高数函数极限与连续

大一高数知识点总结全

一、导数与微分

1. 函数极限和连续性

1.1 函数极限的定义和性质

1.2 无穷大与无穷小

1.3 函数的连续性与间断点

2. 导数与微分

2.1 导数的定义与性质

2.2 常见函数的导数

2.3 高阶导数与隐函数求导

二、微分中值定理与高阶导数应用

1. 中值定理

1.1 罗尔定理

1.2 拉格朗日中值定理

1.3 柯西中值定理

2. 泰勒公式与函数的局部性质 2.1 泰勒公式及余项

2.2 函数的单调性与极值

2.3 函数的凹凸性与拐点

3. 高阶导数的应用

3.1 曲率与曲线的切线与法线

3.2 凸函数与凹函数的判定

三、定积分与不定积分

1. 定积分的意义与性质

1.1 定积分的定义

1.2 定积分的性质与运算法则

1.3 可积条件与Newton-Leibniz公式

2. 不定积分

2.1 不定积分的定义与基本公式

2.2 基本不定积分的计算方法

2.3 图形与面积的应用

四、微分方程

1. 常微分方程基本概念

1.1 微分方程的定义与基本概念

1.2 一阶线性微分方程

1.3 可分离变量的微分方程

2. 常系数线性微分方程

2.1 齐次线性微分方程

2.2 非齐次线性微分方程

2.3 变量变换与常系数线性微分方程

3. 高阶线性微分方程

3.1 n阶齐次与非齐次线性微分方程

二元函数的极限

二元极限存在常用夹逼准则证明

例1 14)23(lim212yxyx

例2 函数01sin1sin),(，xyyxyxf .00xyxy，在原点（0,0）的极限是0.

二元极限不存在常取路径

例3 证明：函数）），（，，00)(()y(442yxyxyxxf在原点（0，0)不存在极限.

与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.

上述二元函数极限)(lim00yxfyyxx，是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于0x与0y.这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：

累次极限

定义 若当ax时（y看做常数），函数)(yxf，存在极限，设当by时，)(y也存在极限，设

Byxfyaxbyby)(limlim)(lim，，

则称B是函数)(yxf，在点)(baP，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即

Cyxfbyax)(limlim，.

那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：

1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.

2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.

多重极限与累次极限之间的关系

定理 若函数)(yxf，在点），000(yxP的二重极限与累次极限（首先0y，其次0x）都存在，则

)(limlim(lim0000yxfyxfyyxxyyxx，），.

二元函数的连续性

定理 若二元函数)(Pf与Pg在点0P连续，则函数)()(PgPf，)()(PgPf，)()(PgPf

（0)(0Pg）都在点0P连续

定理 若二元函数)(yxu，，)(yxv，在点)(000yxP，连续，并且二元函数)(vuf，在点)()()(000000yxyxvu，，，，，连续，则复合函数)()(0000yxyxf，，，， 在点)(000yxP，连续.

经济数学1(高等数学,极限与连续)

1 / 20 经济数学

前言

一、“高等数学”的学科定位

“高等数学”，是以极限论为工具研究变

量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。

研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。

以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。

1、高等数学初等数学，

2、高等数学又称为“微积分”，其主要内容是微分学和积分学两部分。而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。

3、同样是微积分，还有层次的高低问题。

4、经济数学1(高等数学,极限与连续)

2 / 20 在内容的系统上，其主线是运用极限论工具对函数的各特性进行讨论。这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。希望大家一定要正确对待这一难关。我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实质。

二、在学习中要注意的一些思想方法

人们往往对数学有一个看法，认为数学很难，这一看法辨证地说既对又不对。所谓难与不难是相对的，关键在认识方法上，若方法对路，相对较难的内容也能较容易地掌握。根据高数的特点，我们列举出以下几对矛盾，希望同学们在学习的全过程中，随时多想想，找到问题的症结，对症下药，对学习会有一定的帮助。

1、常量与变量的矛盾

2、内容和形式上的矛盾

3、感性和理性的矛盾

4、有限和无限的矛盾经济数学1(高等数学,极限与连续)

3 / 20 5、局部和整体的矛盾

大一下册高数复习知识点

大一下册高等数学是大一学生在学习数学方面的重要课程之一。本文将为大家总结大一下册高数的复习知识点，供大家参考和学习。

一、极限与连续

1. 函数的极限

函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数的取值接近于一个常数的性质。其中包括左极限、右极限和无穷极限。

2. 连续与间断

函数在某一点上连续是指函数在该点的极限与函数在该点的值相等，否则函数在该点上间断。根据间断的性质，可以将间断分为可去间断、跳跃间断和无穷间断。

3. 介值定理与零点存在定理

介值定理表明，若函数在区间[a, b]上连续，则函数在该区间上可以取到任意两个介于f(a)和f(b)之间的值。

零点存在定理指出，若函数在区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，则在该区间上至少存在一个零点。

二、导数与微分

1. 导数的定义

导数表示函数在某一点上的变化率，可以用极限的概念进行定义。对于函数f(x)，在点x处的导数定义为f'(x) = lim（△x→0）[f(x+△x) - f(x)]/△x。

2. 基本导数公式

常见的基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等，应熟练掌握它们的导数表达式和求导法则。

3. 导数的几何意义

导数可以表示函数在某一点处的切线斜率，通过导数可以分析函数的单调性、极值和拐点等性质。

三、积分与不定积分

1. 定积分的概念

定积分表示函数在一个闭区间上的面积值，可以看作是函数在该区间上的累积效应。

2. 不定积分的概念

不定积分表示函数在某一点的原函数，也可称为反导函数。

3. 基本积分公式

常见的基本积分公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等的积分表达式和求积法则。

四、微分方程

1. 微分方程的定义

微分方程是含有未知函数及其导数的方程，描述了函数与其导数之间的关系。

2. 常微分方程的解法

常微分方程包括一阶和二阶微分方程，可以使用分离变量法、齐次方程法、二阶线性常系数齐次方程法等方法求解。