二，计算法则的形成与内化；第三，计算法则的熟练；第四，使用计算器进行计算。

本文将集中于前三条线索。

一、计算方法的探索及算理的理解曾经有一些教师有这样的想法，对于计算教学，只要让学生把法则背诵下来，反复练习就可以达到又对又快，似乎没有必要花时间去讨论这些法则背后的道理（即算理）。

那么，算理是否重要？什么是算理？学生想法中所呈现的算理又是什么呢？我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理呢？1.重视算理的教学。

这里首先需要明确的是算理、法则的内涵以及二者的关系。

算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。

运算是基于法则进行的，而法则又要满足一定的道理。

所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。

由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理。

不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上掌握运算法则。

为了进一步说明重视算理教学的重要性，这里不妨举一个例子。

我们在2009 年对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：题目1：计算42×25。

（目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的法则）题目2：如图1，在34 ×12的竖式中，箭头所指的这一步表示的是（）。

A．10 个34 的和B．12 个34 的和C．1 个34 的和D．2 个34 的和（本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义）设计题目2 是源于笔者与学生的一次谈话。

在笔者与一名三年级学生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，他很快利用竖式给出正确结果。

笔者进一步追问竖式的“第二层”（即题目中箭头所指的这一步）是怎么得到的，他快速地回答道：“是老师告诉的，用1乘34，乘完向左移一位，我也不知道为什么。

”这次简短的谈话引起了笔者的深思：到底有多少学生真正理解了法则，而不仅仅是机械套用？在2009 年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664 份样本，学生在题目1 和题目2上的得分率分别是70.10%和43.09% ，二者有显著性差异。

与题目1相比，题目2的得分率低可能是由于学生对这类题目不熟悉，但不得不说确实有不少学生并不真正理解法则的意义，特别是本题错误地选择选项C 的人数最多更加说明了这一点。

因为在实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式（即箭头所指的那一步，要把340 末尾的0 写成虚的，意思是可以省略不写，最后再把0 省略掉）。

这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法则了。

再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础上再次理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。

所以，在教学中教师应在学生探索算法的基础上，切实引导学生将法则进行内化，重视运算道理的教学。

同时也建议在教材和教学中无须强调“虚0”，更不必去掉竖式“第二层”末尾的0。

2.了解学生想法中所蕴涵的道理。

在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴涵着算理。

为此，我们不妨来看一个课堂教学片段[1]：【案例】关于“0.3× 0.2”的讨论。

课上通过一个问题情境“长0.3 米、宽0.2米的长方形花坛的面积是多少”，引出了“0.3×0.2=？”。

首先，学生进行了猜想。

一部分学生认为是0.6 ，另一部分学生认为是0.06，产生了分歧。

教师给学生充分思考探索运算结果的空间，交流时学生发言踊跃。

生1：（用画图表示0.3×0.2=0.06，如图2）我是这样想的，宽是0.2 米，不到1 米，所以结果不会是0.3（平方米）。

我用百格图，这里的0.3 米表示花坛的长，0.2 米表示花坛的宽，表示面积的这些方格是 6 个，是6 个0.01 ，占百格图的百分之六，所以0.3 乘0.2 的结果是0.06。

生 2 ：我还有一种方法。

把0.2 看成2，把0.3 看成 3 ，2 乘3 得6。

因为我刚才扩大了100倍，所以现在要缩小为它的百分之一，得0.06 。

生3：我没有那么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2 扩大10 倍，2 乘0.3 得0.6 ，再把0.6 缩小到原来的十分之一，就是0.06。

生4：我用竖式。

02 与3 相乘得06，任何数和0 相乘都得0，所以02 和0 相乘得00，加起来就是0.06。

（生 4 边说边写出了下面的竖式）生 4 的方法得到同学们热烈的掌声。

随即有同学问：“为什么不把小数点加在0 和 6 之间呢？”生5：我们学过两位数乘两位数了，我看成是03 乘02，得数应当是006。

小数点点在哪儿呢？我认为不会是00.6，如果小数点前有两个0，前边的0 就没有意义了，小数点前只能是一个0，所以是0.06。

生6：0.3 乘0.2 就是把0.3 平均分成10 份，取其中的两份。

0.3 的十分之一是0.03，也就是一份是0.03，两份就是0.06。

生7：0.2 不到1，如果是1 乘0.3，得0.3，而0.2 比1小，所以应当是比0.3 还小。

仔细分析学生这么多的方法，不难发现其中的不少方法蕴涵着朴素的道理。

比如生2 和生 3 的方法都是运用积的变化规律将小数乘小数转化为以前学过的内容（整数乘整数或整数乘小数）；生6 的方法则运用了小数的意义和分数的意义，也得到了结果；生1 的方法看起来有点“ 麻烦”耽误不少时间，但这个方法借助“ 百格图”，直观地呈现了乘法的意义，即先得到 6 个小格（实际上就是算3×2），再分析每个小格是0.01 （实际上就是算0.1×0.1），6 个小格就是0.06。

这就启发我们思考算法多样化的一个重要价值。

实际上算法多样化不仅可以鼓励学生个性化、主动地学习，同时，学生在自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决新问题，这就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。

这些多样化的运算方法往往蕴涵着学生心目中的“算理”，并且呈现形式是多样的（如数的、图的），解释的途径也不尽相同（如生2 和生6 的方法），对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础。

在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。

以上，虽然针对的是小数乘法的一个案例，但为教师教学提供了共通的策略。

第一，重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索往往体现了学生对于算理的初步理解。

在此基础上，教师组织学生对各种方法进行比较，凸显其中蕴涵的算理。

第二，作为教师，要梳理小学阶段各种运算的算理，特别是梳理学生常见的方法背后是否蕴涵着算理，这样就能从容地面对学生的多种方法。

第三，要鼓励学生运用自己的语言有条理地表达自己的思考，即数的运算也是讲道理的，不是按照程序机械运行。

实际上，上面几位学生在阐述自己的方法时，都在进行着推理，都在有条理地进行表达。

3.通过多种方式帮助学生理解算理。

为了帮助学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式。

常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。

其中实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如元、角、分等人民币，千米、米、分米等测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线。

为了更好地帮助大家理解，不妨举两个教材中的例子。

如图3，在小数除以整数的运算中，法则的关键一步是“商的小数点要和被除数的小数点对齐”。

为了帮助学生理解这样做的道理，人教版教材首先运用了测量单位的原型帮助学生理解，然后又联系小数的意义和表示方法，帮助学生理解关键的一步“24 个十分之一，除以4 后结果为 6 个十分之一，所以结果为0.6”。

如图4，在分数乘分数的运算中，北师大版教材运用了长方形模型帮助学生理解：实际上是将“1”平均分成了16 份，取了其中的3 份，从而是“分母乘分母、分子乘分子”。

二、计算法则的内化与形成有的教师重视让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程——计算法则（或个体使用方法）的内化与形成。

即当学生经历了算法多样化，并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生对众多算法中自己选择使用的方法或者常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化，然后才是进一步的巩固练习。

徐斌在论述“算理直观”与“算法抽象”这一对基本矛盾时指出：“在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，对算理的理解可谓十分清晰。

但是好景不长，当学生还流连在直观形象的算理中时，马上就得面对十分抽象的算法，接下去的计算都是直接运用抽象的简化算法进行计算的。

笔者认为，在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成… 动作思维——形象思维——抽象思维‟的发展过程。

”为了说明这一对基本矛盾，他还列举了“14×2”的教学片段：首先出示情境图——两只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14 个。

让学生提出问题：一共摘了多少个桃子？并列出乘法算式14×2。

接着，让学生独立思考，自主探索计算方法。

有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数。

然后，组织学生交流汇报自己的计算方法。

老师在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，板书了这样的竖式（如图5①）：同时，老师结合讲解，分别演示教具、学具操作过程，又结合图片进行了数形对应。