武忠祥罗尔定理的推论

2021考研高等数学17堂课主讲 武忠祥 教授专题9 方程根的存在性及个数方程0)(=x f 的根就是函数)(x f 的零点,其几何意义就是曲线)(x f y =和x 轴的交点.通常是以下两个问题 1.根的存在性： 方法1：零点定理；若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且,0)()(<⋅b f a f 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.【注】这个结论可推广为：若函数)(x f 在区间),(b a 内连续，且,)(lim α=+→x f ax ,0,)(lim <⋅=−→βαβx f b x 则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.这里,,b aβα,可以是有限数，也可以是无穷大.方法2：罗尔定理；若函数)(x F 在区间],[b a 上满足罗尔定理三个条件，且),,(),()(b a x x f x F ∈=′则方程0)(=x f 在),(b a 上至少有一个实根.2.根的个数： 方法1：单调性；若函数)(x f 在区间],[b a 上单调（严格单调），则方程0)(=x f 在),(b a 上最多一个实根. 方法2：罗尔定理推论； 罗尔定理推论：若在区间I 上0)()(≠x fn ，则方程0)(=x f 在I 上最多n 个实根.【例1】设)()2)(1(ln )(n x x x x f −−−=L ，则方程0)(=′x f 根的个数为._________【例2】设,)1()(33x x x f −=则方程0)(=′′′x f 在)1,0(上( ) (A)有1个根 (B)有2个根(C)有3个根 (D)有4个根【例3】已知方程c b a cx bx ax ++=++23423在)1,0(内至少有一个实根，则（ ） （A ）0>a （B ）0<b（C ）0>c （D ）c b a ,,为任意实数.【例4】（1996年1,2）在区间),(+∞−∞内，方程+41||x 0cos ||21=−x x （C ）.（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 【例5】方程x x t x t −=∫−30d e 2（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有且仅有三个实根 （D ）有无穷多个实根 【解】令x x t x f x t +−=∫−30d e )(2，则)(x f 是),(+∞−∞上的奇函数，从而，原方程在区间)0,(−∞和),0(+∞上实根个数相同，因此，只需讨论),0(+∞上实根个数。

罗尔定理的推论及其证明过程如下:
罗尔定理推论:
若映射f: Rn → Rm满足以下条件:
(1) f在定义域Rn内可导;
(2) jacobian矩阵Jf(x)在定义域Rn内任意点满秩;
则f为定向同胚映射。

证明:
1. 因为f在定义域Rn内可导,根据隐函数定理,对任意x0∈Rn,都存在其邻域U(x0),使得f在U(x0)上可逆。

2. 又因为Jf(x)在Rn内任意点均满秩,则对任意x∈Rn,Jf(x)的秩均为min{m,n}。

3. 当m=n时,Jf(x)为满秩方阵,其行列式不为0,所以f在Rn内任意点可逆,是定向同胚映射。

4. 当m≠n时,不妨设m>n,则Jf(x)的秩为n。

这意味着Jf(x)的列向量在Rn内线性无关。

5. 由2、4可知,f在Rn内任意点处的微分df都是满秩的,因
此f是一个局部定向同胚映射。

6. 结合1,f在整个定义域Rn内是定向同胚的。

综上所述,罗尔定理推论得证。

这展示了可微映射的jacobian 矩阵满秩是一个确定定向同胚映射的充要条件。

21高等数学强化课●武忠祥老师的强化班课程笔记●武忠祥老师的强化班课程●函数极限连续●函数●基本要素：定义域，对应规则●函数形态●单调性判定●定义●导数，●单调性应用●根的个数●证明不等式●奇偶性判定●定义●可导●原函数奇函数>导函数偶函数●原函数偶函数>导函数奇函数●连续●周期性判定●定义●可导的周期函数其导函数是周期函数●周期函数的原函数不一定为周期函数●f(x)连续且以T为周期●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0●有界性判定●定义●闭区间连续●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在●导数●极限●概念●数列极限●极限值等于多少与数列前有限项无关●与项数无关●函数极限●趋于无穷●趋于有限值●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关●分左右极限求●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样●特殊函数●2●性质●局部有界性●保号性注意等号●与无穷小之间的关系●极限存在准则●夹逼●单调有界●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小●比较●性质●无穷大●常用无穷大比较指幂对（大到小）●无穷大与无界变量●与无穷小互为倒数●求极限方法●有理运算法则●基本极限●等价无穷小●常用●积分情况●代换原则●乘除直接换●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1●洛必达●泰勒公式●常用●夹逼●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间●单调有界●函数极限题型●0/0 0比0型●拉格朗日中值定理●加减 x 来凑常用等价无穷小●无穷 / 无穷●洛必达●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大●无穷—无穷●0 · 无穷●1 的无穷次方●无穷的0次方，0的无穷次方●数列极限●不定式●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限●n 项和的数列极限●夹逼定理●定积分定义●级数求和●常用结论●n 项连乘的数列极限●夹逼●取对数化为n项和●递推关系●数列存在单调性●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A●数列不具有单调性或者单调性很难判定●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A●单调性判定（直接，比值，函数）●无穷小量阶的比较●洛必达●等价无穷小●泰勒公式●常用结论及举例●连续●连续●间断点●连续函数的性质●连续题型●讨论连续性及间断点类型●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点●介值定理，最值定理，零点定理证明●一元函数微分●导数微分●导数定义●等价形式●注意分段函数●微分定义●连续、可导、可微之间的关系●求导公式●求导法则●有理运算法则●复合函数求导●隐函数求导●反函数求导●参数方程求导●高阶导数●对数求导法则●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导●●题型：导数与微分的概念●利用导数定义求极限●利用导数定义求导数●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求●利用导数定义判定可导性●导数几何意义●导数与微分计算●复合函数求导●导数与奇偶性●复合函数在一点的导数值●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以●高阶导数●公式●一阶二阶之后归纳●泰勒公式和泰勒级数●导数应用●微分中值定理●罗尔定理●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系●柯西定理●泰勒定理（拉格朗日余项）●极值最值●极值的必要条件●极值的充分条件●第一充分条件●第二充分条件●第三充分条件●凹向拐点●判定●必要条件●充分条件●渐近线●水平渐近线●垂直渐近线●斜渐近线●方程的根的存在性及个数●方法●注意把函数化到一边来求零点●将含有参数的式子参数分离出来●罗尔定理●证明函数不等式●方式方法●单调性●最大最小值●拉格朗日定理●泰勒公式●凹凸性●注意以及常用基本不等式●不等式●微分中值定理有关的证明题●证明存在一个点●构造辅助函数 P 82●证明存在两个中值点 p 85●方法●证明存在一个中值点 p 87●带拉格朗日余项的泰勒公式●一元函数积分●不定积分●原函数●原函数的存在性●f（x）在区间连续，有原函数●有第一类间断点，f（x）没有原函数●基本公式●公式●积分法●第一类换元法●第二类换元法●分部积分●定积分●概念●与积分变量无关●可积性●必要条件存在必有界●充分条件●连续必存在●有界，有限个间断点必存在●有限个第一类间断点必存在●计算●方法●奇偶性和周期性●公式 sin cos 公式注意上下限●变上限积分 p 105●公式●变上限积分函数及其应用●连续性●可导性●奇偶性●处理变上限积分有关极限问题方法●洛必达法则●等价无穷小代换●积分中值定理●图像●性质●不等式●大小●积分中值定理●广义积分中值定理●积分不等式问题●变量代换●积分中值定理●变上限积分●柯西积分不等式●反常积分●定义●无界函数●常用结论●定积分应用●平面图形面积●空间体体积●计算●曲线弧长●计算就是计算 d s●旋转体侧面积●常微分方程●一阶●齐次●线性方程●全微分方程●可降阶的高阶方程●形式●高阶线性微分方程●解的结构●定理一●定理二●定理三●定理四●常系数齐次线性微分方程●二阶常系数线性齐次微分方程解的形式●常系数非齐次线性微分方程●求特解●一●二●多元函数微分●●重极限●任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在●y = k x y = x x (x的方)●求重极限●连续●性质●偏导数●定义●代表斜率●二阶偏导数连续●全微分●定义非常重要●等价●注意，这个ρ 的高阶无穷小是关于ρ 的函数，但是里面的ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用●可微性判定●可微推出偏导数存在●偏导数连续推出可微●可微推出偏导数存在偏导数连续推出可微●计算●连续、可导、可微关系●偏导数与全微分计算●复合函数求导●全微分形式不变●隐函数求导●极值最值●无条件极值●定义对任意p（x,y）●必要条件存在偏导，且点就是极值点●充分条件领域内有二阶连续偏导，一阶导为0●二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值●条件极值二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算●二重积分●二重积分概念●几何意义积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积●二重积分性质●不等式性质●函数之间的关系●最大最小值●绝对值●二重积分计算●直角坐标●先 y 后 x●先 x 后 y●极坐标●极坐标计算●适合极坐标计算的被积函数●适合极坐标计算的积分域●对称性和奇偶性●奇偶性●变量对称性●无穷级数●级数的概念●无穷级数●部分和●级数收敛●级数发散●级数性质●收敛级数的倍数是极限s的倍数●收敛级数的求和●级数求和●收敛＋发散 = 发散●发散＋发散 = 敛散性不确定●在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性●收敛级数加括号仍然收敛且和不变●级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛●级数加括号以后发散，原级数不一定发散●级数收敛必要条件（反过来不一定成立）●级数的审敛准则●正向级数 u n > 0●比较判别法●比较法极限形式●使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则●比值法●根值法●交错级数●充分条件●任意项级数●条件收敛●绝对收敛●基本结论●常用结论●等价无穷小代换只适用正向级数●幂级数●定义●阿贝尔定理●绝对收敛（端点收敛则里面收敛）●发散（端点发散则外面发散）●可能性●收敛半径、收敛区间、收敛域●定理3●定理4●有理运算性质●运算●分析性质●连续性●可导性（逐项求导）●可积性●函数的幂级数展开●展开式唯一●泰勒级数●常用展开式●傅里叶级数●定义●展开●方向导数和梯度●方向导数●定义●计算●梯度●定义●多元微分几何应用●曲面的切平面与法线●曲面的切线和法平面●常见曲面●旋转面●柱面平行于 z 轴就是消去 z●多元积分学●三重积分●定义●计算●直角坐标●柱坐标●●线积分●对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关●计算（平面）●利用奇偶性曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性●利用对称性 x y 可以互换●对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关●计算方法●直接法●格林公式●补线用格林公式●利用线积分与路径无关●线积分与路径无关的判定以下四条等价●计算●该换路径●利用原函数●计算方法●斯托克斯公式●面积分●对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关●直接法●利用奇偶性●对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关●性质●计算●直接法●高斯公式●常用●多元积分应用●场论。

武忠祥概率论公式
武忠祥概率论公式是武忠祥老师在概率论学科中总结出来的一套公式，用于解决概率论中的一些基本问题。

这些公式包括但不限于：概率论的基本公式、贝叶斯公式、全概率公式、条件概率公式等等。

这些公式都是概率论中非常重要的公式，能够帮助我们更好地理解和应用概率论的基本概念和原理。

在武忠祥老师的概率论课程中，他详细讲解了这些公式的推导和应用，并且通过例题和练习题的方式，让学生更好地掌握这些公式的应用。

同时，武忠祥老师也鼓励学生自己尝试推导这些公式，以便更深入地理解概率论的基本原理。

除了概率论的基本公式外，武忠祥老师还总结了一些概率论中的重要定理和结论，例如：大数定律、中心极限定理、马尔科夫链等等。

这些定理和结论都是概率论中非常重要的知识点，能够帮助我们更好地理解和应用概率论的基本概念和原理。

总之，武忠祥概率论公式是概率论学科中非常重要的一套公式，对于学习概率论的学生来说是非常有用的工具。

通过学习和掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用概率论的基本概念和原理，为进一步学习其他数学学科打下坚实的基础。

罗尔定理理解《我所理解的罗尔定理》在数学的神秘森林里，罗尔定理就像是一颗独特而闪耀的小星星，不那么耀眼到刺目，但懂得它美妙之处的人却能领略到无尽的趣味。

罗尔定理，乍一听像是某个大侦探的名字，实际上它是个特实在的数学定理。

想象我们在一条弯弯曲曲但特别调皮的道路上，也就是函数的图像上溜达。

这道路不是随便乱画的，它得满足几个条件，就像参加一场特殊的旅行团要有特定资格一样。

首先，这条道路得是连续的，不能走着走着突然陷入一个万丈深渊或者凭空消失了（也就是函数要连续）；其次它还得是光滑的，不能有那种尖锐的角，像锯齿一样的东西可不行，这就是说在区间内可导。

最后这个道路还有个最有趣的规定，那就是它这一段的起点和终点高度得是一样的。

当这一切条件都满足的时候呢，罗尔定理就像个神奇的预言家似的告诉我们：在这两点之间，一定有一个地方，那里的切线是水平的。

这就好比在爬山的时候，如果起点和终点在同一个高度，那中间肯定有个地方它特别平，不是山峰也不是山谷。

我们可以想象有个小球在这条路径上滚动，在满足罗尔条件的情况下，在某个位置小球一定是达到了那种平着的、不向上也不向下滚动的点。

我觉得罗尔定理其实是数学中一种充满哲理的表达。

它告诉我们在一些规则和限制下，肯定会存在一种特殊的状态。

这就像是生活里的一些事情，给了你一定的框架（像工作的规定、项目的要求等），在这些框架内，一定会有一些平衡的、特别的时刻或者状态存在。

从学习这个定理的过程中，我可经历了一场头脑的魔法之旅。

刚开始的时候，那些概念和条件像一群调皮的小精灵在我脑袋里乱转，总是抓不住。

尤其可导这个概念，就像一个模糊的影子，看起来懂，仔细想却又觉得不透彻。

但是多做几个例子，像是亲自探寻那神秘道路的不同路线一样，突然就有那么一瞬间，“哇塞”，就像一道光闪过，就理解了这罗尔定理的真谛。

罗尔定理也像是数学给大家的一个小小惊喜礼物包，打开它，我们在看似枯燥的函数世界里发现了这种奇妙的关系，让我们知道即使是在那些复杂的曲线里，也有着简单而惊人的规律在等待着我们去挖掘和欣赏。

古尔丁定理是指最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗·高尔丁又重新发现的数学定理。

古尔丁定理求表面积有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。

由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A，等于曲线的长度s乘以曲线的几何中心经过的距离d1：A=sd1。

古尔丁定理求体积由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积V，等于平面形状面积S乘以平面形状的几何中心经过的距离d1的积：V=Sd1
古尔丁定理，又称帕普斯几何中心定理。

以平面图形绕同一平面上的任何一条与该图形不相交的直线旋转一周所产生的体积，等于图形的面积乘以其重心相应半径所画的圆周长。

它最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗·高尔丁又重新发现了这个定理。

帕普斯：（Pappus）古希腊数学家。

3-4世纪人。

也译巴普士。

他是亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家。

生前有大量著作，但只有《数学汇编》保存下来。

第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。

罗尔定理的零点定理1.罗尔定理的基本概念罗尔定理是微积分基本定理中的一条重要定理。

它阐述了一个单变量实函数在某个区间内的导数为零所对应的函数取值情况。

具体来讲，若函数f(x)在区间[a,b]上满足以下三个条件：1.f(x)在[a,b]上连续2.f(x)在(a,b)上可导3.f(a)=f(b)那么在(a,b)上至少存在一点c，使得f'(c)=0。

这个点c称为f(x)在(a,b)上的一个零点。

罗尔定理推广到多元函数的情况，仍然成立。

即若函数f(x1,x2,...,xn)在某个闭区域上连续，在其中的开区域上各偏导数都存在且为零，那么在该区域上，f(x1,x2,...,xn)恒为常数。

2.理解罗尔定理的零点定理罗尔定理的零点定理其实是更深层次的一个应用。

它可以被理解为一个函数在某区间内若干次连续可微，而且在该区间的一个端点处取一定值，那么至少存在一个内部点，该点处的导数为零。

也就是说，若函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：1.f(x)在[a,b]上r+1次连续可微2.f(a)=f(b)且f'(a)=f'(b)=...=f^(r)(a)=f^(r)(b)=0那么在(a,b)上至少存在一个点c，使得f^(r+1)(c)=0。

这个点c 称为f(x)在区间(a,b)上的一个r+1阶零点。

3.一个具体例子为了更加具体地理解罗尔定理的零点定理，下面举一个例子：考虑函数f(x)=x^4+2x^3-4x-2在[-2,0]上的零点。

首先，我们可以通过描绘函数图像，发现在[-2,0]上有一个零点。

接下来，我们需要使用罗尔定理证明该零点存在。

由于f(x)是一个四次可微函数，我们只需要证明f(x)在[-2,0]上的一阶导数f'(x)在至少一个点为零即可。

我们有f'(x)=4x^3+6x^2-4，显然有f'(-2)=0。

因此，由罗尔定理，至少存在一个点c∈(-2,0)，使得f'(c)=0。

由罗尔定理知：（1）可导函数在取得极值点处导数等于零；（2）方程：()0f x =的两根之间至少有方程：()0f x '=的一个根；（3）唯一性证明。

反证法：假设谬论，运用罗尔定理推出矛盾；（4）结论可能需多次运用罗尔定理。

①②③④⑤⑥⑦⑨⑾⑿⒀⒁⒂ 证明：（1）方程33x x C-+（这里C 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程n x px q++（其中n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根，当n 为奇数时至多有三个实根．证明：（1）反证法。

设()f x 有两个不同的实根 1212,[0,1],x x x x ∈<，而()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，12()()f x f x =，则存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使：'()0f ξ=。

由于2'()33'()01f x x f x x =-⇒=⇒=±，而1x =±都不在(0,1)内，即不可能存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使'()0f ξ=，矛盾。

（2）3n ≤结论成立，用反证法证明4n ≥情形。

2n k =：设方程有三个实根 123123,,,()x x x x x x <<，函数()f x 在12[,]x x 与23[,]x x 上分别满足罗尔定理。

故存在112223(,),(,)x x x x ξξ∈∈使12'()'()0f f ξξ==212'()2,'()0k f x kx p f x x -=+=⇒=，与12'()'()0f f ξξ==矛盾。

21n k =+：设方程有四个实根 12341234,,,,()x x x x x x x x <<<，函数()f x 在12[,]x x ，23[,]x x ，34[,]x x 上分别满足罗尔定理。