上海市中考数学一模试卷含答案解析

2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.512AC BC -= B.12AC AB -= C.512BC AB -= D.352BC AC =4.已知a为非零向量，且3a b =-，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a = C.30b a += D.b a∥5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a =____________________（用向量e 的式子表示）14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF ；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+（直接作在图中）．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：cot ACBCα=，∴cot cot AC BC a αα=⋅=⋅，故选：B ．2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：∵抛物线223y x x =+-，∴20a =>，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A 、B 、C 均错误，不符合题意，选项D 正确，符合题意；故选：D ．3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.12AC BC -= B.12AC AB -= C.12BC AB -= D.32BC AC =【答案】B【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把AB 当作已知数求出AC ，求出BC ，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．【详解】解：令AC x =，()0AB a a =>，则BC a x =-，2AC BC AB =⋅可变形为()2x a x a =-⋅，整理，得220x ax a +-=，()2224150a a a ∆=-⨯⨯-=>，解得22a a x -±-±==，边长为正数，∴)122a a x --+==，)(1322a a a x a -=-=，即512AC AB -=⋅，352BC AB =⋅，∴23525112A ABC BC -⋅=+==，故A选项错误；122ABACABAB -==，故B选项正确；3322BC B B ABA A -==⋅，故C选项错误；251B ABC AC =-==，故D 选项错误；故选B ．4.已知a 为非零向量，且3a b =- ，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a= C.30b a += D.b a∥【答案】C【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴13a b =- ，正确，故本选项不符合题意；B ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴3b a = ，正确，故本选项不符合题意；C ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴30b a += ，原说法错误，故本选项符合题意；D ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴b a ∥，故本选项不符合题意；故选：C ．5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =【答案】C【分析】根据各个选项的条件只要能推出AD AE AB AC =或AB ACAD AE=，即可得出△ADE ∽△ABC ，推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：A 、根据23AD BD =和23CE AE =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；B 、根据23AD AB =和23DE BC =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；C 、∵12EC AE =，∴32AC AE =，∵32AB AD =，∴AB AD =ACAE∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠ADE=∠B ，∴DE ∥BC ，故本选项正确；D 、根据AB AD =43和AE EC =43,不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC ∽△ADE ．6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①② B.②③C.①③D.①②③【答案】A【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据ADC △与'''A D C △相似，可得C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解： ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，∴C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线时：2BAC DAC ∠=∠，2B A C D A C ''''''∠=∠，∴BAC B A C '''∠=∠，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故①正确；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线时，2BC DC =，2B C D C ''''=，∴BC DCB C D C=''''，∴AC BCA CBC =''''，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故②正确；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高时，现有条件不足以证明ABC A B C '''∽ ，故③错误；综上可知，添加①或②时，可以证明ABC 与A B C ''' 相似故选A ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．【答案】38【分析】本题考查的是比例的基本性质，令3x a =，则5y a =，然后化简整理即可求得．令3x a =，则5y a =，，()():33538x x y +=+=：：，即可作答．【详解】解：根据题意，可令3x a =，则5y a =，因此，()():3353838x x y a a a a a +=+==：：：．故答案为：38．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．【答案】1-##1-【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答．【详解】解：32cos30tan452112︒-︒=⨯-=．1．【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．【答案】【详解】试卷分析：根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．∵线段a=3cm ，b=4cm ，∴线段a 、b 的比例中项=cm ．故答案为考点：比例线段．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.【答案】4∶9【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．考点：相似三角形的性质．11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可．【详解】解：∵////AB CD EF ，:2:3,AC CE =∴23BD AC DF CE ==∵10BF =∴31065DF =⨯=．故答案为6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x ⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯【答案】11-【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线2x =-，所以5x =-和1x =时的函数值相等，即当5x =-时，y 的值为11-．故答案为：11-．13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a = ____________________（用向量e 的式子表示）【答案】3e- 【分析】此题考查了平面向量的知识，由向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．【详解】解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，∴3a e =- ．故答案为：3e - ．14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．【答案】1:2.4【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键．【详解】解：如图，13AB =，5AE =，∴12BE ===，∴斜坡的坡度为i :5:121:2.4AE BE ===，故答案为：1:2.4．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．【答案】3011【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ，因此AEH 与ABC 两个三角形相似，将AM 视为AEH 的高，可得出::AM AD EH BC =，再将数据代入计算是本题的关键．【详解】解：设AD 与EH 交于点M ．∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ，∴AEH ABC ∽，∵AM 和AD 分别是AEH 和ABC 的高，∴::AM AD EH BC =,DM EF =，∴3AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵2EH EF =，代入可得：3235EF EF -=，解得1511EF =，∴153021111EH =⨯=，故答案为：3011．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．【答案】23【分析】延长CG 交AB 于F ，过G 作GD AC ⊥于G ，直线DG 交BC 于E ，证明DCE ACB ∽V V ，得CD DE AC AB =，同理可得DG CD CG GE AF AC CF BF ===，即有DE CG AB CF=，根据G 为ABC 的重心，3AC =，得2DE =，设tan ACG x ∠=，根据勾股定理列式计算53AG ===可得答案．【详解】解：过G 作GD AC ⊥于G ，延长CF 交AB 于点F ，如图：∵90GD AC BAC ⊥∠=︒，，∴DE AB ∥，90CDE BAC ==︒∠∠，∵DCE ACB ∠=∠，∴DCG ACF ∽，∴CD DG CG AC AF CF==，∵G 为ABC 的重心，∴23CD DG CG AC AF CF ===，∵3AC =，∴21CD AD ==，，∴2243DG AG AD =-=，则在直角三角形CDG 中，423tan 23DG ACG CD ∠===，故答案为：23【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A 作AF BC ⊥于点F ．证明FAD FBA ∽，推出51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，构建方程求解．【详解】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ．∵AB AC AD AE AF BC ==⊥，，，∴DF EF BF FC BAF CAF DAF EAF ==∠=∠∠=∠，，，，∵180BAC DAE ∠+∠=︒，∴22180BAF DAF ∠+∠=︒，∴90BAF DAF ∠+∠=︒，∵90BAF B ∠+∠=︒，∴∠=∠DAF B ，∵90AFD AFB ∠=∠=︒，∴FAD FBA ∽，∴51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，∵222AB AF BF =+，∴()()2221024x x =+，∴5x =，∴285BC BF x ===故答案为：85．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．【答案】46BP <<【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点Q 恰好落在AD 边上，以及点Q 恰好落在AC 边上时BP 的值，即可得出线段BP 的取值范围．【详解】解：当点C 的对应点Q 恰好落在AD 边上时，如图：由折叠的性质知CD QD =，CP QP =，90PQD PCD ∠=∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴四边形QDCP 是正方形，∴4CP CD AB ===，∴844BP BC CP AD CP =-=-=-=；当点C 的对应点Q 恰好落在AC 边上时，如图，由折叠的性质知PD CQ ⊥，∴90PDC ACD ∠+∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴PDC CAD ∠=∠，又 90PCD CDA ∠=∠=︒，∴PDC CAD ∽，∴PC CD CD AD =，即448PC =，∴2PC =，∴826BP BC PC =-=-=，∴线段BP 的取值范围是46BP <<．故答案为：46BP <<．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．【答案】（1）该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--（2）(1,4)--【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2）设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，代入点(1,4)，求得k 的值即可求解．【小问1详解】解：2241y x x =++()222121x x =++-+22(1)1x =+-，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--；【小问2详解】设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，∵新的抛物线经过点(1,4)，∴24221k =⨯-+，解得3k =-，∴平移后的抛物线解析式为22(1)4y x =+-，∴平移后的抛物线的顶点坐标是(1,4)--．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+ （直接作在图中）．【答案】（1）1136a b - （2）12a b -- ，见详解【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，()1根据题意得AD BC ∥和BC AD =，进一步得到AE EF BC FB =，则1132EF DA AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入向量即可．()2化解得12a b -- ，将对应线段代入得到()AB AE -+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，1=2a b GA -- ，连接GA 即可．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，BC AD =，∴AFE CFB ∽，则AE EF BC FB=，∵点E 是AD 的中点，∴12AE AD =，则12EF FB =，∴()1111123332EF FB EB EA AB DA AB ⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭ ，∵,AB a AD b == ，∴1111=3236EF b a a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ．【小问2详解】()()3312223222a b a b a b a b a b +-+=+--=-- ，∵,AB a AD b == ，∴()1122a b AB AD AB AE AB AE --=--=--=-+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，∴()()1===2a b AB AE AB BG AG GA --=-+-+- ，如图，GA即为所求．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．【答案】（1）3:4（2）1CF =【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：（1）根据90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，得90AED ACB ∠=∠=︒，EAD ABC ∠=∠，证明AED BCA △∽△，结合相似三角形的性质，得:AD AB 的值；（2）根据相似三角形的性质且1tan 2BAC ∠=，得2BC =， 1.5AE =，再证明BCF DEF ∽，列式代数计算，即可作答．【小问1详解】解：∵90BAD AC BC DE AC∠=⊥︒⊥，，∴90AED ACB ∠=∠=︒，90BAC DAE BAC ABC∠+∠=︒=∠+∠∴EAD ABC ∠=∠，∴AED BCA△∽△则::3:4AD AB DE AC ==【小问2详解】解：如图：∵AED BCA △∽△，1tan 2BAC ∠=，∴11242BC BC BAC ADE AC ==∠=∠，，，∴2BC =，∴1tan 32AE AE ADE ED ∠===，得 1.5AE =，∴4 1.5 2.5EC AC AE =-=-=，∵AC BC DE AC ⊥⊥，，∴90BCF DEF ∠=∠=︒，∵BFC DFE ∠=∠，∴BCF DEF ∽，即BC CF DE EF=，∴23 2.5CF CF =-，解得1CF =．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）【答案】（1）90βα=︒-（2）()6.6米【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）延长OD 交PK 于L ，根据题意可得：OL PK ⊥，从而可得：90OLP ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（2）延长GQ 交EF 于点M ，根据题意可得： 1.6GM EF GH QR MF ⊥===，米，10GQ HR ==米，然后设EM x =米，分别在Rt EGM 和Rt EQM 中，利用锐角三角函数的定义求出GM 和QM 的长，从而列出关于x 的方程，进行计算即可解答．【小问1详解】解：如图：延长OD 交PK 于L ，由题意得：OL PK ⊥，∴90OLP ∠=︒，∵POD α∠=，∴9090OPL POD α∠=︒-∠=︒-，∴90βα=︒-；【小问2详解】解：延长GQ 交EF 于点M ，由题意得： 1.610GM EF GH QR MF GQ HR ⊥=====，m，m ，设EM x =米，在Rt EGM 中，60GEM ∠=︒，∴tan60GM EM =⋅︒=（米），在Rt EQM 中，45QEM ∠=︒，∴45QM EM tan x =⋅︒=（米），∵GM QM GQ -=，10x -=解得：5x =∴()5EM =米，∴()5 1.6 6.6EF EM FM =+=+=米，∴大楼EF 的高度为()6.6+米．23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：（1）根据等边对等角可得EDC ACB ∠=∠，再证这组夹角的两边成比例即可；（2）作DH CF ∥交AB 于点H ，可证BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，推出12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，进而可得4FC EF =，再根据ABC DCE ∽得出FBC FCB ∠=∠，推出CF BF =，等量代换可证4BF EF =．【小问1详解】证明： AD AC =，∴ADC ACD ∠=∠，即EDC ACB ∠=∠，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12DC CB =，1122ED AD AC ==，∴12DC ED CB AC ==，∴AC ED CB DC=，∴ABC ECD ∽；【小问2详解】证明：如图，作DH CF ∥交AB 于点H ，DH CF ∥，∴BHD BFC ∠=∠，BDH BCF ∠=∠；AFE AHD ∠=∠，AEF ADH ∠=∠，∴BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，∴2FC HD =，2HD FE =，∴4FC EF =，由（1）得ABC ECD ∽，∴ABC ECD ∠=∠，即FBC FCB ∠=∠，∴CF BF =，∴4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．【答案】（1）21262y x x =+-（2）①13②1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）先由一次函数求出()()6060A C --，，，，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答．（2）①依题意，得DF CF ⊥，PE BC PDF ACB ∠=∠ ，，根据角的等量代换，即PDF OCB ∠=∠，先求出点B 的坐标．PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②先表达出21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，23438EN p p -=，3EM p =-再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答．【小问1详解】解：∵直线6y x =--经过点A 与点C则当06x y ==-，；06y x ==-，∴()()6060A C --，，，∴60186c b c =-⎧⎨=-+⎩，，解得62c b =-⎧⎨=⎩21262y x x =+-；【小问2详解】解：①如图：∵()()6060A C --，，，，且C F 、两点关于抛物线21262y x x =+-的对称轴对称，∴6F c y y ==-，221222b x a =-=-=-⨯则4F x =-∵DF CF⊥∴DF y ∥轴则FDC OCA∠=∠∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．∴PE BC PDF ACB∠=∠ ，则PDF OCB∠=∠∵21262y x x =+-x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），∴210262x x =+-∴6x =-，2x =∴()20B ，∵PDF OCB∠=∠则PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②设21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，BC 的解析式为y mx n =+∴把()()0620C B -，，，代入y mx n =+得602n m n=-⎧⎨=+⎩解得63n m =-⎧⎨=⎩∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E∴设PE 的解析式为3y x b=+把21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，代入3y x b =+得2162p p b =--∴21623y x p p =--+令0x =，2162p p y =--即21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当261362y x y x p p =--⎧⎪⎨=+--⎪⎩解得21184x p p +=-则把21184x p p +=-代入21623y x p p =--+得211684y p p =--∴22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，∵过点P 作PM y ⊥轴，过点D 作DN y ⊥轴，∴EDN EPM∽∴EN DE EM EP=∵:3:5PD DE =∴58EN EM =∶∶∵21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴222111336628484EN p p p p p p ⎛⎫=-----=- ⎪⎝⎭，2211626322EM p p p p p ⎛⎫=---+-=- ⎪⎝⎭∴23358348p p p --=∶∶解得1103p p ==-，∵点P 在线段AC 下方的抛物线上，∴10p =（舍去）∴3p =-．把3p =-代入21262y p p =+-∴19241592362222y =⨯-⨯-=-=∴点P 的坐标1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．【答案】（1）10（2）278（3）325【分析】（1）证明ABG CAB ∽ ，再根据相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，即可得到答案；（2）过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，先证明ABF DCE ∽ ，进一步求得6BD =，接着利用面积法证明4=3AF DF ，设4AF x =，证明FAG EAD ∽ ，求得3221FG =，即可进一步求得答案；（3）先证明CDE CBG ∽ ，可得32CD CE =，再利用等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质逐步求得43FG =，最后证明AFG ADE ∽ ，进一步求出125CE =，即可得到答案．【小问1详解】BG 平分ABC ∠，22ABC ABG GBC ∴∠=∠=∠，2ABC C ∠=∠ ，ABG C GBC ∴∠=∠=∠，BAG CAB ∠=∠ ，ABG ACB ∴∽ ，AB AG BG AC AB CB ∴==，16838BG AC CB ∴==，12AC ∴=，32BC BG =，16201233CG AC AG ∴=-=-=，C GBC ∠=∠ ，203BG CG ∴==，3102BC BG ∴==；【小问2详解】过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，ADE ABC ∠=∠ ，ADE CDE ABC FAB ∠+∠=∠+∠，FAB EDC ∴∠=∠，又ABG C ∠=∠ ，ABF DCE ∴∽ ，AB AF BF CD DE CE∴==，2BF CE = ，142CD AB ∴==，2AF DE =，1046BD BC CD ∴=-=-=，BG 平分ABC ∠，FM FN ∴=，142132ABF DBF AB FM S AF S DF BD FN ⋅∴===⋅ ，设4AF x =，则3DF x =，7AD x =，2DE x =，2AGF GBC C C ABC ∠=∠+∠=∠=∠ ，ADE ABC =∠∠，AGF ADE ∴∠=∠，又FAG EAD ∠=∠ ，FAG EAD ∴∽ ，AG FG AD ED ∴=，16372FG x x ∴=，3221FG ∴=，367BF BG FG ∴=-=，3627732821BF GF ∴==；【小问3详解】ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=，ADE AED ∴∠=∠，AGF ADE ∠=∠ ，AGF AED ∴∠=∠，BG DE ∴∥，CDE CBG ∴∽ ，CE CD CG CB ∴=，20103CE CD ∴=，32CD CE ∴=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∠=∠，GBC EDC ∠=∠，AFG AGF ∴∠=∠，163AF AG ∴==，FAB EDC ∠=∠ ，ABG GBC C ∠=∠=∠，FAB ABG ∴∠=∠，EDC C ∠=∠，163BF AF ∴==，CE DE =，43FG BG BF ∴=-=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∽ ，AG FG AE DE ∴=，1643312CE CE ∴=-，解得125CE =，3321225BD BC CD CE ∴=-=-=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用面积比求线段比等知识与方法，灵活运用相关知识与方法是解答本题的关键．。

2023年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8B．6C．4D．12．（4分）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形B．两个矩形C．两个直角三角形D．两个等边三角形3．（4分）将抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝﹣（x+1）2+4C．y＝﹣x2+5D．y＝﹣x2+34．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝3，AB＝5，那么∠A的余弦值为（）A．B．C．D．5．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A．B．C．D．6．（4分）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3B．﹣4C．0D．﹣1二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）已知，那么的值为．8．（4分）计算：＝．9．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．10．（4分）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为．11．（4分）小杰沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．12．（4分）已知抛物线y＝（1+m）x2在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是．13．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．14．（4分）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G为△ABC的重心，若AC＝6，tan∠ABG ＝，那么AG的长等于．16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，正方形EFGH的边FG在△ABC的边AB上，顶点E、H分别在边AC、BC上，如果其面积为24，那么AF•BG的值为．17．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，∠ABE的平分线交边AD于点F，联结EF，如果正方形ABCD的面积为12，且CE＝2，那么cot（∠BEF﹣∠DFE）的值为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，那么点C 的坐标是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知D是△ABC边AC上一点，且AD：DC＝2：3，设，．（1）试用、表示；（2）直接在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．（10分）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．（1）求t的值并写出函数解析式；（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．22．（10分）某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示：无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，测得大楼顶部D 的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D 的俯角为45°．已知A、C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．（1）求证：△BDG∽△CBA；（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．24．（12分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足∠APD＝∠ABC．（1）当点P在线段BC上时，如图1．①如果CD＝4.8，求BP的长；②设B、P两点的距离为x，AP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当BP＝1时，求△CPD的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y 轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．2023年上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据成比例线段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：B．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．2．【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形，故选：D．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．3．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：A．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴cos A＝＝，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．【分析】假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．【解答】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式得：，解得，函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝5，故选：D．方法二：解：假设函数经过（0，﹣3），（2，﹣3），则对称轴为直线x＝1，此时y＝﹣4，函数值最小，∴函数开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，而表格中，x＝﹣2时，y＝﹣1，由题意不符，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．【分析】直接利用已知变形，进而得出b＝4a，进而带入计算得出答案．【解答】解：∵，∴b＝4a，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8．【分析】先去括号，然后计算加减法．【解答】解：＝﹣+2﹣3＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，乘法分配率同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．9．【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得结论．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴两个三角形的相似比为，1：3，∴它们的周长比是1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长之比等于相似比．10．【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．【解答】解：∵向量与单位向量的方向相反，且，∴＝﹣5．故答案为：＝﹣5．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．11．【分析】设坡度的高为x米，根据勾股定理，列方程求解．【解答】解：设坡度的高为x米（x＞0），则水平距离为：2.4x米，则：x2+（2.4x）2＝1302，解得：x＝50，故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键．12．【分析】由抛物线在y轴左侧的部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解．【解答】解：∵抛物线y＝（1+m）x2在y轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴1+m＜0，∴m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．13．【分析】由a＞0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．14．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF ﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．15．【分析】延长BG交AC于F，过G作GD⊥AB于G，直线DG交BC于E，证明△DBE∽△ABC，得＝，同理可得＝＝＝，即有＝，根据G为△ABC 的重心，AC＝6，得DE＝4，DG＝GE＝2，又tan∠ABG＝，可得BD＝6，有AD＝3，由勾股定理可得答案．【解答】解：延长BG交AC于F，过G作GD⊥AB于G，直线DG交BC于E，如图：∵GD⊥AB，∠BAC＝90°，∴DE∥AC，∠BDE＝∠BAC＝90°，∵∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴＝，同理可得＝＝＝，∴＝，∵G为△ABC的重心，∴AF＝CF，＝，∴DG＝GE，＝，∵AC＝6，∴DE＝4，∴DG＝GE＝2，∵tan∠ABG＝，∴＝，即＝，∴BD＝6，∵＝＝2，∴AD＝3，∴AG＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．16．【分析】由正方形EFGH面积为24，可得EF＝GH＝2，∠EFG＝∠HGF＝90°＝∠EFA＝∠HGB，又∠C＝90°，即可得∠AEF＝∠B，故△AEF∽△HBG，有＝，从而AF•BG＝24．【解答】解：∵正方形EFGH面积为24，∴EF＝GH＝2，∠EFG＝∠HGF＝90°＝∠EFA＝∠HGB，∴∠A+∠AEF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠AEF＝∠B，∴△AEF∽△HBG，∴＝，∴＝，∴AF•BG＝24，故答案为：24．【点评】本题考查正方形性质和相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明△AEF∽△HBG．17．【分析】过E作EG∥AD交AB于G，由正方形ABCD的面积为12，CE＝2，可得cot∠EBC＝＝＝，即可得cot∠BEG＝，而∠BEF﹣∠DFE＝∠BEF﹣∠FEG ＝∠BEG，故cot（∠BEF﹣∠DFE）＝．【解答】解：过E作EG∥AD交AB于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵正方形ABCD的面积为12，∴BC＝2，∵CE＝2，∴cot∠EBC＝＝＝，∵EG∥AD，AD∥BC，∴EG∥BC，∴∠BEG＝∠EBC，∴cot∠BEG＝，∵EG∥AD，∴∠DFE＝∠FEG，∴∠BEF﹣∠DFE＝∠BEF﹣∠FEG＝∠BEG，∴cot（∠BEF﹣∠DFE）＝．故答案为：．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，把∠BEF﹣∠DFE转化为∠BEG．18．【分析】△AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，分别以A，B，C为直角顶点，画出两条直角边的比为1：2的直角三角形即可得到答案．【解答】解：由图可知，△AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，在方格中画出与△OAB相似的三角形，如图：∴点C的坐标是（1，2）或（4，4）或（5，2），故答案为：（1，2）或（4，4）或（5，2）．【点评】本题考查相似三角形及图形与坐标，解题的关键是分类讨论思想的应用．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、分母有理化分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝+＝+（2﹣）＝+﹣＝﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20．【分析】（1）利用三角形法则求出，再求出，根据＝+，可得结论；（2）利用三角形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵＝+，∴＝+，∵AD：DC＝2：3，∴＝AC＝+，∴＝+＝﹣++＝﹣+；（2）如图，，即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．21．【分析】（1）根据二次函数的定义得到t+2≠0且t2﹣2＝2，然后解关于t的方程可得到满足条件的t的值，从而得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）根据题意得t+2≠0且t2﹣2＝2，解得t＝2，所以抛物线解析式为y＝4x2﹣4x﹣3；（2）y＝4x2﹣4x﹣3＝4（x﹣）2﹣4，∵a＝4＞0，∴该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．22．【分析】由已知可得：∠CBG＝30°，∠DBG＝∠FED＝45°，BE＝50米，设BG＝EF＝x米，可得2x＝50，解得BG＝DG＝25米，在Rt△BGC中，CG＝，即得CD＝CG+DG＝（+25）米．【解答】解：如图：由已知可得：∠CBG＝30°，∠DBG＝∠FED＝45°，BE＝50米，设BG＝EF＝x米，则DG＝DF＝x米，∴GF＝2x米，∵GF＝BE，∴2x＝50，解得x＝25，∴BG＝DG＝25米，在Rt△BGC中，tan∠CBG＝，∴CG＝×25＝，∴CD＝CG+DG＝（+25）米，答：大楼的高度为（+25）米．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．23．【分析】（1）由AB＝AD得到∠ABD＝∠ADB，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，则∠EBC＝∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）由（1）知△BDG∽△CBA，可得＝，而AB＝18，DG＝6，即可得＝，＝180，故S△ABD＝90，因AG＝12，＝，即得S△ABG＝S△＝，又S△ADCABD＝×90＝60．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EF垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵∠GBD＝∠C，∠BDG＝∠CBA，∴△BDG∽△CBA；（2）解：由（1）知△BDG∽△CBA，∴＝，∵AB＝18，DG＝6，∴＝＝，∴＝，∴＝，＝180，∵S△ADC＝90，∴S△ABD∵AC＝AB＝18，DG＝6，∴AG＝12，∴＝，∴＝，＝S△ABD＝×90＝60．∴S△ABG【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）①证明△ABP∽△PCD，得＝，即＝，可解得BP的长为4或12；②由△ABP∽△PCD，有＝，可得CD＝，AD＝AC﹣CD＝10﹣，而△PAD∽△CAP，知PA2＝AC•AD，故y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，即可得到答案；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，由AH⊥BC，AB＝AC，BH＝8，AH ＝＝6，结合（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，证明△AHC∽△DGC，可得DG＝，故△CPD的面积为，当P在CB延长线上时，同理可得△CPD的面积为．【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∵CD＝4.8，AB＝10，∴＝，BC＝16，解得x＝4或x＝12，∴BP的长为4或12；②由（1）△ABP∽△PCD，∴＝，∵B、P两点的距离为x，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣，∵∠B＝∠C，∠APD＝∠ABC，∴∠C＝∠APD，∵∠PAD＝∠CAP，∴△PAD∽△CAP，∴＝，∴PA2＝AC•AD，∴y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，∴y＝，∵16﹣x＞0，∴x＜16，∴y＝（0＜x＜16）；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，当P在边BC上时，如图：∵AH⊥BC，AB＝AC，∴BH＝BC＝8＝CH，∴AH＝＝6，由（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，∵AH⊥BC于H，DG⊥BC，∴∠AHC＝90°＝∠DGC，∠C＝∠C，∴△AHC∽△DGC，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴△CPD的面积为×15×＝，当P在CB延长线上时，如图：由△ABP∽△PCD可得CD＝，由△AHC∽△DGC可得DG＝，∴△CPD的面积为×17×＝，综上所述，△CPD的面积为或．【点评】本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，三角形面积，动点问题等，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及应用．25．【分析】（1）求出C（0，4），用待定系数法可得y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），由OC＝PQ，有﹣m2+4m＝4，即可解得Q（2，﹣2）；（3）可得直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，知A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，根据∠DQE＝2∠ODQ，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，G（3，0），从而可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，点E的坐标为（5，4），即得△EKB ∽△COA，∠EBK＝∠CAO，故∠DAC＝∠GEB，△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），当△BEF∽△CAD时，有＝，解得F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，解得F（1.6，﹣2.8）．【解答】解：（1）∵B（4，0），OB＝OC，∴C（0，4），把A（1，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），则Q（m，m2﹣5m+4），∴PQ＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m，∵OC∥PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC＝PQ，∴﹣m2+4m＝4，解得m＝2，∴Q（2，﹣2）；（3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下：∵D是OC的中点，点C（0，4），∴点D（0，2），由（2）知Q（2，﹣2），∴直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，∵A（1，0），∴A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图：∵QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠HQA＝∠HQE，∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，∴∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，∴G（3，0），由点Q（2，﹣2），G（3，0）可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，联立，解得或，∴点E的坐标为（5，4），∵B（4，0），∴BK＝1，EK＝4，BE＝，∴＝＝，∵∠EKB＝90°＝∠COA，∴△EKB∽△COA，∴∠EBK＝∠CAO，∴∠CAO﹣∠DAO＝∠EBK﹣∠EGB，即∠DAC＝∠GEB，∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），则EF＝，当△BEF∽△CAD时，有＝，∴＝，解得t＝4或t＝6（在E右侧，舍去），∴F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，∴＝，解得t＝8.4（舍去）或t＝1.6，∴F（1.6，﹣2.8），综上所述，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明∠DAC＝∠GEB，从而得到△BEF与△ADC相似，点E与点A 是对应点．第16页（共16页）。

2023年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）下列函数图象中，与y 轴交点的坐标是(0,1)的是()A ．2y x =B ．21y x =-C ．221y x =+D ．22(1)y x =+2．（4分）在Rt ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，2tan 3B =，4AC =，那么BC 的长是()A ．6B ．3C ．25D ．5．3．（4分）如果二次函数2()y x m k =-+的图象如图所示，那么下列说法中正确的是()A ．0m >，0k >B ．0m >，0k <C ．0m <，0k >D ．0m <，0k <4．（4分）如图，已知D 是AB 的中点，EA AB ⊥，CB AB ⊥，2AE AB BC ==，那么下列结论中错误的是()A ．ED AC =B ．EDAC ∠=∠C ．ED AC ⊥D ．30CAB ∠=︒5．（4分）已知k 为实数，a 是非零向量，下列关于ka 的说法中正确的是()A ．如果0k =，那么0ka = B ．如果k 是正整数，那么ka 表示k 个a 相加C ．如果0k ≠，那么||||ka k a = D ．如果0k ≠，ka 与a 的方向一定相同6．（4分）在ABC ∆和DEF ∆中，已知AB AC =，DE DF =，如果从下列条件中增添一个条件，ABC ∆与DEF ∆仍不一定相似，那么这个条件是()A ．A D ∠=∠B ．B E ∠=∠C ．A E ∠=∠D ．AB DE BC EF=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知32x y =，10x y +=，那么x y -=．8．（4分）已知反比例函数(0)k y k x =≠的图象在第一、三象限，如果120x x <<，那么1y 2y （填“>”、“<”或“=“)9．（4分）已知二次函数2(1)31y a x x =-+-的图象有最高点，那么a 的取值范围是．10．（4分）已知抛物线2(2)y mx m x =-+的对称轴是直线1x =，那么m 的值等于．11．（4分）已知点(1,)A a 在抛物线221y x =-+上，将此抛物线沿着y 轴向上平移3个单位，点A 随之平移到点A '的位置，那么点A '的坐标是．12．（4分）已知C 是线段AB 的中点，设AB a = ，那么AB BC +=.（用向量a 表示）13．（4分）在ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，那么sin B =．14．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，BAC ADC ∠=∠，如果2AD =，5BC =，那么AC =．15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 、D 都在小正方形顶点的位置上，AD 与BC 交于点E ，那么BE 的长是．16．（4分）如图，ABC ∆中的一边BC 与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边AB 、AC 分别与刻度尺的另一边交于点D 、E ，点B 、C 、D 、E 在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么ABC ∆的面积是．17．（4分）如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，BAD C ∠=∠，B EAC ∠=∠，如果4BD =，3EC =，那么AB AC 的值是．18．（4分）如图，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，2AD =．将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，点A '、C '分别与点A 、C 对应．联结BC '，BC '与线段AD 交于点G ．如果点A '、A 、C '在同一条直线上，那么C G '=．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：22sin 604cot 30cos 302sin 45tan 45︒-︒⋅︒︒+︒．20．（10分）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，E 是BC 上一点，//AE CD ，AE 、BD 相交于点F ，:1:3EF CD =．（1）求BE AD的值；（2）联结FC ，设AB a = ，FE b = ，那么BF =，FC = .（用向量a 、b 表示）21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数3(0)y x x=>的图象交于点(3,)A a ．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移(0)m m >个单位，新函数的图象与反比例函数3(0)y x x=>的图象交于点B ，如果点B 的纵坐标是横坐标的3倍，求m 的值．22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD 射到池底点D处，入射角30∠=︒；入射光线AC射到水池的水DBN∠=︒，折射角22ABM面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角60ACM∠'=︒，折射角∠'=︒．//DE BC，MN、M N''为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE40.5ECN及法线MN、M N''都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果8.72DE=米，求水池的深．（参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22︒取0.37，cos22︒取0.93，tan22︒取0.4，sin40.5︒取0.65，cos40.5︒取0.76，tan40.5︒取0.85)23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点，AB DE AE EC⋅=⋅，∠=∠．ABE AED（1）求证：ABE ECD∽；∆∆（2）如果F 、G 、H 分别是AE 、DE 、AD 的中点，联结BF 、HF 、HG 、CG ．求证：BF HF CG HG ⋅=⋅．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，其中点A 的坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一点M ，且点M 在第二象限，如果点M 到x 轴的距离与它到直线BD 的距离相等，求点M 的坐标；（3）抛物线上有一点N ，直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，求点N 到x 轴的距离．25．（14分）如图，在矩形ABCD 中，3tan 4ABD ∠=，E 是边DC 上一动点，F 是线段DE延长线上一点，且EAF ABD∠=∠，AF与矩形对角线BD交于点G．（1）当点F与点C重合时，如果6AD=，求DE的长；（2）当点F在线段DC的延长线上，①求AGAE的值；②如果3DE CF=，求AED∠的余切值．参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）下列函数图象中，与y 轴交点的坐标是(0,1)的是()A ．2y x =B ．21y x =-C ．221y x =+D ．22(1)y x =+【分析】把(0,1)代入解析式，解答即可．解：A ．当0x =时，2001y =⨯=≠，不符合题意；B ．当0x =时，20111y =⨯-=-≠，不符合题意；C ．当0x =时，2011y =⨯+=，符合题意；D ．当0x =时，22(01)21y =⨯+=≠，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点都在该函数的图象上．2．（4分）在Rt ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，2tan 3B =，4AC =，那么BC 的长是()A ．6B ．3C ．D ．【分析】根据三角函数中正切值的定义解决此题．解：如图．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2tan 3B =，4AC =，42tan 3AC B BC BC ∴===．6BC ∴=．故选：A ．【点评】本题主要考查正切值，熟练掌握正切值的定义是解决本题的关键．3．（4分）如果二次函数2()y x m k =-+的图象如图所示，那么下列说法中正确的是()A ．0m >，0k >B ．0m >，0k <C ．0m <，0k >D ．0m <，0k <【分析】根据解析式知，m ，k 是抛物线的顶点坐标，再根据函数图象得出结论．解：2()y x m k =-+ ，顶点坐标为(,)m k ，由图象可得，0m >，0k <，故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出二次函数的顶点存在的特点、性质．4．（4分）如图，已知D 是AB 的中点，EA AB ⊥，CB AB ⊥，2AE AB BC ==，那么下列结论中错误的是()A ．ED AC =B ．EDAC ∠=∠C ．ED AC ⊥D ．30CAB ∠=︒【分析】用SAS 证明EAD ABC ∆≅∆，得ADE C ∠=∠，可证90AFD ∠=︒，从而说明A 、B 、C 正确．解：设AC 交DE 于点F ．点D 是AB 的中点，AD DB ∴=，2AE AB BC == ，AD BC ∴=，EA AB ⊥ ，CB AB ⊥，90EAD B ∴∠=∠=︒，在EAD ∆和ABC ∆中，90AE BA EAD B AD BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()EAD ABC SAS ∴∆≅∆，ED AC ∴=，ADE C ∠=∠，90A C ∠+∠=︒ ，90A ADE ∴∠+∠=︒，AC DE ∴⊥，故选项A ，B ，C 正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30︒角的直角三角形的性质等知识，证明DAE ABC ∆≅∆是解题的关键．5．（4分）已知k 为实数，a 是非零向量，下列关于ka 的说法中正确的是()A ．如果0k =，那么0ka = B ．如果k 是正整数，那么ka 表示k 个a 相加C ．如果0k ≠，那么||||ka k a = D ．如果0k ≠，ka 与a 的方向一定相同【分析】若0k =，则0ka = ；当0k <时，||||ka k a =- ；当0k <时，ka 与a 的方向相反，由此可得答案．解：A ．若0k =，则0ka = ，故A 选项错误，不符合题意；B ．若k 是正整数，则ka 表示k 个a 相加，故B 选项正确，符合题意；C ．当0k <时，||||ka k a =- ，故C 选项错误，不符合题意；D ．当0k <时，ka 与a 的方向相反，故D 选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．6．（4分）在ABC ∆和DEF ∆中，已知AB AC =，DE DF =，如果从下列条件中增添一个条件，ABC ∆与DEF ∆仍不一定相似，那么这个条件是()A ．A D ∠=∠B ．B E ∠=∠C ．A E ∠=∠D ．AB DE BC EF=【分析】利用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定解决问题即可．解：A 、由A D ∠=∠，可以根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；B 、由B E ∠=∠，可以推出A D ∠=∠根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；C 、由A E ∠=∠，不能判定两三角形相似．本选项符合题意；D 、由AB DE BC EF =，可以推出AB AC BC DE DF EF==，根据三边成比例两三角形相似，本选项不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知32x y =，10x y +=，那么x y -=2．【分析】直接利用已知代入求出y 的值，即可得出x 的值，进而得出答案．解： 32x y =，10x y +=，32x y ∴=，则3102y y +=，解得：4y =，故6x =，那么642x y -=-=．故答案为：2．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．8．（4分）已知反比例函数(0)k y k x =≠的图象在第一、三象限，如果120x x <<，那么1y >2y （填“>”、“<”或“=“)【分析】先根据反比例函数(0)k y k x=≠的图象在第一、三象限可知0k >，故在每一象限内y 随x 的增大而减小，据此可得出结论．解： 反比例函数(0)k y k x=≠的图象在第一、三象限，0k ∴>，在每一象限内y 随x 的增大而减小．120x x << ，12y y ∴>．故答案为：>．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．9．（4分）已知二次函数2(1)31y a x x =-+-的图象有最高点，那么a 的取值范围是1a <．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．解：由题意可知：10a -<，1a ∴<，故答案为：1a <．【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．10．（4分）已知抛物线2(2)y mx m x =-+的对称轴是直线1x =，那么m 的值等于2．【分析】由对称轴公式可得到关于m 的方程，可求得答案．解：2(2)y mx m x =-+ 的对称轴是直线1x =，(2)12m m -+∴-=，解得：2m =．故答案为：2．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即2y ax bx c =++的对称轴为2b x a=-．11．（4分）已知点(1,)A a 在抛物线221y x =-+上，将此抛物线沿着y 轴向上平移3个单位，点A 随之平移到点A '的位置，那么点A '的坐标是(1,2)．【分析】确定平移后得顶点坐标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式，进而解答即可．解：抛物线221y x =-+上，将此抛物线沿着y 轴向上平移3个单位，得到的抛物线是2213y x =-++，即224y x =-+，把1x =，y a =代入221y x =-+中，可得：21a -+=，解得：1a =-，∴点A '的坐标是(1,2)，故答案为：(1,2)．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，关键是根据平移的规律解答．12．（4分）已知C 是线段AB 的中点，设AB a = ，那么AB BC += 12a .（用向量a 表示）【分析】由题意得12BC a =- ，则11()22AB BC a a a +=+-= ．解：C 是线段AB 的中点，AB a = ，∴12BC a =- ，∴11()22AB BC a a a +=+-= ．故答案为：12a ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法运算法则是解答本题的关键．13．（4分）在ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，那么sin B =513．【分析】首先根据题意得出ABC ∆为直角三角形，再画出图形，其中5AC =，12BC =，13AB =；然后根据sin AC B AB=计算即可．解：5AC = ，12BC =，13AB =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，如图所示：在Rt ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，则5sin 13AC B AB ==．【点评】本题考解直角三角形，牢记锐角三角函数的定义是解题关键．14．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，BAC ADC ∠=∠，如果2AD =，5BC =，那么AC =【分析】先根据平行线的性质得到DAC ACB ∠=∠，加上BAC ADC ∠=∠，则利用相似三角形的判定方法可判断ABC DCA ∆∆∽，然后利用相似比可求出AC 的长．解：//AD BC ，DAC ACB ∴∠=∠，BAC ADC ∠=∠ ，ABC DCA ∴∆∆∽，::AC AD BC AC ∴=，即:25:AC AC =，解得AC =，即AC ．．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点A、B、C、D都在小正方形顶点的位置上，AD与BC交于点E，那么BE的长是 2.5．【分析】先根据勾股定理，得5BC=，再根据比例线段求出BE．解：连接BD，根据勾股定理，得5BC==，//AB CD，ABE DEC∴∆∆∽，∴AB BE CD EC=，∴245BE =，解得： 2.5BE=，故答案为：2.5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握两个知识点的应用，推出比例线段是解题关键．16．（4分）如图，ABC∆中的一边BC与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边AB、AC分别与刻度尺的另一边交于点D、E，点B、C、D、E在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么ABC∆的面积是252．【分析】过点A作AF DE⊥，垂足为G，并延长AG交BC于点H，根据题意得：2DE=，5BC=，3GH=，//DE BC，从而可得ADE ABC∠=∠，AED ACB∠=∠，然后证明A字模型相似三角形ADE ABC∆∆∽，从而利用相似三角形的性质求出AH的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．解：过点A作AF DE⊥，垂足为G，并延长AG交BC于点H，由题意得：2DE=，5BC=，3GH=，//DE BC，ADE ABC∴∠=∠，AED ACB∠=∠，ADE ABC∴∆∆∽，∴DE AG BC AH=，∴23 5AHAH-=，解得：5AH =，ABC ∴∆的面积112555222BC AH =⋅=⨯⨯=，故答案为：252．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（4分）如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，BAD C ∠=∠，B EAC ∠=∠，如果4BD =，3EC =，那么AB AC 的值是233．【分析】由BAD C ∠=∠，B B ∠=∠，得BAD BCA ∆∆∽，有2AB BC BD =⋅，同理可得2AC BC CE =⋅，故2243AB BC BD BD AC BC CE CE ⋅===⋅，即可得答案．解：BAD C ∠=∠ ，B B ∠=∠，BAD BCA ∴∆∆∽，∴AB BD BC AB=，2AB BC BD ∴=⋅，B EAC ∠=∠ ，C C ∠=∠，ACE BCA ∴∆∆∽，∴AC CE BC AC=，2AC BC CE ∴=⋅，∴2243AB BC BD BD AC BC CE CE ⋅===⋅，∴3AB AC =，故答案为：3．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．18．（4分）如图，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，2AD =．将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，点A '、C '分别与点A 、C 对应．联结BC '，BC '与线段AD 交于点G ．如果点A '、A 、C '在同一条直线上，那么C G '=7．【分析】以D 为原点，DC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，过A 作AH DC ⊥于H ，设A C ''交y 轴于M ，由AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，可得3BD CD AC ===，(3,0)B -，设DH m =，由22222AD DH AH AC CH -==-，可得23m =，故23DH =，423AH =，2(3A ，423，直线DA解析式为y =，根据将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，可证//A C DC ''，得四边形AMDH 是矩形，从而求得7(3C '，423，直线BC '解析式为23244y x =+，联立44y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得3(7G ，62)7，即可得到答案．解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，过A 作AH DC ⊥于H ，设A C ''交y 轴于M，如图：AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，3BD CD AC ∴===，(3,0)B ∴-，设DH m =，则3CH m =-，22222AD DH AH AC CH -==- ，222223(3)m m ∴-=--，解得23m =，23DH ∴=，423AH =，2(3A ∴，423，由(0,0)D ，2(3A ，3得直线DA 解析式为y =， 将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，AD A D '∴=，CAD C A D ''∠=∠，AA D A AD ''∴∠=∠，CAD A AD '∴∠=∠，AC CD = ，CAD ADC ∴∠=∠，A AD ADC '∴∠=∠，//A C DC ''∴，∴四边形AMDH 是矩形，23AM DH ∴==，423DM AH ==，AD A D '= ，23A M AM '∴==，27333C M A C A M ''''∴=-=-=，7(3C '∴，由(3,0)B -，7(3C '得直线BC '解析式为y =+联立23244y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得37627x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3(7G ∴，)7，7C G '∴==，故答案为：7．【点评】本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点的坐标．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：22sin 604cot 30cos 302sin 45tan 45︒-︒⋅︒︒+︒．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：原式34=-==-=．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（10分）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，E 是BC 上一点，//AE CD ，AE 、BD 相交于点F ，:1:3EF CD =．（1）求BE AD的值；（2）联结FC ，设AB a = ，FE b = ，那么BF =2b a -，FC = .（用向量a 、b 表示）【分析】（1）根据题意可证明四边形AECD 为平行四边形，得到AE CD =，则:1:3EF AE =，:1:2EF AF =，易证明BEF DAF ∆∆∽，由相似三角形的性质即可求解；（2）由2AF EF =得2AF b =，3AE b =，由三角形法则求出BF 和BE ，再求出BC ，最后利用三角形法则即可求出FC ．解：//AD BC ，//AE CD ，∴四边形AECD 为平行四边形，AE CD ∴=，:1:3EF CD = ，:1:3EF AE ∴=，:1:2EF AF =，//AD BC ，BEF DAF ∴∆∆∽，∴12BE EF AD AF ==；（2）联结FC ，如图，由（1）可得2AF EF =，FE b = ，∴2AF b =，3AE b =，∴2BF AF AB b a =-=-，3BE AE AB b a =-=-， 12BE AD =，AD EC =，∴2(3)62EC b a b a =-=-，∴36293BC BE EC b a b a b a =+=-+-=-，∴93272FC BC BF b a b a b a =-=--+=-．故答案为：2b a -，72b a -．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数(0)y kx k=≠的图象与反比例函数3(0)y xx=>的图象交于点(3,)A a．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移(0)m m>个单位，新函数的图象与反比例函数3(0)y xx=>的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．【分析】（1）将点(3,)A a代入反比例函数3yx=，求出a的值，再待定系数法求正比例函数解析式即可；（2）设点B横坐标为t，则纵坐标为3t，根据点B的纵坐标是横坐标的3倍，列方程求出t的值，即可确定点B坐标，再将点B坐标代入13y x m=+，即可求出m的值．解：（1）根据题意，将点(3,)A a代入反比例函数3 yx =，得33a=，解得1a=，∴点A坐标为(3,1)，将点(3,1)A代入正比例函数y kx=，得31k=，解得13 k=，∴正比例函数解析式为13y x =；（2）这个正比例函数的图象向上平移(0)m m>个单位，得13y x m =+，设点B横坐标为t，则纵坐标为3 t，点B的纵坐标是横坐标的3倍，∴33t t=，解得1t=或1t=-（舍)，∴点B坐标为(1,3)，将点B坐标代入13y x m =+，得133m =+，解得83 m=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD 射到池底点D处，入射角30ABM∠=︒，折射角22DBN∠=︒；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角60ACM∠'=︒，折射角40.5ECN∠'=︒．//DE BC，MN、M N''为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE 及法线MN、M N''都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果8.72DE =米，求水池的深．（参考数据：2取1.41，3取1.73，sin 22︒取0.37，cos 22︒取0.93，tan 22︒取0.4，sin 40.5︒取0.65，cos 40.5︒取0.76，tan 40.5︒取0.85)【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得CF 和BF 的值，然后即可计算出BC 的值；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．解：（1）作AF BC ⊥，交CB 的延长线于点F ，则////AF MN M N ''，ABM BAF ∴∠=∠，ACM CAF ∠'=∠，30ABM ∠=︒ ，60ACM ∠'=︒，30BAF ∴∠=︒，60CAF ∠=︒，6AF = 米，3tan 30633BF AF ∴=⋅︒=⨯=（米)，tan 606363CF AF =⋅︒==（米)，32343BC CF BF ∴=-=-=)，即BC 的长为43米；（2）设水池的深为x 米，则BN CN x ='=米，由题意可知：22∠'=︒．8.72DE=米，ECN∠=︒，40.5DBNN E CN x'='⋅︒≈（米)，∴=⋅︒≈（米)，tan40.50.85DN BN xtan220.4，+=+'DN DE BC N E∴+=+，0.48.720.85x x解得4x≈，即水池的深约为4米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点，AB DE AE EC⋅=⋅，∠=∠．ABE AED（1）求证：ABE ECD∽；∆∆（2）如果F、G、H分别是AE、DE、AD的中点，联结BF、HF、HG、CG．求证：BF HF CG HG⋅=⋅．【分析】（1）将AB DE AE EC ⋅=⋅变形为AB AE EC DE=，由ABE AED ∠=∠，根据三角形的内角和定理推导出BAE CED ∠=∠，即可证明ABE ECD ∆∆∽；（2）根据三角形的中位线定理得//HF ED ，12HF ED =，12EG ED =，2AE AF =，2DE EG =，可证明四边形EFHG 是平行四形，则AF EF HG ==，再证明ABF ECG ∆∆∽，得BF AF HG CG EG HF==，所以BF HF CG HG ⋅=⋅．【解答】证明：（1）如图1，AB DE AE EC ⋅=⋅ ，∴AB AE EC DE =，ABE AED ∠=∠ ，180180ABE AEB AED AEB ∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，180BAE ABE AEB ∠=︒-∠-∠ ，180CED AED AEB ∠=︒-∠-∠，BAE CED ∴∠=∠，ABE ECD ∴∆∆∽．（2）如图2，F 、G 、H 分别是AE 、DE 、AD 的中点，//HF ED ∴，12HF ED =，12EG ED =，2AE AF =，2DE EG =，//HF EG ∴，HF EG =，∴四边形EFHG 是平行四形，AF EF HG ∴==， 22AB AE AF AF EC DE EG EG===，BAF CEG ∠=∠，ABF ECG ∴∆∆∽，∴BF AF CG EG=，∴BF HG CG HF=，BF HF CG HG ∴⋅=⋅．【点评】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形EFHG 是平行四形及ABF ECG ∆∆∽是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，其中点A 的坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一点M ，且点M 在第二象限，如果点M 到x 轴的距离与它到直线BD 的距离相等，求点M 的坐标；（3）抛物线上有一点N ，直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，求点N 到x 轴的距离．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点(1,)M m -，则MH m MN ==，在Rt BDH ∆中，21tan 42BH BDH DH ∠===，则1sin 45m BDH m ∠=+，即可求解；（3）直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，则ON 为BD 边上的中线，由点B 、D 的坐标得BD 的中点坐标为(2,2)--，进而求解．解：（1）由题意得：320c a c =-⎧⎨++=⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：223y x x =+-，则抛物线的对称轴为1x =-，则点(1,4)D --；（2）设抛物线的对称轴交x 轴于点R ，过点M 作MR BC ⊥于点R ，设点(1,)M m -，则MH m MR ==，在Rt BDH ∆中，21tan 42BH BDH DH ∠===，则sin 4MR m BDH MD m ∠==+，解得：1m =+，即点M的坐标为：(1)-+；（3） 直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，则ON 为BD 边上的中线，由点B 、D 的坐标得BD 的中点坐标为(2,2)--，则直线ON 的表达式为：y x =，联立223y x x =+-和y x =并解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点N 的坐标为113(2-，1132+-，故点N 到x轴的距离为：12+．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到重心的定义、解直角三角形、一次函数的应用等知识点，数形结合是本题解题的关键．25．（14分）如图，在矩形ABCD 中，3tan 4ABD ∠=，E 是边DC 上一动点，F 是线段DE 延长线上一点，且EAF ABD ∠=∠，AF 与矩形对角线BD 交于点G ．（1）当点F 与点C 重合时，如果6AD =，求DE 的长；（2）当点F 在线段DC 的延长线上，①求AG AE的值；②如果3DE CF =，求AED ∠的余切值．【分析】（1）设DE x =，根据矩形的性质即解直角三角形推出8CD AB ==，8AE CE x ==-，根据勾股定理得到2226(8)x x +=-，据此求解即可；（2）①AE 交BD 于点M ，连接EG ，根据相似三角形的判定与性质推出AMG DME ∆∆∽，AMD GME ∆∆∽，ABD GAE ∆∆∽，根据相似三角形的性质得出AB AG BD AE=，设3AD a =，则4AB a =，根据勾股定理求出5BD a =，据此求解即可；②设3AD a =，则4CD AB a ==，设CF x =，且0a >，0x >，则4DF a x =+，根据锐角三角函数得到cot DE x AED AD a∠==，根据勾股定理求出AE =，AF =DGF BGA ∆∆∽，根据相似三角形的性质得AG AB FG DF =，进而求出13x a =，据此即可得解．解：（1）如图，当点F 与点C 重合时，设DE x =，四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AC BD =，12DG BD =，12CG AC =，90ADC BAD ∠=∠=︒，AB CD =，ABD BDC ∴∠=∠，DG CG =，683tan 4AD CD AB ABD ====∠，ACD BDC ∴∠=∠，EAF ABD ∠=∠ ，EAF ACD ∴∠=∠，8AE CE x ∴==-，90ADC ∠=︒ ，222AD DE AE ∴+=，即2226(8)x x +=-，74x ∴=，74DE ∴=；（2）①如图，AE 交BD 于点M ，连接EG ，由（1）得，EAF BDC ∠=∠，AMG DME ∠=∠ ，AMG DME ∴∆∆∽，∴AM GM DM EM=，又AMD GME ∠=∠ ，AMD GME ∴∆∆∽，ADB GEA ∴∠=∠，ABD EAF ∠=∠ ，ABD GAE ∴∆∆∽，∴AB AG BD AE=，3tan 4AD ABD AB ∠== ，∴设3AD a =，则4AB a =，5BD a ∴===，∴4455AG AB a AE BD a ===；②如图，连接EG ，3tan 4AD ABD AB ∠== ，∴设3AD a =，则4CD AB a ==，设CF x =，且0a >，0x >，则4DF a x =+，3DE CF = ，3DE x ∴=，3cot 3DE x x AED AD a a ∴∠===，AE ==，AF ，//AB CD ，DGF BGA ∴∆∆∽，∴AGABFG DF =，44aa x =+，AG ∴=，由①得，45 AGAE=，54AG AE∴=，54∴=，两边平方并整理得，22(3)(7)(3287)0x a x a x ax a-+++=，a>，0x>，30x a∴-，2232870x ax a++>，30x a∴-=，∴13xa=，1 cot3AED∴∠=，即AED∠的余切值1 3．【点评】此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键．。

2023年上海市金山区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．（4分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝C．y＝3x2+1D．y＝2．（4分）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm3．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则∠B的正切值等于（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知，，是非零向量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣26．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴直线x＝1与x轴交于点D，若OA＜OD，那么下列判断正确的是（）A．a+b+c＜0B．a﹣b+c＞0C．2a+b+c＜0D．9a+3b+c＜0二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）已知，那么＝．8．（4分）已知f（x）＝x2﹣2x+3，那么f（2）＝．9．（4分）已知α是锐角，且cosα＝，那么α＝．10．（4分）将抛物线y＝2（x+4）2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是．11．（4分）抛物线y＝（k+2）x2﹣3x﹣1有最高点，那么k的取值范围是．12．（4分）∅如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是米（结果保留根号）．13．（4分）某商场场业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC＝米．14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC＝12，则BC＝．15．（4分）如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，联结BC，若AE＝2，BE＝3，设，，那么＝（用含、的式子表示）．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝．交于点E，如果C△EAF17．（4分）我们把将一个三角形面积分为相等的两个部分的直线称为美丽线．如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，直线DE是Rt△ABC的一条美丽线，直线DE分别交边AB、BC于点D、E，交AC延长线于点F，当DE⊥AB，BD＝2AD时，那么cos F的值为．18．（4分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E 为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）计算：+2cot30°•sin60°．20．（10分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；（2）已知点P（2，m）（m＞0），若△PAB的面积为6，求点P的坐标．21．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，BC＝6，BD 是对角线，BD⊥DC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）求CD的长．22．（10分）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m 的测角仪DE测得顶部A的仰角为31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G 处用高1.5m的测角仪FG测得顶部A的仰角为42°．求凉亭AB的高度（AB⊥BE，DE ⊥BE，FG⊥BE．结果精确到0.1m）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）23．（12分）如图，已知菱形ABCD中，点E在边CB延长线上，联结DE交边AB于点F，联结AE，过点F作FG∥BE交AE于点G．（1）求证：FG＝BF；（2）联结AC交DE于点O，联结BO，当∠FOB＝∠DAO时，求证：DO2＝AB•GF．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），顶点为点P，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；（2）将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，若此时MB∥AC，求m的值；（3）设点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，且点D在直线BC上方，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．25．（14分）已知平行四边形ABCD中，AB＝3，cot∠ABC＝，BC＝5，点P是对角线BD上一动点，作∠EPD＝∠ABC，射线PE交射线BA于点E，联结AP．（1）如图1，当点E与点A重合时，证明：△ABP∽△BCD；（2）如图2，点E在BA的延长线上，当EP＝AD时，求AE的长；（3）当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求AE的长．2023年上海市金山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．【分析】根据二次函数定义即可解答．【解答】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；B、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2．【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴tan B＝＝．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．4．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：只有选项C正确，理由是：∵AD＝2，BD＝4，＝，∴＝＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．5．【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴，故A能；∵，∴，故B能；∵||＝||，不能判断与方向是否相同，故C不能；∵，，∴＝﹣，∴，故D能，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6．【分析】根据二次函数的图象，当x＝1时，y＞0，可以判断A；根据x＝﹣1时，y＜0，可以判断B；根据对称轴可以得到2a和b的关系，根据对称轴与y轴的交点位置，可以得到c的正负，从而可以判断C；再根据x＝3时，y＜0，即可判断D．【解答】解：由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故选项A错误，不符合题意；∵对称轴直线x＝1与x轴交于点D，若OA＜OD，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故选项B错误，不符合题意；当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故选项D正确，符合题意；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴2a+b+c＞0，故选项C错误，不符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．【分析】因为，所以a＝b，代入求解即可．【解答】解：∵，∴a＝b，∴原式＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．8．【分析】将x＝2代入f（x）＝x2﹣2x+3求解即可．【解答】解：将x＝2代入f（x）＝x2﹣2x+3，得f（2）＝4﹣4+3＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了函数值，熟练掌握代入法是解题的关键．9．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：∵α是锐角，且cosα＝，∴α＝45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：y＝2（x+4）2的顶点坐标为（﹣4，0），∵向右平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得到的新抛物线的表达式是y＝2（x+1）2．故答案为：y＝2（x+1）2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．11．【分析】由抛物线有最高点可得抛物线开口方向，进而求解．【解答】解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，故答案为：k＜﹣2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．【分析】根据黄金分割为和题意，可以求得底部B到球体P之间的距离．【解答】解：由题意可得，底部B到球体P之间的距离是：468×＝（234﹣234）米，故答案为：（234﹣234）．【点评】本题考查黄金分割、认识立体图形，解答本题的关键是掌握黄金比是．13．【分析】根据自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，可以计算出BC的长．【解答】解：∵自动扶梯AB坡度i＝1：，∴＝，设BC＝x米，则AC＝x米，∵∠BCA＝90°，AB＝12米，∴AC2+BC2＝AB2，∴（x）2+x2＝122，解得x1＝6，x2＝﹣6（不合题意，舍去），即BC的长为6米，故答案为：6．【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确坡度就是坡角的正切值．14．【分析】根据题意，利用同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，进而得到tan∠BCD＝tan A，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴tan∠BCD＝tan A＝，在Rt△ABC中，AC＝12，∴tan A＝＝，则BC＝9，故答案为：9【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．15．【分析】由平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则解答．【解答】解：∵AC∥BD，AE＝2，BE＝3，∴＝＝，＝＝，∴BD＝AC，EC＝ED，∵＝，∴＝＝，∵，∴＝﹣，∴＝+＝+，∴＝﹣＝﹣﹣（+）＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大．16．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，可以得到的值，从：S四边形ABCF的值．而可以得到S△EAF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△EAF∽△CDF，：C△CDF＝1：2，∵C△EAF∴＝，∴＝，∴＝，∵AF∥BC，∴△EAF∽ABC，∴＝（）2＝（）2＝，：S四边形ABCF＝1：8，∴S△EAF故答案为：1：8．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．【分析】根据题意和相似三角形的判定和性质，可以得到BC和BD的关系，再根据锐角三角函数，即可得到cos B的值，然后根据∠B和∠F的关系，即可得到cos F的值．【解答】解：设AD＝x，则BD＝2x，由题意可得，＝，∵∠BDE＝∠BCA，∠DBE＝∠CBA，∴△DBE∽△CBA，∴＝，∴BC＝2x，∴cos B＝＝＝，∵∠BCA＝90°，∠ADF＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，∴cos F＝，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用、锐角三角函数、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝+2××＝+3＝1+3＝4．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O，可知点O（0，0）在该函数图象上，从而可以求得a的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到点A 的坐标；（2）根据（1）中的函数解析式，可以得到点B的坐标，再根据点P（2，m）（m＞0），△PAB的面积为6，点A（4，0），即可求得m的值，从而可以写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O，∴0＝a（0﹣2）2﹣4，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2﹣4，当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣4，解得x1＝0，x2＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵y＝（x﹣2）2﹣4，顶点为B，∴点B的坐标为（2，﹣4），∵点P（2，m）（m＞0），△PAB的面积为6，点A（4，0），∴＝6，解得m＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）根据平行线的性质可以得到∠ADB＝∠DBC，再根据∠A＝90°，BD⊥DC，可以得到∠A＝∠BDC＝90°，结论得证；（2）根据相似三角形的性质，可以求得BD的长，再根据勾股定理即可得到CD的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠A＝90°，BD⊥DC，∴∠A＝∠BDC＝90°，∴△ABD∽△DCB；（2）解：由（1）知：△ABD∽△DCB，∴，∵AD＝2，BC＝6，∴，解得DB＝2，∵∠BDC＝90°，∴BD2+CD2＝BC2，即（2）2+CD2＝62，解得CD＝2．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AC的长，然后即可求得AB的长．【解答】解：延长DF交AB于点C，如图所示，由题意可得，DE＝FG＝1.5m，∠ADC＝31°，∠AFC＝42°，DF＝3m，∵∠ACD＝∠ACF＝90°，∴CD＝，CF＝，∵DF＝CD﹣CF，∴3＝﹣，解得AC≈5.4，∴AB＝AC+BC＝5.4+1.5＝6.9（m），即凉亭AB的高度约为6.9m．【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AC的长．23．【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可以得到，，再根据菱形的性质可以得到AD＝BC，从而可以得到结论成立；（2）根据题意作出合适的辅助线，然后根据相似三角形的判定和性质、菱形的性质，可以证明结论成立．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，∵GF∥BE，∴GF∥AD，∴，∵BF∥CD，∴，∴，∴FG＝BF；（2）连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四边形ABCD是菱形，∠FAO＝∠DAO，∵∠FOB＝∠DAO，∴∠FOB＝∠FAO，又∵∠FBO＝∠ABO，∴△BOF∽△BAO，∴，∴BO2＝BA•BF，由（1）知：BF＝GF，∵BO＝DO，∴DO2＝AB•GF．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、菱形的性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法求得顶点坐标；（2）可得出点M为（1，m），C（0，﹣3），利用待定系数法求出AC的解析式，由MB ∥AC可得MB的解析式，将点M（1，m）代入MB的解析式即可求求解；（3）过点D作DH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，可得∠ABC＝45°，则sin∠ABC ＝，CK＝BK＝，求出AK＝2，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝，根据∠DBC＝∠BAC，得tan∠DBC＝，在Rt△DCH中，设DH＝k，则BH＝2k，得出D（2k﹣2，k﹣3），根据点D在抛物线y＝x2+2x﹣3上求出k的值，即可得到点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）如图1，y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+c，，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x﹣3，∵MB∥AC，∴设MB的解析式为y＝3x+d，，∵B（﹣2，﹣3），∴﹣6+d＝﹣3，解得d＝3，∴MB的解析式为y＝3x+3，∵将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，A（1，0），∴点M为（1，m），代入MB的解析式为y＝3x+3得，m＝3+3＝6，∴m的值为6；（3）如图2，过点D作DH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，∵点A（1，0），B（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝＝3，∴sin∠ABC＝，∴CK＝BK＝，∵AB＝3，∴AK＝2，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝，∵∠DBC＝∠BAC，∴tan∠DBC＝，在Rt△DCH中，设DH＝k，∴BH＝2k，∴CH＝2k﹣2，∴D（2k﹣2，k﹣3），∵点D在抛物线y＝x2+2x﹣3上，∴（2k﹣2）2+2（2k﹣2）﹣3＝k﹣3，解得k＝0（舍去）或，∴点D的坐标为（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，两直线平行的性质，锐角三角函数，解直角三角形等，灵活运用所学知识，数形结合是本题的关键．25．【分析】（1）由平行线边形的性质得∠ABP＝∠BDC，而∠APD＝∠EPD＝∠ABC，所以∠APD﹣∠ABP＝∠ABC﹣∠ABP，则∠BAP＝∠DBC，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABP∽△BCD；（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，由∠ABC＝∠DCH，得＝cot∠DCH＝cot∠ABC＝，则DH＝2CH，由勾股定理得CH2+（2CH）2＝（3）2，则CH＝3，DH＝6，即可由勾股定理求得BD＝10，因为△BEP∽△DBC，且EP＝AD＝BC，所以EB＝BD＝10，则AE＝EB﹣AB＝10﹣3；（3）分两种情况，一是点E在线段BA的延长线上，由△BEP∽△DBC，得＝，则AE＝3；二是点E在线段AB上，由△BEP∽△DBC，得＝，则AE＝．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABP＝∠BDC，∵点E与点A重合，∴∠APD＝∠EPD＝∠ABC，∴∠APD﹣∠ABP＝∠ABC﹣∠ABP，∵∠BAP＝∠APD﹣∠ABP，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABP，∴∠BAP＝∠DBC，∴△ABP∽△BCD．（2）解：如图2，作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则∠H＝90°，∵∠ABC＝∠DCH，∴＝cot∠DCH＝cot∠ABC＝，∴DH＝2CH，∵CH2+DH2＝CD2，且CD＝AB＝3，∴CH2+（2CH）2＝（3）2，解得CH＝3或CH＝﹣3（不符合题意，舍去），∴DH＝2×3＝6，∵BC＝5，∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，∴BD＝＝＝10，∵∠EBP＝∠BDC，∠BEP＝∠EPD﹣∠EBP＝∠ABC﹣∠EBP＝∠DBC，∴△BEP∽△DBC，∵EP＝AD＝BC，∴＝＝1，∴EB＝BD＝10，∴AE＝EB﹣AB＝10﹣3，∴AE的长是10﹣3．（3）解：∵△APE是以AP为底的等腰三角形，∴AE＝PE，如图3，点E在线段BA的延长线上，∵△BEP∽△DBC，∴＝，∴＝，解得AE＝3；如图4，点E在线段AB上，∵△BEP∽△DBC，∴＝，∴＝，解得AE＝，综上所述，AE的长是3或．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．。

2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为厘米．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+=．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为︒．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为．（不要求写出定义域）15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为2cm ．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为．三、解答题（共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan 452cos 60|1cot 30|sin 601︒︒--︒+︒-．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+【分析】根据比例的性质进行判断即可．解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意；D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．解：:1:3AD BD = ，∴14AD AB =，∴当14AE AC =时，AD AEAB AC=，//DE BC ∴，故A 选项能够判断//DE BC ；而C ，B ，D 选项不能判断//DE BC ．故选：A ．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a 与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 【分析】由//,//a c b c，可得//a b ，则a 与b 的方向相同或相反；由||2||a b = 可知，a 与b 的方向相同或相反；由0a b += ，可得a b =- ，则a 与b 的方向相反，由3ac = ，2b c =，可得1132c a b == ，则a与b 的方向相同，即可得出答案．解：对于A 选项，由//,//a c b c，可得//a b ，∴a与b 的方向相同或相反，故A 选项不符合题意；对于B 选项，a与b 的方向相同或相反，故B 选项不符合题意；对于C 选项，由0a b += ，可得a b =-，∴a与b 的方向相反，故C 选项不符合题意；对于D 选项，由3a c = ，2b c =，可得1132c a b == ，∴a与b 的方向相同，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 【分析】过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，根据垂直定义可得90ABO ∠=︒，根据已知可得2OB =，1AB =，然后在Rt ABO ∆中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．解：如图：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，90ABO ∴∠=︒， 点(2,1)A ，2OB ∴=，1AB =，在Rt ABO ∆中，1tan 2AB OB β==，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+【分析】根据左加右减的平移规律求解即可．解：将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为2(3)3y x =-+，故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．【分析】作CD AB ⊥于D ，由勾股定理求出AB ，由三角形的面积求出CD ，由AC BC >，可得以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点；若C 与斜边AB 有两个公共点，即可得出R 的取值范围．解：作CD AB ⊥于D ，如图所示：90ACB ∠=︒ ，3AC =，4BC =，5AB ∴==，ABC ∆ 的面积1122AB CD AC BC =⋅=⋅，125AC BC CD AB ⋅∴==，即圆心C 到AB 的距离125d =，AC BC < ，∴以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，∴若C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是1235R < ．故选：C ．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =4．【分析】根据线段比例中项的概念::a c c b =，可得216c ab ==，即可求出c 的值．解： 线段c 是a 、b 的比例中项，22816c ab ∴===，解得：4c =±，又 线段是正数，4c ∴=．故答案为：4．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为18厘米．【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24x =，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+= 5a b -- ．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．解：2()3()a b a b --+ 2233a b a b=--- 5a b =-- ．故答案为：5a b -- ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解答本题的关键．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是0a <．【分析】由抛物线的开口方向与a 的关系求解．解： 抛物线2y ax =的开口方向向下，0a ∴<，故答案为：0a <．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与a 的符号的关系．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是直线1x =．【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．解：2(1)2y x =--+ ，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =，故答案为：直线1x =．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为60︒．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．解： 正六边形的外角和是360︒，∴正六边形的一个外角的度数为：360660︒÷=︒，故答案为：60．【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是01d < ．【分析】根据点在圆内，0d r <，可得结论．解： 点A 在圆内，01d ∴< ，故答案为：01d <．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>②点P 在圆上d r ⇔=．③点P 在圆内d r ⇔<．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为(122)y x x =-．（不要求写出定义域）【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为(122)x -米，再利用矩形的面积公式，即可得出y 关于x 的函数解析式．解： 篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x 米，∴花圃平行于墙的一边长为(122)x -米．根据题意得：(122)y x x =-．故答案为：(122)y x x =-．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数解析式是解题的关键．15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为272cm ．【分析】连接CG 并延长交AB 于H ，由G 为ABC ∆的重心，可得23CG CH =，而//EF AB ，有CEF CAB ∆∆∽，23CE CG CA CH ==，故224()39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，有1549x x -=，即可解得答案．解：连接CG 并延长交AB 于H ，如图：G 为ABC ∆的重心，2CG GH ∴=，∴23CG CH =，//EF AB ，CEF CAB ∴∆∆∽，23CE CG CA CH ==，∴23EF CE CG AB AC CH ===，∴224(39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，则2(15)CEF S x cm ∆=-，∴1549x x -=，解得27x =，故答案为：27．【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于7．【分析】设另一个圆的半径长为r，根据两圆内切得出25-=，再求出r即可．rr-=或25解：设另一个圆的半径长为r，内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，r-=，∴-=或25r25解得：7r=-（半径不能为负，舍去），r=或3所以另一个圆的半径长是7．故答案为：7．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为a，()b a b>，两圆的圆心距为d，那么当a b d-=时，两圆的位置关系是内切．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为11或21．【分析】设半径长分别为13和20的A、B相交于点E、点F，24EF=，连接AE、BE，则13BE=，再分两种情况讨论，一是点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交AE=，20EF于点C，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得90CE CF==，BCE∠=︒，12可由勾股定理求得16=-=；二是点A、点B在直线EF的AB BC ACBC=，5AC=，则11异侧，BA 交EF 于点D ，则16BD =，5AD =，21AB BD AD =+=．解：半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，如图1，点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，AB 垂直平分EF ，90BCE ∴∠=︒，11241222CE CF EF ===⨯=，16BC ∴===，5AC ===，16511AB BC AC ∴=-=-=；如图2，点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，90BDE ADE ∠=∠=︒ ，11241222DE DF EF ===⨯=，16BD ∴==，5AD ===，16521AB BD AD ∴=+=+=，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．【点评】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为1．【分析】由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，可得36ABF CBF ∠=∠=︒，进而可得AF BC =，设BC AF x ==，则2CF x =-，结合已知条件证明BCF ACB ∆∆∽，则BC CF AC BC =，即22x x x-=，求出x 的值，即可得出答案．解：由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，ABF CBF ∴∠=∠，AB AC = ，36A ∠=︒，72ABC C ∴∠=∠=︒，36ABF CBF ∴∠=∠=︒，AF BF ∴=，18072BFC C CBF ∠=︒-∠-∠=︒，BC BF ∴=，AF BC ∴=，设BC AF x==，则2CF x=-，A CBF∠=∠，BCF ACB∠=∠，BCF ACB∴∆∆∽，∴BC CFAC BC=，即22x xx-=，解得1x=或1（舍去），1AF∴=-．1-．【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan452cos60|1cot30|sin601︒︒--︒+︒-．【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．解：原式12|1|2=⨯-11)=-+112)=-+-24=---2=--．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得E 的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E 的坐标．解：（1）由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为223y x x =--．（2）由（1）得，223y x x =--．∴该抛物线的对称轴是直线1x =．点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D 的横坐标为2-，E ∴的横坐标是4．∴当4x =时，16835y =--=．(4,5)E ∴．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．【分析】（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，先根据垂径定理得到3AE BE ==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中利用勾股定理得到2223(2)r r +-=，然后解方程即可；（2）连接OB ，如图，先利用3DE EC =得到OE CE =，即12OE OA =，再利用正弦的定义得到30A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算AOB ∠即可．解：（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，CD 平分AB ，3AE BE ∴==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中，2223(2)r r +-=，解得134r =，即O 的半径为134；（2）连接OB ，如图，3DE EC = ，3OC OE EC ∴+=，即3OE CE OE CE ++=，OE CE ∴=，1122OE OC OA ∴==，在Rt OAE ∆中，1sin 2OE A OA == ，30A ∴∠=︒，OA OB = ，30B A ∴∠=∠=︒，180120AOB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，即弦AB 所对的圆心角的度数为120︒．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）【分析】过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG =米，3CG BF ==米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x︒===，解得AB =，则(3)AF =+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，可得AF DF =，即3x =+，求出x 的值，进而可得答案．解：过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由题意得，6CD =米，45ADF ∠=︒，60ACB ∠=，CG BF =，BC FG =，斜坡CD 的坡度i =∴CG DG =，即DG =，在Rt CDG ∆中，由勾股定理得222)6CG +=，解得3CG =，DG ∴=米，3BF =米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x ︒===，解得AB ，(3)AF ∴=+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，AF DF ∴=，即3x +=+解得3x =，(3AF ∴=+米．∴灯的顶端A 与地面DE 的距离为(3+米．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到//AB CD ，AB CD =，则2AB CM =，CM DM =，再证明ABF CMF ∆∆∽，利用相似比得到2BF AB FM CM ==，同理方法证明CMF DMG ∆∆∽，则1FM CM MG DM==，所以22BF FM MG ==，然后利用224BF FM =，24FM BG FM ⋅=可得到结论；（2）先利用AB CD =得到CD =，22CM =，则22CG CM CD CG ==，加上MCG GCD ∠=∠，则可判断CMG CGD ∆∆∽，所以MGC DEC ∠=∠，然后利用平行线的性质得到EDC ACD BAC ∠=∠=∠，从而得到结论．【解答】证明：（1） 四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，M 是边CD 的中点，2AB CM ∴=，CM DM =，//AB CM ，ABF CMF ∴∆∆∽，∴2BF AB FM CM==， 四边形ACED 为平行四边形，//AC DE ∴，CMF DMG ∴∆∆∽，∴1FM CM MG DM==，22BF FM MG ∴==，224BF FM = ，244FM BG FM FM FM ⋅=⋅=，2BF FM BG ∴=⋅；（2）AB = ，AB CD =，CD ∴=，CM =，∴CG CD =，CM CG =，∴CG CM CD CG=，MCG GCD ∠=∠ ，CMG CGD ∴∆∆∽，MGC DEC ∴∠=∠，//AC CD ，EDC ACD ∴∠=∠，//AB CD ，BAC ACD ∴∠=∠，BAC BGC ∴∠=∠．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，求出BH =（3）因为45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，即可求解；②当ECF CAO ∠=∠时，同理可解．解：（1）由题意得：2(1)(2)2y x x x x =-+-=-++，则翻折后的函数表达式为：22y x x =--，即()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++-=⎨---<<⎩或 ；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，则1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，即32BH ⨯=，解得：BH =则sin BH ACB BC ∠==，则tan 3ACB ∠=；（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：2y x =-，设点(,0)P m ，在点(,2)E m m -，点2(,2)F m m m --或2(,2)m m m -++，则CE =，22FE m m =-+或24m -，如下图45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，即tan tan 3ECF ACB ∠=∠=，在CEF ∆中，过点F 作FH CE ⊥于点H，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：12m =或3414+（不合题意的值已舍去）；②当ECF CAO ∠=∠时，则tan tan 2ECF CAO ∠=∠=，同理可得：3t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：23m =或23+（不合题意的值已舍去）；综上，点P 的坐标为：1(2，0)或3(4+，0)或2(3，0)或2(3+，0)．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．【分析】（1）作CG AB ⊥于G ，解直角三角形BCG ，求得BG 和CG ，进而解直角三角形ACG ，求得AC ，从而得出AC AB =，进一步得出DCF CBD ∠=∠，从而CDF BDC ∆∆∽，进一步得出结论；（2）作DG CE ⊥于G ，解直角三角形BEG ，求得112EF BE ==，3CF CE EF =-=，解Rt DCG ∆，得出3tan 4DG AE DCF CG CE ∠===，进而设3DG a =，4CG a =，5CD a =，从而32a FG =，进而由CG FG CF +=得，3432a a +=，进一步得出结果；（3）由两种情形：当CF DF =时，可推出CD BC ==作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，进而证明DCK CBG ∆≅∆，从而2CK BG ==，4DK CG ==，进而求得BD ，根据（1）：2CD DF BD =⋅，求得DF ，进而求得BF ，进一步得出结果；当CD CF =时，可推出BD BC ==，作BH AC ⊥于H ，可得出4CD =，同样根据（1）2CD DF BD =⋅求得5DF =，进一步得出结果．【解答】（1）证明：如图1，作CG AB ⊥于G ，1cot 2BG ABC CG ∴∠==，cos ABC ∴∠=，2BG ∴=，24CG BG ==，3AG AB BG ∴=-=，5AC ∴=，AC AB ∴=，ACB ABC ∴∠=∠，ABD BCE ∠=∠ ，DCF CBD ∴∠=∠，CDF CDF ∠=∠ ，CDF BDC ∴∆∆∽，∴DF CD CD BD=，2CD DF DB ∴=⋅；（2）解：如图2，作DG CE ⊥于G ，CE AB ⊥ ，//DG AB ∴，FDG ABD BCE ∴∠=∠=∠，1tan tan tan 2EF BE FDG ABD BCE BE CE ∴∠=∠==∠==，112EF BE ∴==，3CF CE EF ∴=-=，在Rt DCG ∆中，3tan 4DG AE DCF CG CE ∠=== ，∴设3DG a =，4CG a =，5CD a =，32a FG ∴=，由CG FG CF +=得，3432a a +=，611a ∴=，30511CD a ∴==；（3）解：如图3，当CF DF =时，CDF ACF ∠=∠，ACF CBD ∠=∠ ，CDF CBD ∴∠=∠，CD BC ∴==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，90DKC CGB ∴∠=∠=︒，DCB ABC ∠=∠ ，()DCK CBG AAS ∴∆≅∆，2CK BG ∴==，4DK CG ==，2BK BC CK ∴=-=，BD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，2DF ∴==BF BD DF ∴=-=:5DF BF ∴=+如图4，当CD CF =时，CDF CFD BCD ∠=∠=∠，BD BC ∴==，作BH AC ⊥于H ，22CD DH CH ∴==，4BH CG ==，2DH BG ==，4CD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，24DF ∴=，DF ∴=852555BF BD DF ∴=-==，:4:1DF FB ∴=，综上所述：DF ；5FB =+或4:1．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．。

2023年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知tan A＝，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列结论正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝3．关于抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．开口向上B．与y轴的交点是（0，﹣3）C．顶点是（1，﹣3）D．对称轴是直线x＝﹣14．已知、为非零向量，下列判断错误的是（）A．如果＝2，那么∥B．如果＝，那么＝﹣C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．如果为单位向量，且＝2，那么||＝2 5．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（）A．米B．米C．米D．米6．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA 延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果＝，那么＝．8．已知线段AB＝6，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，那么PA的长是．9．如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，E是边AC的中点，延长BC到点D，使BC ＝2CD，那么DE的长是．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝5，那么cos ∠BCD的值是．12．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是米．13．把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．14．如果一条抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），那么该抛物线的对称轴是直线．15．已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．16．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y＝x2+x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．17．已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为．三、解答题（本大题共7题）19．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．⫋（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．21．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．22．小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）23．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2＝EF•EC．求证：（1）△ABD∽△FCB；（2）BD•BE＝AD•CE．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．25．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．2023年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接根据tan60°＝进行解答即可．【解答】解：∵tan A＝，A为锐角，tan60°＝，∴∠A＝60°．故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．2．【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴tan A＝＝，cot A＝＝，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．【分析】由二次函数的顶点式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣3，∴抛物线开口向下，顶点为（﹣1，﹣3），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，将x＝0代入y＝﹣2（x+1）2﹣3得y＝﹣5，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣5），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．4．【分析】根据平面向量的性质解答．【解答】解：A、如果＝2，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．B、如果＝，那么两向量为共线向量，则＝﹣，故本选项不符合题意．C、||＝||，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．D、根据向量模的定义知，||＝2||＝2，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．5．【分析】根据锐角三角函数，可以得到AC＝，BC＝，然后根据AC+BC＝AB，即可得到PC．【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴AC＝，BC＝，∵AB＝a，AB＝AC+BC，∴a＝+，解得PC＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】延长CD交射线BA于点E，由AD∥BC，得△EAD∽△EBC，再分三种情况讨论，一是点P与点E重合，此时△PAD∽△PBC；二是点P在点E与点A之间，因为∠PAD＝∠CBP，所以当＝时，△PAD∽△CBP，可由＝，求得AP＝，这样就验证了此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；三是点P在AE的延长线上，可通过计算证明此时△PAD与△PBC不相似．【解答】解：延长CD交射线BA于点E，∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，如图1，点P与点E重合，则△PAD与△EAD完全重合，∴△PAD∽△PBC；∵∠PAD＝∠CBP，∴当＝时，△PAD∽△CBP，∵AB＝3，AD＝2，BC＝4，∴＝，解得AP＝或AP＝（不符合题意，舍去），∴此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；如图3，点P在AE的延长线上，∴PA＝PB，∴A为BP的中点，∴AP＝AB＝3＝AE，显然与点P在AE的延长线上不符，∴此时△PAD与△PBC不相似，综上所述，这样的点P有2个，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确理解与应用相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】直接利用已知得出x，y的关系，进而代入原式化简即可．【解答】解：∵＝，则x＝y，故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用y表示出x的值是解题关键．8．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，AB＝6，∴AP＝AB＝×6＝3﹣3，故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．9．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．【分析】取BC的中点F，连接EF，根据三角形中位线定理可得EF＝2，再利用线段垂直平分线的性质可得答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，∵点E为AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝2，∵BC＝2CD，∴FC＝CD，∵AC⊥BC，∴AC垂直平分DF，∴DE＝EF＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造三角形中位线是解题的关键．11．【分析】由余角的性质得到∠BCD＝∠A，求∠A的余弦值即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴cos∠BCD＝cos A＝＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义．12．【分析】由i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，令BC＝4x（米），AC＝3x（米），得到AB＝5x （米），由BC＝4x＝4.8米，求出x的值，即可求出AB的长．【解答】解：∵i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，∴令BC＝4x（米），AC＝3x（米），∴AB＝＝＝5x（米），∵BC＝4x＝4.8（米），∴x＝1.2，∴AB＝5x＝6（米）．故答案为：6．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度，关键是掌握坡度的定义．13．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，1），则平移后顶点坐标为（﹣2，1），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．【解答】解：∵y＝x2+1顶点坐标为（0，1），∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，1），∴所得新抛物线的表达式为y＝（x+2）2+1．故答案为：y＝（x+2）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．14．【分析】由抛物线的对称性求解．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．15．【分析】由抛物线经过（0，2）可得c＝2，由y轴左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，对称轴为y轴或对称轴在y轴右侧，进而求解．【解答】解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，∴y＝﹣x2+2符合题意．故答案为：y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．16．【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：∵y＝x2+x＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，y有最大值，最大值为，∴水珠的最大离地高度是，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．17．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．18．【分析】设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，再根据勾股定理求解．【解答】解：设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，当旋转90°时，A′B＝x，∵sin A＝，∴B′D＝x，∴AD＝x，∴BD＝AB﹣AD＝x，∴＝，同理：当旋转270°时，＝，故答案为：或．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19．【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，由AD＝2DB，可得DE＝BC，即可得DE＝；（2）由DE＝BC，DE∥BC，＝，知＝，故＝+＝+．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2DB，∴＝，∴＝，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝；（2）由（1）知DE＝BC，∴BC＝DE，∵DE∥BC，＝，∴＝，∴＝+＝+．【点评】本题考查相似三角形及平面向量，解题的关键是掌握三角形相似的判定与性质，能进行向量的简单运算．20．【分析】（1）配成顶点式即可得到顶点坐标；（2）根据抛物线顶点和与y轴交点可画出函数图象；（3）观察函数图象可得答案．【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及配方法，解题的关键是画出函数图象．21．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝8，即得tan B＝＝；（2）由（1）知tan B＝，可得tan C＝，即得＝，而CD＝5，故DE＝4，CE＝3，BE＝BC﹣CE＝9，由＝，有EF＝12，故DF＝EF﹣DE＝8，从而＝＝2．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝；（2）由（1）知tan B＝，∴tan C＝，∴＝，∵D是AC的中点，AC＝10，∴CD＝5，∴DE＝4，CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，∵tan B＝，∴＝，∴EF＝12，∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，∴＝＝2．【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形求出tan B＝．22．【分析】设直线EF交AB于G，可得∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，设AG＝GE＝x米，在Rt△AGF中，tan37°＝，即0.75＝，解出x的值，即可求得答案．【解答】解：设直线EF交AB于G，如图：根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，∴△AEG的等腰直角三角形，∴AG＝GE，设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△AGF中，tan∠AFG＝，∴tan37°＝，即0.75＝，解得：x＝10.5，∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，答：旗杆AB的高度是12.1米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．23．【分析】（1）由BE2＝EF•EC，∠BEF＝∠CEB，可得△BEF∽△CEB，有∠EBF＝∠ECB，又AD∥BC，有∠ADB＝∠FBC，故△ABD∽△FCB；（2）由△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB，可得＝，＝，即得＝，从而BE•BD＝AD•CE．【解答】证明：（1）∵BE2＝EF•EC，∴＝，∵∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴∠EBF＝∠ECB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∴△ABD∽△FCB；（2）由（1）知△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB∴＝，＝，∴＝，∴BE•BD＝AD•CE．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的表达式；（2）①由PO＝PA得点P在OA的垂直平分线上，则点P的横坐标m＝1，求出直线AB 为y＝﹣x+2，可得OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），由新抛物线的顶点在△AOB的内部可得n的取值范围，即可求解；②设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），证明△AOQ∽△ABO，根据相似三角形的性质可得OQ＝，利用勾股定理得出x＝或，则Q（，）或（，）（舍去），直线OQ为y＝x，可得n＝m，则新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m经过原点，求出m的值，即可得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；（2）①∵PO＝PA，∴点P在OA的垂直平分线上，∵点A（2，0），∴点P的横坐标m＝1，设直线AB为y＝kx+b，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴直线AB为y＝﹣x+2，当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，∴OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），∵新抛物线的顶点P（m，n）在△AOB的内部，∴n的取值范围为0＜n＜1，∴1＜m+n＜2；②如图，设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），∵∠POA＝∠OBA，∠OAQ＝∠BAO，∴△AOQ∽△ABO，∴，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴OA＝2，BO＝＝，BA＝3，∴，∴OQ＝，∴＝，解得x＝或，∴Q（，）或（，）（舍去），∴直线OQ为y＝x，∵P（m，n），∴n＝m，∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m，∵新抛物线经过原点，∴﹣（﹣m）2+m＝0，解得m＝0或m＝，∴点P的坐标为（，）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法以及相似三角形的判定和性质．25．【分析】（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，由AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，得四边形ABKD是矩形，知BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，证明△DKC∽△ETC，有＝＝，即可求出tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，由CE＝2DE，可得＝＝，ES＝，CR＝CS，证明△BSE∽△ESC，有＝，即得CR＝，从而AD 的长为；＝AB•BW＝×（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，可得BW＝，S△ABE4×＝；当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，可得BP＝3+＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6或BP＝3﹣，S△ABE﹣2；当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，设QE＝x＝BI，＝AB•EQ＝×4×＝．可得＝，故S△ABE【解答】解：（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，如图：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，∴四边形ABKD是矩形，∴BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，∴CK＝BC﹣BK＝6﹣1＝5，∵CE＝3DE，∴＝，∵∠DKC＝90°＝∠ETC，∠C＝∠C，∴△DKC∽△ETC，∴＝＝＝，即＝＝，∴ET＝3，KT＝，∴BT＝BK+KT＝，∵AB∥ET，∴∠ABE＝∠BET，∴tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝，∴∠ABE的正切值为；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，如图：∵CE＝2DE，∴＝，同（1）可得＝＝，DR＝4，∴＝＝，∴ES＝，CR＝CS，∵BE⊥CD，∴∠BES＝90°﹣∠CES＝∠C，∵∠BSE＝90°＝∠ESC，∴△BSE∽△ESC，∴＝，即＝，∴CS＝或CS＝，∴CR＝（大于6舍去）或CR＝，∴BR＝BC﹣CR＝，∴AD＝；∴AD的长为；（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，如图：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°＝∠BWE，∵∠EBW＝∠CBE，∴△EBW∽△CBE，∴＝，即＝，∴BW＝，＝AB•BW＝×4×＝；∴S△ABE当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，如图：∴BM＝AB＝2＝EP，同（2）可得＝，∴＝，解得BP＝3+或BP＝3﹣，＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6﹣2；∴S△ABE当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，如图：设QE＝x＝BI，则AQ＝＝，CI＝6﹣x，∴BQ＝EI＝4﹣，∵∠CEI＝90°﹣∠BEI＝∠QEB，∠EQB＝90°＝∠EIC，∴△EQB∽△EIC，∴＝，即＝，解得x＝0（舍去）或x＝，＝AB•EQ＝×4×＝，∴S△ABE综上所述，△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．【点评】本题考查直角梯形的应用，涉及锐角三角函数，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．。

2023年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知抛物线y＝x2﹣3，如果点A（1，﹣2）与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能判定DE∥BC的是（）A．B．C．D．4．（4分）如果C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）在直角坐标平面内有一点A（3，1），设OA与x轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，那么AP：AB等于（）A．B．C．D．2：3二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a＝4，b＝16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是．8．（4分）已知，那么f（﹣1）的值是．9．（4分）一次函数y＝3x+1的图象不经过的象限是．10．（4分）如果两个等边三角形的边长的比是1：4，那么它们的周长比是．11．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F．如果AC＝2，AE＝6，DF＝3，那么BD＝．12．（4分）在△ABC中，如果AB＝AC＝7，BC＝10，那么cos B的值是．13．（4分）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AD＝6，那么线段DG的长是．14．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果DE：BC＝2：5，那么EF：AB的值是．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC：AD＝3：2，那么S△ADC：S△ABC的值为．16．（4分）已知一斜坡的坡度i＝1：3，高度为20米，那么这一斜坡的坡长约米．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．18．（4分）我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为α，我们把sinα的值叫做这个平行四边形的“变形系数”，如果矩形的面积为5，其变形后的平行四边形的面积为4，那么这个平行四边形的“变形系数”是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4cos30°•sin60°+．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．22．（10分）九（1）班同学在学习了“解直角三角形”的知识后，开展了“测量学校教学大楼高度”的活动中，在这个活动中他们设计了以下两种测量的方案：课题测量教学大楼的高度方案方案一方案二测量示意图测得数据甲楼和乙楼之间的距离AC ＝20米，乙楼顶端D 测得甲楼顶端B 的仰角α＝35°，测得甲楼底端A 的俯角β＝40°甲楼和乙楼之间的距离AC ＝20米，甲楼顶端B 测得乙楼顶端D 的俯角∠FBD ＝35°，测得乙楼底端C 的俯角，∠FBC ＝57°参考数据sin35°≈0.57，sin40°≈0.64，sin57°≈0.84，cos35°≈0.82，cos40≈0.77，cos57°≈0.54，tan35°≈0.70，tan40°≈0.84，tan57°≈1.53请你选择其中一种方案，求甲楼和乙楼的高度．（结果精确到1米）23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求证：AE•BD＝AD•DC；（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．25．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交对角线BD于点F，∠DCE＝∠ADB．（1）求证：AB•BC＝BF•CE；（2）如果AD＝3DE＝6．①求CF的长；②如果BD＝10，求cos∠ABC值．2023年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】根据反比例函数及一次函数的增减性即可得答案．【解答】解：A、函数y＝，y随自变量x的值增大而增大，故此选项不符合题意；B、函数y＝﹣，y随自变量x的值增大而减小，故此选项符合题意；C、函数y＝，x＞0时，y随自变量x的值增大而减小，x＜0时，y随自变量x的值增大而减小，故此选项不符合题意；D、函数y＝﹣，x＞0时y随自变量x的值增大而增大，x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查一次函数、反比例函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的性质．2．【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可．【解答】解：∵y＝x2﹣3的对称轴为x＝0，∴点A（1，﹣2）关于该抛物线的对称轴对称点B的坐标为（﹣1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质．3．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵＝，∴DE∥BC，选项B不符合题意；由，不能判定DE∥BC，选项C符合题意；∵，∴DE∥BC，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．4．【分析】根据点C是线段AB的中点，可以判断||＝||，但它们的方向相反，继而即可得出答案．【解答】解：由题意得：||＝||，且它们的方向相反，∴+＝，，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与的不同．5．【分析】过A作AB⊥x轴于B，由点A的坐标求出AB和OB的长，由勾股定理求出OA 的长，再由锐角三角函数的定义，即可得到答案．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，∵A的坐标是（3，1），∴AB＝1，OB＝3，∵OA＝＝＝，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝，cotα＝＝3，故选：C．【点评】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AC和AB的关系，然后再根据题意可知AC＝AP，从而可以得到AP：AB的值．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴AC＝AB，由题意可知：AC＝AP，∴AP：AB＝AC：AB＝＝1：，故选：A．【点评】本题考查等腰直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝64，解得：c＝±8，又∵线段是正数，∴c＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．8．【分析】将x＝﹣1代入求解即可．【解答】解：将x＝﹣1代入，得f（﹣1）＝＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数值，熟练掌握代入法是解题的关键．9．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝3x+1中，k＝3＞0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．故答案为：第四象限．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．10．【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定得出这两个等边三角形相似，再根据相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：∵两个三角形都是等边三角形，∴这两个等边三角形的角都是60°，∴这两个等边三角形相似，相似比为1：4，∵两个等边三角形的边长的比是1：4，∴它们的周长比是1：4．故答案为：1：4．【点评】本题考查了等边三角形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记等边三角形的性质和相似三角形的性质和判定是解此题的关键．11．【分析】根据平行线分线段成比例定理，可以求得BD的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AC＝2，AE＝6，DF＝3，∴，解得BD＝，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．【分析】过A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD的长，由锐角的余弦即可求解．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝10，∴BD＝BC＝5，∵AB＝7，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握锐角的余弦定义，构造直角三角形是解此题的关键．13．【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．14．【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以得到EF：AB的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，＝，故答案为：3：5．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．【分析】根据题意和图形，可知S△ADC：S△ABC＝，再根据BC：AD＝3：2，即可得：S△ABC的值．到S△ADC【解答】解：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∴△ADC的边BC上的高和△ADC的边AD上的高相等，：S△ABC＝，∴S△ADC∵BC：AD＝3：2，∴AD：BC＝2：3，：S△ABC＝＝2：3，∴S△ADC故答案为：2：3．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、梯形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．【分析】先根据勾股定理求出斜坡与高的比，再列方程求解．【解答】解：设斜坡的坡长为x米，∵i＝1：3，∴斜坡占＝份，∴x：20＝：1，解得：x＝20，故答案为：20．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理的应用是解题的关键．17．【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：由题意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，则AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．18．【分析】设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∵S矩形＝ab＝5，S平行四边形＝ah＝4，∴b＝，h＝，∴sinα＝＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识点，正确的理解“变形系数”的定义是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝4××+＝3+＝3+2+＝5+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，再根据平移的性质“左加右减，上加下减”得到平移后的解析式，从而得出结论；（2）根据平移后解析式，找打顶点坐标，对称轴以及根据对称性求出x，y的对应值，用五点法画出函数图象．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位得新抛物线解析时为y＝﹣（x﹣1+3）2+4﹣2，即y＝﹣（x+2）2+2，∴抛物线开口方向向下，顶点坐标为（﹣2，2），对称轴为直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；（2）∵抛物线的顶点为（﹣2，2），对称轴为x＝﹣2，当x＝﹣1或﹣3时，y＝1，当x＝0或﹣4时，y＝﹣2，∴用五点法画出函数图象，如图所示：【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关键是用平移的性质解题．21．【分析】（1）根据三角形相似的判定和性质可得结论；得．【解答】（1）证明：∵BD＝AB＝BC，E是BD的中点，∴BE＝BD，又∵∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵BD＝AB＝BC，∴BD＝DC，∴＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝2﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，掌握三角形法则即可解答该题，属于基础题．22．【分析】我们不妨证明方案一，首先根据已知条件并结合三角函数的定义表示出DC与BE，再结合线段之间的关系不难求出AB的长．【解答】解：方案一，在Rt△ACD中，由三角函数的定义可得：tanβ＝，∴CD＝tan40°×20≈0.84×20＝17（米）；Rt△BDE中，由三角函数的定义可得：tanα＝，∵DE＝AC＝20米，∴BE＝tan35°×20≈0.70×20＝14.0（米），∵AE＝CD＝17米，∴AB＝BE+AE＝31米；故甲楼和乙楼的高度分别为31米和17米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题仰角等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义．23．【分析】（1）利用平行线的性质证明∠ADB＝∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE ∽△DBC，由此即可解决问题；（2）利用（1）的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠EAD＝∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD＝DC：BD，∴AE•BD＝AD•DC；（2）∵AE：AD＝DC：BD，且，∴＝，而∠EDF＝∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF＝∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．24．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A，C，D的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平+S△DFC解答即行线的性质求得点E，F坐标，再利用四边形ACDE的面积＝S平行四边形EFCA 可；②依据题意画出图形，利用A，C，D的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E坐标和线段DE，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ，则结论可求．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，经过点C（3，0），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴A（2，﹣1）．设抛物线的对称轴交x轴于点G，∴AG＝1．令x＝0，则y＝3，∴D（0，3），∴OD＝3．令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（1，0）．如果DE∥AC，需将抛物线向左平移，设DE交x轴于点F，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H，如图，∵点C的坐标为（3，0），∴OC＝3．由题意：∠ACB＝45°，∵DE∥AC，∴∠DFC＝∠ACB＝45°．∴OF＝OD＝3，∴F（﹣3，0），由题意：EH＝1，∴FH＝EH＝1，∴E（﹣4，﹣1）．∵AE∥x轴，DE∥AC，∴四边形EFCA为平行四边形，∵AE＝2﹣（﹣4）＝6，＝6×1＝6．∴S平行四边形EFCA＝FC•OD＝6×3＝9，∵S△DFC+S△DFC＝6+9＝15；∴四边形ACDE的面积＝S平行四边形EFCA②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，∠DQE＝∠CDQ，如图，当点Q在x轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x轴于F，由题意：EF＝1．∵OD＝OC＝3，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，∴∠FCE＝∠OCD＝45°，∴CF＝EF＝1，∴E（4，﹣1）．∵CD＝＝3，CE＝＝，∴DE＝CD+CE＝4．∵∠DQE＝∠CDQ，∴EQ＝DE＝4，∴QF＝EF+EQ＝4+1，∴Q（4，﹣4﹣1）；当点Q在x轴的下方时，此时为点Q′，∵∠DQ′E＝∠CDQ′，∴EQ′＝DE＝4，∴Q′F＝EQ′﹣EF＝4﹣1，∴Q′（4，4﹣1）．综上，当∠DQE＝∠CDQ时，点Q的坐标为（4，﹣4﹣1）或（4，4﹣1）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．25．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，则∠CED＝∠BCF，∠ADB＝∠CBF，而∠DCE＝∠ADB，所以∠DCE＝∠CBF，即可证明△DCE∽△CBF，再根据“相似三角形的对应边成比例”推导出AB•BC＝BF•CE即可；（2）①由AD＝3DE＝6，得AD＝BC＝6，DE＝2，再证明△DEF∽△BCF，得＝＝，则EF＝CF，CE＝CF，由△DCE∽△CBF，＝，即可求得CF＝3；②作DG∥CE交BC的延长线于点G，作DH⊥BG交BG的延长线于点H，则CG＝DE＝2，DG＝CE＝CF＝4，所以BG＝8，由勾股定理得102﹣BH2＝42﹣（BH﹣8）2，求得BH＝，则CH＝，GH＝，再求得DH2＝DG2﹣GH2＝，则CD＝＝5，所以cos∠ABC＝cos∠DCH＝＝．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠CED＝∠BCF，∠ADB＝∠CBF，∵∠DCE＝∠ADB，∴∠DCE＝∠CBF，∴△DCE∽△CBF，∴＝，∴＝，∴AB•BC＝BF•CE．（2）解：①如图2，∵AD＝3DE＝6，∴AD＝BC＝6，DE＝2，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝＝，∴EF＝CF，∴CE＝EF+CF＝CF+CF＝CF，∵△DCE∽△CBF，∴＝，∴＝，解得CF＝3或CF＝﹣3（不符合题意，舍去），∴CF的长是3．②如图2，作DG∥CE交BC的延长线于点G，作DH⊥BG交BG的延长线于点H，∵DE∥CG，DG∥CE，∴四边形CEDG是平行四边形，∴CG＝DE＝2，DG＝CE＝CF＝×3＝4，∴BG＝BC+CG＝6+2＝8，∵∠H＝90°，BD＝10，∴BD2﹣BH2＝DG2﹣GH2＝DH2，∴102﹣BH2＝42﹣（BH﹣8）2，解得BH＝，∴CH＝BH﹣BC＝﹣6＝，GH＝BH﹣BG＝﹣8＝，∴DH2＝DG2﹣GH2＝42﹣（）2＝，∴CD＝＝＝5，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCH，∴cos∠ABC＝cos∠DCH＝＝＝．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．。

2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，二次函数是（）A．y＝x+1B．y＝x（x+1）C．y＝（x+1）2﹣x2D．2．（4分）已知点A（1，2）在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为（）A．B．2C．D．3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．2米C．米D．9米5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD＝∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：cot30°＝．8．（4分）计算：＝．9．（4分）如果函数f（x）＝2x2﹣3x+1，那么f（2）＝．10．（4分）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．11．（4分）已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞NP），如果MN＝10，那么线段MP ＝．12．（4分）已知在△ABC中，AB＝13，BC＝17，tan B＝，那么AC＝․13．（4分）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．14．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m ＝．15．（4分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝﹣x2+6x（0≤x≤4）．水珠可以达到的最大高度是（米）．16．（4分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74°，那么小球在最高和最低位置时的高度差为厘米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）17．（4分）如图，已知在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝CB，点E、F分别在线段AB、AD上．如果CE⊥BF，那么的值为．18．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，点A、D分别落在点A′、D′处，边A′B′、A′C分别与边AD交于点M、N，那么线段MN的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线；（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．20．（10分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．（1）设，＝（用向量表示）；（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．21．（10分）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）22．（10分）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：＝；sin∠ABC＝；（1）S△ABC＝S△ABC．（不要求写作法，（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP但保留作图痕迹，写出结论）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、BD、BC上，AB2＝AD•AC，∠BAE＝∠CAF．（1）求证：△ABE∽△ACF；（2）联结EF，如果BF＝CF，求证：EF∥AC．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH＝AH，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．25．（14分）已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE ＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：A、y＝x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝x（x+1）是二次函数，故此选项符合题意；C、y＝（x+1）2﹣x2可化为y＝2x+1，不是二次函数，故此选项不合题意；D、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义，一次函数、反比例函数定义．2．【分析】根据题意，画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理可以得到OA的长，从而可以计算出cosα的值．【解答】解：连接OA，作AB⊥x轴于点B，则∠ABO＝90°，∵点A（1，2）∴OB＝1，AB＝2，∴OA＝＝＝，∵射线OA与x轴正半轴的夹角为α，∴cosα＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出OA的长．3．【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【解答】解：A、得出的是向量n的方向不是单位向量，故不符合题意；B、符合向量的长度及方向，故符合题意；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；D、左边得出的是向量m的方向，右边得出的是向量n的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了向量的性质．注意：平面向量既有大小，又有方向．4．【分析】由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：∵BC：AC＝1：3，∴3：AC＝1：3，∴AC＝9，∴AB＝＝＝3，∴物体从A到B所经过的路程为3，故选：A．【点评】本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．5．【分析】根据题意，易证明△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质即可选择．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，故A、B选项正确，不符合题意；故C选项错误，符合题意；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．6．【分析】根据相似三角形的判定逐一判定即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，故A正确；∵△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠BAG＝∠CAE，∴△ADE∽△ACG，故B正确；∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACE∽△ABG，故C正确；由已知条件无法证明△ADE∽△CGE，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可．【解答】解：根据特殊角的三角函数值知：cot30°＝，故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．8．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）+＝﹣+＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．9．【分析】计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝2代入f（x）＝2x2﹣3x+1得：f（2）＝2×22﹣3×2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．10．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的对应高的比为：2：3，故答案为：2：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．11．【分析】由黄金分割的定义得PM＝MN，即可得出结论．【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，MN＝10，∴PM＝MN＝×10＝5﹣5，故答案为：5﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．12．【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝，AB＝13，BC＝17，∴设AD＝5x，则BD＝12x，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1（负值舍去），∴AD＝5x＝5，BD＝12x＝12，∴CD＝BC﹣BD＝17﹣12＝5，由勾股定理得：AC＝＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理解此题的关键．13．【分析】由题意可得抛物线开口向上，进而求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a＞0，故答案为：a＞0．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．14．【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向下平移2个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x 轴上，∴m＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．15．【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x，＝﹣（x2﹣4x），＝﹣[（x﹣2）2﹣4]，＝﹣（x﹣2）2+6，∴当x＝2时，y有最大值6，∴水珠可以达到的最大高度为6米．故答案为：6．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．16．【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．【解答】解：如图：过A作AB⊥OC于B．Rt△OAB中，OA＝50厘米，∠AOB＝74°÷2＝37°，∴OB＝OA•cos37°＝50×cos37°．∴BC＝OC﹣OB＝50﹣50×cos37°＝50（1﹣cos37°）≈50×0.2＝10（厘米）．故答案为：10．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．17．【分析】连接AC，过C作CG⊥AB于G，由AB＝BC，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，即可得＝＝，根据∠DAB＝90°，CE⊥BF，可证△ABF∽△GCE，故＝＝．【解答】解：连接AC，过C作CG⊥AB于G，如图：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AG＝AC＝AB，∴CG＝＝AG，∴＝＝，∵∠DAB＝90°，CE⊥BF，∴∠AFB+∠AEC＝180°，∵∠AEC+∠CEG＝180°，∴∠AFB＝∠CEG，∵∠FAB＝90°＝∠CGE，∴△ABF∽△GCE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．18．【分析】过点A′作A′E⊥AD于点E，先根据勾股定理求出AC＝10，再根据旋转的性质可得BC＝B′C＝8，AB＝A′B'＝6，∠B＝∠AB′M＝∠A′B′C＝90°，则AB′＝2，再证明△AB′M∽△ADC，由相似三角形的性质求出B′M＝，AM＝，则A′M＝，再证明△A′ME∽△AMB′，由相似三角形的性质求出A′E＝，ME＝，则DE＝，设EN＝x，则DN＝，易证明△A′NE∽△CND，相似三角形的性质列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点A′作A′E⊥AD于点E，∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝，∵将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，∴BC＝B′C＝8，AB＝A′B′＝6，∠B＝∠AB′M＝∠A′B′C＝90°，∵AB′＝AC﹣B′C＝10﹣8＝2，∵∠AB′M＝∠D，∠B′AM＝∠CAD，∴△AB′M∽△ADC，∴，即，∴B′M＝，AM＝，∴A′M＝A′B′﹣B′M＝，∵A′E⊥AD，∴∠A′EM＝∠AB′M，∵∠A'ME＝∠AMB′，∴△A′ME∽△AMB′，∴，即，∴A′E＝，ME＝，∴AE＝AM+ME＝，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝，设EN＝x，则DN＝，∵∠A′EN＝∠D＝90°，∠A′NE＝∠CND，∴△A′NE∽△CND，∴，即，解得：x＝，∴EN＝，∴MN＝ME+EN＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】（1）当m＝n时，则点A和点B为抛物线上的对称点，然后利用抛物线的对称性确定对称轴；（2）先利用一次函数解析式确定点A、B的坐标，再把点A、B的坐标分别入y＝ax2+bx+2得a、b的方程组，则解方程可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵A（1，m）、B（3，n），m＝n，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；故答案为：x＝2；（2）把A（1，m）、B（3，n）分别代入y＝x﹣1得m＝0，n＝2，∴A（1，0）、B（3，2），把A（1，0）、B（3，2）分别代入y＝ax2+bx+2得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．20．【分析】（1）连接AG并延长交BC于M，由G是△ABC的重心，DE∥BC，可得＝＝＝，而＝，即得＝；（2）证明△ACD∽△ABC，可得AC2＝AB•AD，即得AC＝3．【解答】解：（1）连接AG并延长交BC于M，如图：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2MG，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴DE＝BC，∵＝，DE∥BC，∴＝；故答案为：；（2）∵AB＝9，由（1）知＝，∴AD＝6，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即AC2＝AB•AD，∴AC2＝9×6，解得AC＝3（负值已舍去），∴边AC的长为3．【点评】本题考查平面向量和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．21．【分析】过P作PH⊥AB于H，由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，BH＝＝50≈86.6米，可得AB＝AH+BH≈136.6米，而136.6÷＝8.196（秒），即可得到答案．【解答】解：过P作PH⊥AB于H，如图：由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，∵∠PAH＝45°，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，tan30°＝，∴BH＝＝50≈86.6米，∴AB＝AH+BH≈136.6米，∵60千米/小时＝米/秒，而136.6÷≈8.2（秒），∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．22．【分析】（1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求S△ABC，过A作AD⊥BC于D，用面积法可求AD的长，在Rt△ABD中可得sin∠ABC；（2）取格点E，F，连接EF交AB于P，由AE＝BF可知AP＝BP，从而AP＝AB，＝S△ABC，故P是满足条件的点．即可得S△ACP【解答】解：（1）由图可得：S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×2＝4，过A作AD⊥BC于D，如图：∵וAD＝4，∴AD＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：4，；（2）如图：点P即为所求点．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理．23．【分析】（1）由AB2＝AD•AC可得△ABC∽△ADB，有∠ACB＝∠ABD，又∠BAE＝∠CAF，故△ABE∽△ACF；（2）由△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，可得＝，＝，即得＝，而BF＝CF，可得＝，△EBF∽△DBC，从而∠BEF＝∠BDC，EF∥AC．【解答】证明：（1）如图：∵AB2＝AD•AC，∴＝，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴∠ACB＝∠ABD，∵∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF；（2）如图：由（1）知△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，∴＝，＝，∴＝，∵BF＝CF，∴＝，即＝，∵∠EBF＝∠DBC，∴△EBF∽△DBC，∴∠BEF＝∠BDC，∴EF∥AC．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）用待定系数法可得y＝﹣x2﹣x+3；（2）由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），可得PH＝﹣m2﹣3m，由△AHG∽△ACO，可得AH＝m+5，故﹣m2﹣3m＝m+5，即可解得P（﹣，）；（3）作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），证明△BDK∽△CDO，可得BK＝，DK＝，从而BE＝2BK＝2，又△EWB∽△DKB，即可得EW＝2，BW ＝4，E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，故E 在直线直线AP上．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），C（0，3）代入x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）如图：由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），则H（m，m+3），∴PH＝（﹣m2﹣m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，HG＝m+3，∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，∴△AHG∽△ACO，∴＝，即＝，∴AH＝m+5，∵PH＝AH，∴﹣m2﹣3m＝m+5，解得m＝﹣或m＝﹣4（与A重合，舍去），∴P（﹣，）；（3）点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由如下：作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，如图：由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），∴D（﹣，0），BD＝，∵C（0，3），∴CD＝，∵B，E关于直线CD对称，∴∠BKD＝90°＝∠DOC，BK＝EK，∵∠CDO＝∠BDK，∴△BDK∽△CDO，∴＝＝，即＝＝，∴BK＝，DK＝，∴BE＝2BK＝2，∵∠EWB＝90°＝∠DKB，∠WBE＝∠DBK，∴△EWB∽△DKB，∴＝＝，即＝＝，∴EW＝2，BW＝4，∴OW＝BW﹣OB＝3，∴E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，在y＝2x+8中，令x＝﹣3得y＝2，∴E在直线直线AP上，即B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．25．【分析】（1）可推出△BEF是等边三角形，从而BE＝EF，设DE＝DF＝x，从而表示出EF和BE，进一步得出结果；（2）①延长EG，交BC于T，作CR∥ET，可证得△BCF≌△CDR，进而得出BE＝ET，根据AD∥BC得出，从而得出；②作EQ⊥BD于Q，设DE＝2a，从而AE＝2﹣2a，EQ＝DQ＝a，在Rt△ABE 中可表示出BE2＝4a2﹣8a+16，在Rt△EQH中，EH2＝EQ2+HQ2＝4a2﹣6a+9，由①知，，从而，从而得出，求得a的值，从而得出EQ，BE，EH，根据△BHG∽△EHQ可得出BG＝，进一步得出结果．【解答】（1）解：如图1，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，BD＝4，∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（HL），∴BE＝BF，AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠EBF＝60°，∴BE＝EF＝BF，设DE＝DF＝x，则AE＝2﹣x，EF＝x，∴BE2＝（2）2+（2﹣x）2＝x2+16﹣4x，∴（x）2＝x2+16﹣4x，∴x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴DE＝2﹣2；（2）①证明：如图2，延长EG，交BC于T，作CR∥ET，∵ET⊥BF，∴CR⊥BF，∴∠RCD+∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴四边形CTER是平行四边形，∠DRC+∠RCD＝90°，∴CR＝ET，∠BFC＝∠DRC，∴△BCF≌△CDR（AAS），∴CR＝BF，∴ET＝BF，∵BE＝BF，∴BE＝ET，∵AD∥BC，∴，∴；②如图3，作EQ⊥BD于Q，设DE＝2a，则AE＝2﹣2a，EQ＝DQ＝a，在Rt△ABE中，BE2＝AB2+AE2＝（2）2+（2﹣2a）2＝4a2﹣8a+16，在Rt△EQH中，HQ＝BD﹣DQ﹣BH＝3﹣a，EH2＝EQ2+HQ2＝（）2+（3﹣a）2＝4a2﹣6a+9，由①知，，∴，∴，∴a1＝0（舍去），a2＝，∴EQ＝＝，EH2＝4×＝，BE2＝4×＝，∴EH＝，BE＝，∵∠EQH＝∠HGB＝90°，∠EHQ＝∠BHG，∴△BHG∽△EHQ，∴，∴，∴BG＝，∵BF＝BE＝，∴FG＝BF﹣BG＝＝，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．。

2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，．下列四个选项，正确的是（）A ．3tan 4B =B ．4cot 3B =C ．4sin 5B =D ．4cos 5B =2．下列命题中假命题是（）A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似3．如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（）A ．35AD AF =B ．32BC CE =C ．23AB EF =D ．35BC BE =4．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，下列选项中正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．0b <5．将抛物线212y x =-经过下列平移能得到抛物线()21132y x =-+-的是（）A ．向右1个单位，向下3个单位B ．向左1个单位，向下3个单位C ．向右1个单位，向上3个单位D ．向左1个单位，向上3个单位6．如图，点D 在ABC 边AB 上，ACD B ∠=∠，点F 是ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且2AF EF =，则下列选项中不正确的是（）A ．23AD AC =B ．23CF BE =C ．23DC BC =D ．23AD DB =二、填空题7．已知43x y =，则=x y x y-+________________．8．计算：()()3213a b a b ---=__________________．9．两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，则这两个三角形面积之比为_____________．10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．11．如图，已知G 为ABC ∆的重心，过点G 作BC 的平行线交边AB 和AC 于点D 、E 设GB a = 、GC b = ．用xa yb +（x y 、为实数）的形式表示向量=DE ____________．12．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD 为6.6米，小明到凉亭的距离BD 为12米，凉亭与观景台底部的距离DF 为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为________________米．13．已知点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，则m _____________n （填“>”、“=”或“<”）．三、解答题14．小球沿着坡度为1:1.5i =的坡面滚动了13m ，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m ．四、填空题15．计算：cos60sin 60cot 30tan 45︒-︒=︒-︒_________________16．如图，在由正三角形构成的网格图中，、、A B C 三点均在格点上，则sin BAC ∠的值为___________．17．如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处，已知36cm tan 4BF BAF =∠=，，那么折痕AE 的长是_____________cm ．18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt ABC △中，90,C CA CB ∠=︒=，CD 是斜边AB 上的高，其中ACD 是等腰三角形，且BCD △和ABC 相似，所以ABC 是“和谐三角形”，直线CD 为ABC 的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F ∠的度数是_______________（写出所有符合条件的情况）五、解答题19．如图，在ABC 中，已知590,sin 13C A ∠=︒=．点D 为边AC 上一点，45,7BDC AD ∠=︒=，求CD 的长．20．如图，点E 在平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上，且2CE BC =，AE 与CD 交于点F ．设,AB a AD b ==．(1)用向量a 、b 表示向量DE；(2)求作：向量EF 分别在向量EC 、ED方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．已知二次函数2369y x x =-++．(1)用配方法把二次函数2369y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；(2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x 轴交于点A B 、（点A在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，求四边形DACB 的面积．22．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB 为5cm ，宽MN 为10cm ，点A 是MN 的中点，连杆BC CD 、的长度分别为18.5cm 和15cm ，150CBA ∠=︒，且连杆BC CD 、与AB 始终在同一平面内．(1)求点C 到水平桌面的距离；(2)产品说明书提示，若点D 与A 的水平距离超过AN 的长度，则该支架会倾倒．现将DCB ∠调节为80︒，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶tan 200.36,cot20 2.75,sin 200.34,cos 200.94︒≈︒≈︒≈︒≈）23．如图，已知ABC 是等边三角形，D E 、分别是边BC AC 、上的点，且BC CE BD DC ⋅=⋅．在DE 的延长线上取点F ，使得DF AD =，联结CF ．(1)求证：60ADE ∠=︒；(2)求证：CF AB ∥．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A -、()4,0B 与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线PD x ⊥轴，垂足为点D ，直线PD 与直线BC 相交于点E ．①当CP CE =时，求点P 的坐标；②联结AC ，过点P 作直线AC 的平行线，交x 轴于点F ，当BPF CBA ∠=∠时，求点P 的坐标．25．如图1，已知菱形ABCD ，点E 在边BC 上，BFE ABC ∠=∠，AE 交对角线BD 于点F ．(1)求证ABF DBA ∽△△；(2)如图2，联结CF ．①当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小；②如图3，联结DE ，当DE FC ⊥时，求cos ABD ∠的值．参考答案：1．C【分析】先利用勾股定理求出3BC =，再根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，，∴3BC ==，∴4343tan cot sin cos 3455AC BC AC BC B B B B BC AC AB AB ========，，，故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键．2．B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B.任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C.等边三个角都相等，故两三角形相似；D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】 ADDF ＝32，35AD AF ∴=,故A 选项正确，不符合题意；l 1∥l 2∥l 3，且ADDF ＝32，32AD BC DF CE ∴==,故B 选项正确，不符合题意；32BC CE = 35BC BE ∴=故D 选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出ABEF的值，故C 选项不正确，故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．4．D【分析】根据开口方向，即可判断A ；根据与y 轴的交点，即可判断B ；把1x =代入，即可判断C ；根据对称轴的位置，即可判断D ．【详解】解：A 、∵函数图象开口向下，∴a<0，故A 不正确，不符合题意；B 、∵函数图象与y 轴交于正半轴，∴0c >，故B 不正确，不符合题意；C 、把1x =代入得y a b c =++，∵1OP =，∴当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故C 不正确，不符合题意；D 、∵函数对称轴在y 轴左侧，a<0，∴0b <，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质，会根据函数的开口，对称轴，与坐标轴的交点判断各个系数的符号．5．B【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵212y x =-的顶点坐标为()0,0，()21132y x =-+-的顶点坐标为()1,3--，∴将抛物线212y x =-向左平移1个单位，再向下平移3个单位，可得抛物线()21132y x =-+-．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．D【分析】证明ACD ABC∽，得出AD DC AC AFAC BC AB AE===，利用2AF EF =判断选项A 、C ，证明ACF ABE ∽△△得出23CF AC BE AB ==判断选项B ，分别用AB 表示出AD 和BD ，判断选项D ，即可得出结论．【详解】 ACD B ∠=∠，CAB CAB ∠=∠，∴ACD ABC∽，∴AD DC AC AFAC BC AB AE ===，AF EF AE += 且2AF EF =，∴32AF AE =，23AF AE ∴=，∴23AD DC AC AF AC BC AB AE ====，故选项A 、C 正确；∴23AC AB =，23AD AC =，49AD AB ∴=，AD BD AB += ，∴4599BD AB AD AB AB AB =-=-=，449559ABAD BD AB ∴==，故选项D 错误； AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE ∠=，ACD B ∠=∠，ACF ABE ∴△∽△，23CF AC BE AB ∴==，故选项B 正确；故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．17【分析】设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，代入求解即可得到答案；【详解】解：设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，∴431=437x y k k x y k k --=++，故答案为17．【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x ，y ．8．53a b- 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式1=223a b a b--+53a b=- 故答案为53a b -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．9．16:25##1625【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】 两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，∴两个相似三角形的相似比为4:5，∴两个相似三角形的面积之比为16:25，故答案为：16:25．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．10．（4）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP.【详解】P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()118422AP AB cm ∴==⨯=故答案为：（4）cm..11．2233a b -+ 【分析】由于G 是三角形ABC 的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到:2:3AG AM =，再根据平面向量加减运算可求得答案．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点M ：∵DE BC ∥∴AG AD DE AM AB BC ==∵点G 是ABC 的重心，∴23AG AM =∴23DE BC =∴23DE BC =∵BC GC GB b a =-=- ∴()23DE b a =- ∴2233DE a b =-+ 故填：2233a b -+ ．【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键．12．22.3##32210##22310【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，交CD 于点N ，由题意得，12AN =， 6.6 1.65CN =-=，42MN =，E CN M ∥，∴ACN AEM ∽ ，∴CN AN EM AM =，∴5121242EM =+，∴22.5EM =，∵ 1.6AB MF ==，∴22.5 1.6 1.822.3+-=（米）．故答案为：22.3．【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．13．<【分析】根据抛物线的解析式得到对称轴为直线12b x a=-=-，由抛物线开口向下，可得在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，即可得到答案．【详解】解： 点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，∴对称轴为直线12b x a=-=-， 抛物线开口向下，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，32-<- ，m n ∴<，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及其性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =，故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．15．12-##0.5-【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式1122=-，故答案为：12-．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．16【分析】根据等边三角形的性质可得90ACB ∠=︒，然后设正三角形构成的网格线段长为1，分别求出直角边AC ，BC ，然后根据勾股定理求出AB ，最后根据三角函数定理即可求出sin BAC ∠．【详解】解：由正三角形的性质可知16060902ACB ∠=︒+⨯︒=︒，设正三角形构成的网格线段长为1，在Rt ABC △中，2AC =，BC =，根据勾股定理，可得AB，sin 7BC BAC AB ∠==，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．17．【分析】由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，由矩形的性质得到90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，先解Rt ABF 求出8cm 10cm AB AF ==，，进而得到10cm AD BC ==，则4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，由勾股定理得到()22248x x =+-，解方程求出5cm DE =，则AE ==．【详解】解：由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，∵四边形ABCD 是矩形，∴90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，∵在Rt ABF 中，36cm tan 4BF BAF =∠=，，∴8cm tan BF AB BAF ==∠，∴10cm AF ==，∴10cm AD AF BC ===，∴4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，在Rt CEF △中，由勾股定理得：222EF CF CE =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴5cm DE =，∴AE ==，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，正确求出AD DE ，的长是解题的关键．18．54 46 32 27︒︒︒︒、、、【分析】分类讨论，①EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =；②DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =；③DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =；④FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =；根据等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可求解．【详解】解：DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，EG 是DEF 的“和谐分割线”，①根据题意，如图所示，EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =，∴42D DEG GEF ∠=∠=∠=︒，∴在DEG △中，180180424296DGE D DEG ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵DGE ∠是EGF △的外角，∴964254F DGE GEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②如图所示，DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =，∴DEG F FEG ∠=∠=∠，设F a ∠=，则DEG F FEG a ∠=∠=∠=，1802EGF a ∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF D DEG ∠=∠+∠，即180242a a ︒-=︒+，解得，46a =︒，∴46∠=︒F ；③如图所示，DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =，∴FE FG =，F GED ∠=∠，FEG FGE ∠=∠，设F x ∠=，则F GED x ∠=∠=，1(180)2FEG FGE x ∠=∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF GED D ∠=∠+∠，即1(180)422x x ︒-=+︒，解得32x =︒，∴32F ∠=︒；④如图所示，FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =，∴42D GEF ∠=∠=︒，1(18042)692DEG DGE ∠=∠=︒-︒=︒，∵DGE ∠是EFG 的外角，∴DGE F GEF ∠=∠+∠，即6942F ︒=∠+︒，∴694227F ∠=︒-︒=︒；综上所述，DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F∠的度数是54463227︒︒︒︒、、、，故答案为：54463227︒︒︒︒、、、．【点睛】本题主要考查等腰三角形，相似三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．19．5【分析】解直角三角形ABC ，表示出AB AC ，的长，再根据Rt BCD △是等腰直角三角形，求得CD 即可．【详解】解：在Rt ABC △中，590,sin 13BC C A AB Ð=°==，设5,13BC k AB k ==，∴12AC k ===，在Rt BCD △中，90,45C BDC ∠=︒∠=︒，∴45CBD BDC ∠=∠=︒，∴5BC CD k ==．∴7AD AC CD k =-=，∵7AD =，∴77k =，∴1k =，∴55CD k ==【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练进行解直角三角形是解题的关键．20．(1)2a b+ (2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC =，根据三角形法则得出2DE DC CE a b =+=+ ；（2）作FM AD ∥，EN FM =，根据平行四边形法则，得出向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量，即可求解．【详解】（1）解：∵ABCD Y ，∴AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC=∵2CE BC =，∴2CE AD =，∴22CE AD b == ，∴=DC AB a = ，∴2DE DC CE a b =+=+ ；（2）解：如图所示，作FM AD ∥,EN FM =，根据平行四边形法则，向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键．21．(1)()23112y x =--+，开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12(2)54【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A B C D 、、、坐标即可求解．【详解】（1）解：()()()2222369329321123112y x x x x x x x =-++=--+=--++=--+∴该二次函数的顶点式为()223693112y x x x =-++=--+，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12；（2）解：平移后的新抛物线的解析式为()23312y x =--+，得到顶点()3,12D ，当0y =时，由()23312=0x --+得：11x =，25x =，即点()()1,05,0A B 、，即4AB =，当0x =时，由=15y -即点()0,15C -，∴四边形DACB 的面积1141241524305422ABD ABC S S =+=+创=+=【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．22．(1)点C 与水平桌面的距离为20cm 4+(2)支架不会倾倒【分析】（1）过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ，由题意得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，解Rt BFC △求出cm 4CF =，则20cm 4CE CF EF +=+=；（2）过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．先解Rt CDH △求出14.1cm CH FK ==，再解在Rt BFC △求出9.25cm BF =，即可得到 4.85cm BK =，由此即可得到答案．【详解】（1）解：过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ．由题意可得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，在Rt BFC △中，906018.5cm BFC CBF BC ∠=︒∠=︒=，，，∴sin sin 602CF CBF BC ∠==︒=，即3722CF =，∴CF =∴CE CF EF =+=，∴此时点C与水平桌面的距离为20cm 4．（2）解：过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．由题意可知，在Rt CDH △中，90CDH ∠=︒，20DCH ∠=︒，15cm CH FK CD ==，，∴cos CH DCH CD ∠=，即0.9415CH =∴14.1cm CH FK ==，在Rt BFC △中90BFC ∠=︒，60CBF ∠=︒，18.5cm BC =，∴cos BF CBF BC ∠=，即1218.5BF =，∴9.25cm BF =，∴ 4.85cmBK KF BF CH BF =-=-=∵ 4.855BK =<，∴支架不会倾倒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明ABD DCE ∽△△，得到BAD CDE ∠=∠，根据ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，即可证明60ADE B ︒∠=∠=；（2）联结AF ，先证明ADF △是等边三角形，得到60AFD ︒∠=，进而证明AEF DEC ∽△△，AED FEC △∽△，从而得到60FCA ADF ︒∠=∠=，180B FCB ︒∠+∠=，即可证明CF AB ∥．【详解】（1）证明：∵ABC 是等边三角形，∴60B ACB ︒∠=∠=，AB BC=∵BC CE BD DC = ，∴BC BD DC CE=∴AB BD DC CE =，∴ABD DCE ∽△△，∴BAD CDE ∠=∠，∵ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，∴60ADE B ︒∠=∠=；（2）证明：如图，联结AF ，∵DF AD =，且60ADF ︒∠=，∴ADF △是等边三角形，∴60AFD ︒∠=，∵60AFD ACB ∠=∠=︒，AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC =，∴AE DE EF EC=，又∵AED FEC ∠=∠，∴AED FEC △∽△，∴60FCA ADF ︒∠=∠=，∵60B ︒∠=，120FCB FCA ACB ︒∠=∠+∠=，∴180B FCB ︒∠+∠=，∴CF AB ∥．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，熟知相似三角形的判定定理和性质定理，根据题意添加适当辅助线是解题关键，24．(1)239344y x x =-++(2)①922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；②()33P ，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H ，根据三线合一的性质，得出PH HE =，再根据平行线的判定，得出CH OB ∥，再根据平行线的性质，得出HCE CBO ∠=∠，再根据正切的定义，得出34EH OC CH OB ==，然后设4CH k =，则3PH EH k ==，再根据线段之间的数量关系，得出33PD k =+，进而得出点P 坐标为()433k k +，，再把点P 的坐标代入239344y x x =-++，计算即可得出点P 的坐标；②根据相似三角形的判定，得出PFB BAC ∽，再根据两点之间的距离和勾股定理，得出5AB BC ==，再根据相似三角形的性质，得出PF PB =，再根据三线合一的性质，得出12FD BD FB ==，然后设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >，再根据正切的定义，得出tan tan CAB BFP ∠=∠，进而得出23934434x x x-++=-，解出即可得出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线23y ax bx =++经过点()()1,04,0A B -、∴可得：0301643a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得39,44a b =-=，∴239344y x x =-++；（2）解：①如图，过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H，∵CP CE =，CH PE ⊥，∴PH HE =，∵()0,3C ，()4,0B ，∴3OC =，4OB =，∵CH PD ⊥，PD OB ⊥，∴CH OB ∥，∴HCE CBO ∠=∠，∴tan tan HCE CBO ∠=∠，∴34EH OC CH OB ==，设4CH k =，则3PH EH k ==，∴33PD HD HP OC HP k =+=+=+，∴点P 坐标为()433k k +，，又∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，∴()()2393344344k k k +=-⨯+⨯+，解得：12k =，0k =（舍去），∴14422k =⨯=，19333322k +=+⨯=，∴92,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．②如图，∵PF AC ∥，∴CAB PFB ∠=∠，又∵BPF CBA ∠=∠，∴PFB BAC ∽，∵()415AB =--=，5BC ==，∴5AB BC ==，∴PF PB =，又∵PD OB ⊥，∴12FD BD FB ==，∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >．∵CAB BFP ∠=∠，∴tan tan CAB BFP ∠=∠，∴3PD CO FD AO==．即23934434x x x-++=-，解得：3x =，4x =（舍去），∴223939333334444x x -++=-⨯+⨯+=，∴()3,3P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三线合一的性质、平行线的判定与性质、正切的定义、坐标与图形、解一元二次方程、两点之间的距离、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．25．(1)见解析(2)①60︒或45︒【分析】（1）由菱形的性质和平角的性质得180ABC BAD ∠+∠=︒，180BFE AFB ∠+∠=︒，已知ABC BFE ∠=∠，等量代换得AFB BAD ∠=∠，公共角ABF DBA ∠=∠，即可得证；（2）①设ABD α∠=，由菱形的性质2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，由（1）ABF ABD ∽，根据相似三角形的性质得ADB BAF α∠=∠=，故3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，根据菱形的性质易得ABF CBF ≌，再由全等三角形的性质得BCF BAF α∠=∠=，再分情况讨论当CEF △为直角三角形时，ABC ∠的大小；②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、，由菱形的性质得AC BD ⊥，根据直角三角形的性质得90BCO OBC ∠+∠=︒，由DE CF ⊥，得90DEC FCE ∠+∠=︒，根据相似三角形的性质和菱形的性质得FCE FAB OBC ∠=∠=∠，由等角的余角相等得DEC BCO ∠=∠，由等角对等边及平行线分线段成比例可得四边形AECD 为等腰梯形，易得FEC BAD ∠=∠，EF EC =，由DE FC ⊥，可得DC DF BC ==，设设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，由相似三角形的性质解得BF ，由菱形的性质求得BO ，即可求解．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是菱形，∴180ABC BAD ∠+∠=︒，又 180BFE AFB ∠+∠=︒且ABC BFE ∠=∠，∴AFB BAD ∠=∠．又ABF DBA ∠=∠，∴ABF DBA ∽△△．（2）解：①设ABD α∠=，四边形ABCD 是菱形，∴AB AD =，BD 平分ABC ∠．∴ADB ABD α∠=∠=，CBD ABD α∠=∠=，∴2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，ABF ABD ∽，∴ADB BAF α∠=∠=，∴3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，BA BC =，CBD ABD ∠=∠，BF BF =，∴ABF CBF ≌，∴BCF BAF α∠=∠=，在CEF △中，BCF αÐ=，3AEC α∠=，故1804EFC α∠=︒-，CEF △是直角三角形，∴有以下三种可能的情形：一、90BCF α∠==︒，此时2180ABC α∠==︒，不符合题意，应舍去；二、390AEC α∠==︒，此时260ABC α∠==︒；三、180490EFC α∠=︒-=︒，此时490α=︒，245ABC α∠==︒；综上所述，当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小为60︒或45︒．②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、．四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90BOC ∠=︒，∴90BCO OBC ∠+∠=︒，DE CF ⊥，∴90EGC ∠=︒，∴90DEC FCE ∠+∠=︒，ABF ABD ∽，∴ADB FAB OBC ∠=∠=∠，∴FCE FAB OBC ∠=∠=∠，∴DEC BCO ∠=∠，∴HE HC =．AD BC ∥，∴HEHCDE AC =，∴DE AC =，∴四边形AECD 为等腰梯形．∴FEC ECD ∠=∠．又 BAD ECD ∠=∠，∴FEC BAD ∠=∠．又 CFE ECF ∠=∠，∴EF EC =．又 DE FC ⊥，∴DC DF BC ==，设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，ABF ABD ∽，∴BF AB AB BD=，即111x x =+，解得BF =，∴11122BO OD BD ⎫===⨯=⎪⎪⎝⎭∴1cos 4BO ABD AB +∠==．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。

2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．2．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x93．（3分）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．C．D．4．（3分）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且5．（3分）如果0°＜∠A＜60°，那么sin A与cos A的差（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定6．（3分）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．（3分）的倒数是．8．（3分）计算：＝．9．（3分）已知，则的值是．10．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．11．（3分）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）12．（3分）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为．13．（3分）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）14．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC 与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．15．（3分）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．16．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D、E分别在边AB、AC上，当AD＝4，∠ADE ＝∠C时，＝．17．（3分）如图，△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，如果点B、D、E在一直线上，且∠BDC＝60°，BE＝3，那么A、D两点间的距离是．18．（3分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）计算：．20．（8分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B＝，AB＝13，BC＝21．（1）求AC的长；（2）求∠BAC的正弦值．22．（10分）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．23．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且AD•AC＝AE•BC．（1）求证：AB∥FD；（2）点G在底边BC上，BC＝10，CG＝3，联结AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB ＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB．（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．①求新抛物线的对称轴；②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标．25．（10分）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D 不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．＝4，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．（π+2）0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．2．【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．【解答】解：x3•x2＝x5．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．3．【分析】非零向量、互为相反向量，则非零向量、大小相等，方向相反．【解答】解：∵非零向量、互为相反向量，∴∥且＝﹣且||＝||，∴+＝．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键．4．【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；B、由∠A＝∠D且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；C、由∠A＝∠B，∠D＝∠E，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；D、由∠A＝∠E且＝，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．5．【分析】根据锐角三角函数的增减性，分三种情况讨论即可得出结论，【解答】解：当0°＜∠A＜45°时，45°＜90°﹣∠A＜90°，∴sin A＜sin（90°﹣A），∴sin A＜cos A，∴sin A﹣cos A＜0，当∠A＝45°时，90°﹣∠A＝45°，∴sin A＝sin（90°﹣A），∴sin A＝cos A，∴sin A﹣cos A＝0，当45°＜∠A＜60°时，30°＜90°﹣∠A＜45°，∴sin A＞sin（90°﹣A），∴sin A＞cos A，∴sin A﹣cos A＞0，∴当0°＜∠A＜60°时，那么sin A与cos A的差不能确定．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，理解定义是解题的关键．6．【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，：S△AEB＝2：3，∴S△AGB∵AE＝EC，＝S△ABC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，＝S△ABC，∴S△CDE∴＝，结论成立的是＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵×3＝1，∴的倒数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．8．【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．9．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．故答案为：．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．10．【分析】把x＝0代入函数解析式求解．【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．11．【分析】可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为x＝3，开口向上即可．【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+2．本题答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质．当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x 的增大而减小．12．【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2，再结合图象，只需把（10，﹣3）代入求出a的值即可．【解答】解：该抛物线的解析式是y＝ax2，由图象知，点（10，﹣3）在函数图象上，代入得：100a＝﹣3，a＝﹣．∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2；故答案为：y＝﹣x2．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点．13．【分析】根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，∴tan A＝，tan D＝，∵＞，∴∠A＞∠D，即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角，故答案为：大于．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键．14．【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，∴AB：A1B1＝1：5，AB：A2B2＝2：3，设AB＝2x，则A1B1＝10x，A2B2＝3x，∴A1B1：A2B2＝10：3，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．故答案为：．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．15．【分析】先根据黄金分割的定义可得＝，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF＝AE，从而可得＝，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），∴＝＝，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF＝AE，∴＝，∵DC∥AB，∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴＝＝，∵PE＝2，∴PF＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．16．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用该相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．17．【分析】过点C作CF⊥BE于F，由旋转的性质得出∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，由直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：过点C作CF⊥BE于F，∵△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，∴CF＝BE＝，∵∠BDC＝60°，∴∠FCD＝30°，∴DF＝CF＝，∴CD＝2DF＝，∴AD＝CD＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．18．【分析】根据旋转函数的定义得到：，从而解得b＝﹣，c＝2．【解答】解：根据题意得，解得．∴点P的坐标为（﹣，2），故答案为：（﹣，2）．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分66分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝+（）2＝+1﹣+＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；（2）由三角形法则求得，然后由AE与EC的比例关系求得向量．【解答】（1）证明：BD＝2AD，AE＝EC，∴＝＝．∴DE∥BC；（2）解：∵，，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题．21．【分析】（1）由∠B的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题；（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．【解答】解：（1）∵cos B＝＝，AB＝13，∴BD＝13×＝5，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，∵AD＝＝＝12，∴AC＝＝＝20；（2）作CH⊥AB于H，∵△ABC的面积＝AB•CH＝BC•AD，∴13CH＝21×12，∴CH＝，∴∠BAC的正弦值是＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长．22．【分析】（1）由∠α的余弦求出∠α的度数，即可解决问题；（2）由∠DEO的正弦求出∠DEO，即可解决问题．【解答】解：（1）∵cosα＝＝≈0.417，∴α≈65°，∵50°≤65°≤75°，∴此时人能安全地使用这架梯子；（2）此时人不能安全使用这架梯子，理由如下：梯子顶端A离开地面最高时，∠ABO＝75°，∵sin∠ABO＝，∴AO＝AB•sin75°＝6×sin75°≈5.82（米），梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点，OD＝AO﹣AD＝5.82﹣1.5＝4.32（米），∵sin∠DEO＝＝＝0.72，∴∠DEO≈46°，∵46°＜50°，∴此时人不能安全使用这架梯子．【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角．23．【分析】（1）根据题意可证明，△AED∽△CAB，所以∠AED＝∠CAB，则AB∥FD；（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•BC，∴AD：AE＝BC：AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴AB∥FD；（2）根据题意可得，＝＝，∵EF∥FD，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△AGC和△EFC面积相等，∴＝，解得CF＝．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．24．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：y＝x2﹣4x，得到直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，进而求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx−6＝﹣6，即点C（0，﹣6），OC＝6，∵∠ABC的余切值＝＝，即OB＝2，则点B（2，0），∵AB＝8，则OA＝6，即点A（﹣6，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣2）（x+6）＝a（x2+4x﹣12），即﹣12a＝﹣6，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣6；（2）①∵PO＝PB，则点P在OB的中垂线上，故xP＝1，当x＝1时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（1，﹣）；设新抛物线的表达式为：y＝x+bx，将点P的坐标代入上式得：﹣＝+b，解得：b＝﹣4，故新抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x，如下图，延长CP交x轴于点H，该函数的对称轴为x＝4；②由①知点E（4，0），则OE＝4，设直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，将点P的坐标代入上式得：﹣＝k﹣6，解得：k＝，故直线CP的表达式为：y＝x﹣6，即tan∠OHC＝，则tan∠PCO＝＝tan∠EOF，而tan∠EOF＝＝＝，则EF＝，则点F（4，）或（4，﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、图形的平移，学会构建一次函数，利用数形结合是解题的关键．25．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；②过点E作EH⊥BD于点H，设BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）①证明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：过点E作EH⊥BD于点H，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝m，则BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y关于x的函数解析式y＝，x的取值范围：0＜x＜4；（2）①解：当点D在线段CB上时，如图，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2ו，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程没有实数根，∴当点D在线段CB上时，不存在AB＝2BE；②当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝n，则BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2ו．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．综上，当AB＝2BE时，CD的长为3+．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。

2024年上海市青浦区中考一模数学试题（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）］下列图形中，一定相似的是(A.两个等腰三角形B.两个菱形C.两个正方形D两个等腰梯形2.已知，在Rtt.ABC中，乙C=90°,BC=l2, AC=5,则cosA的值是()厂二5 12 5A— B - C.— D.旦12 5 13 133如图，在＂田C中，点D、E分别在边AB、AC上，LADE=LC,则下列判断错误的是() AB CA.啤D＝乙BB.DE-AC=BC-AF,C.AD·AB=AE·AC4.下列说法中，正确的是()A.a+（－句＝0C.如果lal=I叶，那么ii=bD. 1二＝（告）2B如果e是单位向量，那么e=lD如果a非零向量，且b=-2a,那么all b5.如图，在"ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，点F,G在边BC上，且E F II AB,EG II AC,则下列结论一定正确的是（AEF AC..BF DG _ DF DCB. BD ACA.—=——=—C.—=—D.—=—A B EC FD GC DE DA FD EC6.如图，二次函数y＝釭2+bx+c(a-#0)的图像的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(-1,0)，下列结论：CDc=l;＠动<0:@a-h+c=O:＠当x>-1时，y>O．其中正确结论的个数是（） ｀｀A.l个B.2个C.3个D.4个二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）a 4 a-b7.如果一＝－，那么——-＝b 3 b8.已知线段AB=2,点P是AB的黄金分割点，且AP<BP.那么BP=.9已知向量d与单位向量e方向相同，且I a 1=3,那么a=.（用向矗e的式千表示）10如果两个相似三角形的周长的比等千1:3,那么它们的面积的比等千11.如果抛物线y=x i +bx+2的对称轴是直线x=2,那么b的值等千．12如果点A(2,y1)和点B(3,y2)是抛物线y=x2+m(m常数）上的两点，那么Y1Y2.（填">”、"="、“<”)13如图，某人沿养斜坡AB方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡AB的坡比i=A/14如果抛物线y= ax2 +bx+c(a :;c 0)的顶点在x轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是．（只需写一个）15如图，点G为等腰臼角三角形ABC重心，乙ACB=90°,连接CG,如果AC=3✓2,那么CG=cABl6如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、8、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交千点O,那么sin乙BOD 的值为．c\勹l7如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD =4,点E 在边AD 上，将..CDE沿直线CE翻折，点D的对应点为点G.延长DG 交边AB千点F,如果BF=1,那么DE的长为A“~B(..18规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图＠当乙P.MN>90时，线段RM 的长度是点R 到线MN 的距离，当乙PiGN =90°时，线段PiG 的长度是点P2到线段MN的距离如图＠，在__ ABC中，L.C=90°,A C=3✓5, tanB=2,点D 为边AC 上一点，6石AD =2DC ,如果点Q为边AB 上一点，且点Q 到线段D C 的距离不超过－－，设A Q 的长为d,那么d的取值范围为\b A 三二三、解答题（本大题共7题，满分78分）19计算[厂言言严玉叩沪伶顷寸＋l tan 60°一石＇20.如图，梯形ABCD中，ADIi BC,对角线AC、BD相交千点o,BC=2AD, OD=l.二c(I)求BD的长；(2)如果A B=a,B C=b,试用a,b表示向量oB.321如图，在－ABC中，AB=AC=5,tanC=－，乙BAC的平分线AD交边BC于点D,点E在边AC4上，且E C=2AE,BE与AD相交千点F.cD(I)求BC的长；(2)求EF:BF的值22.北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量”浦仓路桥顶部到水面的距离＂的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B、C两点，在B处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22°，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C处，在C处测得点A的仰角为37°,在D处测得地面BD到水面EF的距离DE为1.2米（点B、C、D在一条直线上，BD/1EF, DE..l EF, AF..l EF)，求浦仓路桥顶部A到水面的距离AF.（精确到0.1米）（参考数据：sin22° � 0.37, cos 22° � 0.93, tan 22° � 0.40 ; siJ137° � 0.60, cos 37° � 0.80, tan37°：：：：。

九年级数学一、选择题（本大题共6题）1.在直角坐标平面内，如果点()41P ，，点P 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角是α，那么cot α的值是（）A.4B.14C.17D.17【答案】A 【解析】【分析】由锐角的余切定义，即可求解．【详解】解：如图，∵点()41P ，，∴4cot 41α==．故选∶A【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．2.关于抛物线()212y x =--以下说法正确的是（）A.抛物线在直线=1x -右侧的部分是上升的B.抛物线在直线=1x -右侧的部分是下降的C.抛物线在直线1x =右侧的部分是上升的D.抛物线在直线1x =右侧的部分是下降的【答案】C【解析】【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线()212y x =--，∴抛物线在直线1x =右侧的部分是上升，故选项A 、B 错误，不符合题意；抛物线在直线1x =右侧的部分是上升的，故选项C 正确，符合题意，选项D 错误，不符合题意；故选∶C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.二次函数2285y x x =++的图像的顶点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解．【详解】解：2285y x x =++()224445x x =++-+()224485x x =++-+，()2223x =+-，∴顶点坐标为()23--，，∴二次函数2285y x x =++的图像的顶点位于第三象限，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是将题目中的函数解析式化为顶点式．4.如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，且EF BC ∥，下列比例成立的是（）A.AE ADAB EF= B.AE EFAB BC= C.AE DFAB FC= D.AE DFAB DC=【答案】D 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论．【详解】解：∵AD BC ∥，EF BC ∥，∴AD BC EF ∥∥，∴AE DFAB DC=，故选D ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．5.矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，如果BC a =，DC b =，那么（）A.()12DO a b =-B.()12DO b a =-C.DO a b=- D.()12DO b a =+【答案】B 【解析】【分析】求出BD a b =-，再根据12DO DB =r uuu r 即可得到结果．【详解】解：如图所示：∵BD BC CD=+BC DC =- a b=- ∴()1212DO DB b a -==，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力．6.下列条件中，不能判定ABC 与DEF 相似的是（）A.70A D ∠=∠=︒，50B E ∠=∠=︒B.70A D ∠=∠=︒，50B ∠=︒，60E ∠=︒C.A E ∠=∠，12AB =，15AC =，4DE =，5EF =D.A E ∠=∠，12AB =，15BC =，4DE =，5DF =【答案】D 【解析】【分析】由相似三角形的判定依次判断，可求解．【详解】解∶A ．∵70A D ∠=∠=︒，50B E ∠=∠=︒，∴ABC 与DEF 相似，故选项A 不合题意；B ．∵70A D ∠=∠=︒，50B ∠=︒，∴180705060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴60C E ∠=∠=︒，∴ABC 与DEF 相似，故选项B 不合题意；C ．31AB ACDE EF==，A E ∠=∠，∴ABC 与DEF 相似，故选项C 不合题意；D ．31AB BCDE DF==，但B ∠与D ∠不一定相等，ABC 与DEF 不一定相似，故选项D 符合题意；故选∶D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．二、填空题：（本大题共12题）7.计算：()()3232a b a b --+=______．【答案】35a b -##53b a-+【解析】【分析】根据向量的运算法则可直接进行解答．【详解】解：()()3232a b a b--+6332a b a b =---35a b=- ，故答案为：35a b -．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉向量的相关性质是解题的关键．8.如果一个二次函数的图像的对称轴是y 轴，且这个图像经过平移后能与232y x x =+重合，那么这个二次函数的解析式可以是______．（只要写出一个）【答案】()2323y x =++【解析】【分析】先设原抛物线的解析式为()2y a x h k =++，根据二次函数的图像平移性质知3a =，据此写出符合要求的解析式即可．【详解】解∶先设原抛物线的解析式为()2y a x h k =++，经过平移后能与抛物线23y x x =+重合，∴3a =，∴这个二次函数的解析式可以是()2323y x =++（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．9.已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______．【答案】163##153【解析】【分析】设第二个矩形较长的一边长是a ，根据相似多边形的性质得出344a=，再求出a 即可．【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a ，∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，∴344a=，解得∶163a =，即第二个矩形较长的一边长是163，故答案为∶163．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键．10.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且4AP BP AB >=，，那么AP =___________．【答案】2-##2-+【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则512AP AB =，代入数据即可得出AP 的长．【详解】解：∵P 为线段AB 的黄金分割点，且AP 是较长线段；∴122AP AB -==-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的32，较长的线段=原线段的12．11.已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12【解析】【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案．【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶，∴ABC 与DEF 的相似比为16∶，设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．12.如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm ，为求出它的厚度x ，现用一个交叉卡钳（AC 和BD 的长相等）去测量零件的内孔直径AB ．如果13==OC OD OA OB ，且量得CD 的长是3cm ，那么零件的厚度x 是______cm ．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB 的长，再根据某零件的外径为10cm ，即可求得x 的值．【详解】解∶∵13==OC OD OA OB COD AOB ∠=∠，∴COD AOB ∽ ，∴13CD AB =，∵CD 的长是3cm ，∴9cm AB =，∵零件的外径为10cm ，∴零件的厚度为∶()1091cm 22x -==，故答案为：12．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB 的值．13.在Rt ABC △中，90C = ∠，已知A ∠的正弦值是23，那么B ∠的正弦值是______．【答案】53##【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．【详解】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，∠A 的正弦值是23即23BC AB =，∴设2BC k =，则3AB k =，由勾股定理得AC ==，∴sin 3AC B AB ==，故答案为∶53．【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．14.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为______．【答案】1：1.5【解析】【详解】解：∵202tan 303B ∠==，∴斜面AB 的坡度为2：3=1：1.5，故答案为：1：1.5．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键．15.在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为x 厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是______．（不必写定义域）【答案】21102x x y -+=【解析】【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x 表示出来，再利用矩形面积公式得到y 与x 的表达式．【详解】解：如图所示，由题意，45B C ∠=∠=︒,90DFB EGC ∠=∠=︒，FG x=∴BDF 和CEG 都是等腰直角三角形，∴,BF DF CG EG ==，由矩形可知，DF EG =，∴BF CG DF EG ===，∴2011022x DF BF x -===-，∴矩形面积为211·101022y DF FG x x x x ⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭，故答案为∶21102x x y -+=．【点睛】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质．16.已知G 是ABC 的重心，G 作GD AC ∥交边AB 于点D ，作GE AB 交边AC 于点E ，如果四边形ADGE 的面积为2，那么ABC 的面积是______．【答案】9【解析】【分析】延长BG 交AC 于F 点，连接AG ，先证四边形ADGE 为平行四边形得112122ADG ADGE S S ==⨯=四边形 ，由G 是ABC 的重心，得2BG GF =，BF 为AC 边上的中线，再根据平行线分线段成比例可证2BD BGAD GF ==，从而即可求解．【详解】解：延长BG 交AC 于F 点，连接AG ，如图，∵GD AC ∥，GE AB ，∴四边形ADGE 为平行四边形，∴112122ADG ADGE S S ==⨯=四边形 ∵G 是ABC 的重心，∴2BG GF =，BF 为AC 边上的中线，∵GD AC ∥，∴2BD BG AD GF==，∴22BDG ADG S S == ，∴213ABG S =+= ，∵2BG GF =，∴1322AGF ABG S S == ，∴92ABF ABG AGF S S S =+=，∵BF 为AC 边上的中线，∴92292ABC ABF S S ==⨯= ．故答案为∶9．【点睛】本题考查了三角形的重心∶三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21∶，也考查了平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．17.如图，在矩形ABCD 中，过点D 作对角线AC 的垂线，垂足为E ，过点E 作BE 的垂线，交边AD 于点F ，如果3AB =，5BC =，那么DF 的长是______．【答案】95【解析】【分析】利用矩形的性质求出AC ，利用三角形的面积、勾股定理求出DE 、CE 的长，再利用等角的余角相等说明BAE ADE ∠=∠、AEB DEF ∠=∠，得DEF AEB ∽ ，最后利用相似三角形的性质得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ADC ∠=∠=︒，3AB CD ==，5BC AD ==，AB CD ∥，∴AC ===∵1122ADC S AD CD AC DE ∆=⋅=⋅，∴153434DE =，∵DEAC ⊥，∴CE ==34=，∴253434AE AC CE =-=，∵AB CD ∥，∴BAE DCA ∠=∠，90DCA CDE CDE ADE ∠+∠=∠+∠=︒ ，∴BAE ADE ∠=∠，∵BE EF ⊥，DEAC ⊥，∴90BEA AEF AEF FED ∠+∠=∠+∠=︒，∴BEA FED ∠=∠，∴DEF AEB ∽ ，∴DF DEAB AE=∴95DE AB DF AE ⋅==，【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键．18.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD 如图所示，其中90A C ∠=∠= ，7AB =厘米，9BC =厘米，2CD =厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米．【答案】983或54【解析】【分析】先由勾股定理求得6AD =厘米，再分情况讨论，利用三角形相似求解即可．【详解】解：连接BD ，∵90A C ∠=∠= ，7AB =厘米，9BC =厘米，2CD =厘米，∴22222BD BC CD AD AB =+=+即2222927AD +=+，∴6AD =厘米，①如下图，延长AD ，BC 相交于点N ，设NC x =厘米，∵90NCD A ∠=∠=︒，N ∠=∠，9BN x =+厘米，∴NCD NAB ∽ ，∴ND NC CD NB NA AB ==即2967ND x x ND ==++，∴83x =厘米，103ND =厘米，111098672233ANB S AN AB ⎛⎫=⨯=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 平方厘米；②如下图，延长CD，BA 相交于点M ，设MD y =厘米，∵90MAD C ∠=∠=︒，M M ∠=∠，2CM y =+厘米，∴MAD MCB ∽ ，∴MA MD ADMC MB CB ==即6279MA y y AM ==++，∴10y =厘米，()1110295422CMB S CM BC =⨯=⨯+⨯= 平方厘米，故答案为983或54．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19.计算：tan45cot45sin45cos30︒︒︒︒++．【答案】-【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：tan45cot45sin45cos30︒︒︒︒++===【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20.已知：如图，平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，对角线BD 分别交AM 、AN 于点E 、F ，且::1:2:1DE EF BF =．（1）求证：MN BD ∥；（2）设AM a =，AN b = ，请直接写出BD关于a、b的分解式．【答案】（1）证明见解析；（2）3322BD a b =- ．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得，DM AB BN AD ∥，∥，AB CD =，AD BC =，进而得DEM BEA ∽ ，BFN DFA ∽ ，得13DM DC BN BC ==∶∶∶，再证MCN DCB ∽ 得CMN CDB ∠=∠，从而即可得证；(2)由向量的差可知，NM AM AN a b =-=- ，再证32BD MN =，从而3322BD a b =- ．【小问1详解】证明：∵::1:2:1DE EF BF =∴13DE BE =∶∶，13BF DF =∶∶∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DM AB ∥，BN AD ∥，AB CD =，AD BC ='，∴DEM BEA ∽ ，BFN DFA ∽ ，∴13DM DC DM AB DE BE ===∶∶∶∶，13BN BC BN AD BF BD ===∶∶∶∶，∴13DM DC BN BC ==∶∶∶，∴23CM DC CN BC ==∶∶∶，∵MCN DCB ∠=∠，∴MCN DCB ∽ ，∴CMN CDB ∠=∠，∴MN BD ∥；【小问2详解】解：∵AM a = ，AN b = ，∴NM AM AN a b =-=-，由（1）知，MN BD ∥，MCN DCB ∽ ，23CM DC =∶∶，，∴23MN BD CM DC ==∶∶∶，∴32BD MN =，∴3322BD a b =- ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx m =++．（1）如果拋物线经过点()19，，求该拋物线的对称轴；（2）如果抛物线的顶点在直线y x =-上，求m 的值．【答案】（1）2x =-；（2）0或2．【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，解方程求得m 的值；然后将所求的抛物线解析式转化为顶点式，直接得到拋物线的对称轴；（2）根据题意可以求得抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标代入y x =-，从而可以求得m 的值．【小问1详解】解：把点()19，代入2y x mx m =++，得291m m =++．解得4m =，则该抛物线解析式为：()22442y x x x =++=+．∴该拋物线的对称轴是2x =-；【小问2详解】解：∵22224m m m y x mx m x ⎛⎫+-=+=+ ⎪⎝+⎭，∴抛物线2y x mx m =++的顶点坐标是242m m m ⎪-+⎛⎫- ⎝⎭，，∵抛物线2y x mx m =++的顶点在直线y x =-上，∴224m m m -=+，解得∶0m =或2m =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是()h k ，，对称轴是直线x h =，此题考查了学生的应用能力，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22.圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB 的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即CBD ∠）为3534︒'，夏至正午太阳高度角（即CAD ∠）为8226︒'，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD 的长）约为多少米？（参考数据见表1，结果精确到个位）表1αsin αcos αtan α3534︒'0.580.810.728226︒'0.990.137.5（注：表1中三角比的值是近似值）【答案】表CD 的高度是9米．【解析】【分析】利用CBD ∠和CAD ∠的正切，用CD 表示出BD 和AB ，得到一个只含有CD 的关系式，再解答即可．【详解】解：∵在Rt ADC 中，tan82267.5CD AD ︒'==，在Rt BDC 中，tan35340.72CDBD︒'==，∴215AD CD =，2518BD CD =，∵2521131815CD CD -=.，∴9CD =（米）答∶表CD 的高度是9米．【点睛】本题主要考查了三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．23.已知：如图，点D 、F 分别在等边三角形ABC 的边CB 的延长线与反向延长线上，且满足2BD CF BC ⋅=．求证：（1）ADB FAC ∽△△；（2）AF AD BC DF ⋅=⋅．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的性质证AB BC AC ==，DBA ACF ∠=∠，再由2BD CF BC ⋅=得BD BAAC CF=，即可得证；（2）证明FAC FDA ∽ 即可得证．【小问1详解】证明：∵ABC 是等边三角形，∴AB BC AC ==，60ABC ACB CAB ∠=∠=∠=︒，∴180120180DBA ABC ACB ACF ∠=︒-∠=︒=︒-∠=∠，∵2BD CF BC ⋅=，∴BD BC BC CF =即BD BAAC CF=，∴ADB FAC ∽△△；【小问2详解】证明：由（1）得ADB FAC ∽△△，∴FAC D ∠=∠，∵F F ∠=∠，∴FAC FDA ∽ ，∴AF ACDF AD=，∵AC BC =，∴AF AD BC DF ⋅=⋅，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，点()11A y -，，()20B y ，，()31C y ，，()42D y ，在抛物线2y x bx c =-++上．（1）当10y =，23y y =时，①求该抛物线的表达式；②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m 个单位后，所得的新抛物线经过点()10-，，求m 的值；（2）若20y =，且1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的b 的值，再求b 的取值范围．【答案】（1）①22y x x =-++；②1m =或2m =；（2）可取2b =-，1b <-或12b <≤．【解析】【分析】（1）①先求得对称轴为12x =，再根据待定系数法即可求得抛物线的表达式；②根据平移得()()222y x m x m =-++++-，又由抛物线过点()10-，，即可得解；（2）由20y =得抛物线2y x bx =-+，又由点()11A y -，，()31C y ，，()42D y ，在抛物线2y x bx =-+上，且使得1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0，从而可取2b =-，此时10y >，30y <，40y <，分抛物线的对称轴在y 轴的左侧时和抛物线的对称轴在y 轴的右侧两种情况讨论求解b 的取值范围．【小问1详解】解：①∵抛物线2y x bx c =-++过点()20B y ，，()31C y ，，23y y =，∴点B 、C 为对称点，其对称轴为01122x +==，∴122b x ==，∴1b =，∴2y x x c =-++，∵2y x x c =-++过点()11A y -，，10y =，∴()011c =-+-+，解得2c =，∴抛物线的表达式为22y x x =-++，②抛物线22y x x =-++向下平移2个单位，再向左平移m 个单位后得()()222y x m x m =-++++-，∵()()222y x m x m =-++++-过点()10-，，∴()()201122m m =--++-++-，解得1m =或2m =；【小问2详解】解：∵20y =，∴抛物线过点()00B ，，∴抛物线2y x bx=-+∵点()11A y -，，()31C y ，，()42D y ，在抛物线2y x bx =-+上，且使得1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0，∴可取2b =-，此时10y >，30y <，40y <，当抛物线的对称轴在y 轴的左侧时，∵抛物线2y x bx =-+开口向下，∴10y >，30y <，40y <，∴()210b --->，210b -+<，2220b -+<，∴1b <-，当抛物线的对称轴在y 轴的右侧时，∵抛物线2y x bx =-+开口向下，∴10y <，30y <，40y >，∴()210b ---<，210b -+>，2220b -+≤，∴1b >-，1b >，2b ≤，∴12b <≤，综上得，1b <-或12b <≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求解二次函数的解析式以及二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质式解题的关键．25.已知，如图1，在四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，4CD =，4cos 5ACD ∠=．（1）当BC AD ∥时（如图2），求AB 的长；（2）连接BD ，交边AC 于点E ，①设CE x =，AB y =，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；②当BDC 是等腰三角形时，求AB 的长．【答案】（1）203；（2）AB 的长为103或125-．【解析】【分析】（1）在Rt ACD △中，解直角三角形得5AC =，3AD =，再证BAC CDA ∽ 即可得解；（2）①先求得5AE x =-，165EN x =-，根据0AE >，0EN >可得定义域，证明BAC CDA ∽ 可得y 关于x 的函数解析式；②分两类讨论求解，当BD BC =时，作BQ CD ⊥于点Q ，作AP BQ ⊥于点P ，证BPA CDA ∽ 得解，当4BD CD ==时，作BN 垂直直线AD 于点N ，证NBA DAC ∽ 得解．【小问1详解】解：∵在Rt ACD △中，4cos 5ACD A CD C ∠==，4CD =，∴5AC =，3AD ==，∵BC AD ∥，∴ACB DAC ∠=∠，∵90BAC ADC ∠=∠=︒，∴BAC CDA ∽ ，∴BA AC CD AD =即543BA =，∴203AB =；【小问2详解】解：①如图2，作DN AC ⊥于点N ，∵1122ADC S AC DN AD CD =⨯=⨯ ，4CD =，5AC =，3AD =，∴125DN =，∴165CN ==，95AN AC CN =-=，∵CE x =，∴5AE x =-，165EN x =-，∵0AE >，0EN >，∴165x 5<<，∵90BAE DNE ∠=∠=︒，AEB NED ∠=∠，∴AEB NED ∽ ，∴AE AB NE DN =，即5161255x y x -=-，∴6012516xy x -=-1655x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，②∵90BAC ADC ∠=∠=︒，∴BC AC CD >>，∴BC CD ≠，当BD BC =时，作BQ CD ⊥于点Q ，作AP BQ ⊥于点P ，如下图，易知四边形APQD是矩形，∴2AP DQ CQ ===，90PAD PAC CAD ∠=∠+∠=︒，∵90BAC BAP PAC ∠=∠+∠=︒，∴BAP CAD ∠=∠，∵90BPA CDA ∠=∠=︒，∴BPA CDA ∽ ，∴AB AP AC AD =即253AB =，∴103AB =；当4BD CD ==时，作BN 垂直直线AD 于点N ，如下图，∴90N ADC ∠=∠=︒，∴90NAB NBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90NAB CAD ∠+∠=︒，∴NBA CAD ∠=∠，∴NBA DAC ∽ ，∴AN AB CD AC =即45AN AB =，∴45AN AB =，∵BN ⊥AD ，∴222241635BN BD DN AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，2222245BN AB AN AB AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴2224416355AB AB AB ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125AB -=或125AB =（舍去），综上AB 的长为103或319125-．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、矩形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．第24页/共24页。