解题基本技巧之因式分解

因式分解的基本技巧,即从低次项到高次项按顺序整理多项式摘要：1.引言2.什么是因式分解3.为什么需要因式分解4.基本技巧：从低次项到高次项按顺序整理多项式5.具体操作步骤6.实例演示7.总结与建议正文：【引言】在数学领域，因式分解是一项重要的技能，它有助于我们将复杂的问题简化，从而更容易理解和解决。

掌握好因式分解的方法，不仅能提高解题效率，还能培养我们的逻辑思维能力。

今天，我们就来学习一下因式分解的基本技巧。

【什么是因式分解】因式分解，指的是将一个多项式表达式分解为若干个单项式的乘积。

这个过程就像拆分一个复杂的拼图，将各个部分组合起来。

例如，将多项式x+2x+1分解，我们可以得到：(x+1)。

【为什么需要因式分解】因式分解有以下几个好处：1.简化问题：通过将复杂多项式分解为简单单项式的乘积，我们能更容易地理解多项式的结构和性质。

2.方便计算：在进行代数运算时，如求导、求根等，分解后的表达式可以简化计算过程。

3.优化问题：在某些优化问题中，如最值问题、恒成立问题等，因式分解有助于找到问题的解决思路。

【基本技巧：从低次项到高次项按顺序整理多项式】在进行因式分解时，我们需要遵循一个基本原则：从低次项到高次项按顺序整理多项式。

具体操作步骤如下：1.找出多项式的最高次项：确定多项式的次数，以便后续分解。

2.找出多项式的因子：观察多项式，找出可以提取的公因子。

3.从高次项开始分解：将高次项分解为两个或多个低次项的乘积，然后逐步向下分解。

4.整理同类项：在分解过程中，将同类项合并，使表达式更简洁。

5.检查分解是否彻底：检查分解后的表达式是否为最简形式，如有需要，继续分解。

【实例演示】以多项式x+2x+1为例，进行因式分解：1.找出最高次项：x2.找出因子：13.从高次项开始分解：x+2x+1 = (x+1)4.整理同类项：无需整理，分解已经彻底。

【总结与建议】掌握因式分解的基本技巧，能帮助我们更好地应对各种数学问题。

略施小计轻松分解一、整体着眼进行分解例1因式分解：(x2－1)2+6(1－x2)+9．分析：把(x2－1)看成一个整体，利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式分解．解：原式＝(x2－1)2－6(x2-1)+9＝[(x2－1)－3]2＝(x2－4)2＝[(x+2)(x－2)]2＝(x+2)2(x-2)2．二、符号变换后分解例2因式分解：3n(2m－n)2+(n－2m)3．分析：考虑(n－2m)3＝－(2m－n)3，则多项式的公因式是(2m－n)2．解：原式＝3n(2m－n)2－(2m－n)3＝(2m－n)2［3n－(2m－n)］＝(2m－n)2(4n－2m) ＝2(2n－m) (2m－n)2．三、整理后分解例3因式分解：x(x－1)－3x+4＝．分析：观察发现，多项式不能直接分解，需先去括号、合并同类项后，再利用完全平方公式因式分解．解：原式＝x2－x－3x+4＝x2－4x+4＝(x－2)2．四、指数变换后分解例4因式分解：(m+2n)m4－(m+2n)n4＝________．分析：提出公因式(m+2n)后，剩余因式为m4－n4，而(m2)2＝m4，(n2)2＝n4，故m4－n4可继续分解．解：原式＝(m+2n)(m4－n4)＝(m+2n) [(m2)2－(n2)2]＝(m+2n) (m2＋n2)(m2－n2)＝(m+2n) (m2＋n2)(m＋n)(m－n)．完全平方公式显身手一、平方求值例1 已知12x x+=，则代数式221x x +的值是 . 分析：根据已知条件，知12x x +=，两边平方，得22124x x++=，即可得出答案. 解：将12x x +=两边平方，得22124x x ++=，所以221422x x +=-=. 二、拆项求值例2 用乘法公式计算10052．分析：把1005拆成1000+5的形式，再根据完全平方公式计算.解：10052=（1000+5）2=1 000 000+2×1000×5+25=1 010 025.三、逆用求值例3 已知x=y+4，则代数式x 2-2xy+y 2-25的值为 .分析：由已知x=y+4可得x-y=4，而x 2-2xy+y 2=（x-y ）2，将x-y=4代入即可求出解：因为x=y+4，所以x-y=4，所以x 2-2xy+y 2-25=（x-y ）2-25=42-25=-9.四、变形求值例4 已知x+y=-5，xy=6，则x 2+y 2= .分析：完全平方公式的常见变形有：①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=（a-b ）2+2ab ；②ab=2221()()2a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦ =221()()4a b a b ⎡⎤+--⎣⎦；③（a+b ）2+（a-b ）2=2a 2+2b 2. 解：由两数和（差）的平方公式的变形①，得x 2+y 2=（x+y ）2-2xy=（-5）2-2×6=25-12=13.五、数形结合例5如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a 、b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为____分析：先求出16张卡片拼成一个正方形的总面积，然后再用完全平方公式确定正方形的边长.解：由题可知16张卡片总面积为a 2+6ab+9b 2，因为a 2+6ab+9b 2=（a+3b ）2，所以新正方形边长为a+3b ．因式分解生活“秀”一、超市中的因式分解例1 某种纯鲜牛奶的包装袋上注明所含的营养成分中，蛋白质为4%，脂肪为5%，碳水化合物为1%，请你计算一包223 ml （约230克）的牛奶中，蛋白质和脂肪的含量约为多少克？分析：牛奶的质量乘以蛋白质的百分含量+牛奶的质量乘以脂肪的百分含量=一包牛奶中蛋白质和脂肪的含量．解：2304%2305%230(4%5%)20.7⨯+⨯=⨯+=（克）．所以一包223 ml 的牛奶中，蛋白质和脂肪的含量约为20.7克．二、工厂里的因式分解例2 如图1，在一个边长为a 的正方形零件上挖去四个边长为b 的小正方形，请你计算当a 为18分米、b 为6分米时剩余部分的面积．分析：剩余部分的面积=大正方形的面积－4个小正方形的面积．解：剩余部分的面积为224(2)(2)a b a b a b -=+-．当18a =分米，6b =分米时，a 2-4b 2=(1812)(1812)306180+-=⨯=（平方分米）． 所以剩余部分的面积为180平方分米．三、绿化中的因式分解例3 某市在“为促进节能减排，倡导生态文明，建设和谐社会”的活动中，在人口居住密集的地区打算修建一块边长a 为61.5米的正方形绿地.为了便于游人通行，决定修两条宽度相同且互相垂直的小路，如图2所示，小路宽b 为1.5米.若每平方米的绿地造价为530元，那么该市需要投资多少元？分析：建造绿地的投资=每平方米的绿地造价⨯绿地的面积，绿地的面积=正方形的面积-小路的面积．解：绿地的面积为22222(2)2()a ab b a ab b a b --=-+=+．当61.5a =米， 1.5b =米时，绿地的面积为： 222(2)(61.5 1.5)3600a ab b --=-=（平方米）．所以建造绿地的投资为53036001908000⨯=（元）．所以该市需要投资1 908 000元．。

因式分解(超全方法)因式分解的常用方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。

一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)；3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。

下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。

练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形三、分组分解法一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)例4、分解因式：a-2ab+b-c=(a-b)(1-2b)-c练题：分解因式3、x-x-9y-3y^2 4、x-y-z-2yz综合练：1) x+xy-xy-y=(x-y)(1+x)2) ax-bx+bx-ax+a-b=2(a-b)3) x+6xy+9y-16a+8a-1=(x+3y-4a+1)^24) a-6ab+12b+9b-4a=-(2a-3b)^2四、十字相乘法。

初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。

下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。

1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。

例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。

2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。

建议在使用公式法前先提取公因式。

例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。

3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。

关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。

例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。

总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。

文章中有一些格式错误，需要修正。

另外，第四段中的一些内容似乎有问题，建议删除。

改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。

在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。

1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。

例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。

2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。

例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。

因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

数学常用解题方法与技巧1、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

2、分体式方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。

配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

3、结构法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。

运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

4、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

5、未定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的方法之一。

6、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

因式分解方法技巧因式分解是将一个多项式分解成一系列乘积的形式，是代数学中的基本技巧之一、它在代数表达式简化、求函数零点、解方程等方面都起着重要的作用。

因式分解的方法有很多种，下面就来详细介绍几种常见的因式分解方法和技巧。

一、提取公因式法提取公因式是因式分解的最基本方法之一，它适用于多项式中存在公共因子的情况。

具体操作是将多项式中的公共因子提取出来，并将剩下的部分继续进行因式分解。

例如，对于多项式3x^2+6x，我们可以提取出公因式为3x，得到3x(x+2)。

这个公因式提取出来以后，剩下的部分就变成了一个一次因式。

二、配方法配方法是一种很有用的因式分解方法，利用它可以将一个二次多项式分解为两个一次因式的乘积。

具体操作是通过改变一些项的符号，使得多项式可以写成两个因式的平方差的形式。

例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以通过配方法将它分解为(x+3)^2、这里通过将第二项的6x分解成2个3x，然后加上一个9使得两个3x与9的乘积可以组成一个平方，从而得到了(x+3)^2三、特殊因式公式特殊因式公式是指那些经常用到的因式分解公式，掌握这些公式可以极大地简化因式分解的过程。

以下是一些常见的特殊因式公式：1.二次平方差公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。

这个公式可以将一个二次差的形式分解为两个一次因式的乘积。

2. 二次立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

这个公式可以将一个立方差的形式分解为两个一次因式的乘积。

3.平方差公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。

这个公式可以将一个平方差的形式分解为两个一次因式的乘积。

4. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2、这个公式可以将一个完全平方的形式分解为一个一次因式的平方。

四、长除法长除法是将一个多项式除以另一个一次因式的一种方法，通过长除法可以得到多项式的因式分解。

具体操作是将除数的首项与被除数的首项相除，然后将得到的商乘以除数，再将得到的乘积与被除数进行相减，重复这个过程直到无法继续相减为止。

因式分解解题技巧1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-xx-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b解：a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)。

数学篇解题指南因式分解是指将一个多项式分解成两个或者多个整式乘积的形式.它不仅可用于代数式的化简、求值以及解方程和不等式等代数问题中，而且在判定三角形或四边形的形状等几何问题中也扮演着重要角色.所以，掌握因式分解的方法和技巧是很重要的.因式分解的常用方法有公式法、提公因式法、分组分解法等.除了这些方法以外，我们还应掌握一些特殊技巧，如拆（添）项法、换元法、主元法等.同学们应根据多项式的具体结构特征，灵活选用不同的方法和技巧.一、拆、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算，在进行多项式乘法运算时，通过对多项式的各项进行整理和化简，将几个同类项合并为一项，或者将两个仅符号相反的同类项相互抵消后，就会造成多项式的“缺项”.对这一类多项式进行因式分解时，就要先恢复那些被合并或者被抵消的项，即将多项式的某一个项拆成两项或者多项，或者在多项式当中添加两个仅符号相反的项.前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是在对多项式进行因式分解时，方便运用提公因式法或分组分解法.例1分解因式：x 3-3x 2+4.分析：这个多项式无法直接提取公因式，也不能运用公式法.由于多项式当中缺少一次项，所以可以灵活运用拆项法来解题.解法1：将常数4拆分为1和3.原式=(x 3+1)-(3x 2-3)=(x 3+1)-3(x 2-1)=(x +1)(x 2-x +1)-3(x +1)(x -1)=(x +1)[(x 2-x +1)-3(x -1)]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.解法2：将-3x 2拆分成-4x 2和x 2.原式=x 3+x 2-4x 2+4=x 2(x +1)-4(x 2-1)=x 2(x +1)-4(x +1)(x -1)=(x +1)[x 2-4(x -1)]=(x +1)(x -2)2.解法3：将x 3拆分成4x 3-3x 3.原式=4x 3-3x 3-3x 2+4=4x 3+4-3x 2(x +1)=4(x 3+1)-3x 2(x +1)=4(x +1)(x 2-x +1)-3x 2(x +1)=(x +1)[4(x 2-x +1)-3x 2]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.点评：从以上三种解法可以看出，使用拆项法进行因式分解，并没有严格规定要拆分哪一项，因此，同学们在做题的时候要仔细观察多项式中每一项的特点，通过灵活的变化来化繁为简，解答疑难问题.例2分解因式：a 4+a 2b 2+b 4.分析：观察式子的形式，和完全平方式的展开式看起来较为相似，所以在进行因式分解的时候可以进行联想，通过添项后利用平方差公式来完成因式分解.解：原式=a 4+a 2b 2+b 4+a 2b 2-a 2b 2=(a 4+2a 2b 2+b 4)-a 2b 2=(a 2+b 2)2-(ab )2=(a 2+b 2+ab )⋅(a 2+b 2-ab ).例3分解因式：bc (b +c )+ca (c -a )-ab (a +b ).分析：遇到这类题目时，要仔细分析各项的特点，并根据b +c =c -a +a +b 考虑添项.解：原式=bc (b +c +a -a )+ca (c -a )-ab (a +b )=bc [(c -a )+(a +b )]+ca (c -a )-ab (a +b )=bc (c -a )+bc (a +b )+ca (c -a )-ab (a +b )=c (c -a )(b +a )+b (a +b )(c -a )=(a +b )(c -a )(c +b ).点评：使用添项法分解因式时，关键是要根据多项式的特点进行恰当的添项，让添项后的多项式可以更好地用提取公因式法、公式法等其他常用方法来进行分解.因式分解的三个技巧江苏省靖江市滨江学校徐星19数学篇解题指南二、换元法对于比较复杂的多项式进行因式分解，可以考虑运用换元法，将其中某一部分看作一个整体，然后用一个新的辅助元来代替.将含有新元的多项式进行因式分解之后，再将新元所替换的部分代入因式分解后的多项式，就能得到原多项式因式分解的结果.换元法可减少因式的项数或降低因式的次数，使多项式简化.在具体运用换元法时，可根据情况进行部分换元、整体换元或平均换元等.例4分解因式：(x 2-3x )2-2(x 2-3x )-8.分析：这道题涉及多项式的平方，如果正常展开后分解，数据的计算量很大.在经过仔细观察之后，可以将x 2-3x 这一项看作一个整体，从而简化因式分解的过程.解法1：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a -4)(a +2).将a =x 2-3x 代入上式得：原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).解法2：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a 2-2a +1)-9=(a -1)2-9=(a -1+3)(a -1-3)=(a +2)(a -4).将a =x 2-3x 代入上式则原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).例5分解因式(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy )分析：在对二元因式进行分解时直接去括号非常复杂，所以可以考虑运用换元法，分别将x 和y 的和与积视为整体来进行换元.解：设x +y =m ，xy =n ，则原式=(n -1)2+(m -2)(m -2n )=(m 2-2mn +n 2)-(2m -2n )+1=(m -n )2-2(m -n )+1=(m -n -1)2点评：整体替换可以让复杂的题目变得简单.但当遇到复杂的多项式，无法用一个辅助元完成整体换元时，可根据题目中多项式具备多元性的特征，用两个辅助元分别代换原多项式中的代数式，使因式分解简单化.三、主元法对含有多个字母的代数式进行因式分解是比较复杂的一种题型.这时可以考虑运用主元法，即选择一个字母作为主元，将其他字母都看作常数，然后将整个多项式按照以主元为主的方式进行升幂或者降幂排列，最后再尝试因式分解.运用主元法解题的关键就是选择合适的主元，一般选择次数较低的字母为主元，将多项式变成熟悉的形式，这样就能让分解因式的过程变得简单.例6分解因式：x 3-ax -2ax +a 2-1.分析：式子中有两个字母，可以考虑运用主元法，其中字母a 的次数更低，所以可以选择字母a 作为主元来进行因式分解.解：原式=a 2-(x 2+2x )a +x 3-1=a 2-(x 2+2x )a +[(x 3-x 2)+(x 2-1)]=a 2-(x 2+2x )a +x 2(x -1)+(x -1)(x +1)=a 2-[(x -1)+(x 2+x +1)]a +(x -1)(x 2+x +1)=[a -(x -1)]·[a -(x 2+x +1)]=(x -a -1)(x 2+x -a +1).例7分解因式：2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6分析：当两个字母最高同为2次幂的时候，可以随便选择一个字母作为主元，得到的结果是一样的.解：设原式中的b 为主元，则原式=2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6=(2a 2-3a -1)b 2+5(2a 2-3a -1)b +6(2a 2-3a -1)=(2a 2-3a -1)(b 2+5b +6)=(b +2)(b +3)(2a 2-3a -1).点评：以上两道题如果不使用主元法，很难进行因式分解.在选择主元时，一般选择次数更低的作为主元，这样可以达到降幂的效数学篇数苑纵横在解答几何问题时，作辅助线可以构造新的图形，形成新的关系，使分散的条件集中，并建立起已知与未知的“桥梁”.平行四边形具有两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质.结合上述性质添加辅助线，就是在平行四边形中作出平行或垂直的线段，构成三角形的全等或相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、矩形等问题来解答.一、平移对角线，把平行四边形转化为梯形平移是一种只改变图形的位置而不改变图形大小及形状的变换.在平行四边形中求线段的长度或证明线段的不等关系时，首先考虑将要求的线段与三角形结合起来，运用三角形三边的不等关系来解答.若要求解或证明的线段与已知线段不在同一个三角形内，则可通过平移将线段集中到同一个三角形内.平移对角线可以构造一个以两对角线为边的三角形，建立待求线段与已知线段之间的关系，从而找到解题的突破口，使问题得以顺利解答.例1如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12，BD ＝10，AB =m ，那么m 的取值范围是（）.A.1＜m ＜11B.2＜m ＜22C.10＜m ＜12D.5＜m ＜6图1图2解析：要求AB 的取值范围，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中.过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于点E ，形成梯形ADCE ，如图2，然后由图易知，四边形CDBE 为平行四边形.在△ACE 中，AC =12，CE =BD =10，AE =2AB =2m ，说明：本题通过作辅助线，利用平行四边形的性质，将两条已知线段与未知线段集中到了一个三角形中.解题主要运用了三角形的三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．二、过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为直角三角形作垂线即过平行四边形一边的一个或两个端点向下底作高，将平行四边形分割成矩形和直角三角形.由于直角三角形的全等判定定理比较多，且可利用勾股定理得到边长间的数量关系，所以，作垂线段可为证明直角三角形全等创造条件，同时方便我们利用直角三角形相关性质定理解题.例2如图3，已知ABCD 为平行四边形，求证：2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2．图3图4证明：作AE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，如图4，则∠AEB ＝∠DFC ＝90°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCF ，在△ABE 和△DCF 中ìíîïï∠AEB =∠DFC ,∠ABE =∠DCF ,AB =DC ,∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE ＝DF ，BE ＝CF ．在Rt△ACE 和Rt△BDF 中，由勾股定理，得AC 2＝AE 2+EC 2＝AE 2+(BC -BE )2，BD 2＝DF 2+BF 2＝DF 2+(BC +CF )2=AE 2+(BC +BE )2，∴AC 2+BD 2＝2AE 2+2BC 2+2BE 2＝2(AE 2+22平行四边形中的辅助线的作法江西婺源兰萍数学篇数苑纵横∴AC 2+BD 2＝2(AB 2+BC 2)，∵ABCD 为平行四边形，且BC =AD ，即2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2.说明：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线将平行四边形转化为两个直角三角形，并证明两个三角形全等是解题的关键.三、延长顶点与对边上一点的连线，把平行四边形转化为相似三角形证明线段的等积式或求线段的比值，常常要根据题目条件和结论的特征，巧妙地构造相似三角形.平行四边形对角相等，对边平行，连接顶点与对边上一点的连线可以为我们创造内错角相等的条件，这样就有助于找到线段所涉及的两个三角形中相等的两对角，从而证明两个三角形相似，由此便可证明线段的等积式或求得线段的比值.例3如图5，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，BF 和DE 相交于点G ，且AB ＝kAD ，∠DAG ＝∠BAC ，求出DFBE的值（用含k 的式子表示）.图5图6解：延长AG 交DC 于M ，延长DE 交AB 的延长线于N ，如图6.设AD ＝a ，GM ＝b ，BE ＝x ，GA ＝mb ，则AB ＝ka ，CE ＝a -x ，∵∠DAG ＝∠BAC ，∠ADM ＝∠ABC ，∴△ADM ∽△ABC ，∴BC DM =AD AB =1k，即DM ＝a k ，∵DC ∥AB ，∴△FGD ∽△BGN ，△FGM ∽△BGA ，△DEC ∽△NEB ，∴FM ＝ka m，∴DF ＝a k -ka m =ma -k 2a km，∴BN ＝ma -k 2a k，∵△DEC ∽△NEB ，∴DC BN =CE BE ，即ka ma -k 2ak=a -x x ，解得，x ＝ma -k 2a m，∴DF BE =1k ．说明：求两条线段的比值就要考虑相似，因为相似三角形对应边的比相等，所以本题添加辅助线就将平行四边形中的两个线段转化到了两个相似三角形中.解题中巧妙添加辅助线，可以构造多个相等的角，这就为我们证明相似创造了条件.四、连接对角线交点与一边的中点，构造三角形中位线在涉及三角形及平行四边形的证明和计算题中，经常会用到中位线定理.若题目以线段相等或中点为条件，结合平行四边形的对角线互相平分，就可以尝试连接对角线交点与一边的中点，构造中位线.利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半来解题，使线段在位置上的平行关系和数量上的比例关系在推理论证中发挥作用.例4如图7，在平行四边形ABCD 中，AN =BN ，BE =13BC ，NE 交BD 于F ，求BF∶BD .图7解：连接AC 交BD 于点O ，连接ON ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OA =OC ，OB =OD =12BD ，因为AN =BN ，所以ON ∥BC 且ON =12BC ，所以BE ON =BF FO ,因为BE =13BC ，所以BF FO =23，所以BF BO =25，所以BF :BD =1:5.说明：平行四边形的性质比较多，其边、角、对角线等都存在一定的数量关系或位置关系.如果条件中给出的中点不止一个，解题时应有意识地寻找是否存在中位线；若条件中只有一个中点，可以利用对角线互相平分得到中点进而造中位线解题.22。

因式分解技巧这里介绍了10种因式分解的技巧，若将这些技巧全部掌握，在解决因式分解问题上必然有质的提升。

首先提取公因式，然后考虑用公式。

十字添拆要合适，待定主元要试试。

几种方法反复试，最后必是连乘式。

一、提取公因式法多项式中所有的项都含有的因式称为它们的公因式。

例1：分解因式12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2解：仔细观察，其中3abcx2y2 是它们的公因式所以原式=3abcx2y2(4acy-3bx+1)技巧：先提取每一项的系数的公因数，再逐个将每个字母的最低次提取出来。

注意其中符号的变化以及不能遗漏其中的“1”。

例2：分解因式3x2y(a+b)(b+c)+3xy2(a+b)(b+c)若在求解过程中将(a+b)(b+c)展开，则在后面的分解过程中会有很大的麻烦，应该观察到每一项都含有(a+b)(b+c)，将其看成一个整体，不做变化。

解：含有公因式3xy(a+b)(b+c)所以原式=3xy(a+b)(b+c)(x+y)技巧：在分解过程中，利用好整体思想。

二、公式法利用常见的公式进行因式分解。

常用公式a2-b2=(a+b)(a-b)a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=(a+b)2a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2补充公式当n为正奇数时有a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-……-ab n-2+b n-1)当n为正整数时，有a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+……+ab n-2+b n-1)例3：分解因式16(m+x)2-9(n+y)2解：16(m+x)2=(4m+4x)29(n+y)2=(3n+3y)2原式=(4m+4x)2-(3n+3y)2=(4m+3n+4x+3y)(4m-3n+4x-3y)技巧：应该先观察，若先进行展开，将会非常麻烦。