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常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。
方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 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拉普拉斯变换在常微分方程中的应用常微分方程是数学中的重要分支，用于描述物理、工程、经济等领域中的变化关系。
而拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化问题的求解过程。
本文将探讨拉普拉斯变换在常微分方程中的应用，展示它在解决实际问题中的重要性。
一、拉普拉斯变换的定义与性质在介绍拉普拉斯变换在常微分方程中的应用之前，我们先来回顾一下拉普拉斯变换的定义及其基本性质。
拉普拉斯变换是一种将函数从时域转换为频域的方法。
对于函数f(t)，它的拉普拉斯变换记作F(s)，定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, +∞] e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，t为实变量。
拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、平移性、微分性和积分性等，这些性质为我们在求解常微分方程时提供了便利。
二、拉普拉斯变换在常微分方程求解中的应用1. 初值问题的求解拉普拉斯变换常常用于求解常微分方程的初值问题。
对于一个满足初始条件的常微分方程，我们可以通过拉普拉斯变换将其转化为一个代数方程，再通过代数运算求解得到结果。
例如，考虑二阶线性常微分方程 y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 0，初始条件为y(0) = 1，y'(0) = 0。
对其进行拉普拉斯变换，得到s^2Y(s) - s + 2sY(s) - 1 + Y(s) = 0整理得到Y(s) = 1 / (s^2 + 2s + 1)通过部分分式分解，我们可以将 Y(s) 分解为两个简单分式的和，然后查找分解后的形式在拉普拉斯变换表中对应的反变换，得到原方程的解 y(t)。
2. 非齐次线性常微分方程的求解拉普拉斯变换还可以用于求解非齐次线性常微分方程。
对于非齐次线性常微分方程 y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = f(t)，我们可以通过拉普拉斯变换将其转化为一个代数方程，并利用拉普拉斯变换表中的性质求解。
数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文常微分方程中变量变换方法的探讨The Study on Method ofVariable-transformed in OrdinaryDifferential Equations姓名：学号：学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：龙薇（讲师）完成时间：2008年4月20日常微分方程中变量变换方法的探讨张三【摘要】在这篇文章中，我们主要讨论用变量变换方法来求解常微分方程。
文章分为三部分。
首先，我们介绍了常微分方程的基本概念和变量变换方法在方程中的地位与作用。
在第二部分里，我们讨论了一阶常微分方程中几种能够用变量变换方法求解的类型。
例如，变量分离方程、一阶线性微分方程、一阶隐方程等等。
最后，我们探讨的是几类能够用变量变换方法求解的高阶常微分方程。
在这一部分里，我们先是讨论了非齐次线性方程和欧拉方程这两种二阶方程。
然后再研究了几种可降阶的高阶微分方程。
贯穿全文方法的就是变量变换。
【关键词】一阶常微分方程高阶常微分方程变量变换方法The Study on Method of Variable-transformed in OrdinaryDifferential EquationsZhang San【Abstract】In this paper, we mainly discuss solving ordinary differential equations by method of variable-transformed. This article is divided into three sections. In the first section, we introduce the basic concept of ordinary differential equations, and the status and role of method of variable-transformed in equations. Then, in section 2, we discuss about several types of first order ordinary differential equations, which can be solved with method of variable-transformed. For example, there are variable- separated equation, first order linear differential equation, first order implicit differential equation and so on. At last, what we study are some classes of higher order ordinary differential equations which can be solved with method of variable- transformed. In this section, we firstly introduce two second order ordinary equations, non-homogeneous linear equation and Euler's equation. Then we study some types of higher order equations which can be reduced. Throughout this paper, the method of variable-transformed is used.【Key words】first order ordinary differential equations higher order ordinary differential equations method of variable-transformed目录1 引言 (1)2 基本概念 (1)2.1微分方程 (1)2.2常微分方程 (1)2.3 阶数 (2)2.4 线性和非线性 (2)2.5 通解和特解 (2)2.6 变量变换法 (2)3 一阶常微分方程中变量变换方法的探讨 (3)3.1 可化为变量分离方程的类型 (3)3.1.1基本类型 (3)3.1.2其它类型 (5)3.2 一阶线性方程 (7)3.2.1非齐次线性方程和伯努利(Bernoulli)方程 (7)3.2.2黎卡提(Riccati)方程 (8)3.3 一阶隐方程 (10)4 高阶常微分方程中变量变换方法的探讨 (12)4.1两种二阶方程 (12)4.2非齐次线性方程和欧拉方程 (14)4.3 几种可降阶的高阶方程 (15)5 小结 (18)参考文献 (19)致谢 (19)1 引言本文主要讲述的是常微分方程中变量变换方法的探讨．微分方程的求解方法各式各样，一般是根据它的类型来选择求解方法．基于变量变换法是一种非常普遍的技巧，而且在很多类型的方程上都有它的运用，这里就重点探讨它的运用．微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．它可以解决很多问题，但得依赖于先把实际问题转化为微分方程，然后再对方程求解．由于方程类型比较繁杂，所以求解方法比较多，致使不便很好掌握．通过各方面地学习与总结，发现变量变换法在求解方程上运用得比较频繁，可以说是一种比较常用的技巧．而且它的过程清晰明了，简单易懂．因此对变量变换方法有必要进行探讨，但由于多方面的原因，本文肯定还有很多欠考虑或者不完善之处，请大家多多谅解，并给出修改意见，本人一定会多方吸取，同时本人也会多参考其它资料，并仔细斟酌，以使文章尽量减少疏漏之处．本文主要采用的是探讨式的研究方法，也即给出一个问题，然后探究式地用变量变换方法去解决它．通过对不同方程都采用变量变换方法来探讨，希望大家能找到运用该方法的技巧，以便日后能更广泛、更灵活地运用于其它方程上．本文内容主要分为三块：一是有关该文的一些预备知识，主要是一些常微分方程的概念；后两块就是关于求解常微分方程中一阶和高阶类型里变量变换方法的探讨．后面两块是本文的重点内容，在文章中作了比较详细的分析，全文的引线就是变量变换方法．2 基本概念2.1 微分方程数学分析中所研究的函数是反映客观世界运动过程中量与量的一种关系．但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式，数学上称之为微分方程，当然其中未知数的导数或微分是不可缺少的．2.2常微分方程我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式．如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程．本文所介绍的主要是常微分方程，有时就简称微分方程或方程．方程 22()d y dy b cy f t dt dt++= (2.1) 2()0dy dy t y dt dt++= (2.2) 就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量．2.3 阶数微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数．例如，方程(2.1)是二阶常微分方程．一般的n 阶常微分方程具有形式 (,,,,)0n n dy d y F x y dxdx =， (2.3) 这里(,,,,)n n dy d y F x y dx dx 是,,,,n n dy d y x y dx dx 的已知函数，而且一定含有n n d y dx ；y 是未知函数，x 是自变量．2.4 线性和非线性如果方程(2.3)的左端为y 及,,n n dy d y dx dx 的一次有理整式，则称(2.3)为n 阶线性方程．例如，方程(2.1)是二阶线性微分方程．一般n 阶线性微分方程具有形式1111()()()()n n n n n n d y d y dy a x a x a x y f x dx dx dx---++++= (2.4) 这里1()()n a x a x ，，，()f x 是x 的已知函数．不是线性方程的方程称为非线性方程．例如，方程22sin 0d g dt lϕϕ+= 是二阶线性方程，而(2.2)是一阶非线性方程．2.5 通解和特解如果函数()y x ϕ=代入方程（2.3）后，能使它变为恒等式，则称函数()y x ϕ=为方程(2.3)的解．我们把含有n 个独立的任意常数12,,,n c c c 的解12(,,,,)n y x c c c ϕ=称为n阶方程(2.3)的通解．如果方程(2.3)的解()y x ϕ=不包含任意常数，则称它为特解．2.6 变量变换法微分方程的问题终归要转到求解上来，那么有什么求解方法呢？我们知道微分方程有很多种形式，但最简单的一种就是变量分离方程，它可以用初等积分法求解．而碰到其它类型，我们最常用的技巧就是用变量变换来改变方程的形状，让它转化为我们能求解的类型，这种方法称为变量变换法．本文着重介绍的就是常微分方程中该方法的探讨．3 一阶常微分方程中变量变换方法的探讨本章将介绍一些能用变量变换方法求解的一阶微分类型. 我们知道变量分离方程可以直接将变量分离然后积分求解，但一阶常微分方程中不可能都是此类型．因此，我们要根据实际情况将方程变形再求解．3.1 可化为变量分离方程的类型形如 ()()dy f x y dxϕ= (3.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数．在很多书上都有介绍这类方程可以直接将变量分离然后用初等积分法就可求解．变量分离方程是最基本的方程，而有些微分方程，表面上看并不是变量分离方程，但经过一两次适当变量变换就可化为变量分离方程．下面将介绍这类方程．3.1.1 基本类型 我们这里说的基本类型是指与齐次方程有关的．齐次方程是形如()dy y g dx x= (3.2) 的方程，这里()g u 是u 的连续函数．若作变换y u x=，方程(3.2)就化为一个变量分离方程 1(()))du g u u dx x=-，直接将变量分离便可用初等积分法求解． 接下来看看可化为齐次方程的类型．一、基本形式：111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ . (3.3) 二、更为一般的形式： 111222()a x b y c dy f dx a x b y c ++=++ , (3.4) ()dy f ax by c dx=++ . (3.5) 通过观察，发现方程(3.3)和方程(3.5)是(3.4)的特殊形式，所以我们只要以方程(3.4)为例来研究就行．1。
毕业设计（论文）题目：拉普拉斯变换的应用院（系）数学科学学院专业信息与计算科学届别学号姓名指导老师摘要拉普拉斯变换是重要的定理.本文首先叙述拉普拉斯变换的相关定理及其推广，然后通过了举例子的方法来列举了拉普拉斯变换在广义积分、微分方程求解中应用, 以及拉普拉斯变换的延迟性质的应用关键词：拉普拉斯变换; 拉普拉斯变换应用；拉普拉斯变换的推广.ABSTRACTThe theorem of Laplace transform is important.This paper described the related theorem and its extension of the Laplace transformation, then an example through the way of enumerating the Laplace transformation applied in the generalized integral, differential equation, and delay the nature of the application of Laplace transformKeywords:Laplace transform; Laplace transform application; A generalization of Laplace transform.目录第一章拉普拉斯变换的概念及存在定理 (4)引言 (4)1.拉普拉斯变换的定义 (4)2.拉普拉斯变换的存在定理 (4)3.拉普拉斯变换的基本性质 (6)第二章拉普拉斯变换的推广及其逆变换 (7)1.拉普拉斯变换的推广 (7)2.拉普拉斯逆变换 (7)第三章拉普拉斯变换的应用 (9)1.利用拉普拉斯变换解微分方程（组） (9)2.用拉普拉斯变换解积分方程 (12)第四章利用拉普拉斯变换求解广义积分 (13)1.主要方法及证明 (13)2.计算⎰∞0)(dtttf型积分 (15)3.计算⎰∞>)0(),(tdxxtf型积分 (16)第五章延迟性质在拉普拉斯变换中的应用 (18)结语 (20)参考文献 (21)后记 (22)第一章 拉普拉斯变换的概念及存在定理引 言复变函数论产生于18世纪，它是数论、代数、方程等理论研究中的重要方法之一，以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.在数学中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,常常采取一种变换手法,如数量乘积或商通过对数变换变成和或者差然后再作指数变换即得原来数量的乘积和商.所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换,一般是化为含参数的积分.积分变换理论和方法不仅在数学许多分支中,而且在其他自然科学和各种工程技术领域中有广泛应用,已经成为不可缺少的运算工具 ,本论文主要总结归纳了拉普拉斯的变换几个重要方面的应用.通过本论文，不仅能使你对拉普拉斯的变换有更加深入的了解，而且能掌握其运用，增强自身的实际运用能力，使得自己对于拉普拉斯的变换有了真正意义上的掌握，而不是仅仅是停留在课本上的认识.1.拉普拉斯变换的定义：设函数ƒ(t)在[0，∞]上有定义，如果对于复参变量jw s +=β,积分dt e t f s F st -+∞⎰=0)()(在复平面s 的某一个区域内收敛，则称)(s F 为函数)(t f 的拉普拉斯变换，记为)]([￡)(s f s F =;对应地，称函数)(s f 为)(s F 的拉普拉斯逆变换，记为)]([￡)(-1s F t f =.同时，)(s F 和)(s f 分别被称为像函数和原函数.2.拉普拉斯变换的存在定理：若函数)(t f ）满足下列条件：(1)在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续；(2)当∞→t 时，)(t f 具有有限的增长性，即存在常数0>M 及0≥c ，使得 ct Me t f ≤)( )0(∞<≤x （1） 成立（其中c 称为)(t f 的增长指数，或者称)(t f 的增长是不超过指数级的）.则)(t f 的拉普拉斯变换F(s)在半平面c s >)Re(上一定存在，拉普拉斯积分在c c >≥1Re 上绝对收敛而且一致收敛，并且)(s F 在c s >)Re(的半平面内解析.证 设jw s +=β,则t st e e β--=，由不等式（1），可得dt e M dt e t f s F t c st ⎰⎰+∞--+∞-≤=0)(0)()(β 又由c s >=β)Re(，即0>-c β，可知上式右端积分收敛，因此)(s F 在半平面c s >)Re(上存在.注1 上述拉普拉斯变换存在定理证明表明，一个函数即使它的绝对值随着t 的增大而增大，但只要不比某个指数函数增长得快，则它的拉普拉斯变换就存在，这一点可以从拉普拉斯的变换与傅里叶变换的关系中得到一种直观的解释.大多数物理和工程技术中常见的函数都满足存在定理的条件，因而拉普拉斯变换的应用范围较傅里叶更广泛.注2 存在定理中的条件是充分而非必要条件.例如，对于函数m t t f =)(来说，当1->m 时，拉普拉斯变换是存在的；但当21=m 时，t t f 1)(=却不满足存在定理中的条件(1)，因为这时)(t f 在0=t 时为无穷大，不满足在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续的要求.同理，单位脉冲函数)(t δ也不满足定理中的条件，但)(t δ的拉普拉斯变换是存在的.注3 当满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数)(t f 在0=t 处有界时，积分dt e t f t f st ⎰+∞-=0)()]([ψ中的下限取+0或者-0不会影响其结果。
华北水利水电学院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课程名称：高等数学（2）专业班级：成员组成：联系方式：2012年05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。
求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性英文题目：The solution of ordinary differential equations and its application（Common solution and examples）Abstract:Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.Key words:Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear1、 引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。
目录前言 ...........................................................1拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 .......................................................1.2拉普拉斯变换的性质 .......................................................2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤.........................3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用.........................3.1初值问题与边值问题 .......................................................3.2常系数与变系数常微分方程................................................3.3含函数的常微分方程 .....................................................3.4常微分方程组 ..............................................................3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用........................3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推行...............................4拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用.........................4.1齐次与非齐次偏微分方程 ..................................................4.2有界与无界问题 ............................................................5综合比较，概括总结 ...........................................结束语 .........................................................参照文件 .......................................................英文纲要 (21)道谢 ...........................................................拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系 0801 班学生岳艳林指导老师韩新华摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有特别重要的作用，本文第一介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；而后要点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推行）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、概括总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及限制性。
毕业论文题目：拉普拉斯变换在常微分方程中的应用姓名：古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜专业：数学与应用数学班级：2004-5班院（系）：数理信息学院指导教师：肖开提.卡德尔新疆师范大学拉普拉斯变换在常微分方程中的应用新疆师范大学数理信息学院数学04-5班作者姓名：古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜指导教师：肖开提.卡德尔2009年5月14日古丽吉米来木.阿布迪尼亚孜新疆师范大学数理信息学院数学04-5班摘要：本论文首先讨论了拉普拉斯变换的概念，详细地阐述了拉普拉斯变换的基本性质，利用拉普拉斯变换的基本性质，导出常系数线性微分方程初值问题的求解方法，并解决有关的实际问题。
关键词：拉普拉斯变换;拉普拉斯变换性质; 拉普拉斯逆变换1、拉普拉斯变换的定义定义1设函数)(x f 在区间[)+∞,0上有定义，如果含参变量S 的无穷积分dt t f est⎰+∞-0)(对S 的某一取值范围是收敛的.则称=)(s F dt t f est⎰+∞-0)( ()1为函数的拉普拉斯变换，)(t f 称为原函数，)(s F 称为象函数，并记为=)]([t f L )(s F .我们引进拉普拉斯变换的目的，主要在于直接计算初值问题的解。
从定义出发，直接可算出一些特殊函数的拉普拉斯变换.例如=]1[L dt e st⎰+∞-0=s 1， =][t L dt t e st⎰+∞-0=21s， =][2te L dt e e t st ⎰+∞-02=21-s ， =][sin t L ωdt t est⎰+∞-0sin ω=s1-stde t -+∞⎰0sin ω=22ωω+s .定理 1 如果函数)(t f 满足以下两个条件： （1）)(t f 在[)+∞,0内逐段连续 （2）存在数 0,0>≥M α,使得t Me t f α<)( ，则对于 α>s ， 拉普拉斯变换=)(s F dt t f e st ⎰+∞-0)( 是存在的.证:当α>s 时，有αα-=<≤⎰⎰⎰+∞--+∞-+∞-s Mdt e M dt t f e dt t f e s st st 0)(0)()( . 2、拉普拉斯变换的基本性质和证明为了利用拉普拉斯变换求解初值问题，我们还要证明以下几个性质. 定理2 （线性性质）设函数满足定理1的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有)]([)]([)]()([t g L t f L t g t f L βαβα+=+其中 α 和β 是常数.证明：=+)]()([t g t f L βαdt t g t f e st )]()([0βα+⎰+∞-=+⎰+∞-dt t f e st 0)(αdt t g est⎰+∞-0)(β=αdt t f est⎰+∞-0)(+βdt t g est⎰+∞-0)()]([)]([t g L t f L βα+=.例1 求 ][sin 2t L ϖ. 解：由于t t ϖϖ2cos 2121sin 2-= ；故有][sin 2t L ϖ=)]2cos 1(21[t L ϖ-根据定理2，有)]2cos 1(21[t L ϖ-])2[cos ]1[(21t L L ϖ-= =]1[L s 1，224]2[cos ωϖ+=s st L ， 从而][sin 2t L ϖ=)4(22122ω+-s s s )4(2222ωω+=s s . 定理 3 （原函数的微分性质）如果)(,),(),()(t f t f t f n '''均满足定理1的条件，则)0()]([)]([f t f sL t f L -='或更一般地有)0()0()0()]([)]([)1(21)(-----'--=n n n n n f f s f s t f L s t f L用数学归纳法证明.当1=n 时有)]([t f L '=='⎰+∞-dt t f est)()(0t df e st⎰+∞-+=+∞-0)(t f estdt t f e s st ⎰+∞-0)(=)0()]([f t f sL -.设k n =时,有)0()0()0()]([)]([)1(21)(-----'--=k k k k k f f s f s t f L s t f L .当1+=k n 时，有)0()]([]))([()]([)()()()1(k k k k ft f sL t f L t fL -='=+=)0()]0()0()]([[)()1(1k k k k f f f s t f L s s ------)0()0()]([)(1k k k ff s t Lf s ---=+ .例2 证明 22][cos ωω+=s st L (0>s ).证明：由于t t f ωcos )(=，故有t t f ωωsin )(-=' ,t t f ωωcos )(2-='',0)0(='f ,2)0(ω-=''f ,取 2=n ，得到)0()0()]([)]([2f sf t f L s t f L '--=''s t f L s -=)]([2，因此]cos [2t L ωω-s t L s -=][cos 2ω故有22][cos ωω+=s st L (0>s ). 定理4（象函数的微分性质） 如果=)]([t f L )(s F ， 则=')(s F )]([)(0t tf L dt t f te st -=-⎰+∞-.或更一般地，有=)()(s Fn )]([)1()()1(0t f t L dt t f e t n n st n n-=-⎰+∞-. 证明：用数学归纳法证明. 当1=n 时，=')(s F dt t f e s dt t f e ds dstst ))(()(0-+∞+∞-⎰⎰∂∂= =)]([)(0t tf L dt t f te st -=-⎰+∞-.当k n = 时，对一切正整数n ，等式都成立，即=)()(s F k )]([)1()()1(0t f t L dt t f e t k k st k k -=-⎰+∞-.当1+=k n 时，有=+)()1(s Fn dt t f e t s dt t f t e ds d st k k st k ))(()1()()1(00-+∞+∞-⎰⎰∂∂-=-=)1()1(--k)]([)1()(1101t f t L dt t f e t k k st k +++∞-+-=⎰.例3 求函数t k e t t f λ=)(的拉普拉斯变换. 解：根据定理4，有1)(!)1()1(][+-=--=k n n kt ks k s ds d e t L λλλ,)(λ>s . 定理5 如果 =)]([t f L )(s F ，则)()]([αα-=s F t f e L t .证明：根据定义，有=)]([t f e L tα==⎰⎰---+∞dt t f e dt t f e e ts st t )()()(0αα)(α-s F . 例4 证明 22)(]sin [ωλωωλ++=-s t e L t .证明：由定理5，有)(]sin [λωλ+=-s F t e L t ，利用定理4，有22][sin )(ωωω+==s t L s F ，于是22)(]sin [ωλωωλ++=-s t e L t .类似的，有22)(]cos [ωλλωλ+++=-s s t e L t . 为了使用方便起见，现将在求解常系数线性微分方程的初值问题时，经常碰到的拉普拉斯变换列成下表[]1.3、拉普拉斯变换在常微分方程的应用首先介绍拉普拉斯逆变换，然后用拉普拉斯变换将常微分方程化为代数方程，求代数方程的解，最后通过拉普拉斯逆变换求解常系数线性微分方程的解。
引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。
求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。
然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。
实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。
所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。
本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。
从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。
在自然科学和经济的许多领域中。
常常会遇到一阶常微分方程的初值问题b x a y x y y x f dx dy ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==.)(),,(00 这里),(y x f 是充分光滑，即关于x 或y 满足李普希茨条件的二元函数，0y 是给定的初始值，00)(y x y =称为初始条件。
【标题】变换法在求解常微分方程中的应用【作者】陈黎丽【关键词】变换法微分方程变量代换法通解【指导老师】刘春花【专业】数学教育【正文】1引言近期以来,一些数学工作者探讨了许多变量变换在求解常微分方程问题上的应用，并取得了许多重要的进展，使复杂的方程也能通过变换变成简单，容易计算的方程.但我们知道，数学题的解法是千变万化、错综复杂，数学题是灵活多变的，根本没有统一的解法，要研究其解法是永远也研究不完的.微分方程是十七世纪与微积分同时产生的，微分方程理论是从实践中产生的，同时，它又是微积分解决实际问题的桥梁.随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性, 因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.自18世纪初以来，很多学者对微分方程的解法做了许多研究,并且已有了许多研究成果.例如：文献[1]以及文献[2]都是对一阶常微分方程初等解法的研究,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.这两个文献就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分方程进行了归纳总.伯努利(Bernoulli)方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义和广泛的应用价值.伯努利方程解法也比较多，传统的解决办法是通过适当的变量代换后将它化为一阶非齐次线性微分方程,采用常数变易法求得对应线性方程的通解，过程比较繁琐,也容易出现计算错误，因此文献[5]对这样的缺陷作了进一步的改进，提出了求解伯努利(Bernoulli)方程的一种新方法，通过运用部分凑微分法给出求方程通解的一种直接解法,简化了运算步骤.文献[6]中对于二阶常系数线性齐次方程的解法( 和)，本文献介绍了一种简单的解法,是通过变量替换将方程转化为更为简单的二阶常系数齐次线性方程,再对新方程进行( 和)的分类讨论.文献[7]中讨论了高阶线性常微分方程的构成，总结了运用拉普拉斯变换法对几种常见的问题进行解答，极大地简化了计算.文献[8]构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法:分离变量法.在所给条件下,将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程,并指出这种转化所作的函数变换,从而得到了变系数二阶线性齐次微分方程的一些新的、实用的可积判据和可积类型,推广了前人的可积性结果,扩大了微分方程的求积范围.变换法是求解常微分方程最常用的，也是比较简单的方法，应用也比较广泛.这段时间通过查阅资料也了解到了变化法的优越性，同时也学到了很多知识，吸取前人的精华使我受益匪浅，因此，我就对求解微分方程的一些方法进行归纳、总结，进而学到更多的知识. 2、一阶微分方程2.1、齐次型方程2．1.1 齐次方程形如的方程称为齐次方程.可以通过引入变换(或)代入原方程,得：, 这是关于变量与的可分离变量的方程.分离变量,得: ,两端积分后解得,再以代替即得齐次方程的解.有些方程, 可以经过变量代换化为齐次方程, 然后再转化为变量分离方程.例如[1], 形如的方程, 可分三种情形讨论如下:(1)当时, 为齐次方程, 令, 即可转化为变量分离方程.(2)当,即二阶行列式时,令, 则原方程变为.再令,则有,代入上式,得,即转化成为变量分离方程.(3)当,即二阶行列式且不全为零时, 联立方程组，令其解为,因为, 不全为零.再进行坐标变换，原式成为：，这是关于, 的齐次方程, 从而可以利用分离变量的方法求解.例1 求解方程的通解.解：原方程可以变为：式2-1令，式2-2则，两边对求导：. 式2-3 将式2-2和式2-3代入式2-1得：.移项得：.分离变量，得：，即.两边积分，得：，将代入得.代入原方程进行检验得到它也是方程的解.因此原方程的通解为，.例2[2] 求解方程的通解.分析：经过观察本题不能将方程变形为的形式.为了使方程简化，不妨令，再进行分离变量.解：令，则，即.原方程就可以变形为：，即，分离变量，得：，两边积分，得：，即，代入，得原方程的通解：.例3 求解方程的通解.分析：本题与前面例题有所不同，是属于第三种情形，，首先联立方程组求解其交点，然后再进行坐标变换.解：联立方程组求解得交点坐标为：，令代入原方程有：, 式2-4 令，则,代入式2-4，分离变量得：，两边积分有：，则，式2-5 将代入方程式2-5得：，即，式2-6将,代入方程式2-6得：.即原方程的通解为：.定义形如的一阶微分方程称为齐次型方程.若通过变量变换,引入新的未知函数,即,则可求得方程的通解. 我们在本文中将齐次方程的求解过程加以推广,解决了齐次型方程的求解问题,从而得到了包括部分黎卡提方程和贝努利方程在内的一阶微分方程几种新的可积类型.定理1[3]若对任意都有,或时,令或.则方程:,(其中不全为零).可以变形为：.令，从而化简方程.定理2[4]若对任意,都有,或,令或.则方程:,(其中中至少有一个不为零).则方程可以其变形为:.令,从而化简方程.例4 求方程的通解.解所给方程为(3) 型, 此,由定理2知该方程为齐次型方程,且,则原方程化为: .令,代入并整理得：.解之,并将换成,得原方程的通解为:.例5[5] 求方程的通解.解此时.由定理可知该方程为齐次型方程,且，则原方程化为: .令,代入并整理得：,或.解之,并将u 换成,得原方程的通解为:.例6[6] 求方程的通解.解：此时.由定理知该方程为齐次型方程,且p = - 3,则原方程化为:.令,代入并整理得:.或.解之,并将u 换成,得原方程的通解为：.例7 求方程的通解.解此时,由定理知该方程为齐次型方程,且,则原方程化为：，令,代入并整理得:,或.解之,并将换成,得原方程的通解为:或.2.2 伯努利方程2.2.1 化为一阶线性微分方程求解定义形如的方程称为伯努利(Bernoulli)方程.伯努利方程是一种一阶非线性常微分方程, 传统的解决办法是通过适当的变量代换后将它化为一阶线性非齐次微分方程.即(1)方程两端同除以得：.令即可化为一阶线性微分方程：.(2)求对应齐次方程的通解：.(3)通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解.令式2-7两边对求导：，式2-8将（2）、（3）代入（1）得：，(4)最后经变量代换得原方程的通解..例8 求解方程的通解.分析：此方程就是伯努利微分方程，解：令，即.代入原方程得到:，这是线性微分方程，求得它的通解为:.代回原来的变量，得到，或者，这就是原方程的通解.此外，方程还有解.这一传统解法由于过于巧妙, 绝大部分人觉得此法来得比较突兀, 另外在具体计算过程中, 由于首先要化为一阶线性非齐次方程再变量代换才能得到伯努利方程的通解, 过程比较繁琐, 也容易出现计算错误,为了避免这一问题下面给出直接解法.现在给出利用部分凑微分法的直接解法, 此法的关键在于对方程中y的系数的讨论.[7]当时, 方程即为, 为变量可分离方程,易于求解.当时,若存在函数使得将方程(2)两端同乘以后左端成为某一函数的导数,则两端积分可得原方程(1)的通解:，将方程(1)两端同除以得:,若存在,使，从而有.其中，故有：，从而有.所以原方程的通积分为：, 其中为任意常数.例9[8] 求方程的通解.解:此方程为伯努利方程,且, .易得:,，故原方程的通解为：，即.3、高阶微分方程我们知道若高阶微分方程，的左端函数F是关于的n阶齐次方程，下面讨论三类特殊方程的求解.（1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含即方程呈形状.令，则方程即降为关于y的n-k阶方程.特别地，若二阶方程不显含，则用变换便把方程化为一阶方程.（2）不显含自变量的方程,令，以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可以降低一阶.,这就是关于的阶方程,从而降低了一阶.(3)齐次线性微分方程.齐次方程的求解问题归结于寻求方程的个线性无关的特解,我们知道方程的一个非零特解,则利用变换,可使方程降低一阶；或更一般地，若知道的线性无关的特解，则可通过一系列同类的变换，使方程降低阶.并且新得到的阶方程也是齐次线性的..例10[9] 求解方程的通解.解：令，，则原方程化为：，分离方程，得到：，两边积分，得：，故原方程的通解为：.例11[10] 求方程的通解.解：令：，则，原方程化为：，再令：，则，得：，解出：，.从而，，两边积分得：，即.4、二阶变系数微分方程4.1一类二阶变系数齐次方程我们知道,对于二阶常系数线性齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置，关于它的通解结构，有十分完美的结论，但求解变系数微分方程却没有一般的方法.二阶变系数齐次微分方程，式4-1求解其特解我们试着考虑常系数微分方程的求解，将常数变易为待定函数的方程，也就是我们学习过的常数变易法.而常系数微分方程的通解形式为: .这里要求解变系数微分方程，常系数微分方程与变系数微分方程结构类似,不同的是方程变系数微分方程是变系数, 常系数微分方程是常系数,而常系数是变系数的特例. 按照类比的方法,我们猜想方程变系数微分方程具有特解,看r 应该满足何种条件.将, , 代入方程式4-1,得:,因,所以必有, 式4-2式对方程有意义的一切x恒成立,这意味着此时对变系数)有较大的限制.对已知的,如果存在常数恒有式4-2成立,则方程式4-1必有特解.[11]下一步是找方程式4-1的与线性无关的是另一特解,这自然使我们想到常数变易法. 我们不妨令是方程式4-1的特解，且常数.则，，将代入方程式4-1，整理可得：，而，所以. 式4-3令，则，于是式4-3可以化为：，解得：则将代入得：...由于，而，则常数，故方程式4-1的两个特解与线性无关，从而方程式4-1此时的通解为.因此，我们可以得出下面的结论[12]：设二阶变系数齐次线性微分方程满足条件，则该方程的通解为：,解题时我们可以应用前面介绍的方法进行常数变易求其通解，当然我们也可以用得出的结论直接代入求其方程的通解.例12[13] 解方程：.分析：此题是二阶变系数微分方程，它属于我们前面介绍的这种形式，因此对其求解我们可以进行常数变易，也可以应用总结出来的公式直接代入，在此我们采用前者.解：这里，假设，即.因为为常数，所以，由此得到方程的一个特解，再设，（常数）为所求方程的另一特解，则，，将代入所求得方程得：，令，则，所以求得，所以，所以求得.，故其通解为：.例13[14] 解方程.分析：此题也是变系数微分方程，我们采用代入公式直接计算其通解.解：此题，假设，即，整理得到：，解方程组, 可得，由我们所得到的结论方程的通解公式为：,所以得到其通解为:=.评注：此两个例题都是属于二阶变系数微分方程，前者是应用变易常数的方法进行求解，其实质就是前面公式的推导过程，需要很强的逻辑思维.后者是直接应用推导的结果，直接代入公式，计算起来非常的简便，但是它也有缺点，就是要求记住公式，因此不同的人对其解题的方法也会有所不同，各选取自己认为简单的方法.4.2变量代换法在求解变系微分方程中的应用我知道变系数微分方程中的系数不同的形式，因此，下面就其一种进行说明本文要介绍的二阶变系数齐次线性微分方程：, 式4-4（其中，为实常数，在某区间上具有一阶连续导数，且），采用不同的变量代换，达到化繁为简的求解方程的效果.3.2.1 对方程式4-4作函数的指数变换,化式4-4为变量分离方程.求出代入方程式4-4整理，再分离变量、积分，求出，代入从而得到方程式4-4的通解.，（其中分别为待定常数与待定函数，它具有所需阶数的连续导数），化式4-4为一元二次代数方程.求出代入方程式4-4整理得到：, 式4-5若令，从而求得:，不妨取,代入式4-5得：.从中解出，连同一起代入，从而得到方程式4-4的通解.2.2.3 对方程式4-4作自变量变换，化式4-4为常系数线性微分方程.令，求出代入方程式4-4，得到，这是关于新自变量的常系数线性微分方程.解出其通解，再将代入上式得到式4-4的通解..2.2.4 方程式4-4作变量代换，化式4-4为黎卡提方程.求出，将，代入式4-4中，则有.这是黎卡提方程，显然可以通过分离变量求解，将其代入中，得到式4-4的通解为: . 在以上的四种变换代换中，都是采用了函数作变换，求解高阶的微分方程中，我们一般都是寻求简单的方法，将对方程进行降阶.我们仔细观察发现第一种与第四种变换都是为使所求的方程的阶数降低.对于第二种变换它是使方程变成了一元二次代数方程，让我们很容易想到学过的高阶常系数线性方程的特征根法.例14 解方程.分析：此题明显符合我们的二阶变系数齐次方程的类型，本题我将采用第四种与第一种方法进行求解，看看有什么不同之处，解法一采用第四种变换.解法二采用第一种变换.解法一：解.令, 则，将代入原方程整理得到：,通过分离变量得：,两边积分得到:，即，代入得到其通解为：.解法二：解，令,则，，将代入原方程，整理、分离变量得到：,两边同时积分，得到：.即代回,得到其通解：.评注:此题用了两种不同的变换方法，但是其实质都是对方程进行降阶.对同一道题方法是比较多的，由此可见，不同的变换法在同一道题都是使用.这时，就要根据自己掌握知识的程度进行选择解题方法.5.总结本文主要研究了变换法在求解常微分方程应用的问题，以常微分方程作为理论基础，从一阶微分方程、高阶微分方程以及二阶的变系数微分方程进行分类讨论、研究变换法在求解中的应用，常见的变量变换形式比较多，不能做到面面俱到，我只是从方程阶数进行分类研究．。
