初中几何证明的所有公理和定理

证明（一）1、本套教材选用如下命题作为公理：（1）、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

（2）、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

（3）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（4）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（5）、三边对应相等的两个三角形全等。

（6）、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。

2、平行线的判定定理公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：同位角相等，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成：内错角相等，两直线平行。

3、平行线的性质定理公理两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

定理两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。

5、三角形内角和定理的推论三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

① AC(BP+DP)=AD ・ BC+AB ・ DC ・ 即 AC ・ BD=AB ・ CD+AD ・ BC.2.托勒密定理的逆定理若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这 个凸四边形內接于一圆。

己知：在凸四边形ABCD 中，AB • CD+AD • BC 二 BD • AC 。

求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。

证明：分别以E 、A 为顶点，在 四边形ABCD初屮见何甩个著名炙龌及证明 识玻堵泗阳展療口屮曇蒐疋屮 一.托勒密定理 1.托勒密定理 圆內接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。

己知：圆內接四边形AECD,求证：AC ・BD 二AB • CD+AD ・BC 。

证明：如图所示，过C 作CP 交BD 于P, 使Z1=Z2,又Z3=Z4, AACD^ABCP. 冴 BP BC EP • AC 二 AD • BC 又 ZACB=ZDCP, Z5= Z6,,即 •：A ACB S A DCP . 得需=舘，即DP ・AC =AB ・DC内，作ZABF= ZDBC> ZBAF=ZBDC,—=—=> AB CD^BD-AF则厶ABF^ADBC 〜Ar CDAH _Bn亦—斎又•，• ZABD = Z ABF +ZEBF= ZEBF + ZDBC = ZFBC•'•△ABD S A FB C =x> —=—=>JD-/R-=Hzrc/--HC CF•••AB ・ CD+AD ・ BC=BD* （AF+CF）又VAB・CD+AD ・BC=BD・AC （己知〉,•••AC=AF + CF；「.A、F、C三点共线；ZBAC=ZBAF = ZBDC；：4、B、C、D 四点共圆。

3.托勒密不等式在任意凸四边形中，两组对边乘积的和不小于其两条对角线的乘积。

〈托勒密定理可视作托勒密不等式的特殊情况。

）即在任意凸四边形ABCD中，必有AC ・BDWAB • CD+AD * BC,当且仅当A、B、C、D四点共圆（托勒密定理）或共线（欧扌立几何定理）时取等号。

七年级常用几何证明的定理1、对顶角相等∵∵1与∵2互为对顶角∵∵1＝∵22、垂直的定义∵∵AOB＝90°∵AB∵CD∵AB∵CD∵∵AOB＝90°3、平行公理平行于同一直线的两直线平行。

∵AB∥EF，CD∥EF∴AB∥CD4、同位角相等，两直线平行∵∠1＝∠2∴AB∥CD5、内错角相等，两直线平行∵∠1＝∠2∴AB∥CD6、同旁内角互补，两直线平行∵∠1+∠2＝180O∴AB∥CD7、垂直于同一直线的两直线平行∵a⊥c，b⊥c∴a∥b8、两直线平行，同位角相等∵AB∥CD∴∠1＝∠29、两直线平行，内错角相等∵AB∥CD∴∠1＝∠210、两直线平行，同旁内角互补∵AB∥CD∴∠1+∠2＝180°11、余角的性质：同角或等角的余角相等∵∠3与∠4互为对顶角∴∠3＝∠4∵∠1＋∠3＝90°∠2＋∠4＝90°∴∠1＝∠212、补角的性质：同角或等角的补角相等∵∠AOB＋∠BOD＝180°∠AOC＋∠COD＝180°且∠BOD＝∠AOC∴∠AOB＝∠COD八年级常用几何证明的定理1、三角形的角平分线∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC2、三角形的中线∵BD是△ABC 的中线∴AD＝BD＝AB3、三角形的高线：∵AD是△ABC的高∴∠ADB＝∠ADC＝90°4、三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如图：|AB－AC|<BC<AB＋AC12125、三角形内角和定理（证明：用内角转化为平角）在△ABC中：∠A＋∠B＋∠C＝180°6、直角三角形的两锐角互余∵△ABC中，∠C＝90°∴∠A＋∠B＝90°7、有两个角互余的三角形是直角三角形∵∠A＋∠B＝90°∴△ABC是直角三角形8、三角形的一个外交等于和它不相邻的两内角之和∵∠ACD是△ABC的外角∴∠ACD＝∠A＋∠B9、多边形的内角和=180°×（n-2）n边形每增加一条边，内角和的度数就增加180°10、多边形的外角和等于360°11、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等∵△ABC≌△DEF∴AB=DE,BC=EF,AC=DF∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（字母要对应）12、全等三角形的判定定理：13、角平分线的性质（角相等推出垂线段相等）角的平分线上的点到角的两边的距离相等（用AAS证明）∵OC是∠AOC的平分线且PD⊥AO，PE⊥BO∴PD＝PE14、角平分线的判定（垂线段相等推出角相等）角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上（用HL证明）∵ PD ⊥AO ，PE ⊥BO ，PD ＝PE ∴点P 在∠A0B 的平分线OC 上15、垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（用SAS 证明） ∵L ⊥AB ，CA=CB ∴PA ＝PB16、垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（用HL 证明） ∵PA ＝PB∴点P 在AB 的垂直平分线L 上17、对称坐标点（x ,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ） 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ） 关于x 轴称，x 的坐标不变， 关于y 轴称，y 的坐标不变。

初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。

在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。

以下是初中几何中常用的公理和定理。

一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。

2.同位角公理：同位角互等。

3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。

4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。

二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。

2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。

3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。

4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。

5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。

6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。

7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。

8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。

10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。

11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。

12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。

13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。

14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。

15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。

16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。

17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。

18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。

19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。

20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。

初中几何证明口诀在初中几何中，证明是学习的重要内容之一、通过证明，可以巩固和提高自己对几何知识的理解和应用能力。

以下是一些常用的初中几何证明口诀：1.三角形的内角和定理：三角形内角和为180度。

可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。

2.外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。

可以通过绘制平行线等方法证明。

3.垂直角定理：垂直角相等。

可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。

4.同位角定理：同位角相等。

可以通过平行线等方法证明。

5.三角形的相似性定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

可以通过AA、SSS、SAS等方法证明。

6.圆周角定理：圆周角是圆心角的两倍。

可以通过绘制弧、使用同位角等方法证明。

7.弦切角定理：弦切角等于其对应的弧的一半。

可以通过绘制切线、弧等方法证明。

8.正方形的特性：正方形的四条边相等，四个角为直角。

可以通过对角线等方法证明。

9.等腰三角形的特性：等腰三角形的两边相等，两个底角相等。

可以通过绘制高线等方法证明。

10.平行四边形的特性：平行四边形的对边相互平行，对角线相互平分。

可以通过角平分线等方法证明。

11.三角形的中线定理：三角形的三个中线交于一点，且这点距离三个顶点的距离是各边长的一半。

可以通过线段等方法证明。

12.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

可以通过平行四边形等方法证明。

13.外切圆定理：三角形的外接圆的圆心是三个顶点的垂直平分线的交点。

可以通过角平分线、圆心角等方法证明。

14.圆的切线定理：切线与半径垂直。

可以通过绘制切线、使用垂直角等方法证明。

15.纵横切割定理：两条平行线被一条截线切割，那么两个内角和为180度。

可以通过平行线等方法证明。

这些口诀可以帮助初中生记住一些重要的初中几何证明定理，并引导他们学习如何使用特定的几何性质进行证明。

同时，更重要的是理解定理的证明过程，培养逻辑思维能力和几何推理能力。

立体几何定理1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭2、直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。

l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .3、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭4、直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。

a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭证明过程：书本P375、两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.a b a b A a b ββαβαα⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭ 6、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。

a ab b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭7、平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭8、平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC求证：BC ⊥AB公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

精品文档几何证明知识整理第十九章一、知识梳理：、有关概念：1命题、公理、定理命题：判断一件事情的句子叫做命题。

(1) 结论)。

命题的形式：如果…(题设)，那么…( 命题中，结论正确的是真命题，结论错误的是假命题。

(2)公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理。

(3)定理：用推理的方法证明为真命题，且可作为判断其他命题真假的依据的真命题叫做定理。

(4)逆命题和逆定理在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做它的逆命题。

如果两个定理是互逆命题，那称它们为互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

M2、重要定理：P★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

B A AB垂直平分线段∵MN如图：NPA=PB∴逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

PA=PB∵如图：A 的垂直平分线上在线段AB ∴点P ★角平分线D 定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

P OBPE⊥AOB PD⊥OA，如图：∵OP平分∠OPD=PE ∴B E逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

OB ⊥，⊥OAPE如图：∵PD=PE PDAOB平分∠∴OP ★直角三角形的全等判定直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

）（H.L这SSSSAS、⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA、AAS、RT（注意：必须先证明两个三角形都是）四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。

A ★直角三角形的性质及判定 A 1：直角三角形的两个锐角互余。

定理°A+∠B=90C=90如图：∵∠°∴∠定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

DB C（直角、中点→想一半） AB的中点DACB=90如图：∵∠°，且点是A1BABCD?C∴2°，那么它所对的直角边等：在直角三角形中，如果一个锐角等于301推论于斜边的一半。

八年级上册几何证明的重要定理1、互为余角和互为补角的有关概念与性质如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；如果两个角的和为180°（或平角），那么这两个角互为补角；2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（传递性）3、平行的性质①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

4、平行的判定①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义：不相交的两条直线叫做平行线。

5、临补角互补，对顶角相等。

6、垂线的性质：性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

7、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。

8、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.（可以判断三边是否能够成三角形）9、三角形的内角和：三角形的内角和为180°10、三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（用于角度计算中）性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（用于证明两个角度比较大小）11、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n ·180°12、多边形的外角和：多边形的外角和为360°.13、多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n 条对角线，把多边形分成(2)n 个三角形.②n边形共有(3) 2nn 条对角线.14、正多边形每个内角度数：用(2)n ·180°除以n,每个外角度数：360°除以n。

初中几何定理大全初中数学几何121个定理总结
一、三角形定理：
1、直角三角形三边定理：在直角三角形中，两个直角对边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

3、余弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边平方之和减去两倍乘积的余弦值。

4、正弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边平方之和加上两倍乘积的正弦值。

5、比例定理：在任意三角形中，斜边的平方等于两条边的乘积除以其外角的余弦值的平方。

6、外接圆定理：任意三角形的外接圆半径等于其三边长的和除以4
7、外切圆定理：任意三角形的外切圆半径等于其两边长的乘积除以4倍其近角的正弦值。

8、锐角三角形边长定理：在锐角三角形中，一条边大于另外两条边的和，小于他们的差。

9、内切圆定理：任意三角形的内切圆半径等于其两边长的乘积除以4倍其外角的正弦值。

10、锐角三角形的内接圆定理：任意锐角三角形内接圆半径等于其三边长乘积除以4其外角的余弦值。

二、平行线定理：
1、平行线定理：平行线与平行线之间分别成等腰角和相邻角成等式。

2、垂线定理：垂线与平行线之间相邻角成等式。