三阶幻方的公式

三阶幻方
幻方：一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。

这个相等的和叫幻和。

在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在
方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

（一）思路指导
1、幻和=中间数×3
2、与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和=中间数×2
3、角上的数字=对角相邻的两数字和÷2
4、幻和= 九个数之和÷3
（二）例题
（三）习题
1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。

2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。

3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。

4、请完成下面的三阶幻方：
5、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。

6、使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。

7、用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。

三阶、四阶、六阶幻⽅解题⼝诀⼤家听过⼤禹治⽔的故事吗？相传在那个年代，陕西的洛⽔常常泛滥成灾，每当河⽔泛滥之时，会有⼀直乌龟浮出⽔⾯，当时⼈们也不知道为什么，只是觉得很好奇，于是⼈们开始研究这个规律。

经过⼀段时间的观察，发现后来发现乌龟背上的龟壳分为9块，横着有三⾏，竖着有三⾏，⽽且每⼀块⾥边都有⼀些⼩点，每块龟壳⾥⾯的点数刚好凑成1-9这9个数字，可是，谁也弄不清楚这些点数到底有什么含义。

直到有⼀年，河⽔还是泛滥成灾，乌龟⼜浮上了⽔⾯，这时有个⼩孩在岸边⼤喊⼤叫起来：“⼤家快来看啊，这些⼩点⾮常有趣，横着看加起来是15，竖着看，加起来也是15，斜着看加起来还是15！”这个数字之谜竟然被⼀个⼩孩⼦给想明⽩了。

后来⼤⼈们觉得⼤概河神想要每样祭品的数量是15份吧，于是赶紧抬来15头猪、15头⽜和15只⽺献给河神，果然，从此以后河⽔再也不泛滥了…当然了，这只是⼀个传说，这个乌龟上的图案就是我们要学习的内容“幻⽅”，也叫“洛书”、“纵横图”、“魔阵”等等。

接下来我们就来揭开“幻⽅”的神秘⾯纱，⼀起来学习⼀下吧！幻⽅是把1⾄n^2的⾃然数排列成正⽅形，使它的纵横均有n个数，⽽把每⾏、每列、两条对⾓线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做幻和。

幻⽅的特征是横、竖、斜相加的得数都相等，幻⽅的幻和会等于n（n^2+1）÷2。

幻⽅按照纵横各有数字的个数可分为三阶幻⽅、四阶幻⽅、五阶幻⽅、六阶幻⽅…按照纵横数字数量为奇数、偶数可分为奇阶幻⽅、偶阶幻⽅。

三阶幻⽅我们⾸先简单介绍⼀下三阶幻⽅：把1-9填⼊⽅格，使幻⽅成⽴。

它也是⼀个奇阶幻⽅，幻和是3×（3^2+1）÷2=15。

那么这⾥⾯的数字我们是怎么得来的呢？第⼀种⽅法⼝诀是：九⼦斜排，上下对易，左右更替，四维挺出。

实际就分为四个步骤：第⼀个步骤是九⼦斜排，意思呢就是按照图中的形状斜着排列1-9的9个数字；第⼆个步骤是上下对易，也就是最顶端的数字和最底端的数字1和9对换；第三个步骤是左右更替，即将最左端和最右端的两个数字7和3对换；第四个步骤是四维挺出，如图所⽰把这四个数字向四个⽅向分别挺出。

三阶幻方最简单的口诀1. 幻方的魅力你有没有听说过三阶幻方？这东西可有意思了，简单来说，就是一个3×3的方阵，里面填上1到9的数字，要求每一行、每一列和两个对角线的数字加起来都得是同一个数。

听起来是不是有点复杂？别着急，咱们慢慢聊。

首先，咱们得知道，这个“同一个数”其实是15。

因为1+2+3+4+5+6+7+8+9加起来是45，而这个45再分成三组，每组15。

想想看，真的挺神奇的吧！这就像是数学里的魔法，既简单又有趣。

说到这，谁还没被这样的魔法吸引呢？2. 如何排列2.1 排列步骤要想轻松搞定三阶幻方，我们得有个简单的口诀。

听好了，首先，把数字1放在中间上方的格子里。

然后，接下来放的数字要遵循一个“左上右下”的原则。

具体点说，就是当你放了一个数字之后，接下来的数字应该在它的右上方，如果那个位置已经有数字了，那就往下移动一格，继续放。

2.2 举个例子比如说，第一步你放上1，然后接下来的数字2，你就要放在1的右上方，结果发现位置空着，就放上去。

接着放3，你会发现3的右上方位置又空着，继续放。

如果不小心越过了边界，别担心，直接从对面的边界进来就行。

记住，永远都不能让数字重叠。

这样排下去，慢慢的，你会发现所有的数字都能填满，最后的结果可真是让人眼前一亮。

虽然看起来好像有点绕，但其实只要试几次，你就能熟能生巧，像老手一样轻松掌握。

3. 幻方的乐趣3.1 朋友聚会的小把戏你可以想象一下，在朋友聚会的时候，突然用这个三阶幻方给大家来一段小表演，肯定能吸引眼球。

大家围过来，啊呀，怎么做到的呀！你就可以得意洋洋地跟他们说：“这可是我最近学会的绝活！”多么拉风啊，简直就像是从魔术师的手中变出来的一样。

3.2 学习中的好帮手而且，这三阶幻方还不仅仅是个游戏。

它还可以锻炼我们的逻辑思维，特别适合那些喜欢挑战自己的朋友们。

就像古人说的“开卷有益”，我们在玩乐中学习，顺便培养我们的耐心和专注力，真是一举两得。

在这个快节奏的生活中，抽出一点时间，和家人朋友一起围坐，动动脑筋，不仅能拉近彼此的距离，也能享受那种解谜后的成就感。

三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。

如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。

同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。

如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。

3阶幻方拆填法
三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，把1-9这九个数字填入九宫格，使每行、每列、对角线的和都相等，和称为幻和。

九数之和=921+++ =45 幻和=15345=÷
每行、每列、2条对角线的和=415⨯，其中中间数多计算了3次，所以有 中间数=()345415÷-⨯=5
1091=+，1082=+，1073=+，1064=+。

这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。

先填四个角 ①若填两对奇数
第一行：奇数+偶数+奇数=偶数，与每行的和是奇数矛盾。

②若填一对奇数，一对偶数
如果另一对奇数填在第二列
第一行：奇数+奇数+偶数=偶数，与每行的和是奇数矛盾。

因此，四个角必须填两对偶数。

对角线上的数填好后，十字架上的两对奇数就很容易了，一共有8种填法。

（一） （二） （三） （四）
（五） （六） （七） （八） 杨辉法
九子斜排，上下对易 左右相更，四维突出 罗伯法
1 居上行正中央 依次斜填切莫忘 上出框界往下写 右出框时左边放 重复便在下格填 出角重复一个样
5阶幻方杨辉法
各子斜排
以2
12 n 为中心作一个n 阶幻方
将n 阶幻方外的数向内平移n 格
5阶幻方罗伯法
1 居上行正中央 依次斜填切莫忘 上出框界往下写 右出框时左边放 重复便在下格填 出角重复一个样。

32、三阶幻方
三阶幻方就是将9个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的都相等。

三阶幻方是一种特殊的数阵图。

例1、将1~9这九个数填入下图，使他成为一个三阶幻方。

（即横行、竖行、对角线的和都相等）
随堂练习：（1）用0到8这9个数构造一个三阶幻方。

例2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数构造一个三阶幻方,并指出每一行，每一列，每一条对角线上的和是多少？中央的那个数是多少？。

练习：(1)用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数构造一个三阶幻方。

（2)将1、3、5、7、9、11、13、15、17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方,并指出每一行，每一列，每
一条对角线上的和是多少？中央的那个数是多少？。

（3）如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行，每一列，每一条对角线上的和是多少？中央的那个数是多少？。

三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。

三阶幻方是一种特殊的数阵图。

例1 将1-9这九个数填入方格，使它成为一个三阶幻方。

分析：1+2+3+4+...+9=45 所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是45÷3=159+5+1，9+4+2 8+6+1，8+5+2，8+4+37+6+2，7+5+36+5+4这8个式子中5出现四次，所以5一定在中心。

8、6、4、2这四个数出现三次，所以在四个角上。

随堂练习1、用0-8这9个数构造一个三阶幻方。

2、将2，4，6，...，18填入3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。

公式：三阶幻方中央的数=行（列）和÷3和=中央数×33、如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央数是多少？4、如图，这是一个三阶幻方，请填出其它数。

（4） （5）5、已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其它的数。

6、把下图三阶幻方补充完整。

练习题1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。

2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。

（第1题） （第2题）3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。

（第3题） （第4题） （第5题）4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和是30。

5、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和是60。

6、下图是一个三阶幻方，求？是多少。

（第6题） （第7题）7、从1-13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等。

这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？8、填完第7题的图。