2015届高三5月高考模拟考试理科数学试题及答案

2015年高三数学理科模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( ) A. (1)(2)(2)f f f -<<- B. (2)(1)(2)f f f -<-<C. (2)(2)(1)f f f <-<-D. (1)(2)(2)f f f -<-<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．已知实数x ∈[1，9]，执行如图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为( ) A.14B.23C.28D.386．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B.14或23C.23D.23或348．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F,过1F的直线l交双曲线左支于,A B两点,则22BF AF+的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 169．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r=-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r=+≤，若BA⊂，则实数r可以取的一个值是( )A. 21+ B. 3 C. 2 D.212+10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x xf xf x x⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．设等差数列{}na满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+，公差(1,0)d∈-.若当且仅当9n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是( )A.74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点．设，则λ1+λ2等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是(用数字回答)．14．若整数．．,x y满足不等式组70y xx yx-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y+的最大值为15．已知正三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．设P（x，y）为函数y=x2﹣1图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为．三．解答题。

云南民族中学2015届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．A ={0，1，2，3，4，5，6}，B ={|0x x <或3}x >，{456}A B =，，，故选B ．2．21i 31i 2i 55z +==++，所以23155Z ⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限，故选A ． 3．B 选项中11a<，解得1a >或0a <，故选B ． 4．一元二次方程2540x x -+=，解得11x =，24x =，所以1314a a ==，，则公比2q =，所以21n n S =-，故选B ．5．11222+222S =⨯⨯⨯B ．6．22()()()()()DE DF OE OD OF OD OE OD OE OD OE OD =--=---=--=22(31)8--=-， 故选D ．7．1011=0+11p S =+==，，k =2，2<5？是；14123133p S =+==+=，，k =3，3<5？是；413336+362p S =+===，，k =4，4<5？是；31864102105p S =+==+=，，k =5，5<5？否，∴85S =，故选C ． 8．求得交点()A k k ，，(2)B k k -，，(00)C ，，∴2A z k =，B z k =-，0C z =，∵0k ＞， ∴max 212z k ==，∴6k =，∴min 6z k =-=-，故选B ．9．在空间四边形ABCD 中，取AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，则60BOD ∠=︒，R =OA =OB =OC =OD =2，V =323π，故选D ． 10．F (1，0)，准线为x =-1，设准线与x 轴的交点为H ，在△AHF 中，HF =2，AFH PAF ∠=∠60=︒，又AP =PF ，则△P AF 为等边三角形，PF =AF =4，故选B ．11．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln 1y x y ax ==-，，直线21y ax =-过定点(01)-，，设直线21y a x =-与1y 的切点为00(ln )x x ，，由于11y x'=，所以切线斜率0000ln 1111x a x a x x +====，∴，，当(01)a ∈，时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点，故选C ．12．由()()()()f x g x f x g x ''<得2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，即()()xf x y ag x ==为R 上的减函数，所以01a <<，由(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，得152a a -+=，即22520a a -+=，解得2a =或12a =，又01a <<，所以12a =，故()1()2xf xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列()()()f n n g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭*N 即1()2nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭*N ，其前n 项和为111221631126412nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-，整理得11264n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得6n =，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由17n +=，得n =6，应用二项式定理，得展开式的常数项为4422561C ()15T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．由已知，得1111212222f ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是511122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．由2y x =，得0)y x ≥，则面积为1312320212111)d 33333A S S x x x x Ω⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭⎰，，于是概率为13A S S Ω=．16．由函数32115()33212f x x x x =-+-，得2()3f x x x '=-+，则()21f x x ''=-，令()0f x ''=，得12x =，代回原函数，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故对称中心为112⎛⎫⎪⎝⎭，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠1259253492⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则7k m AB =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由三角形中线性质定理，得1()2CD CA CB =+，平方得222211119()(2)(25539)4444CD CA CB CA CA CB CB =+=+⋅+=-⨯+=，于是19CD CD ==．………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：连接AC ，∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为BD 的中点， ∴AC ∩BD =E ，∴E 为AC 的中点． 又∵F 为PC 的中点，∴EF 是△P AC 的中位线，∴EF ∥P A ． 又∵P A ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ．…………………………………（4分） （Ⅱ）解：如图1，连接AM 和DM ，∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，且PD ⊥BD ， 又∵AD ⊥BD ，PDBD D =，图1∴AD ⊥平面PDB ， 又∵M D ⊂平面PDB ， ∴AD ⊥MD ， 又∵AD ⊥BD ，∴∠MDB 是二面角M AD B --的平面角，∴∠MDB =45°．…………………………（8分） 在△PDB 中，∵PD ⊥BD ，PD =BD ，∠MDB =45°，∴M 是PB 的中点，∴2λ=．…………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）甲、乙两班数学样本成绩的中位数分别是72分、70分．………………（2分） （Ⅱ）901+804+70660650240190==7120x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+甲，902+803+705605503402100==7020x ⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+乙，∴甲、乙两班数学样本成绩的平均值分别是71分、70分．…………………………（6分） （III ）ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为14，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为14，4381(0)4256P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3121327(1)2C 4464P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22221122131327(2)2+C C 4444128P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 221221133(3)2C C 44464P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(4)4256P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴ξ的分布列为：……………………………………………………………………………………（11分）8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在12AF F △中，由1260F AF ∠=︒，12AF AF a ==， 得12AF F △是等边三角形，则2a c =， 于是椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由12c e a ==，得2a c =，则b =，于是椭圆C ：2222143x y c c+=．又由右焦点2(0)F c ，及斜率tan 451k =︒=，得直线l y x c =-：． 联立，得2223412y x c x y c =-⎧⎨+=⎩，，消去y ，得227880x cx c --=． 运用韦达定理，得212128877x x c x x c +==-，．…………………………………………（8分）设1122()()M x y N x y ，，，，且1(0)F c -，， 则111122()()MF NF c x y c x y ⋅=------，，21212121212()()()()()()22c x c x y y c x c x x c x c x x c =+++=+++--=+222162277c c c =-+=-，而112MF NF ⋅=-，即2227c -=-，于是27c c ==，所求椭圆C 的方程为2212821x y +=．……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：函数()f x 的单调递减区间为(1)-∞-，，单调递增区间为[10)-，，(0)+∞，．……………………………………………………………………………………（2分）（Ⅱ）证明：由()g x 有意义知12x ≥，所以()ln f x x =，令()()()h x g x f x =-，1()h x x '=，因为22121(1)0x x x x x⇔-⇔-≥≥成立，1x 成立，所以()0h x '≥，即()()()h x g x f x =-在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数．所以min 11111()ln ln 2022222h x h ⎛⎫==--=->= ⎪⎝⎭，所以()()g x f x >，即曲线()f x 与()g x12没有公共点．…………………………………………（6分）（Ⅲ）解：当120x x <<或210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<．当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为211(2)y x x a -++= 11(22)()x x x +-，即211(22)y x x x a =+-+．当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =⋅+-，两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，①，②由①及120x x <<，知110x -<<． 由①②得，2111ln122a x x =+-+211ln(22)1x x =-+-． 设21111()ln(22)1(10)h x x x x =-+--<<，则1111()201h x x x '=-<+． 所以，1()h x 在(10)-，上是减函数，则1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--． 又当1(10)x ∈-，且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．故当函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21)--+∞，．……………………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图2，∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC （两直线平行内错角相等）， 又∵∠ADB =∠ACB （同弧所对圆周角相等）， ∴∠DBC =∠ACB ． 在△ABC 和△DCB 中，∵∠BAC =∠CDB （同弧所对圆周角相等）， BC = BC ，∠DBC =∠ACB （已证），∴△ABC ≌△DCB ．………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）在△AED 和△BAC 中， ∵AC ∥ED （已知）， AD ∥BC （已知）， ∴∠ADE =∠BCA ， ∠EAD =∠ABC ， ∴△AED ∽△BAC ，∴AE DEAB AC=， ∴AE AC AB DE ⋅=⋅． 又由（Ⅰ）知△ABC ≌△DCB ， ∴AB =DC ，AC =BD ，∴DE ·DC ＝AE ·BD ．……………………………………………………………………（10分）图223．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）依题意可得直线l 的直角坐标方程为120x -=，曲线C 的普通方程为221273x y +=．………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设)P θθ，则点P 到直线l 的距离6cos 1262d θπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，故当cos 16θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 3d =． ……………………………………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：因为(3)f x k x +=-，所以(3)0f x +≥等价于x k ≤， 由x k ≤有解，得0k ≥，且其解集为{}x k x k -≤≤．又(3)0f x +≥的解集为[11]-，，故k =1．……………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a +12b +13c=1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 211123(23)923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++= ⎪⎝⎭≥．………………………………………………………………………………………（10分）。

2015年江苏省大联考高考数学五模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=．2．集合M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}，则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为．5．已知i是虚数单位，则|﹣|=．6．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．7．某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+4a，则a=．8．关于x，y的不等式组所构成的区域面积为．9．某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c=．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O 为坐标原点），且A到F的距离为3，则p=．12．已知S n是数列{a n}的前n项和，向量=．13．已知2a=3b=6c，k∈Z，不等式＞k恒成立，则整数k的最大值为．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j=．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率．16．设a ，b ，c 均为正实数．（1）若a+b+c=1，求证：a 2+b 2+c 2≥；（2）求证：≥．17．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，统计结果如下：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为ω）的关系式为：S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．（假定这三天中空气质量互不影响）18．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC=BC=CC 1=2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN ∥平面ABB 1A 1；（Ⅲ）线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由．19．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求•的取值范围．20．定义函数f k（x）=为f（x）的k阶函数．（1）求f（x）的一阶函数f1（x）的单调区间；（2）讨论方程f2（x）=1的解的个数．2015年江苏省大联考高考数学五模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=3﹣i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴=3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．集合M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}，则M∩N={1，2}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：∵M={x|0＜x≤3}，N={x∈N|0≤x﹣1≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1，2}，∴M∩N={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=10﹣1=9；k=2，S=9﹣2=7；k=3，S=7﹣3=4；k=4，S=4﹣4=0；S≤0，输出k=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．4．用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为假设a，b，c都是奇数．【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；推理和证明．【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可．【解答】解：假设a，b，c都是奇数“至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”，即反设应为“假设a，b，c都是奇数”．故答案为：假设a，b，c都是奇数．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5．已知i是虚数单位，则|﹣|=．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简﹣，则答案可求．【解答】解：由﹣=，则|﹣|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．7．某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3.2x+4a，则a=10．【考点】两个变量的线性相关．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据回归直线过样本中心点（，），求出平均数，代入回归直线方程求出a的值即可．【解答】解：根据题意得，==10，==+6，因为回归直线过样本中心点（，），所以+6=﹣3.2+4a，解得a=10．故答案为：10．【点评】本题考查了平均数的计算问题，也考查了回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题目．8．关于x，y的不等式组所构成的区域面积为9．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据图象的形状进行求解即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域，如图所示．则A（1，1），B（4，1），C（4，5），D（1，3），则直角梯形ABCD的面积为×3（2+4）=9．故答案为：9．【点评】本题主要考查平面区域面积的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．9．某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为6．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】由频率分布直方图，先求出a=0.040．再求出第3组、第4组和第5组的人数，由此能求出利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数．【解答】解：由频率分布直方图，得：（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3组的人数为0.060×5×50=15，第4组的人数为0.040×5×50=10，第5组的人数为0.020×5×50=5，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，第4组应抽取×12=4人，第5组应抽取×12=2人．则成绩在[90，100]内的学生应抽取的人数为6．故答案为：6．【点评】本题考查分层抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c=2．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】直接利用余弦定理，代入化简，即可求出c．【解答】解：由acosB+bcosA=2得a•+b•=2，所以c=2．故答案为：2．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O 为坐标原点），且A到F的距离为3，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，b），则有=，即b=a，代入抛物线方程可得p=a，又由A到F的距离为3，得a+=3，即可解得答案．【解答】解：设A（a，b），则有=，即b=a，∴（a）2=2pa，可得p=a，又∵a+=3，∴p=2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据已知A到F的距离为3，得到a+=3是解答的关键．12．已知S n是数列{a n}的前n项和，向量=．【考点】等差数列的性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由已知中向量，且，结合两向量垂直数量积为0，我们易得到4（a n﹣1）﹣2S n=0，利用数列的性质我们易判断数列{a n}是一个等比数列，代入数列前n项和公式，即可得到效果．【解答】解：∵向量，且∴4（a n﹣1）﹣2S n=0∴a n=2a n﹣1即数列{a n}是以2为公比的等比数列则==故答案为：【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，数量积判断两个向量的垂直关系，其中利用两向量垂直数量积为0，得到4（a n ﹣1）﹣2S n =0，是解答本题的关键．13．已知2a =3b =6c ，k ∈Z ，不等式＞k 恒成立，则整数k 的最大值为 4 ．【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数幂和对数的运算性质，结合基本不等式即可得到结论． 【解答】解：设2a =3b =6c =t ，（t ＞0）， 则a=log 2t ，b=log 3t ，c=log 6t ，法1：∴ =====2+，∵lg2≈0.310，lg3≈0.477，∴，，则2+≈2+1.54+0.65=4.19 ∵不等式＞k 恒成立，∴k ≤4，整数k 的最大值为4，法2： =====2+＞2，∵不等式＞k 恒成立，∴k ≤4， 故答案为：4．【点评】本题主要考查与对数有关的恒成立问题，利用对数的运算法则结合基本不等式的性质是解决本题的关键．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j=29．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，代入已知可解得a1和d，可得通项公式，确定第i行的第一个数，利用数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8=4a3，a7=﹣2，∴8a1+28d=4（a1+2d），a7=a1+6d=﹣2，解得a1=10，d=﹣2，∴a n=10+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+12，=（2n﹣3）d，设第i行的第一个数为b i，则b2﹣b1=d，b3﹣b2=3d，…，b n﹣b n﹣1∴b n﹣b1=d+3d+…+（2n﹣3）d=d=﹣2（n﹣1）2，∴b n=﹣2（n﹣1）2+10，n=18，b18=﹣568，﹣588=﹣568+（11﹣1）×（﹣2），∴i+j=18+11=29，故答案为：29．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查归纳推理，属基础题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10分钟的人数为人．…6分（2）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．从6人中任选两人包含一下基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）其中恰好自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为…12分【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．16．设a，b，c均为正实数．（1）若a+b+c=1，求证：a 2+b 2+c 2≥；（2）求证：≥．【考点】不等式的证明． 【专题】推理和证明．【分析】（1）利用（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通过放缩证明即可．（2）利用分析法由≥，得到条件（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≥0，推出结论．【解答】证明：（1）∵a+b+c=1， ∴（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1， ∵2ab ≤a 2+b 2，2bc ≤c 2+b 2，2ac ≤a 2+c 2， ∴a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1≤3（a 2+b 2+c 2）， ∴a 2+b 2+c 2≥．（2）由已知得a+b+c ＞0， 欲证≥，只需证≥，只需证3（a 2+b 2+c 2）≥（a+b+c ）2， 只需证2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ≥0， 即证（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≥0， 上述不等式显然成立，故原不等式成立．【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法以及综合法的应用，考查逻辑推理能力．17．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，统计结果如下：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．（假定这三天中空气质量互不影响）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由已知条件求出频数，由此能求出该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．（2）记空气质量轻度污染为事件B，由已知条件求出P（B）=，由此能求出三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，P（A）=．（2）记空气质量轻度污染为事件B，由（1）知P（B）=，则P（）=，记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件C，则P（C）=××+××+××=0.441．故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接CN，易证AC⊥平面BCC1B1．由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；（Ⅱ）取AB中点D，连接DM，DB1，可得四边形MDB1N为平行四边形，可得MN∥DB1，由线面平行的判定定理可得MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）当Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．连接BC1，易证QN⊥BC1．可得A1B⊥QN，A1B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…因为MC=1，CN==，所以MN=…（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．…因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1…所以MN∥平面ABB1A1．…（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．…证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．…所以A1B⊥QN．…同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．…【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定，熟练掌握判定定理是解决问题的关键，属中档题．19．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求•的取值范围．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先利用点A在圆上求出m，再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c，再利用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；（2）先把用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围．【解答】解：（1）点A代入圆C方程，得（3﹣m）2+1=5．∵m＜3，∴m=1．设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y=k （x ﹣4）+4，即kx ﹣y ﹣4k+4=0． ∵直线PF 1与圆C 相切，圆C ：（x ﹣1）2+y 2=5，∴，解得．当k=时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．当k=时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为﹣4， ∴c=4．∴F 1（﹣4，0），F 2（4，0）．故2a=AF 1+AF 2=，，a 2=18，b 2=2．椭圆E 的方程为：．（2），设Q （x ，y ），，．∵，即x 2+（3y ）2=18，而x 2+（3y ）2≥2|x|•|3y|，∴﹣18≤6xy ≤18．则（x+3y ）2=x 2+（3y ）2+6xy=18+6xy 的取值范围是[0，36]． ∴x+3y 的取值范围是[﹣6，6] ∴x+3y ﹣6的范围只：[﹣12，0]．即的取值范围是[﹣12，0]．【点评】本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．20．定义函数f k （x ）=为f （x ）的k 阶函数．（1）求f （x ）的一阶函数f 1（x ）的单调区间； （2）讨论方程f 2（x ）=1的解的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数f1′（x），令f1′（x）=0，讨论当当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，f1（x）的单增区间，单减区间．（2）由方程f2（x）=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，=．构造函数g（x）=（x＞0），求出对数g′（x），利用函数的极值点，单调性，讨论出当0＜＜，即a＞2e时，方程有两个不同解．当＞，即0＜a＜2e时，方程有0个解．当=或＜0即a=2e 或a＜0时，方程有唯一解．【解答】解：（1）f1（x）=（x＞0），f1′（x）==（x＞0），令f1′（x）=0，当a≠0时，x=e．∴当a=0时，f1（x）无单调区间；当a＞0时，f1（x）的单增区间为（0，e），单减区间为（e，+∞）；当a＜0时，f1（x）的单增区间为（e，+∞），单减区间为（0，e）．（2）由=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，=．令g（x）=（x＞0），则g′（x）==．由g′（x）=0得x=，从而g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．g（x）max=g（）=．当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0．当0＜＜，即a＞2e时，方程有两个不同解．当＞，即0＜a＜2e时，方程有0个解．当=或＜0即a=2e或a＜0时，方程有唯一解．综上，当a＞2e时，方程有两个不同解；当0＜a＜2e时，方程有0个解；当a=2e或a＜0时，方程有唯一解．【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法以及函数的极值，函数的零点个数的讨论，考查分类讨论以及转化思想的应用．21。

2015届高三年级5月适应性考试数学（理科）试题本试题卷共4页，共22题，共中15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{, }A a b =，集合{}23, log (3)B a =+，若{0}A B =, 则A B 等于A ．{}1,0,3-B ．{}2,0,3-C ．{}0,3,4D ．{}1,0,32．下列说法中不正确．．．的是 A ．随机变量2(3,)N ξσ，若(6)0.3P ξ>=，则(03)0.2P ξ<<=．B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．C ．对命题p ：0x ∃∈R ，使得20010x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，有210x x -+>．D ．命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =，则ABC ∆为等腰三角形”的逆否命题为真命题． 3．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{}n a ，已知212a a =，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为A ．20B ．40C ．30D ．无法确定4．把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为 A ．96 B ．240 C ．48D ．40 5．一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角 形，则这个几何体的体积为A．BC．3 D ．6．如图，正方形OABC 的边长为1，记曲线2y x =和直线14y =，1,0x x ==所围成的图形（阴影部分）为Ω，若向正方形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为A ．14 B ．13C ．23D ．257．已知a ，b 是平面内夹角为90︒的两个单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c 的最大值为A ．1BCD ．28．设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 A ．[1,2]- B ．[2,1]- C ．[3,2]-- D ．[3,1]-9．已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线22y px =(0)p >的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，ABO ∆p 的值为AB． C ．2D10．已知函数()11f x mx x x =--+，则关于函数()y f x =的零点情况，下列说法中正确的是 A．当13m -<≤-+()y f x =有且仅有一个零点．B．当3m =-+1m ≤-或1m ≥或0m =时，函数()y f x =有两个零点． C．当30m -+<<或01m <<时，()y f x =有三个零点． D ．函数()y f x =最多可能有四个零点．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

2015高考理科模拟试卷及答案解析目录2015高考理科数学模拟试卷 (2)2015高考理科数学模拟试卷答案解析 (5)2015高考理综模拟试卷 (12)2015高考理综模拟试卷答案解析 (24)2015高考理综化学模拟试卷答案解析 (24)2015高考理综生物模拟试卷答案解析 (25)2015高考理综物理模拟试卷答案解析 (26)2015高考语文模拟试卷 (27)2015高考语文模拟试卷答案解析 (34)2015高考英语模拟试卷 (36)2015高考英语模拟试卷答案解析 (44)2015高考理科数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A =，{1,3,9}B =，x A ∈，且x B ∉，则x =A ．1B ．2C ．3D ．92．在复平面内，复数11i+-对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若01a <<，log (1)log a a x x -<，则A ．01x <<B ．12x <C ．102x <<D ．112x <<4．函数2cos2sin y x x =+，R ∈x 的值域是A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]-D ．[0,2]5．在5(12)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10- 6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2则该几何体的体积为A πB C ．32π3 D ．4π3+ 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( )A.36 B.34 C.33 D.328．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C ：222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A ．B ．正视图 侧视图俯视图 （第6题）C．(25,)+∞ D．(25,)+∞9．若,a b 表示直线，α表示平面，且b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知, 圆222π=+y x 内的曲线sin ,[,]y x x ππ=-∈-与x 轴围成的阴影部分区域记为Ω(如图),随机往圆内投掷一个点A ,则点A 落在区域Ω的概率为 A ．33πB ．34π . 32πC D ．31π11．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是AB ．2 CD12．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πβββ++=- C ． 1tan()41πααα-+=+ D ．1tan()41πβββ-+=+ 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=，则5a = ． 14．若某程序框图如图所示，则运行结果为 ．15．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为 ．16．已知点(3,0)A -和圆O ：229x y +=，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于,A B ）是圆O 上的动点，PD AB ⊥于D ，(0)PE ED λλ=>，直线PA 与BE 交于C ，则当λ= 时，（第14题）||||CM CN +为定值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求a bc+的取值范围． 18．（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知5(3)21P X ==． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望． 19．（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB 丄平面PAD,PD=AD, E 为PB 的中点,向量12DF AB =,点H 在AD 上,且0PH AD ⋅= (I)EF//平面PAD.(II)若(1)求直线AF 与平面PAB 所成角的正弦值.(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角的余弦值. 20．（本题满分12分）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值． 21．（本题满分12分）已知R a ∈，函数()ln (1)f x x a x =--． （Ⅰ）若11a e =-，求函数|()|y f x =的极值点；（第20题）（Ⅱ）若不等式22(12)()ax a ea xf x e e+-≤-+恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，,,A B C 是圆O 上三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交圆O 于D ，过B 做直线BE 交AD 延长线于E ，使BD 平分EBC ∠.（1）求证：BE 是圆O 的切线；（2）若6AE =，4AB =，3BD =，求DE 的长.一、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为2sin 10ρθ--=. 设圆C 与直线l 交于点A ，B，且(0,P .（1）求AB 中点M 的极坐标； （2）求|PA |＋|PB |的值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x m x x =----，R ∈m ，且(1)0f x +≥的解集为[]1,0. （1）求m 的值；（2）若R ,,,,,∈z y x c b a ，且222222,x y z a b c m ++=++= 求证: 1ax by cz ++≤.2015高考理科数学模拟试卷答案解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．B ；3．C ；4．A ；5．D ；6．A ；7．C ；8．C 9．D ；10．B ；11．A ．12．A 第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第12题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．81； 14．5； 15．36； 16．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209xy -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca b a --=，化简得222c ab b a =-+， …4分所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…7分（Ⅱ）C B A c b a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…11分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，cba +的取值范围是]2,1(．…14分18． 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ，…4分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …7分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…14分19.【答案】(Ⅰ) 取PA 的中点Q,连结EQ 、DQ,则E 是PB 的中点,∴1//,2EQ AB AB 且EQ=12DF AB =又1//,2DF AB AB ∴且DF=∴DF EQ DF EQ =且,//,∴四边形EQDF 为平行四边形, ∴//EF QD ,,EF PAD PAD ⊄⊂又平面且DQ 平面,//EF PAD 平面(Ⅱ)⑴解法一:证明: 0PH AD ∙=,∴PH AD ⊥ ∴PH⊥AD,又 AB⊥平面PAD,PH ⊂平面PAD,∴AB⊥PH,又PH ⋂AD=H,∴PH⊥平面ABCD; ---------------------------------连结AE ,PD AD Q PA =为的中点DQ PA ∴⊥又AB PAD ⊥平面且DQ PAD ⊂平面AB DQ ∴⊥AB PA A = DQ PAB ∴⊥平面由(Ⅰ)知 //EF DQ EF PAB ∴⊥平面AE AF PAB ∴为在平面上的射影 FAE AF PAB ∴∠为直线与平面所成的角2PD AD == PH =Rt PHD ∆在中 1HD ===H ∴为AD 中点, 又PH AD ⊥ 2PA PD AD ∴=== EF DQ PH ∴===AB PAD ⊥平面 AB AD ∴⊥ //DF AB DF AD ∴⊥在Rt ADF ∆中 AF ===又EF PAB ⊥平面 EF AE ∴⊥Rt AEF ∴∆在中 sin EF FAE AF ∠===155AF PAB ∴直线与平面所成的角的正弦值为515 (2)延长DA,CB 交于点M,连接PM,则PM 为平面PAD 与平面PBC 所成二面角的交线. 因为CD AB CD AB 21,//=,所以点A,B 分别为DM,CM 的中点,所以DM=4, 在PHM RT ∆中:222MH PH PM+=,32=∴PM 222DM PM PD =+∴ PD PM ⊥∴,又因为PMD CD 平面⊥,所以PM CP ⊥CPD ∠即为所求的二面角的平面角.所以在PCD RT ∆中:55522cos ===∠PC PD CPD 解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得 PH ABCD ⊥平面 又AB PAD ⊥平面在平面ABCD内过点//H HG AB 作HG PAD ∴⊥平面,以H为原点,以..HA HG HP x y z 的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系 H xyz - 2PD AD ==PH =Rt PHD ∆在中1HD ===H AD ∴为中点()100A ∴，， (,P O O ()12,0B ，1,12E ⎛ ⎝ ()110F -，， ()210AF ∴=-，， 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z= (1,0,PA =, (1,2,PB =00n PA n PA n PB n PB ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩由得020x x y ⎧=⎪∴⎨+-=⎪⎩ 得y=0 令z =得x=3 (n ∴=设直线AF 与平面PAB 所成的角为θ 则(sin cos ,AF n AF n AF nθ====AF PAB ∴直线与平面分 ) (2) 显然向量为平面PAD 的一个法向量,且)0,2,0(= 设平面PBC 的一个法向量为),,(1111z y x n =,(1,2,PB =,)0,2,2(-=,由,01=∙n PB 得到032111=-+z y x由,01=∙n 得到02211=+-y x ,令11=x ,则3,111==z y所以)3,1,1(1=n ,111cos,AB nAB nAB n===所以平面PAD与平面PBC(14分 )20．解：（Ⅰ）1C的焦点为)2,0(pF，…2分所以12+=p，2=p．…4分故1C的方程为yx42=，其准线方程为1-=y．…6分（Ⅱ）设),2(2t tP，)121,(211+xxM，)121,(222+xxN，则PM的方程：)()121(1121xxxxy-=+-，所以12122112+-=xtxt，即02242121=-+-ttxx．同理，PN：121222+-=xxxy，02242222=-+-ttxx．…8分MN的方程：)()121(121)121(121222121xxxxxxxy--+-+=+-，即))((21)121(12121xxxxxy-+=+-．由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-22422422222121ttxxttxx，得txx421=+，21211221ttxx-=-．…10分所以直线MN的方程为222ttxy-+=．…12分于是222222241)1(241|24|ttttttd++=+-+-=．令)1(412≥+=sts，则366216921=+≥++=ssd（当3=s时取等号）．所以，d的最小值为3．…15分21．解：（Ⅰ）若11-=ea，则11ln)(---=exxxf，111)('--=exxf．（第20题）当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…6分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*） 设a e xa eax x x g ++-+=)21(ln )(22， 则eae ax x x g 2121)('2+-+=（0>x ） xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …8分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立． …11分②当0>a 时，x e e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe ae x --=． 令2212e a ex e a =-，解得a e x =1，则当1x x >时，2212e a ex e a >-；再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-e ae x ． 取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．…14分22. (1)证明：连接BO 并延长交圆O 于G ，连接GCDBC DAC ∠=∠，又AD 平分BAC ∠，BD 平分EBC ∠,EBC BAC ∴∠=∠.又BGC BAC ∠=∠，EBC BGC ∴∠=∠,90GBC BGC ∠+∠=,∴90GBC EBC ∠+∠=,∴OB BE ⊥. ……………5分∴BE 是圆O 的切线.（2）由（1）可知△BDE ∽△ABE ，BE BDAE AB=,BE AB BD AE ⋅=⋅∴， 6=AE ，4AB =，3BD =，92BE ∴=. ……8分由切割线定理得：2BE DE AE =⋅278DE ∴=. ……………10分 23.由2sin 10ρθ--=，得2210x y +--=，即(224x y +=. …………3分将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得212t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋22⎛ ⎝＝4，即2680t t -+=， 40∆=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以121268t t t t +=⎧⎨=⎩, …………6分12t 2,t 4.==解得（1）1232t t +=，∴32M ⎛ ⎝⎭，∴点M的极坐标为6π⎫⎪⎭. ………………8分 （2）又直线l 过点，故由上式及参数t 的几何意义得PA PB +=12t t +＝126t t +=. .........10分 24.(1)(1)0f x +≥，1x x m ∴+-≤.当m ＜1时，11≥-+x x ，∴不等式m x x ≤-+1的解集为φ，不符题意. 当1≥m 时，①当0＜x 时，得21m x -≥，0＜21x m≤-∴. ②当10≤≤x 时，得m x x ≤-+1，即m ≤1恒成立.③当1＞x 时，得21+≤m x ，21＜1+≤∴m x .综上m x x ≤-+1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121m x m x.由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021m m，1=∴m . ……………………………5分(2)222x a ax +≥,222y b by +≥,222z c cz +≥,()2222222a b c x y z ax by cz ∴+++++≥++,由(1)知2222221,x y z a b c ++=++=()22ax by cz ∴++≤, 1.ax by cz ∴++≤ …………………………10分2015高考理综模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分。

理科数学参考答案（仅供参考）11．32 12．(,1]-∞ 13．4 14．22(3)(48x y -+±=15．38 16．2 三、解答题17. （Ⅰ） 418a a =，24a a +=∴1a（Ⅱ）∵点()11,M a -在函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上， ∴sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又∵φπ<，∴34φπ= 如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得222cos 2PM PN MN PM PN β+-===πβ<<0 ∴ 56βπ= ∴ 12πφβ-=- ∴ ()tan tan tan 21246πππφβ⎛⎫-=-=--=-+ ⎪⎝⎭ 18. （1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为23，收藏者李先生赌中的概率为0P ，且两人 赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X （单位：万元）”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“50X =”．因为032)50(P X P ==，所以027()1(50)139P A P X P =-==-=，求得013P =． （2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为1X ，都选择规则乙赌中的次数 为2X ，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为1(20)E X ，选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为1(30)E X ． 由已知可得，12(20,)3X B ，20(20,)X B P ，所以34)(1=X E ，022)(P X E =， 从而11480(20)20()2033E X E X ==⨯=，220(30)30()60E X E X P ==． 若11(20)(30)E X E X >，则080603P >，解得0409P <<； 若11(20)(30)E X E X <，则080603P <，解得0419P <<； 若11(20)(30)E X E X =，则080603P =，解得049P =． 综上所述，当0409P <<时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当0419P <<时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当049P =时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等.19.解：（1）求得1234567891,2,,3,4,2,5,6,4a a a r a a a r a a a r ======+===+ 所以由123934a a a a ++++=，可得73r =. （2）1211223312124T b a b a b a b a =++++=-124n T n =-（3）12141m T m +=+，12241m T m +=+， 12341m T m r +=-+-， 12441m T m r +=-+-， 12545m T m r +=+-，12645m T m r +=+-，12741m T m r +=-+-， 12841m T m r +=-+-，12944m T m +=+， 121044m T m +=+， 121144m T m +=--， 121244m T m +=--. ⎩⎨⎧=+=-+∴1004410054m r m ,解得m=24,r=1 值为100的是T 293, T 294 T 297 T 29820. （1）取PA 中点为H ，连结CE 、HE 、FH ，因为H 、E 分别为PA 、PD 的中点，所以HE ∥AD,AD HE 21=, 因为ABCD 是平行四边形，且F 为线段BC 的中点 , 所以FC ∥AD,AD FC 21=所以HE ∥FC,FC HE = 四边形FCEH 是平行四边形 ,所以EC ∥HF又因为PAF HF PAF CE 平面平面⊂⊄,所以CE ∥平面PAF.（2）因为四边形ABCD 为平行四边形且∠ACB ＝90°，所以CA ⊥AD ,又由平面PAD ⊥平面ABCD 可得 CA ⊥平面PAD ,所以CA ⊥PA , 由PA =AD =1，PD PA ⊥AD,所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz, 因为PA=BC=1，AC=1 . 所以)1,0,0(),0,0,1(),0,1,1(P C B -.假设BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°，设点G 的坐标为（1，a ，0），01≤≤-a 所以)1,0,0(),0,,1(==a 设平面PAG 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧==+00z ay x 令0,1,=-==z y a x 所以)0,1,(-=a ， 又)1,0,1(),0,,0(-==b 设平面PCG 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧=+-=00z x by 令1,0,1===z y x 所以)1,0,1(= ，因为平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°，所以2121,cos 2=∙+=〉〈a an m 所以1±=a 又01≤≤-a 所以1-=a , 所以线段BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°.21. （1）依题意得，()()sin ,e cos .x f x x g x x ==⋅()00e cos01g ==，()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=，所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+ 4分（2）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+ 因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， 所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （3）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H ->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的， 因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点. 22. （1）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，2=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a -+--=22021()x a a -≥21)，0a x a -≤≤，当0x a =时，11a -=，a =b =椭圆C 的方程 22132x y +=.. 5分 （2）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而112S x y ==1112x y ==，知ON PQ ⋅=.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>，2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++，12PQ x =-==，d =，1122POQ S d PQ ∆=⋅⋅==， 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=， 422222912412840k k m k m m ++--+=，得到，222(322)0k m +-=，则22322k m +=，满足0∆>， 由前知12322x x k m +=-，2121231()222y y x x k k m m m m++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m ++=+=+=-， 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++， 22221125(3)(2)4OM PQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立， 综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. 10分（3）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= ， 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）， 所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=， 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径=== 因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min OS =所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8） 14分。

2015年全国大联考高考数学五模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足z=（i为虚数单位）,则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．(5分)集合M=｛x｜1＜x+1≤3｝,N={x｜x2﹣2x﹣3＞0｝，则(∁R M）∩(∁R N）等于（) A．(﹣1,3）B．（﹣1，0）∪(2，3）C．（﹣1,0］∪[2，3) D．[﹣1，0］∪（2，3］3．(5分）某市场调查员在同一天对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示：价格x（元）9 9.5 10 10.5 11销售量y（件) 11 a 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=﹣3。

2x+4a，则实数a等于(）A．7 B．8.5 C．9 D．104．(5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≤3)=0。

72，则P(1＜X＜3）等于(）A．0.28 B．0。

44 C．0。

56 D．0。

845．(5分）在（1﹣x）3（1+x）8的展开式中，含x2项的系数是（）A．6 B．﹣6 C．7 D．﹣76．(5分)给出下列三个类比结论．①“（ab)n=a n b n”类比推理出“（a+b）n=a n+b n；②已知直线a，b，c，若a∥b,b∥c，则a∥c．类比推理出：已知向量a，b，c，若a∥b，b∥c,则a∥c；③同一平面内，直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．类比推理出：空间中,已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ,则α∥γ．其中结论正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）要从8名教师中选派4人去参加一个研讨会，其中教师甲是领队必须去，而乙、丙两位教师不能同去，则不同的选派方法有（）A．18种B．24种C．30种D．48种8．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分)（2014•福建模拟)将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知2a=3b=6c，k∈Z，不等式＞k恒成立，则整数k的最大值为（）A．6 B．5 C．3 D．411．（5分）（2014•海淀区一模）已知A(1，0），点B在曲线G:y=ln（x+1）上,若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞212．（5分)（2014•长春四模）设，则对任意正整数m，n（m＞n），都成立的是（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13．(5分)已知i是虚数单位，则|+|=．14．（5分）（2015•江苏模拟)某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在［85,90),［90，95），［95，100］三组内的学生中,用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在［90，100]内的学生应抽取的人数为．15．（5分)某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师,向乙地派出3名A 校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区，则互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率为．16．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2,过F1作圆：x2+y2=的切线，切点为E,延长F1E交双曲线右支于点P，若｜OP｜=|F1F2|（O为坐标原点),则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2014春•玉田县期中）已知点P n(a n，b n)满足a n+1=a n•b n+1，b n+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1,﹣1)．（1）求过点P1,P2的直线l的方程;（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N＊，点P n都在（1）中的直线l上．18．（12分)（2015•濮阳一模)某城市随机抽取一年（365天)内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API ［0,50](50,100］（100，150］（150，200]（200,250］（250，300］＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元）与空气质量指数API（记为ω)的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P(K2≥k0）0。

2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来 的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图． 那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数， 则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（ ）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（ ）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（ ） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

江西省2015届高三数学5月大联考试题理（扫描版）2015年5月份江西省大联考 理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每题5分）1. B2. B3. D4. C5. A6. C7. C8. A9. B 10. D 11. D 12. A 二、填空题（每题5分）13．2－2i 14．24x ＋y 2＝1 15. -2 16. 43三、解答题 17． 解：(Ⅰ)由ACA CB cos cos sin sin sin 2=-，可得AC A C A B sin cos cos sin cos sin 2=-，即B C A A C A C A B sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=.又0sin ≠B ，所以21cos =A ．由0πA <<可得π3A =. ⋯⋯6分（Ⅱ）由215-=⋅，可得2π115cos 322bc bc =-=-，15=∴bc ．又A bc c b a cos 2222-+=，且a =6，所以5122=+c b ． 则81)(2=+c b ，即9=+c b ． ⋯⋯12分18．（Ⅰ）证明：取PD 的中点E ，连接AE ，EF ，则EF ∥CD ，EF =12CD ．又AB ∥CD ，AB =12CD ，所以EF ∥AB ，EF =AB ，所以四边形ABFE 为平行四边形，所以BF ∥AE . 由侧面PAD 为正三角形，可得AE ⊥PD .由AB ∥CD ，CD AD ⊥，PA AB ⊥，可得CD ⊥平面PAD . ⋯⋯4分 所以CD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PCD .所以BF ⊥平面PCD . ⋯⋯6分(Ⅱ)解：取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点G ，连接OG ．以点O 为坐标原点，OD ，OG ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A （-1,0,0），B （-1，2，0），C （1，4，0），P (0，0，3)．设平面APB 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以1110,0.x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1x =1)=-n ；设平面PBC 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以2222220,0.x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取21x =，则(1,1,=-m ；则cos ,⋅<>==m n m n m n ， 所以二面角A PB C --的正弦值为105. ⋯⋯12分 19．解：(Ⅰ)由题意可知，若选甲题，则得0分、10分的概率均为0.5，0.5；若选乙题，则得5分、7分、8分、9分、10分的概率分别为0.2，0.1，0.4，0.1，0.2.⋯⋯2分又选择甲或乙题的概率均为12，故得分X 的分布列如下：0.05 ⋯⋯6分(Ⅱ)设A 同学选择方案一、二后的得分分别为,Y Z ，则,Y Z 的分布列分别为⋯⋯10分 故50.5100.57.5EY =⨯+⨯=；50.270.180.490.1100.27.8EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因此选择方案二更有利于A 同学取得更高的分数. ⋯⋯12分20. 解：（Ⅰ）设l ：x =my +1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将x = my +1代入抛物线方程y 2=4x ，得y 2-4my -4=0. ⋯⋯2分 ∵Δ>0，∴y 1+ y 2= 4m ，y 1y 2=－4.则x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1.由MA MB ⋅=0可得x 1x 2+（x1+x 2）+ y 1y 2+1=0，∴m =0. 则l ：x =1，所以AB =4.⋯⋯6分（Ⅱ）由于∆ NFB 与∆ NFA 有公共底NF ，可得|FB |=2|FA |，由相似可得y 2=－2y 1由（Ⅰ）知y 1y 2= -2y 12=－4，∴12=y y ⎧⎪⎨-⎪⎩ 或12=y y ⎧-⎪⎨⎪⎩ ⋯⋯9分由y 1+y 2= -2= 4m ，得m = －24；或由y 1+y 2=2= 4m ，得m = 24.故直线l 的方程为4x ±2y -4＝0． ⋯⋯12分21．（Ⅰ）解：函数()ln 1(0)g x a x x x =-+>，则'()g x =1a a xx x--=． 当0a ≤时，'()0g x <,函数()g x 在定义域上单调递减； 当0a >时，由g '(x )<0得x a >，此时()g x 单调递减； 由g '(x )>0得0x a <<，此时()g x 单调递增； 综上，当0a ≤时，()g x 单调递增区间为（0，)∞+；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为(0,a )，单调递减区间为(a ,+∞).⋯⋯4分（Ⅱ）证明：()(1ln )f x x x =+，'()ln 2f x x =+． 因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立，所以12012()()ln 2f x f x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 21x x x x x x x -+=+-.∴112202212ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---11122112ln ln x x x x x x x x -+-=-11ln 121212--+=x x x x x x ． ⋯⋯9分 由(Ⅰ)得，当1a =时，()ln 10g x x x =-+≤，当且仅当1x =时，等号成立.2221111,ln 10x x xx x x >∴-+<． 又0112>-x x ，所以02ln ln 0x x -<，即02x x <． ⋯⋯12分选做题 22．（Ⅰ）直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯1分证明：连接OC ，OD ，则∠OCE =∠ODE ．∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ︵=BD ︵，∴∠B OD =90°，即∠OED +∠ODE =90°． ∵PC =PE ，∴∠PCE =∠PEC =∠OED ． ∴∠OCE +∠PCE =90°，即∠OCP =90°， ∴直线PC 与圆O 相切． ⋯⋯5分 （Ⅱ）解：因为AB =10，BC =6，∴AC =8．由CE 为∠ACB 的平分线，可得34==BC AC EB AE ， EB AE 34=∴，1037===+∴AB EB EB AE ，解得BE =307．⋯⋯10分23.解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为22x +y 2=1，其右焦点为（1，0），而直线l 过该点，所以直线l 与曲线C 相交. ⋯⋯5分(Ⅱ)将1,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入椭圆方程22x +y 2=1得3t 2+22t -2=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2,则t 1t 2=－23，∴|PA |⋅|PB |=23.由对称性可知，|PE |⋅|PF |＝23 .∴|PA |⋅|PB |＋|PE |⋅|PF |＝43． ⋯⋯10分24．解：（Ⅰ）∵|x +3|+|x +2|≥|(x +3)－(x +2)|=1， 当(x +3)(x +2)≤0，即-3≤x ≤－2时取等号，∴a +b +c ≤1，即a +b +c 的取值范围是（-∞，1]． ⋯⋯5分（Ⅱ）∵a+b+c最大值是1，∴取a+b+c=1时．∵a²+ b²+c²=(a+b+c)²-(2ab+2bc+2ca)≥1-2( a²+ b²+c²)，∴a²+ b²+c²≥13．⋯⋯10分。