武忠祥罗尔定理的推论

武忠祥罗尔定理的推论

武忠祥罗尔定理是数学中的一个重要定理，它有许多推论。下面

是其中一些推论。

第一个推论是在一般情况下使用。对于函数f(u, v)在区域D上的累次积分，可以利用武忠祥罗尔定理将其转化为围道C上面的线积分，即：

∬D f(u,v) du dv = ∮C F dr

其中，F是一个具有连续偏导数的向量场，满足∇ × F =

(fx,fy)。而C是D的边界曲线，逆时针方向为正方向。

第二个推论是在电场中的应用。根据电场的高斯定理和武忠祥罗

尔定理，可以得到一个重要的结论：任何稳定的电场都可以表示为一

个静电场和一个恒定电流的叠加。

如果我们将电场$\vec{E}$看成向量场，它的旋度为零。而根据高

斯定理，电场的散度是电荷密度的函数。因此，我们可以将电场分解

为两个部分：一个是由电荷密度产生的静电场，它的旋度为零；另一

个是由电流产生的恒定磁场，它的散度为零。

第三个推论是在热传导中的应用。根据热传导方程和武忠祥罗尔

定理，可以推导出一个非常有用的公式。

我们考虑一个热导率为$k$的物体，它的温度分布为$T(x, y, z)$。根据热传导方程，可以得到：

k $\nabla^2 T$ = $\frac{\partial T}{\partial t}$

如果我们定义热通量密度为：

$\vec{Q}$ = -k $\nabla T$

那么上式就可以写成：

$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ +

$\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$ = 0

根据武忠祥罗尔定理，上式可以转化为：

$\int_S$ ($\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ +

$\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$) $\cdot$ $\vec{dS}$ = 0

注意到$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ +

$\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$ = 0，因此上式等价于：

$\int_S$ $\nabla$ x $\vec{Q}$ $\cdot$ $\vec{dS}$ = 0

根据斯托克斯定理，我们可以得到：

$\int_C$ $\vec{Q}$ $\cdot$ $\vec{dr}$ = 0

其中，C是S的边界曲线。这个公式非常有用，它告诉我们在热传导过程中，热通量在闭合曲线上的积分等于零。

以上就是武忠祥罗尔定理的几个推论。这个定理在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用，对于理解这些领域中的现象和问题都有很大帮助。

拉格朗日中值定理的推广及其应用

嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题目：拉格朗日中值定理的推广及其应用 姓名：徐佳琳 学号： 101010045 学院：数学学院 专业：数学与应用数学（师范） 指导老师：温坤文 申请学位：学士学位 嘉应学院教务处 摘要 拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有极其重要的意义.本文先对拉格朗日中值定理作了一定的阐述，并将其进行了推广，然后通过对几种类型问题的解决，对拉格朗日值定理的应用作一些探讨和归纳，以起到对定理的深入理解，熟悉掌握并能够正确应用的作用.字典 关键词：拉格朗日中值定理，定理的推广及应用，极限，不等式，级数的敛散性. Abstract

Lagrange mean value theorem is one of the basic theorem of differential calculus，It has extremely important meaning in the theory and application. This article first to make the Lagrange theorem certain, and put it to the promotion, then through several types on the solution of the problem,and it will make some discussions and studies on the application of lagrange mean value theorem .It’s purpose is to have in-depth understanding of theorem, the role of expert knowledge and be able to correct application. Keywords： Lagrange mean value theorem,The generalization and application of the theorem, The limit, Inequality, The convergence and divergence of the series. 1. 引言 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定 理，这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，他们之间的关系可用简图示意如下：

微积分定理归纳

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

考研数学复习-关于等式与不等式的基本证明

关于等式与不等式的基本证明 一、考试内容 （一）介值定理 介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ， ),(b a ∈?ξ，使()f C ξ=． （,a b ξ≠） 介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <， 则),(b a ∈?ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<， 则),(b a ∈?ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞ →+∞ <， 则),(b a ∈?ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， m in ()f x m =，m ax ()f x M =，且M m ≠， 对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈?ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ） （二）代數基本定理：任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点． （三）积分中值定理 定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ?∈，使 ()()()b a f x dx f b a ξ=-? ． 定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号， 则(,)a b ξ?∈，使??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ． 对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ． （四）微分中值定理 罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =， 则),(b a ∈?ξ，使()0f ξ'=． 罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点． 罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==， 则),(b a ∈?ξ，使()0f ξ'=． 罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在[,)a +∞内连续，在(,)a +∞内可导， 且lim ()()x f x f a →+∞ =，则(,)a ξ?∈+∞，使()0f ξ'=． 罗尔中值定理的推广形式4：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠， 则)(x f 在),(b a 内为单调函数． 拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 则),(b a ∈?ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-． （五）不等式定理

武忠祥罗尔定理的推论

武忠祥罗尔定理的推论 武忠祥罗尔定理是数学中的一个重要定理，它有许多推论。下面 是其中一些推论。 第一个推论是在一般情况下使用。对于函数f(u, v)在区域D上的累次积分，可以利用武忠祥罗尔定理将其转化为围道C上面的线积分，即： ∬D f(u,v) du dv = ∮C F dr 其中，F是一个具有连续偏导数的向量场，满足∇ × F = (fx,fy)。而C是D的边界曲线，逆时针方向为正方向。 第二个推论是在电场中的应用。根据电场的高斯定理和武忠祥罗 尔定理，可以得到一个重要的结论：任何稳定的电场都可以表示为一 个静电场和一个恒定电流的叠加。 如果我们将电场$\vec{E}$看成向量场，它的旋度为零。而根据高 斯定理，电场的散度是电荷密度的函数。因此，我们可以将电场分解 为两个部分：一个是由电荷密度产生的静电场，它的旋度为零；另一 个是由电流产生的恒定磁场，它的散度为零。 第三个推论是在热传导中的应用。根据热传导方程和武忠祥罗尔 定理，可以推导出一个非常有用的公式。 我们考虑一个热导率为$k$的物体，它的温度分布为$T(x, y, z)$。根据热传导方程，可以得到：

k $\nabla^2 T$ = $\frac{\partial T}{\partial t}$ 如果我们定义热通量密度为： $\vec{Q}$ = -k $\nabla T$ 那么上式就可以写成： $\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ + $\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$ = 0 根据武忠祥罗尔定理，上式可以转化为： $\int_S$ ($\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ + $\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$) $\cdot$ $\vec{dS}$ = 0 注意到$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t}$ + $\nabla$ $\cdot$ $\vec{Q}$ = 0，因此上式等价于： $\int_S$ $\nabla$ x $\vec{Q}$ $\cdot$ $\vec{dS}$ = 0 根据斯托克斯定理，我们可以得到： $\int_C$ $\vec{Q}$ $\cdot$ $\vec{dr}$ = 0 其中，C是S的边界曲线。这个公式非常有用，它告诉我们在热传导过程中，热通量在闭合曲线上的积分等于零。 以上就是武忠祥罗尔定理的几个推论。这个定理在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用，对于理解这些领域中的现象和问题都有很大帮助。

(完整版)微分中值定理的证明题

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ?∈（，使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证：将上等式变形得：1111 111111 (1)()b a e e e b a b a ξξ-=-- 作辅助函数1 ()x f x xe =，则()f x 在11 [,]b a 上连续，在11(,)b a 内可导， 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b a ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 11111(1)11b a e e b a e b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即：ae (1)(,)b e be e a b ξξ-=- (,)a b ξ∈。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ?∈，使得0()0F x '= 又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈?(0,1)，即证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明：

03(2)-最佳一致逼近

§2 最佳一致逼近 一、最佳一致逼近的概念 定义3.10 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的 ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式 ε<-<<)()(max x p x f b x a 成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。 那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x ) 一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。 维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意 ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有 ε<-)()(x p x f 证明从略。 维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到 任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。

切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式 的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(* x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。这里最佳逼近 的意思是指)(* x p n 对f (x )的偏差。 )()(max *x p x f n b x a -<< 和其它任一p (x ) ∈ p n 对f (x )的偏差 )()(max x p x f b x a -<< 比较时是最小的，也就是说 {} )()(max min )()(max )(* x P x f x p x f b x a p x p n b x a n -=-<<∈<< (3.18) 这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。若这样的)(*x p n 存在，则称)(* x p n 是函数f (x )在区间[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式，简称为最佳逼近多项式。 现在要问：最佳逼近多项式)(* x p n 是否存在？是否唯一？如何构 造？ 我们不妨设n 次多项式 n n x a x a a x p +++= 10)( 显然 )()(max x p x f b x a -<< 应与p (x )的系数a 0, a 1, …，a n 有关。 若记 )()(m a x ),,,a (10x p x f a a b x a n -=<< ? 则? 应是n + 1个系数a 0, a 1, …，a n 的正值连续函数。

关于高等数学常见中值定理证明及应用

关于高等数学常见中值定理证明及应用 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

一元函数微积分学内容提要

第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ϕ=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，

中值定理与导数的应用

第三章 微分中值定理与导数的应用 在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用. 第一节 微分中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理. 一、 费马引理： 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），那么0()0f x '=。 证：不妨设0()x U x ∈时，0()()f x f x ≤，对于00()x x U x +∆∈，有00()()f x x f x +∆≤，故当0x ∆>时，00()()0f x x f x x +∆-≤∆； 当0x ∆<时， 00()()0f x x f x x +∆-≥∆， 由保号性 00000()()()()lim 0x f x x f x f x f x x ++∆→+∆-''==≤∆， ()00000()()()lim 0x f x x f x f x f x x --→+∆-''==≥∆，故0()0f x '=。 罗尔定理（Rolle ）： 如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续 （2）在开区间(,)a b 内可导， （3）()()f a f b =，则至少存在一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零：()f ξ'=0 证明：由于()f x 在[,]a b 上连续，故在[,]a b 上()f x 有最大值M 和最小值m 。 ①M m =时，则[,]x a b ∈时，()f x m M ==，故()0f x '=，(,)x a b ∈，

高数定理定义总结

高数定理定义总结 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果l im(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果 F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

高等数学第6章第1节拉格朗日中值定理和函数的单调性

第六章 微分中值定理及其应用 §1.拉格朗日中值定理和函数的单调性 引言 为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧 AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB ．如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧 AB 的函数是y=f(x)，x ∈[a,b]的图像，点P 的横坐标为x ξ=．如点P 处有切线，则f(x)在点x ξ=处可导，且切线的斜率为()f ξ'；另一方面，弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a --，曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b a ξ-'=-． 撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值．这样这个公式就把函数及其导数联系起来．在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础．鉴于(,)a b ξ∈，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理． 剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的．换言之，如保证类似点P 存在，曲线弧 AB 至少是连续的，而且处处有切线．反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导． 一、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理 1、罗尔中值定理 定理6．1：若f 满足如下条件： （1）f ∈[a ，b]； （2）f 在(a ，b )内可导； （3）f (a)=f (b)，则存在ξ∈(a ，b )，使得()0f ξ'=． （分析）由条件（1）知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件（2）及（3），应用费马定理便可得到结论． 证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论： (i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立． (ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(2) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知

高数中需要掌握证明过程的定理

高数中的重要定理与公式及其证明一 考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明;如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的;但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高;而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水;因此,在这方面可以有所取舍; 应深受大家敬佩的静水深流力邀,也为了方便各位师弟师妹复习,不才凭借自己对考研数学的一点了解,总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理;这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,从长远来看都是应当熟练掌握的; 由于水平有限,总结不是很全面,但大家在复习之初,先掌握这些公式定理证明过程是必要的; 1常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,01lim ln x x a a x →-=,0(1)1lim a x x a x →+-=,201cos 1 lim 2 x x x →-= 点评：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想过它们的由来呢事实上,这几个公式都是两个重要极限1 lim(1)x x x e →+=与0sin lim 1x x x →=的 推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧; 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=; 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1) lim 1x x x →+=中,令ln(1)x t +=,则1t x e =-;由于极限过程是0x →,此时也有0t →,因此有0 lim 11 t t t e →=-;极限的值与取极限的符号是无关的,因此我们可以吧式中的t 换成x ,再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=; 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=,再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==;因此有01 lim ln x x a a x →-=;

高数定理大解析必背

高等数学定理大解析-考研必捋版 考研大纲要求范围+高数重点知识 第一章函数与极限 1、函数的有界性 在定义域内有fx≥K1则函数fx在定义域上有下界,K1为下界；如果有fx≤K2,则有上界,K2称为上界;函数fx在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界; 2、函数的单调性、奇偶性、周期性指最小正周期 3、数列的极限 定理极限的唯一性数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限; 定理收敛数列的有界性如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界; 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,-1n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件; 定理收敛数列与其子数列的关系如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a; ●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,-1n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的;

4、函数的极限 函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时fx有没有极限与fx在点x0有没有定义无关; 定理极限的局部保号性如果limx→x0时fx=A,而且A>0或A<0,就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有fx>0或fx>0,反之也成立; ●函数fx当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即fx0-0=fx0+0,若不相等则limfx不存在; ●一般的说,如果limx→∞fx=c,则直线y=c是函数y=fx的图形水平渐近线;如果limx→x0fx=∞,则直线x=x0是函数y=fx图形的铅直渐近线; 5、极限运算法则 定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小； 定理如果F1x≥F2x,而limF1x=a,limF2x=b,那么a≥b; 6、极限存在准则 ●两个重要极限limx→0sinx/x=1；limx→∞1+1/xx=1; ●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn 且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立; ●单调有界数列必有极限; 7、函数的连续性

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem

高等数学word教案

第 14 次课 2 学时 注：本页为每次课教案首页 第一节 中值定理 中值定理 1． 罗尔定理 如 满足：（1）在 连续.（2）在 可导.（3） , 则至少存在一点 ,使 证明：(1) 如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2) 如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是 , , 上次课复习：上次我们学习了函数的微分的定义以及初等函数的微分公式与微分法则，掌握了微分与导数的关系以及微 dy =f '(x )dx . d (u ±v )=du ±dv ， d (Cu )=Cdu ，d (u ⋅v )=vdu +udv ， ，dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx . dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du . 本次课题（或教材章节题目）：第三章 中值定理与导数应用 第一节中值定理 教学要求：1. 理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义; 2. 会证明中值定理，特别是学会构造辅助函数证明问题的方法； 3. 初步具有应用中值定理论证问题的能力. 重 点：罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 辅助函数的构造 难 点：辅助函数的构造 教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案 讲授内容及时间分配： 罗尔定理 15分钟 拉格朗日中值定理 25分钟 柯西中值定理 25分钟 中值定理的应用举例 35分钟 课后作业 作业：P 参考资料

所以f'(x)=0. 罗尔定理的几何意义: 连续曲线弧除端点外处处具有不垂 直于x轴的切线，且两个端点纵坐标 相等，则在弧上至少有一点该点处曲 a b 线的切线水平。 例1 设，则 在区间（-1，0）内，方程有2个实根；有1个根. 例2 设在[0，1]可导，且，证明存在，使。 证：设在[a,b]可导， ∴存在使即. 例3 设在[0，1]可导，且,证明存在，使。 解: 设，且由罗尔定理，存在，使，即， 2、拉格朗日中值定理 如满足：在[a,b]连续；在（a,b）连续，则存在,使. 证明:引进辅助函数 ϕ(x)=f(x)-x. 容易验证函数 ϕ(x)适合罗尔定理的条件:ϕ(a)=ϕ(b)=0,ϕ(x)在闭区间[a,b] 上连续在开区间(a,b)内可导,且ϕ '(x)=f'(x)-. 根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使ϕ'(ξ)=0,即 f'(ξ)-=0. 由此得= f'(ξ) , 即f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a). 定理证毕. 拉格朗日中值定理的几何意义: 连续曲线弧除端点外处处具有不垂 直于x轴的切线，则在弧上至少有 一点该点处曲线的切线平行于弦AB a ξ b 拉格朗日中值公式的其它形式: 设x为区间[a,b]内一点,x+∆x为这区间内的另一点(∆x>0或∆x<0),则在[x,x+∆x] (∆x>0)或[x+∆x,x] (∆x<0)应用拉格朗日中值公式,得 f(x+∆x)-f(x)=f'(x+θ∆x)∆x (0<θ<1). 如果记f(x)为y,则上式又可写为 ∆y=f'(x+θ∆x)∆x (0<θ<1). 试与微分d y=f'(x)∆x比较:d y=f'(x)∆x是函数增量∆y的近似表达式,而 f'(x+θ∆x)∆x是函数增量∆y的精确表达式. 推论：⑴如果在区间I上，则. 证在区间I上任取两点x1,x2(x1

考研：洛必达法则

§3-1 微分中值定理 定理3.1 如果函数)(x f 满足下列条件： （1）在闭区间],[b a 上连续； （2）在开区间),(b a 内可导. 那么在区间),(b a 内至少存在一点ξ )(b a <<ξ，使等式 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （1） 成立. 这定理称为拉格郎日（Lagrange ）中值定理. （定理证明从略） 下面来看一下定理的几何意义. 现把（1）式改写为 )() ()(ξf a b a f b f '=-- 从图3-1中可以看到，)(ξf ' 就是点))(,(ξξf C 处的切线斜率，而a b a f b f --) ()(表示过曲线)(x f y = 上两端点))(,(a f a A 、))(,(b f b B 的直线的斜率，因此（1）式表示点C 处的切线平行于弦AB.由此可知，拉格郎日中值定理的几何意义是：如果连续曲线)(x f y =的弧 ACB 上除端点外每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧段ACB 的内部至少能找到一点))(,(ξξf C ，使得该点处的切线与弦AB 所在直线平行. （1）式也叫拉格郎日中值公式，若令a x =，a b x -=∆，则（1）式可写成 x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ （2） 它提示了函数的增量与导数及自变量增量之间的直接联系，从而为我们开辟了用导数来研究函数的某些特性的途径. 例1 求函数3 )(x x f =在]2,1[-内满足拉格郎日中值定理条件的ξ值. 解 因为23)(x x f ='，1)1(-=-f ，8)2(=f ，故满足拉格郎日中值定理的ξ值为 )]1(2[3)1()2(2--=--ξf f 即 9=92 ξ， 得ξ1±= 因为 )2,1(1-∈， )2,1(1-∉-