北京中考数学各区一模试题最新汇编--几何综合全(教师版)

几何综合东城区27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE 3=. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1. ∴AC 31=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33+； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH . 易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 西城区27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图，当045α︒<<︒时，①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM【解析】（1）①补全的图形如图所示：NEMABD C②2NCE BAM ∠=∠．（2）1902MCE BAM ∠+∠=︒，连接CM ，NQMABDC EDAM DCM ∠=∠，DAQ ECQ ∠=∠，∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，∴12DCM NCE ∠=∠，∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=︒，∴1902NCE BAM ∠+∠=︒． （3）∵90CEA ∠=︒， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，E∴max 1EF FO r =+=+ 海淀区27．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P 作PE OB ⊥，交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=.（（27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=.∴120EPD ∠=. ……………1分 ∵DP PE =,6DP PE +=,∴30PDE ∠=,3PD PE ==. ∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==分（2）当M 点在射线OA 上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下：………………4分当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PKPD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠,∠=∠.∴KPA DPA∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=， ∴sin 603ML MO =⋅=. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MKMD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分 丰台区27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE =α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N .（1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．ABCE27．解：（1）如图； …………………1分（2）45°； …………………2分 （3）结论：AM CN ． …………………3分 证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ． ∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°， ∴∠3=12（180°-∠ACD ）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分 ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ， ∠7=∠6，BC =CA ，∴△BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt△AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM ．∴AM ． …………………7分 （其他证法相应给分.）石景山区27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分（2）①证明：B ACMP图1连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分 证明：过点A 作AE⊥PQ 于E ，连接BE AC ∴AE 是△PAQ 的垂线∵三△PAQ是等腰直角三角形（已证）∴AE是等腰直角三角形PAQ的垂线，角平分线∴∠AEP=90°，AE=PE∵正方形ABCD∴∠ABC=90°∠ACB=∠BAC=45°∠AEP+∠ABC=180°∴A ，B，C，E四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45°∴∠AEB=∠CEB=45°∵BE=BE∴△ABE≌△PBE (SAS)∴BP=AB朝阳区27. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分 ∴∠AGC=30°.∴∠AFC =α+30°. …………………………3分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG . …………………………………………7分 即AF+AE =3CG . 燕山区27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.y=moyxMBA准蝶形AMBABM①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图27.解：(1)MN 与AB 的关系是 MN ⊥AB ，MN=21AB…………………………………2′（2） m= 2 对应的碟宽是4…………………………………4′(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3542>--=a a ax y 得，03549=--a a31=a∴抛物线的解析式是3312-=x y …………………………………5′ ② 由①知，3312-=x y 的对称轴上P （0，3），P （0，-3）时，∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，p y 的取值范围是33〉〈-p p y y 或…………………………………7′门头沟区27. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点.（1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ．①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系， （用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.27．（本小题满分7分）（1） EDB α∠= ……………………………………………1分 （2）①补全图形正确 ……………………………………2分 ②数量关系：DM DN =…………………………………3分 ∵,AB AC BD DC == ∴DA 平分BAC ∠∵DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点∴DE DF = ， MED NFD ∠=∠ ……………………4分 ∵2A α∠=∴1802EDF α∠=︒- ∵1802MDN α∠=︒- ∴MDE NDF ∠=∠∴MDE NDF △≌△ ……………………5分 ∴DM DN =③数量关系：sin BM CN BC α+=⋅……………………6分 证明思路：a.由MDE NDF △≌△可得EM FN =b. 由AB AC =可得B C ∠=∠,进而通过BDE CDF △≌△,可得BE CF = 进而得到2BE BM CN =+BBc.过BDERt△可得sinBEBDα=,最终得到sinBM CN BCα+=⋅ (7)分大兴区27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥C F于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间的等量关系，并证明．27.（1）证明:∵∠CAB=90°.∵BG⊥CF于点G，∴∠BGF=∠CAB=90°.∵∠GFB=∠CFA. ………………………………………………1分∴∠ABG=∠ACF. ………………………………………………2分（2）CG=2AG+BG. …………………………………………………3分证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，…………………………4分∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AB=AC.∵∠ABG=∠ACH.∴△ABG≌△ACH. …………………………………………………… 5分∴AG =AH,∠GAB=∠HAC.∴ ∠GAH =90°.∴ 222AG AH GH +=.∴ GHAG . ………………………………………………………6分 ∴ CG =CH +GH+BG . ………………………………………7分 平谷区27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ． （1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．27．解：（1）补全图1； (1)图1BB图2B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ······ 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ．∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ·· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ········ 6 （3）tan 2DF αAE ． (7)怀柔区27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形； (2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．BBHFE DC B27.(1)如图 ECA………………………………………………1分(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt△ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt△AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分 延庆区27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．（1）求证：∠FBC =∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．27.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB =90°． ∴∠CDF +∠E =90°． ∵BF ⊥DE ，∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）①图1FDBA GFDA……3分②猜想：数量关系为：BF=DF+CG．证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC．∵∠FBC=∠CDF，BM=DF，∴△BMC≌△DFC．∴CM=CF，∠1=∠2．∴△MCF是等腰直角三角形．∴∠MCF=90°，∠4=45°．……5分∵点C与点G关于直线DE对称，∴CF=GF，∠5=∠6．∵BF⊥DE，∠4=45°，∴∠5=45°，∴∠CFG=90°，∴∠CFG=∠MCF，∴CM∥GF．∵CM=CF，CF=GF，∴CM=GF，∴四边形CGFM是平行四边形，∴CG=MF．∴BF=DF+CG．……7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC=∠APF；（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．27．（1）补全图如图所示．………………………………………………………… 1分（2）证明∵正方形ABCD，∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，∴∠PAH=45°-∠BAE．∵FH⊥AE．∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．…………………………… 4分（3）判断：FM=PN．…………………………………… 5分证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴AF=FP．∵AF=AE，∴AE=FP．∴FP=MN．∴FM=PN．…………………………………………………………… 8分欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2021北京初三一模数学汇编：几何综合1．（2021•燕山一模）如图，在正方形A B C D 中，3C D ，P 是C D 边上一动点（不与D 点重合），连接A P ，点D 与点E 关于A P 所在的直线对称，连接A E ，P E ，延长C B 到点F ，使得B F D P ，连接E F ，A F ．（1）依题意补全图1；（2）若1D P ，求线段E F 的长；（3）当点P 在C D 边上运动时，能使A E F 为等腰三角形，直接写出此时D A P 的面积．2．（2021•通州区一模）已知点P 为线段A B 上一点，将线段A P 绕点A 逆时针旋转60 ，得到线段A C ；再将线段B P 绕点B 逆时针旋转120 ，得到线段B D ；连接A D ，取A D 中点M ，连接B M ，C M ．（1）如图1，当点P 在线段C M 上时，求证：//P M B D ；（2）如图2，当点P 不在线段C M 上，写出线段B M 与C M 的数量关系与位置关系，并证明．3．（2021•西城区一模）如图，在A B C 中，A B A C ，90B A C ，D 是A B C 内一点，A D C B A C ．过点B 作//B E C D 交A D 的延长线于点E ．（1）依题意补全图形；（2）求证：C A D A B E ；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与C D 相等的线段并加以证明．4．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形A B C 中，A B A C，C D A B 于点D ，A ．（1）求出D C B 的大小（用含 的式子表示）；（2）延长C D 至点E ，使C E A C，连接A E 并延长交C B 的延长线于点F ．①依题意补全图形；②用等式表示线段E F 与B C 之间的数量关系，并证明．5．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形A B C 中，60B A C ，A B A C ，D 为B C 边的中点，将线段A C 绕点A 逆时针旋转60 得到线段A E ，连接B E 交A D 于点F ．（1）依题意补全图形（2）求A F E 的度数；（3）用等式表示线段A F ，B F ，E F 之间的数量关系，并证明．6．（2021•丰台区一模）如图，在A B C 中，90A C B ，C A C B ，点P 在线段A B 上，作射线(045)C P A C P ，将射线C P 绕点C 逆时针旋转45 ，得到射线C Q ，过点A 作AD C P 于点D ，交C Q 于点E ，连接B E ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段A D ，D E ，B E 之间的数量关系，并证明．7．（2021•平谷区一模）在A B C 中，90A C B ，A C B C ，D 是直线A B 上一点（点D 不与点A 、B 重合），连接D C 并延长到E ，使得C E C D ，过点E 作E F 直线B C ，交直线B C 于点F ．（1）如图1，当点D 为线段A B 的上任意一点时，用等式表示线段E F 、C F 、A C 的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 为线段B A 的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段E F 、C F 、A C 的数量关系是否发生改变，并证明．8．（2021•房山区一模）已知：在A B C 中，45A ，A B C ，以B C 为斜边作等腰R t B D C ，使得A ，D 两点在直线BC 的同侧，过点D 作DE A B 于点E ．（1）如图1，当20 时，①求C D E 的度数；②判断线段A E 与B E 的数量关系；（2）若4590 ，线段A E 与B E 的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．9．（2021•大兴区一模）如图1，等边A B C 中，点P 是B C 边上一点，作点C 关于直线A P 的对称点D ，连接C D ，B D ，作A E B D 于点E ；（1）若10P A C ，依题意补全图1，并直接写出B C D 的度数；（2）如图2，若(030)P A C ，①求证：B C D B A E ；②用等式表示线段B D ，C D ，A E 之间的数量关系并加以证明．10．（2021•石景山区一模）在A B C 中，A B A C，(060)B A C ．点E 是A B C 内动点，连接A E ，C E ，将A E C 绕点A 顺时针旋转 ，使A C 边与A B 重合，得到A D B ，延长C E 与射线B D 交于点M （点M 与点D 不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究A D M 与A E M 的数量关系为；（3）如图2，若D E 平分A D B ，用等式表示线段M C ，A E ，B D 之间的数量关系，并证明．11．（2021•东城区一模）已知30M A N ，点B 为边A M 上一个定点，点P 为线段A B 上一个动点（不与点A ，B 重合），点P 关于直线A N 的对称点为点Q ，连接A Q ，B Q ，点A 关于直线B Q 的对称点为点C ，连接P Q，C P ．（1）如图1，若点P 为线段A B 的中点；①直接写出A Q B 的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段C P 与A P 的数量关系；（2）如图2，若线段C P 与B Q 交于点D ．①设B Q P ，求C P Q 的大小（用含 的式子表示）；②用等式表示线段D C ，D Q ，D P 之间的数量关系，并证明．12．（2021•海淀区一模）如图，在A B C 中，A B A C，40B A C ，作射线C M ，80A C M ．D 在射线C M 上，连接A D ，E 是A D 的中点，C 关于点E 的对称点为F ，连接D F ．（1）依题意补全图形；（2）判断A B 与D F 的数量关系并证明；（3）平面内一点G ，使得D G D C ，F G F B ，求C D G 的值．13．（2021•门头沟区一模）在正方形A B C D 中，将边A D 绕点A 逆时针旋转(090) 得到线段A E ，A E与C D 延长线相交于点F ，过B 作//B G A F 交C F 于点G ，连接B E ．（1）如图1，求证：2B G C A E B ；（2）当(4590) 时，依题意补全图2，用等式表示线段A H ，E F ，D G 之间的数量关系，并证明．14．（2021•石景山区一模）阅读下面材料：小石遇到这样一个问题：如图1，90A B C ，D E 分别是A B C 的边B A ，B C 上的动点（不与点B 重合），A D E 与D E C 的角平分线交于点P ，D B E 的周长为a ，过点P 作P M B A 于点M ，P N B C 于点N ，求P M P N 与D B E 的周长a 的数量关系．小石通过测量发现了垂线段P M 与P N 的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：线段P M 与P N 的数量关系为；P M P N 与a 的数量关系是．参考小石思考问题的方法，解决问题：如图2，当60A B C 时，其它条件不变，判断点P 到D E 的距离与D B E 的周长a 的数量关系，并简要说明理由．2021北京初三一模数学汇编：几何综合参考答案1．【分析】（1）根据题意作出图形便可；（2）连接B P ，先证明A D P A B F ，再证明F A E P A B ，求得B P ，便可得E F ；（3）设(0)D P x x ，则3C P x ，求出A E 、A F 、E F ；当A E F 为等腰三角形时，分两种情况：A E E F 或A F E F ，列出方程求出x 的值，进而求得最后结果．【解答】解：（1）根据题意，作图如下：（2）连接B P ，如图2．点D 与点E 关于A P 所在的直线对称，A E A D ，P A D P A E ， 四边形A B C D 是正方形，A D A B ，90D A B F ，B M B F ，()A D P A B F SA S ，A F A P ，F A B P A D ，F A B P A E ，F A E P A B ，()F A E P A B SA S ，E F B P ，四边形A B C D 是正方形，3B C C D A B ，1D P ，2C P ，2213B P B C C P，13E F ；（3）设(0)D P x x ，则3C P x ，222618E F B P C P B C x x，3A E A D ，2229A F A P C P A D x ，A F A E ，当A E F 为等腰三角形时，只能有两种情况：A E E F 或A F E F ，①当A E E F 时，有26183x x ，解得3x ，1922A D P D ；②当A F E F 时，226189x x x ，解得32x ，1393224D A P S ，综上D A P 的面积为92或94．2．【分析】（1）由旋转可得，A P C 是等边三角形，120P B D ，则180B P M P B D ，所以//P M B D ．（2）延长B M 至点G ，使得M F M B ，连接A G ，B C ，G C ，P C ，可证C B G 是等边三角形且点M 是B G 的中点，则有C M B M ，3C M M B ．【解答】解：（1）有题意可得，60C A P ，且A P A C ，A P C 是等边三角形，60A P C ，60B P M ，又120P B D ，180B P M P B D ，//P M B D ．（2）猜想，C M M B ，3C M M B ，理由如下：如图2，延长B M 至点G ，使得M F M B ，连接A G ，B C ，G C ，P C ，G D ，A M M D ，G MB M ， 四边形A G D B 是平行四边形，A G B D ，//A G B D ，18060B A G A B D ，120C A G ，A P C 是等边三角形，A C C P ，120C PB ，P B D B A G ，()C A G C P B SA S ，C G C B ，A F C P C B ，60G C B ，C B G 是等边三角形，G M B M ，C M B M ，3C M M B ．3．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．（3）结论：C D A E ，证明()A B E C A T A A S ，即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示．（2）证明：//C D B E ，C D E A E B ，A D CB AC ，A B C A C B D A C A C D C D E A E B ，180B A E A B E A E B ，2180B A E D A C A B C ，2180B A E A B E A B C ，C AD A BE ．（3）解：结论：C D A E ．理由：在A E 的延长线上取一点T ，使得C D C T ，T C D T ，//C D B E ，A EB T ，A B A C ，A B E C A T ，()A B E C A T A A S ，A E C T ，C D A E ．4．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）①根据题意即可补全的图形；②过点E 作E H F C 于点H ，过点A 作A G F C 于点G ，结合（1）证明A G C C H E 可得C G E H ，设E H F H x ，则2E F x ，进而可得结论．【解答】解：（1） 等腰三角形A B C 中，A B A C，A ，1809022A C B B，C D A B ，9090A C D A ，909022D C B A C B A C D；（2）①如图即为补全的图形；②22E FB C ，证明：909022A C E A C B D C B，180(90)4522C A E C E A，A E C F E C F ，4522F，45F ，过点E 作E H F C 于点H ，过点A 作A G F C 于点G ，2B A G C A G，在A G C 和C H E 中，90A G C C H E C A G E C H A C E C，()A G C C H E A A S ，C G E H ，45F ，F H E H ，设E H F H x ，则2E F x，22B C C G x ，2222E Fx B C x ．5．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．（3）结论：E F A F B F ．如图，连接C F ，E C ，在E F 上取一点T ，使得F T F C ，连接C T ．证明()F C A T C E SA S ，推出A F E T ，可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）A B A C A E ，点A 是B C E 的外心，60C A E ，12C B E C A E，30C B E ，A B A C ，B D D C ，A DBC ，90B D F ，903060A F E B F D ．（3）结论：E F A F B F ．理由：如图，连接C F ，E C ，在E F 上取一点T ，使得F T F C ，连接C T ．A D 垂直平分线段B C ，F B F C ，60B F D C F D A F E ，60C F E ，F T F C ，C F T 是等边三角形，C F C T ，60F C T ，A C A E ，60C A E ，A C E 是等边三角形，C A C E ，60A C E F C T ，F C A T C E ，()F C A T C E SA S ，A F E T ，E F F T E T B F A F ．6．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：A D B E D E ．延长D A 至F ，使D F D E ，连接C F ．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）结论：A D B E D E ．理由：延长D A 至F ，使D F D E ，连接C F ．A D C P ，D F D E ，C E C F ，45D C F D C E ，90A C B ，45A C D E C B ，45D C A A C F D C F ，F C A E C B ，在A C F 和B C E 中，C A C B A C F B C E C F C E，()A C F B C E SA S ，A FB E ，A DB E D E ．7．【分析】（1）过D 作D H C B 于H ，由“A A S ”可证F E C H D C ，可得C H F C ，D H E F ，可得结论；（2）过D 作D H C B 于H ，由“A A S ”可证F E C H D C ，可得C H F C ，D H E F ，可得结论．【解答】解：（1）结论：A C E F F C ，理由如下：过D 作D H C B 于H，E F C F ，90E F C D H C ，在F E C 和H D C 中，90E F C D H C F C E D C H E C C D，()F E C H D C A A S ，C H F C ，D HEF ，90D H B ，45B ，D H H BEF ，A CBC C H B H F C E F ；（2）依题意补全图形，结论：E F F C A C ，理由如下：过D 作D H C B 交C B 的延长线于H ，E F C F ，90E F C D H C ，在F E C 和H D C 中，90F C E D C H E F C D H C E C D C，()F E C H D C A A S ，C H F C ，D HEF ，90D H B ，45B ，D H H BEF ，E F C H B C F C A C ．8．【分析】（1）①由余角的性质可求25C D E D B E ；②通过证明点A ，点C ，点B ，点H 四点共圆，由垂径定理可得A E B E ；（2）通过证明点A ，点B ，点C ，点H 四点共圆，由垂径定理可得A E B E ．【解答】解：（1）①90C D B ，C D D B ，45D B C D C B ，25D B E D B C A B C ，D E A B ，90D E B C D B ，90C D E E D B E D B A B D ，25C D E D B E ；②A E B E ，理由如下：如图1，延长B D 至H ，使B D D H ，连接C H ，B D D H ，CD B D ，C H B C ，45C H B C B H ，45A C H B ，90H C B ，点A ，点C ，点B ，点H 四点共圆，90H C B ，B H 是直径，D 是圆心，D E A B ，A EB E ；（2）不变，理由如下：如图2，延长B D 至H ，使B D D H ，连接C H ，B D D H ，CD B D ，C H B C ，45C H B C B H ，45A C H B ，90H C B ，点A ，点B ，点C ，点H 四点共圆，90H C B ，B H 是直径，D 是圆心，D E A B ，A EB E ．9．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出A B D ，由B C D A C D A C B 即可得到结论；（2）①由轴对称的性质可得A P 垂直平分B D ，可得A B A D A C ，B A P P A D ，由等腰三角形的性质可求解；②在A E 上截取A F C D ，根据全等三角形判定的SA S 定理证得B A F B C D ，由全等三角形的性质得到A B F C B D ，B F B D ，可得60F B E A B C ，由三角函数的定义求得32E F B D ，进而得到32A E C D B D ．【解答】（1）解：A B C 是等边三角形，60A C B ，C 关于直线A P 的对称是D ，A P C D ，A C A D ，90901080A C D P A C ，20B C D A C D A C B ；（2）①证明：如图，连接A D ，根据题意得，A O C D P A C ，90A C D ，A B C 是等边三角形，60A C B ，906030B C D A C D A C B ，C 关于直线A P 的对称是D ，A P C D ，A C A D ，P A D P A C ，A B A C A D ，A E B D ，111()(602)30222B A E D A E B A D B A C C A D ，B C D B A E ；②解：用等式表示线段B D ，C D ，A E 之间的数量关系是32A E C D B D ．证明：在A E 上截取A F C D ，连接B F ，A B C 是等边三角形，A B A C ，B C D B A E ，()B A F B C D SA S ，A B F C B D ，B F B D ，60F B E A B C ，33si n 6022E F B F B F B D ，32A E A E E F C D B D ．10．【分析】（1）按要求作图即可；（2）A E C 绕点A 顺时针旋转得到A D B 可得A E C A D B ，即可得到答案；（3）由A D M A E M 可得A 、M 、D 、E 共圆，证明A M D E D M 得A D M E ，从而可得M C A E B D ．【解答】解：（1）补全图1如下：（2）当M 在线段B D 延长线上时，如上图1，将A E C 绕点A 顺时针旋转得到A D B ，A E C A DB ，A D M A E M ，当M 在线段B D 上时，如上图2，将A E C 绕点A 顺时针旋转得到A D B ，A E C A DB ，180A E C A E M ，180A D M A E M ，故答案为：A D M A E M 或180A D M A E M ；（3）M C A E B D ，理由如下：连接A M ，A M D 和A M E 公共边为A M ，且A D M A E M ，A 、M 、D 、E 共圆，如图：A 、M 、D 、E 共圆，M A D M E D ，D E 平分A D B ，A D E E DB ，将A E C 绕点A 顺时针旋转得到A D B ，A D A E ，B D EC ，A D E A E D ，E D B A E D ，//B M A E ，D ME A E M ，A D M A E M ，D ME A D M ，在A M D 和E D M 中，M A D M E D A D M D M E D M D M，()A M D E D M A A S ，A D M E ，A E M E ，M C M E E C ，M C A E B D ．11．【分析】（1）①证明P Q P A P B ，可得结论．②图形如图所示：结论：3P C P A ．证明90A P C ，可得结论．（2）①如图2中，连接B C ，C Q ．证明B ，P ，Q ，C 四点共圆，推出C P B C Q B A Q B ，由180A P C C P B ，推出180P A Q P D Q ，推出120P D Q ，推出60D Q P D P Q ，可得结论．②如图21 中，结论：C D D P D Q ．连接A D ，在A D 上取一点T ，使得D T D P ．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）①P ，Q 关于A N 对称，A P A Q ，30P A N Q A N ，A P Q 是等边三角形，P Q P A ，P B P A ，P Q P A P B ，90A Q B ．②图形如图所示：结论：3P C P A ．理由：90A Q B ，A ，C 关于B Q 对称，A Q Q C ，P Q Q C A Q ，90C P A ， tan 60P CP A ，3P C P A ．（2）①如图2中，连接B C ，C Q ．A ，C 关于B Q 对称，B C B A ，C Q A Q ，B Q B Q ，()B Q C B Q A SSS ，60B C Q B A Q ，B Q C B Q A ，60A P Q ，120B P Q ，180B P Q B C Q ，B ，P ，Q ，C 四点共圆，C P B C Q B A Q B ，180A P C C P B ，180P A Q P D Q ，120P D Q ，60D Q P D P Q ，60C P Q ．②如图21 中，结论：C D D P D Q ．理由：连接A D ，在A D 上取一点T ，使得D T D P ．180P A Q P D Q ，A ，P ，D ，Q 四点共圆，60P D T P Q A ，D T D P ，P D T 是等边三角形，P D P T ，60D P T Q P A ，D P Q T P A ，P D P T ，P Q P A ，()D P Q T P A SA S ，D Q T A ，A D D T A T P D D Q ，A ，C 关于B Q 对称，D C A D ，C D D P D Q ．12．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SA S ”可证A E C D E F ，可得A C D F A B ；（3）由题意可得点G 在以点D 为圆心，D C 为半径的圆上，点G 在以点F 为圆心，F B 为半径的圆上，则两圆的交点为G ，由“SSS ”可证A B F D F G ，可得140B A F F D G ，即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）A B D F ，理由如下：E 是A D 的中点，A E D E ，C 关于点E 的对称点为F ，C E E F ，又A E C F E D ，()A E C D E FSA S ，A C D F ，A B A C ，A B D F ；（3）如图2，连接A F ，A E D E ，C E E F ，四边形A C D F 是平行四边形，180A C M C A F ，A F C D ，D F A C AB ，100C A F C D F ，140B A F ，D G D C ， 点G 在以点D 为圆心，D C 为半径的圆上，F G F B ，点G 在以点F 为圆心，F B 为半径的圆上，两圆的交点为G ，A B D F ，A F D G ，F B F G ，()A B F D F G SSS ，140B A F F D G ，40C D G ，同理可证A B F D F G ，140B A F G D F ，360100140120C D G ，综上所述：40C D G 或120 ．13．【分析】（1）根据//B G A F ，得到G B E A E B ，由A D 绕点A 逆时针旋转 得到线段A E ，得到A E A B ，A B E A E B G B E ，由正方形性质得到//C DA B ，得到2B G C A E B ；（2）按照题意补全图形即可，在D C 上取D N A H ，连接A N 交B G 于M ，交B E 于P ，连接H M ，E M ，利用A D N B A H 、A B P M B P 、A B H M B H 证明A 、H 、M 、B 共圆，从而可得D N A G M N ，G N G M ，再证明E F G M ，即可得到E F A H D G ．【解答】解：（1）证明： 边A D 绕点A 逆时针旋转(090) 得到线段A E ，A D A E ，正方形A B C D ，A B A D A E ，A EB A B E ，//B G A F ，A EB G B E ，A B E A E B G B E ，2A B G A E B ，正方形A B C D ，//A B C D ，B GC A B G ，2B G C A E B ；（2）补全图2如下：线段A H ，E F ，D G 之间的数量关系为：E F A H D G ，理由如下：在D C 上取D N A H ，连接A N 交B G 于M ，交B E 于P ，连接H M ，E M ，如图：正方形A B C D ，A B A D ，90A D N B A H ，又D N A H ，()A D N B A H SA S ，D N A A H B ，D A N A B H ，90D N A D A N ，90D A N A H B ，90A P H ，90B P M B P A ，由（1）知A B E G B E ，且B P B P ，()A B P M B P A SA ，A B M B ，而B H B H ，A B E G B E ，()A B H M B H SA S ，90H A B H M B ，A 、H 、M 、B 共圆，A HB A M B G M N ，D N A G M N ，G N G M ，//C F A B ，//B G A F ，四边形A B G F 是平行四边形，B G A F ，A F A D AB M B ，E F G M ，E F G N ，G N D G D N ，E F D G A H ．14．【分析】过点P 作P G D E ，垂足为G ，由角平分线的性质得P M P G P N ，根据H L 得R t P N E R t P G E ，R t P G D R t P M D ，从而得到结论；连接B P ，过P 作P H D E 于H ，根据全等三角形的判定与性质得D M D H ，同理，P H P N ，H E E N ，然后根据特殊直角三角形的性质及三角函数关系可得答案．【解答】解：过点P 作P G D E ，垂足为G ，A D E 与D E C 的角平分线交于点P ，P MB A 于点M ，P N BC 于点N ，P M P G P N ，90P N E P G E P G D P M D ，P E P E ，P D P D ，R t PN E R t PG E (H L ) ，R t PG D R t PM D (H L ) ，M D G D ，N E G E ，D BE 的周长为a ，P M P N B D D M B E E N B D D G B E G E B D B E D E a ．故答案为：P M P N ，P M P N a ；解决问题：36P H a ．连接B P ，过P 作P H D E 于H ，D P 平分A DE ，P M B A ，P M P H ，M D P H D P ，()P M D P H D A A S ，D M D H ，同理，P H P N ，H E E N ，P M P N ，P M B M ，P N B C ，R t B M P R t B N P (H L ) ，1302P B N P B M A B C ，M B N B ，M B N B D B D M B E E N P B B E D E a ，2aM B N B ，3tan 306P M M B a ．。

2024年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥2．（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps 提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）的数据．将10000000000用科学记数法表示应为（）A．0.1×1011B．1×1010C．1×1011D．10×109 3．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）直尺和三角板如图摆放，若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．35°B．55°C．135°D．145°5．（2分）不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（）A．B．C．D．6．（2分）已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2B．1＜a＜﹣a＜2C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜2 7．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k＞﹣且k≠0C．k≥﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB 于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣1，8）和（2，n），则n的值为．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则＝．14．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A是的中点，连接AC，若∠DAB ＝130°，则∠ACB＝°．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．16．（2分）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．37…三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2sin60°﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2﹣x﹣4＝0，求代数式（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）的值．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，AF⊥BD于点F，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4，求菱形AEGD的面积．21．（5分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B （﹣2，0），且与y轴交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是（填写“甲”或“乙”）；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为_______和；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF∥CE，AF与⊙O的交点为F．（1）求证：AF＝CD；（2）若⊙O的半径为6，AH＝2OH，求AE的长．25．（6分）如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心．线段PQ经过点O，交边AB 于点P，交边AC于点Q．若AP＝x，AQ＝y1，S△APQ：S△ABC＝y2，下表给出了x，y1，y2的一些数据（近似值精确到0.0001）．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.92940.51350.5 y20.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点（x，y1），（x，y2）．请补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ是等腰三角形时，y1关于x的函数图象上的对应点记为（a，b），请在x轴上标出横坐标为a的点；②当y2取最大值时，x的值为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若y1＝3，求t的值；（2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AM⊥BC于点M．D是射线AB上的动点（不与点A，B重合），点E在射线AC上且满足AE＝AD，过点D作直线BE的垂线交直线BC于点F，垂足为点G，直线BE交射线AM于点P．（1）如图1，若点D在线段AB上，当AP＝AE时，求∠BDF的大小；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，MP，AB的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q 满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（，），P2（﹣，﹣），在点Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣）中，点P1关于直线l的“衍生点”是，点P2关于直线l的“衍生点”是；（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值．2024年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．【解答】解：由题意可知，该几何体的底面是一个三角形，侧面由三个三角形组成，故该几何体是三棱锥．故选：C．【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握三棱锥展开图的特征是正确判断的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：10000000000＝1×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．4．【分析】求出∠3＝90°﹣55°＝35°，由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°，由邻补角的性质得到∠2＝180°﹣35°＝145°．【解答】解：∵∠1＝55°，∴∠3＝90°﹣55°＝35°，∵直尺的对边平行，∴∠3＝∠4＝35°，∴∠2＝180°﹣35°＝145°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质关键是由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°．5．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为．故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．6．【分析】根据﹣2＜a＜﹣1，判断出﹣a的取值范围，进而推出a、﹣a的大小关系即可．【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，∴1＜﹣a＜2，∴a＜1＜﹣a＜2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是判断出﹣a的取值范围．7．【分析】根据一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，构建不等式求解．【解答】解：由题意，Δ≥0且k≠0，∴1+8k≥0，∴k≥﹣，∴k≥﹣且k≠0．故选：C．【点评】考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．8．【分析】因为CD⊥AB，所以∠CDB＝∠CDA＝90°，由勾股定理得，n2+h2＝a2，因为∠ACB＝90°，由勾股定理得，（m+n）2＝a2+b2，因为a2＜a2+b2，所以n2+h2＜（m+n）2，由射影定理得，h2＝mn，所以2h2＝2mn，因为a＜b，a＝，b＝，则m＞n，所以（m﹣n）2＞0，可得m2+n2＞2mn，所以m2+n2＞2h2，方程x2+2ax﹣b2＝0配方得（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，因为a2+b2＝（m+n）2，可得（x+a）2＝（m+n）2，解得x的值，因为BE＝BC，BC＝a，可得BE＝a，因为AB＝AD+BD＝m+n，所以AE＝m+n ﹣a，可得AE的长是否是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴n2+h2＝a2，∵∠ACB＝90°，∴（m+n）2＝a2+b2，∵a2＜a2+b2，∴n2+h2＜（m+n）2，故①符合题意，∵h2＝mn，∴2h2＝2mn，∵a＜b，a＝，b＝，∴m＞n，∴（m﹣n）2＞0，即m2+n2＞2mn，∴m2+n2＞2h2，故②不符合题意，x2+2ax﹣b2＝0，配方得，（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，∵a2+b2＝（m+n）2，∴（x+a）2﹣（m+n）2＝0，即（x+a）2＝（m+n）2，∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a，∵BE＝BC，BC＝a，∴BE＝a，∵AB＝AD+BD＝m+n，∴AE＝m+n﹣a，∴AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根x＝m+n﹣a，故③符合题意，故选：B．【点评】本题考查了射影定理、勾股定理，关键是掌握射影定理的运用．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．【分析】提取公因式后用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣6）2，故答案为：y（x﹣6）2．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键．11．【分析】方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2）得出4（x﹣2）＝3（3x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2），得4（x﹣2）＝3（3x﹣1），4x﹣8＝9x﹣3，4x﹣9x＝﹣3+8，﹣5x＝5，x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（3x﹣1）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】由点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出n的值．【解答】解：将点（﹣1，8）代入y＝（k≠0）得：8＝，解得：k＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣当x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴n的值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，根据给定坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．13．【分析】由平行四边形的性质得到AB∥CD，CD＝AB＝2，推出△FAE∽△CDE，得到＝，而AF＝1，于是得到＝．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝2，∴△FAE∽△CDE，∴＝，∵AF＝1，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，推出＝．14．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，再根据圆周角定理求出∠ACB．【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DAB＝130°，∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵点A是的中点，∴∠ACB＝∠ACD＝×50°＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质是解题的关键．15．【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A＝O1B＝O2C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，∴EC＝O2C＝a＝BE，O2E＝O2C＝a，∴AE＝2a+a＝a，∴tan∠O2AC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．16．【分析】根据第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，可知第2个空格所填入的数为1，根据前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，且前37个数的和是第37个数的倍数，即可得出结果．【解答】解：根据要求：第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，假设第37个数为x，则（37×19﹣x）一定能被x整除，∵x≠37，第2个空格所填入的数为1，∴x的值只能是19，故答案为：1，19．【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的倍数关系是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据同小取小确定不等式组的解集．【解答】解：，解解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≤7，∴原不等式组的解集为x＜3．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣x＝4代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣x﹣3＝2x2﹣2x+1，∵x2﹣x﹣4＝0，∴x2﹣x＝4，∴当x2﹣x＝4时，原式＝2（x2﹣x）+1＝2×4+1＝8+1＝9．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF＝DF，再证△GEF和△ADF全等，得出GF＝AF，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF、EF的长，即可得出对角线AG、ED的长，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF＝，∴，即，∴EF＝，∵四边形AEGD是菱形，∴AG＝2AF＝，ED＝2EF＝，∴菱形AEGD的面积．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21．【分析】设购买象棋x套，若购买围棋2x套，可得40×2x+30x＝1000，解得x＝9，即可判断不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【解答】解：不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍，理由如下：设购买象棋x套，若购买围棋2x套，根据题意得：40×2x+30x＝1000，解得x＝9，∵x是整数，∴x＝9不符合题意，∴不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出方程．22．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；（2）先利用（1）中解析式计算x＝2时，y＝4，再把点（2，4）代入y＝﹣3x+n中得到n＝10，则利用一次函数的性质可判断当n≥10时满足条件．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴一次函数解析式为y＝x+2，当x＝0时，y＝x+2＝2，∴C（0，2）；（2）当x＝2时，y＝x+2＝4，把点（2，4）代入y＝﹣3x+n得﹣6+n＝4，解得n＝10，∴当n≥10时，对于x＜2的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．23．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【解答】解：（1）根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m＝9.4；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以n＝10．故答案为：9.4，10．（2）①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.1﹣9.2之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.8﹣9.4，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：[（9.3﹣9.48）2+（9.4﹣9.48）2+（9.5﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2]×＝0.0136，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：[（9.4﹣9.6）2+（9.5﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.9﹣9.6）2]×＝0.028，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：[（9.3﹣9.54）2+（9.4﹣9.54）2+（9.5﹣9.54）2+（9.6﹣9.54）2+（9.9﹣9.54）2]×＝0.0424，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．故答案为：甲；9.3、9.6．（3）7.6千克＝7600克，7600÷9.5＝800（个），800÷5＝160（串），答：能制作160串冰糖葫芦．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE＝∠ACB＝90°，可证明∠ACE＝∠B，由AF∥CE，得∠CAF＝∠ACE＝∠B，则＝，由垂径定理得＝，则＝，即可证明＝，所以AF＝CD；（2）由⊙O的半径为6，AH＝2OH，得OC＝OA＝2OH+OH＝6，求得OH＝2，因为＝＝cos∠COE，所以OE＝＝18，则AE＝12．【解答】（1）证明：连接AC、OC、BC，则OC＝OA，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OCA＝90°，∠B+∠OAC＝90°，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠ACE＝∠B，∵AF∥CE，∴∠CAF＝∠ACE＝∠B，∴＝，∵CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴＝+＝+＝，∴AF＝CD．（2）解：∵⊙O的半径为6，AH＝2OH，∴OC＝OA＝2OH+OH＝6，∴OH＝2，∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∴＝＝cos∠COE，∴OE＝＝＝18，∴AE＝OE﹣OA＝18﹣6＝12，∴AE的长为12．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）利用已知条件得到：当x＝0.5时，点P为AB的中点，当y1＝1时，此时点Q在点C处，由题意计算当x＝0.5时的y1即可；（2）补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象即可；（3）①当△APQ是等腰三角形时，利用等边三角形的判定与性质解答即可求得a值，在x轴上描出横坐标为的点即可；②观察图象即可得出结论．【解答】（1）解：当x＝0.5时，点P为AB的中点，∵点O为边长为1的等边三角形ABC的外心，∵y1＝1，∴此时点Q在点C处，如图所示：∵△ABC为等边三角形，点P为AB的中点，点Q在点C处，∴∴y2＝S△APQ：S△ABC＝0.5，填报如下：x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.5 y20.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（2）解：补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象如图所示：（3）解：①连接AO并延长交BC于点D，连接OB，如图，∵△ABC为等边三角形，点O为△ABC外心，∴∠OBD＝∠BAD＝30°，AD⊥BC，，OA＝OB，∴，∴，∴．当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，∵∠PAQ＝60°，∴△PAQ为等边三角形，∴∠APQ＝60°，∴∠APQ＝∠ABC，∴PQ∥BC，∴∠AOP＝∠ADB＝90°．∴，∴．∴，∴b＝，在x轴上标出横坐标为a的点，如图所示：②根据函数图象可知，函数y2的最大值为0.5，此时x＝0.5或x＝1．故答案为：0.5或1．【点评】本题主要考查了还是的图象与性质，描点法画出函数的图象，等边三角形的性质，等边三角形的外心的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质和函数图象的画法是解题的关键．26．【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求得b＝2a，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t ﹣2），分两种情况讨论，得到关于t的不等式组，解不等式组从而求得t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴3＝4a﹣2b+3，∴b＝2a，∴t＝﹣＝﹣1；（2）∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）开口向上，当x＞t时，y随x的增大而增大，∵当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，∴点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，∵点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t﹣2），当t≥2时，则，解得2≤t≤3；当t＜2时，则，解得1≤t＜2，故1≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明∠AEP＝∠APE＝67.5°，进而可以解决问题；（2）结合（1）即可补全图形，作CQ∥AP交BE于点Q，证明△BDF≌△CEQ（ASA），得BF＝CQ，再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝BAC＝45°，BM＝CM，∵AP＝AE，∴∠AEP＝∠APE＝（180°﹣∠MAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵DF⊥BE，∴∠ABE+∠BDF＝90°，∴∠BDF＝∠AEP＝67.5°；（2）如图，即为补全的图形，线段CF，MP，AB的数量关系为：CF＝2MP+AB，证明：如图2，作CQ∥AP交BE于点Q，∵CO∥AP，BM＝CM，∴＝＝，∴CQ＝2MP，∵AM⊥BC，∴∠AMC＝90°，∵CQ∥AP，∴∠BCQ＝∠AMC＝90°，∴∠QCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCQ＝45°，∵∠DBF＝∠ABC＝45°，∴∠DBF＝∠QCE，∵DG⊥BE，∴∠DGB＝∠BAC＝90°，∵∠DBG＝∠ABE，∴∠D＝∠E，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AD﹣AB＝AE﹣AC，∴BD＝CE，∴△BDF≌△CEQ（ASA），∴BF＝CQ，∵CF＝BF+BC，BC＝AB，∴CF＝CQ+√AB＝2MP+AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是得到△BDF≌△CEQ．28．【分析】（1）a＝0，则直线l为x轴，据此求出P1，P2的对称点P1′，P2′，然后可以求出P1P1′和P2P2′的长度，用勾股定理求出Q1，Q2，Q3，Q4到原点的距离，判断是否符合新定义即可；（2）因为直线y＝ax过圆心O，所以P′也在圆上，所以PP′不大于圆的直径，因为存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，所以线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，据此解答；（3）根据P所在位置分类讨论，得出PP′的取值范围，从而根据新定理求出MN的长度的最大值，从而得解．【解答】解：（1）当a＝0时，直线l为y＝0，即x轴，∵P1（，），P2（﹣，﹣），∴P1′（，﹣），P2′（﹣，），∴P1P1′＝，P2P2′＝，∵Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣），∴OQ1＝，OQ2＝，OQ3＝，OQ4＝2，∴点P1关于直线l的“衍生点”是Q2，点P2关于直线l的“衍生点”是Q3；故答案为：Q2，Q3；（2）∵直线l：y＝ax过圆心O，∴P′也在⊙O上，∴PP′≤2，∵存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，∴线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，∴A（﹣m，0），B（0，m），当OA＝OB＝2时，线段AB上所有点到O的距离都不大于2，此时，m＝±2，又∵y＝ax不能是y轴，∴（1，0）和（﹣1，0）不能同时是P和P′，∴m＝±2符合题意；当O到线段AB的距离是2时，∵OA＝OB，OA⊥OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝2，∴m＝±2，∴要满足线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，需要满足：﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2，∴﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2；（3）∵﹣1≤a≤1，∴在图中作直线y＝x和直线y＝﹣x，将⊙O分成四份，如图：①当P在或上时，当P，P′重合时，PP′＝0，当PP′为直径时，PP′＝2，∴0≤PP′≤2，∴D（s）＝2，②当P在或上时，当PP′为直径时，PP′＝2，当P在y轴上时，直线l为y＝x或y＝﹣x时，PP′取最小值，此时，PP′＝，∴≤PP′≤2，∴D（s）＝2﹣，综上所述，D（s）的最小值为2﹣．【点评】本题主要考查了圆的综合题，结合一次函数的图象、轴对称的性质、勾股定理等知识点，充分理解新定义，是本题解题的关键。

2024年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（）A．B．C．D．2．（2分）据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（）A．175×105B．1.75×106C．1.75×107D．0.175×108 3．（2分）如图，AB⊥BC，AD∥BE，若∠BAD＝28°，则∠CBE的大小为（）A．66°B．64°C．62°D．60°4．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a≥﹣2B．a＜﹣3C．﹣a＞2D．﹣a≥35．（2分）每一个外角都是40°的正多边形是（）A．正四边形B．正六边形C．正七边形D．正九边形6．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．1B．﹣1C．4D．﹣47．（2分）现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，．若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（）A．B．C．D．8．（2分）如图，AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC．条件①：CD平分AB；条件②：OB＝OA；条件③：AD2＝AO•AB．则所有可以添加的条件序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a3﹣4a＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点A（a，2）和B （b，﹣2），则a+b的值为．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．点D在射线BC上运动（不与点B重合），当BD的长为时，AB＝AD．14．（2分）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：cm），数据经过整理后绘制的频数分布直方图如图所示．若高度不低于300cm的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有棵．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，FD＜CG．若FG＝AE，∠1＝α，则∠2的度数为（用含α的式子表示）．16．（2分）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”．某校今年“π节”策划了五个活动，规则见图：小云参与了所有活动．（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2024北京数学一模第26题汇编1.（2024平谷一模） 在平面直角坐标系xoy 中,抛物线22y x bx =-． （1）当抛物线过点（2,0）时,求抛物线的解析式.（2）若抛物线上存在两点11(x ,y )A 和22(x ,y )B ,若对于11x 2,≤≤2x 2b =+都有120y y <,求b 的取值范围． 2．（2024 石景山一模）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线222y x m x m =-++()的对称轴为直线x t =． （1）求t 的值（用含m 的代数式表示）.（2）点1A t y -(，),2B t y (，),31C t y +(，)在该抛物线上．若抛物线与x 轴的一个交点为00x (，),其中002x <<,比较1y ,2y ,3y 的大小,并说明理由．3．（2024燕山一模）在平面直角坐标系xOy 中,M (m ,1y ),N (m ＋2,2y )是抛物线2(0)y ax bx c a =++>上两点．设该抛物线的对称轴为x t =．(1) 若对于m ＝1,有1y ＝2y ,求t 的值.(2) 若对于1＜m ＜2,都有1y ＜2y ,求t 的取值范围．4．（2024北京汇文中学）（6分）在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y ＝x 2﹣2tx +t 2﹣t ． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）.（2）点P （x 1,y 1）,Q （x 2,y 2）在抛物线上,其中t ﹣1≤x 1≤t +2,x 2＝1﹣t ． ①若y 1的最小值是﹣2,求y 1的最大值. ②若对于x 1,x 2,都有y 1＜y 2,求出t 的取值范围．5．（2024人大附一模）（6分）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+1与y 轴的交点为A ,过点A 作直线l 垂直于y 轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）．（2）将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折,其余部分保持不变,组成图形G ．点M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）为图形G 上任意两点．①当m ＝0时,若x 1＜x 2,判断y 1与y 2的大小关系,并说明理由. ②若对于x 1＝m ﹣2,x 2＝m +2,都有y 1＞y 2,求m 的取值范围．6．（2024北京陈经纶一模）（6分）如图,AB 是⊙O 的一条弦,E 是AB 的中点,过点E 作EC ⊥OA 于点C ,过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D ． （1）求证：DB ＝DE .（2）若AB ＝12,BD ＝5,求⊙O 的半径．7．（2024北京四中一模）（本题9分）如图,四边形ABCD 为正方形,点E 为BC 延长线上一点,连接AE ,交BD 于点F ,交CD 于点G ,连接CF ．(1)求证：CF 与CEG 的外接圆相切.(2)当CE CF =时,判断CG 和EF 有怎样的数量关系？并说明理由. (3)在（2）的条件下,求DG 与CG 的比值．8. （2024北京西城一模）在平面直角坐标系xOy 中,点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++ (0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．（1）若 3y =₁,求t 的值.（2）若当 12t m t +<<+时,都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．9.（2024北京朝阳一模）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线 ()20y ax bx a =+>上有两点()()1122,,x y x y ，, 它的对称轴为直线x t =．（1）若该抛物线经过点()40，,求t 的值. （2）当()101x <<时.①若1t >, 则1y 0, （填“>”“=”或“<” ） ②若对于122x x +=,都有120y y >,求t 的取值范围．10.（2024北京首师大附中一模） 如图,在等边ABC 中,点D 在BC 边上,点E 在AC 的延长线上,且DE DA =．（1）求证：BAD EDC ∠=∠.（2）点E 关于直线BC 的对称点为M ,连接DM ,AM . ①根据题意将图补全.②在点D 运动的过程中,DA 和AM 有什么数量关系并证明．11．（2024北京顺义一模）在平面直角坐标系xOy 中,M 11()x y ，,N 22()x y ，是抛物线2(0)y ax bx c a =++＞上任意两点,设抛物线的对称轴为x t =.（1）当12x =时,1y c =,求抛物线的对称轴.（2）若对于11t x t --＜＜2,2t x t ＜＜+2,都有12y y ＞,求t 的取值范围.12．（2024北京丰台一模）在平面直角坐标系xOy 中,()12,M y ,()25,N y 是抛物线22y x ax =-上的两点．（1）直接写出一个a 的值,使得12y y <成立.（2）()33,P x y 是抛物线22y x ax =-上不同于M ,N 的点,若对于301x <≤,都有132y y y <<,求a 的取值范围．13. （2024北京大兴一模）在平面直角坐标系xOy 中,()11,M x y ,()22,N x y 是抛物线2(0)y ax bx c a =++<上任意两点．设抛物线的对称轴为直线x t =． （1）若22x =,2y c =,求t 的值.（2）若对于112t x t +<<+,245x <<,都有12y y >,求t 的取值范围．14. （2024北京房山一模）在平面直角坐标系xOy 中,11()A x y ，,22()B x y ，是抛物线2222y x a x a =-+-上任意两点. （1）当1a =时,求抛物线与y 轴的交点坐标及顶点坐标. （2）若对于1102x <<,2112x <<,都有12y y >,求a 的取值范围． 15.（2024北京门头沟一模）在平面直角坐标系xoy 中,点()1,A x m ,()2,B x n 在抛物线24y ax bx =++()0a >上,设抛物线的对称轴为直线x h =. （1）如果抛物线经过点()2,4,求h 的值.（2）如果对于14x h =-,23x h =,都有m n >,求h 取值范围.（3）如果对于142h x h -+≤≤,22112x x ≤或≥,存在m n >,直接写出h 的取值范围.16.（2024北京延庆一模）在平面直角坐标系xOy 中,点A （3,m ）,点B （5,n ）在抛物线2(0)y ax bx c a =++> 上.设抛物线的对称轴为直线x t =. （1）若m =n ,求t 的值.（2）点)(0p x C ，在该抛物线上,若对于100＜＜x ,都有p n m ＜＜,求t 的取值范围.17．（2024北京人朝分校一模）在平面直角坐标系xOy 中,点M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）是抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴.（2）若x 1＝a +1,x 2＝a +2,比较y 1与y 2的大小,并说明理由.（3）若对于m ＜x 1＜m +1,m +1＜x 2＜m +2,总有y 1＜y 2,求m 的取值范围．26题答案解析1.（1）抛物线的对称轴为x=b (1)∵抛物线过点（0,0）和（2,0） ∴b=1························································2 ∴抛物线的解析式为22y x x =-（2）∵抛物线的对称轴为x=b.∴（b+2,0）点一定位于对称轴的右侧························································3 情况1：当原点位于对称轴的左侧时此时,有2222b bb+>⎧⎨<⎩解得12b <<························································4 情况2：当原点位于对称轴的右侧时此时,有220b b <+<解得22b b <⎧⎨<-⎩解得2b <-························································5 综上.1∴<b<2或b<-2························································6 2．解：（1）由题意,得22m t -+=-(). 即22mt +=． ………………………… 2分 （2）231y y y <<．理由如下：令0y =,得2220x m x m -++=()． ∴122x x m ==，．∴抛物线与x 轴的两个交点为20(，),0m (，)． ∵抛物线与x 轴的一个交点为00x (，),其中002x <<. ∴02m <<．∵22mt +=. ∴12t <<．∴21t -<-<-,213t <+<．设点1A t y -(，)关于抛物线的对称轴x t =的对称点为1A n y '(，)． ∵点1A t y -(，)在抛物线上. ∴点1A n y '(，)也在抛物线上． 由n t t t -=--(),得3n t =． ∴336t <<． ∴13t t t <+<．∵抛物线的解析式为222y x m x m =-++(). ∴此抛物线开口向上．当x t ≥时,y 随x 的增大而增大．∵点2B t y (，),31C t y +(，),13A t y '(，)在抛物线上,且13t t t <+<. ∴231y y y <<． ………………………… 6分 2．解：(1) ∵对于m ＝1,有1y ＝2y . ∴点M (1,1y ),N (3,2y )关于直线x ＝t 对称.∴t －1＝3－t .∴t ＝2． ……………………………………………2分 (2) ∵a ＞0.∴当x ≥t 时,y 随x 增大而增大,当x ＜t 时,y 随x 增大而减小． ①当t ≤1时. ∵1＜m ＜2. ∴3＜m ＋2＜4. ∴t ＜m ＜m ＋2. ∴1y ＜2y ,符合题意． ②当1＜t ≤2时. （i ）当t ≤m ＜2时. ∵3＜m ＋2＜4. ∴t ≤m ＜m ＋2. ∴1y ＜2y ,符合题意． （ii ）当m ＜t ≤2时.设点M (m ,1y )关于x ＝t 的对称点为M ′,则点M ′的坐标为(2t －m ,1y )．∵1＜m ＜t ≤2. ∴m ＜2t －m ＜3． ∵3＜m ＋2＜4. ∴2t －m ＜m ＋2. ∴1y ＜2y ,符合题意．③当2＜t ＜3时,令m ＝t －1,则m ＋2＝t ＋1. ∴1y ＝2y ,不符合题意． ④当t ≥3时,令m ＝32,则m ＋2＝72. ∴1y ＞2y ,不符合题意．综上所述,t 的取值范围是t ≤2． …………………………………………6分 3．解：(1) ∵对于m ＝1,有1y ＝2y . ∴点M (1,1y ),N (3,2y )关于直线x ＝t 对称.∴t －1＝3－t .∴t ＝2． ……………………………………………2分 (2) ∵a ＞0.∴当x ≥t 时,y 随x 增大而增大,当x ＜t 时,y 随x 增大而减小． ①当t ≤1时. ∵1＜m ＜2. ∴3＜m ＋2＜4. ∴t ＜m ＜m ＋2. ∴1y ＜2y ,符合题意． ②当1＜t ≤2时. （i ）当t ≤m ＜2时. ∵3＜m ＋2＜4. ∴t ≤m ＜m ＋2. ∴1y ＜2y ,符合题意． （ii ）当m ＜t ≤2时.设点M (m ,1y )关于x ＝t 的对称点为M ′,则点M ′的坐标为(2t －m ,1y )． ∵1＜m ＜t ≤2. ∴m ＜2t －m ＜3． ∵3＜m ＋2＜4. ∴2t －m ＜m ＋2. ∴1y ＜2y ,符合题意．③当2＜t ＜3时,令m ＝t －1,则m ＋2＝t ＋1. ∴1y ＝2y ,不符合题意．④当t ≥3时,令m ＝32,则m ＋2＝72. ∴1y ＞2y ,不符合题意．综上所述,t 的取值范围是t ≤2． …………………………………………6分4．【解答】解：（1）∵y ＝x 2﹣2tx +t 2﹣t ＝（x ﹣t ）2﹣t . ∴抛物线的顶点坐标为（t ,﹣t ）.（2）①∵y ＝x 2﹣3tx +t 2﹣t ＝（x ﹣t ）2﹣t . ∴抛物线的对称轴为x ＝t . ∵8＞0.∴抛物线开口向上. ∵t ﹣1≤x 4≤t +2.∴当x ＝t 时,y 1的最小值为﹣t . ∵y 4的最小值是﹣2. ∴t ＝2.∵|t ﹣3﹣t |＝1,|t +2﹣t |＝4.∴当x ＝t +2时,y 1最大＝（t +3﹣t ）2﹣t ＝4﹣t ＝2﹣2＝2. 即y 4的最大值为2.②∵点P （x 1,y 2）,Q （x 2,y 2）在抛物线y ＝（x ﹣t ）8﹣t 上. ∴y 1＝（x 1﹣t ）7﹣t ,y 2＝（x 2﹣t ）6﹣t . ∵对于x 1,x 2,都有y 4＜y 2.∴y 2﹣y 2＝（x 2﹣t ）2﹣t ﹣（x 2﹣t ）2+t ＝（x 2﹣t ）2﹣（x 1﹣t ）2＝（x 5﹣x 1）（x 2+x 2﹣2t ）＞0. ∴或.Ⅰ,当时.由①知,x 5＞x 1.∵t ﹣1≤x 2≤t +2,x 2＝5﹣t . ∴1﹣t ＞t +2. ∴t ＜﹣. 由②知,x 2+x 8＞2t . ∵t ﹣1≤x 3≤t +2,x 2＝6﹣t . ∴0≤x 2+x 8≤3.∴2t＜2.∴t＜0.即t＜﹣.Ⅱ,当时.由③知,x2＜x4.∵t﹣1≤x1≤t+4,x2＝1﹣t.∴6﹣t＜t﹣1.∴t＞1.由④知,x2+x1＜2t.∵t﹣3≤x1≤t+2,x8＝1﹣t.∴0≤x3+x1≤3.∴5t＞3.∴t＞.即t＞.即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．5．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可.（2）①由题意可得出二次函数解析式是y＝x2+1,对称轴为y轴,即可画出图形G,如图1,得出图形G上的点的横纵坐标x和y,满足y随x的增大而增大,即可得出结论,②通过计算可知,P（m﹣2,5）,Q（m+2,5）为抛物线上关于对称轴x ＝m对称的两点,下面讨论当m变化时,y轴于点P,Q的相对位置：分三种情形：如图2,当y轴在点P左侧时（含点P）,如图3,当y轴在点Q右侧时（含点Q）,如图4,当y轴在点P,Q之间时（不含P,Q）,分别求解即可．【解答】解：（1）∵该抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+1.∴抛物线的对称轴为直线.（2）①y1＜y2．理由：当m＝0时,二次函数解析式是y＝x2+1,对称轴为y轴.∴图形G大致图象如下.∴图形G上的点的横纵坐标x和y,满足y随x的增大而增大．∵x1＜x2.∴y1＜y2.②对于y＝x2﹣2mx+m2+1,令x＝m﹣2,则y＝（m﹣2）2﹣2m（m﹣2）+m2+1＝5.令x＝m+2,则y＝（m+2）2﹣2m（m+2）+m2+1＝5.∴该抛物线上两点P（m﹣2,5）,Q（m+2,5）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点．分类讨论：如图2,当y轴在点P左侧时（含点P）,经翻折后,点P,Q位置不动.∴y1＝y2,不符题意.如图3,当y轴在点Q右侧时（含点Q）,点P,Q经翻折之后的对应点为点M,N.∴y1＝y2,不符题意.如图4,当y轴在点P,Q之间时（不含P,Q）,经翻折后,点N在l下方,点M,P重合,在l上方.∴y1＞y2,符合题意.此时有m﹣2＜0＜m+2,即﹣2＜m＜2.综上所述,m的取值范围为﹣2＜m＜2．【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,轴对称翻折变换,函数的增减性等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,正确作出图形是解决问题的关键．6．【分析】（1）欲证明DB＝DE,只要证明∠DEB＝∠DBE.（2）作DF⊥AB于F,连接OE．只要证明∠AOE＝∠DEF,可得sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝,由此求出AO即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AO＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.∵BD是切线.∴OB⊥BD.∴∠OBD＝90°.∴∠OBE+∠EBD＝90°.∵EC⊥OA.∴∠CAE+∠CEA＝90°.∵∠CEA＝∠DEB.∴∠EBD＝∠BED.∴DB＝DE．（2）作DF⊥AB于F,连接OE．∵DB＝DE,AE＝EB＝6.∴EF＝BE＝3,OE⊥AB.在Rt△EDF中,DE＝BD＝5,EF＝3.∴DF ＝＝4.∵∠AOE +∠A ＝90°,∠DEF +∠A ＝90°. ∴∠AOE ＝∠DEF . ∴sin ∠DEF ＝sin ∠AOE ＝＝.∵AE ＝6. ∴AO ＝．∴⊙O 的半径为．【点评】本题考查切线的性质,勾股定理,垂径定理,锐角三角函数,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．7．(1)见解析 (2)3EF CG =．理由见解析 (3)DG CG =【分析】本题主要考查切线的判定,全等石匠判定与性质,直角三角形的性质等知识： （1）证明ADF CDF △≌△得2DAF ∠=∠,由AD BE 得2E DAF ∠=∠=∠,取EG 的中点H ,连接CH ,证明2+4=90∠∠︒即可得出结论.（2）证明30E ∠=︒,得出2,EG CG =进一步得出结论.（3）设CG x =,可求出)1AG x =,)1,2x DG =从而可得结论．【详解】（1）证明：如图.四边形ABCD 为正方形.,AD CD ADF CDF ∴=∠=∠. 又DF DF =. ,ADF CDF ∴△≌△2DAF ∴∠=∠.,AD BE ∥ ,DAF E ∴∠=∠ 2E ∴∠=∠.取EG 的中点H ,连接CH .则CH EH GH ==为CEG 外接圆的半径.1,45,E ∴∠=∠∠=∠ 12∴∠=∠.1490,∠+∠=︒2490∴∠+∠=︒.CF CH ∴⊥.所以CF 与CEG 的外接圆相切． （2）解：3EF CG =．理由如下：CE CF =.312,E ∴∠=∠=∠=52E ∠=∠.而590,E ∠+∠=︒30E ∴∠=︒. 2,EG CG ∴=3EF CG ∴=．（3）解：设CG x =,则,FG x CE CF AF ====. )1AG x ∴=.由（2）知30DAF E ∠=∠=︒.)11,22x DG AG ∴==DG CG ∴=8. 【答案】（1）1- （2）13t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把A 点的坐标代入解析式求得2b a =,然后利用对称轴公式即可求得.（2）由题意可知点1(2,)A y -在对称轴的左侧,3(,)C m y 在对称轴的右侧,点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +,2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -,分两种情况讨论,得到关于t 的不等式组,解不等式组从而求得t的取值范围．解：点(2,3)A -在抛物线23(0)y ax bx a =++>上.3423a b ∴=-+.2b a ∴=.12bt a∴=-=-. 【小问2详解】 解：0a >.∴抛物线23(0)y ax bx a =++>开口向上.当x t >时,y 随x 的增大而增大.当12t m t +<<+时,都有132y y y >>.∴点1(2,)A y -在对称轴的左侧,3(,)C m y 在对称轴的右侧.点1(2,)A y -,2(2,)B y ,3(,)C m y 在抛物线23(0)y ax bx a =++>上.∴点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +,2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -.当2t ≥时,则222221t t t t +>+⎧⎨-≤+⎩,解得03t <≤.23t ∴≤≤.当2t <时,则22212t t t +>+⎧⎨+≤⎩,解得12t ≤<.综上所述,t 的取值范围为13t ≤≤． 9. 【答案】（1）2t = （2）①<,②1t ≤或0t ≤【分析】本题主要考查二次函数的性质,()1将点代入抛物线求得4b a =-,结合对称轴定义即可求得.()2①根据题意得抛物线开口向上,且过原点,即可得10y<.②由已知求得212x <<,结合120y y >恒成立,则有点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧即可． 【小问1详解】解：将点()40，代入()20y ax bx a =+>得1640a b +=,解得4b a =-. ∴4222b a x a a-=-=-=. 则2t =.①根据题意得抛物线开口向上,且过原点. ∵1t >,101x <<. ∴10y <.②∵122x x +=, 101x <<. ∴212x <<. ∵有120y y >恒成立.∴点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧. 则1t ≤或0t ≤．26. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析,②DM AM =,证明见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,轴对称的性质等知识点,利用轴对称的性质求解是解题关键．（1）根据等边三角形的性质可得60BAC ACB ∠=∠=︒,根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可得出BAD EDC ∠=∠.（2）①根据题意补全图形即可,②根据轴对称的性质得出MDC EDC ∠=∠,DE DM =,结合（1）中结论可得60ADM B ∠=∠=︒,即可证明ADM △是等边三角形,可得DM AM =．【小问1详解】解：∵ABC 是等边三角形. ∴60BAC ACB ∠=∠=︒.∵BAD DAC BAC ∠+∠=∠,EDC DEC ACB ∠+∠=∠. ∴BAD DAC EDC DEC ∠+∠=∠+∠. ∵DE DA =. ∴DAC DEC ∠=∠. ∴BAD EDC ∠=∠． 【小问2详解】 ①补全图形如图所示：x=h②DM AM =,理由如下： 如①中图,连接CM .∵点M ,E 关于直线BC 对称. ∴MDC EDC ∠=∠,DE DM =. 由（1）知BAD EDC ∠=∠. ∴MDC BAD ∠=∠.∵ADC BAD B ∠=∠+∠,即ADM MDC BAD B ∠+∠=∠+∠. ∴60ADM B ∠=∠=︒. ∵DA DE DM ==. ∴ADM △是等边三角形. ∴DM AM =．11．解：（1）∵抛物线2(0)y ax bx c a =++＞经过（0,c ）和（2,c ）.∴抛物线对称轴为x =1．…………………………………………………..…………….2分 （2）2x t t x t =∵抛物线的对称轴为，＜＜+2，2'x N N ∴点在对称轴右侧，设点关于对称轴对称点的横坐标为2'2,t x t -∴＜＜12y y ∵＞，11t x t --＜＜2∴①当点M 在对称轴左侧时.2t t t --≤2≥2②当点M 对称轴右侧时. 11t t t -+≥2≤-21.t t ≥2或≤综述，-所2上…………………………………………………..…………….6分12．解：（1）答案不唯一,例如：3a =．（2）∵二次函数解析式为22y xax =-,∴函数图像开口向上,对称轴为x a =．t1x=h①当3a x ≤时,∴点P ,M ,N 均在对称轴右侧． ∴由二次函数性质,必有312y y y <<,不符题意舍去． ②当32x a ≤<时.∵点P 在对称轴左侧,设P 点关于x a =的对称点为P '. 则点P '的坐标为()312,a x y -．∵点P ',M ,N 在对称轴右侧,且132y y y <<. ∴322a x <-．∴322a <<． ③当25a ≤≤时.∵点P 和M 在对称轴左侧,由函数性质,有13y y <. ∵点P ',N 在对称轴右侧,且32y y <. ∴325a x -<．∴522a ≤≤． ④当5a >时,∴点P ,M ,N 均在对称轴左侧．∴由二次函数性质,必有312y y y >>,不符题意舍去． 由①②③④可知,3522a <≤． 13. 【答案】（1）1t = （2）2t ≤或7t ≥【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识. （1）将22x =,2y c =代入解析式,得出2b a =-即可得解.（2）分①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时,②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解.解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】22x =,2y c =.42a b c c ∴++=. 2b a ∴=-. 12bt a∴=-=. 【小问2详解】2(0)y ax bx c a =++<.∴抛物线开口向下.抛物线的对称轴为x t =,112t x t +<<+. ∴点M 在对称轴的右侧.①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时. 抛物线开口向下.∴在对称轴右侧,y 随x 的增大而减小．由12y y >. ∴12x x <. ∴4,24t t ≤⎧⎨+≤⎩.解得42t t ≤⎧⎨≤⎩.∴2t ≤.②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时.设抛物线上的点()22,N x y 关于x t =的对称点为()2,N d y '.2t x d t ∴-=-,解得22d t x =-.∴()222,N t x y '-.245x <<.∴225224t t x t -<-<-.在对称轴右侧,y 随x 的增大而减小. 由12y y >. ∴122x t x <-. ∴5225t t t ≥⎧⎨+≤-⎩.解得57t t ≥⎧⎨≥⎩. ∴7t ≥.综上所述,t 的取值范围是2t ≤或7t ≥．14.解：（1）令0x =,则22y a =-.当1a =时,1y =-.∴抛物线与y 轴的交点坐标为(01)-，, ∵22222()2y x ax a x a =-+-=--.当1a =时,抛物线的顶点坐标为(12)-，.（2）∵11()A x y ，,22()B x y ，是抛物线2222y x ax a =-+-上任意两点.∴211()2y x a =--,222()2y x a =--.∴2212121212()()()(2)y y x a x a x x x x a -=---=-+-.∵1102x <<,2112x <<. ∴12x x <,121322x x <+<.∵12x x <,12y y >. ∴1220x x a +-<.即122x x a +<.∴322a ≥.∴34a ≥. 15．（本小题满分6分） 方案2解：（1）由题意知,442.a b c =++ ∴ 2b a =-.∴12=-=a b h . …………………………2分（2）∵0a >.∴当x h ≥时,y 随x 的增大而增大,当x h ≤时,y 随x 的增大而减小.点()4A h m -，关于对称轴x h =的对称点为()'4A h m +，……………………3分 ①当0h ≤,时3h h ≤,4h h -<.m n >∴43h h -<∴20h -<≤②当0h >,时2h h >,4h h +>.m n >∴43h h +> ∴02h <<综上22h -<<. ……………………5分 （3）5h <或8h > ……………………6分16.（1）解：∵点A （3,m ）,点B （5,n ）在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上,且m =n ,抛物线的对称轴为x=t . ∴5-t =t -3. ∴t =4.（2）∵点A （3,m ）,点B （5,n ）,点)(0p x C ，在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上. ∴c b a m ++=39. c b a n ++=525. c bx ax p ++=020. ∵ p n m <<.∴n m <且p n <.①当n m ＜时,有c b a c b a ++<++52539. ∴b a b a 52539+<+. ∴08>+b a . ∴a b 8->. ∵0>a .∴0<-a . ∴42<-ab. ∵t ab=-2. ∴4<t .②当p n ＜时,有c bx ax c b a ++<++020525. ∴a ax bx b 255200-<-. ∴)5)(5()5(000-+<-x x a x b .∵100＜＜x . ∴)5(0+<x a b . ∴2520+>-x a b . ∴3≥t . 综上：43<≤t .……………………5分 ……………………2分……………………4分……………………3分……………………6分17．【分析】（1）更近抛物线对称轴公式求出即可.（2）根据条件点M,N都在对称轴右侧,根据函数增减性进行解答即可.（3）根据二次函数图象上点的坐标特征,分析MN中点坐标与对称轴的关系得到不等式,解不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1.∴抛物线的对称轴为直线x＝1.（2）∵a＞0,抛物线开口向上,对称轴为直线x＝1.∴M（x1,y1）,N（x2,y2）都在对称轴右侧.∵当x＞1时,y随x的增大而增大,且x1＜x2.∴y1＜y2.（3）∵m＜x1＜m+1,m+1＜x2＜m+2.∴＜.∵y1＜y2,a＞0.∴M（x1,y1）距离对称轴更近,x1＜x2,则MN的中点在对称轴的右侧.∴解得：m．【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．。

北 京 市 西 城 区 九 年 级 统 一 测 试 试 卷数 学 2024.4考生须知1. 本试卷共7页，共两部分， 28道题。

满分 100分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、选择题 (共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.右图是某几何体的展开图，该几何体是 (A) 圆锥 (B)三棱柱 (C)三棱锥 (D)四棱锥2. 2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps,给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit)的数据. 将 10000000000用科学记数法表示应为(A )0.1×10¹¹ (B )1×10¹⁰ (C )1×10¹¹ (D) 10×10⁹3.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是4. 直尺和三角板如图摆放，若∠1=55°，则∠2的大小为 (A)35° (B)55° (C) 135° (D) 145°北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第1页 (共7页)15.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上， 点O₁， O₂分别为两个正六边形的中心. 则tan∠O₂AC的值为.16. 将1, 2, 3, 4, 5, …, 37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中. 要求: 从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数.若第 1 个空格填入 37，则第 2 个空格所填入的数为，第 37 个空格所填入的数为 .37三、解答题(共68分,第17-22题,每题5分,第23-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算:|−3|−+2sin60∘−12.18.解不等式组: 2(+1)<x+5, x+23≥x−12.19. 已知x²−x−4=0,求代数式 (x−2)²+(x−1)(x+3)的值.20. 如图,点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上,AE=AD.AF⊥BD于点F,EG∥BC交AF的延长线于点G, 连接DG.(1) 求证: 四边形AEGD是菱形;(2)若AF=BF,tan∠AEF=12,AB=4,求菱形AEGD的面积.21.某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元.所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由.22. 在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(3,5), B(-2,0), 且与y轴交于点 C.(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当x<2时, 对于x的每一个值, 函数y=-3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第3页 (共7页)24. 如图, AB 为⊙O 的直径, 弦CD⊥AB 于点H, OO 的切线CE 与BA 的延长线交于点E, AF∥CE, AF 与⊙O 的交点为F.(1) 求证: AF=CD;(2) 若⊙O 的半径为6, AH=2OH,求AE 的长.25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心. 线段PQ 经过点O，交边AB 于点P, 交边AC 于点Q. 若 AP =x,AQ =y 1,S APQ :S ABC =y 2,下表给出了x, y ₁, y ₂的一些数据 (近似值精确到0.0001).x 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951y ₁10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.5y ₂0.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5(1)补全表格;(2)在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点( x ,y ₁,x ,y ₂..请补全表格中数据的对应点，并分别画出y ₁与y ₂关于x 的函数图象；(3)结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ 是等腰三角形时， y ₁关于x 的函数图象上的对应点记为(a ，b)，请在x轴上标出横坐标为a 的点；C ②当y ₂取最大值时，x 的值为 .北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第5页 (共7页)5.不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为(A) 14(B) 13(C) 12(D)236. 已知-2<a<-1, 则下列结论正确的是(A) a<1<-a<2 (B) 1<a<-a<2 (C) 1<-a<2<a (D) -a<1<a<27.若关于x 的一元二次方程 lnx²+x−2=0有两个实数根，则实数k 的取值范围是(A )k ≤−18 (B )k >−18且k≠0 (C )k ≥−18且k≠0 (D )k ≥−14且k≠08. 如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, BC=a, AC=b(其中a<b). CD⊥AB 于点D,点E 在边AB 上, BE=BC. 设CD=h, AD=m, BD=n, 给出下面三个结论:①n²+h²<(m+n)²;②2h²>m²+n²;③AE 的长是关于 x 的方程 x²+2ax−b²=0的一个实数根.上述结论中，所有正确结论的序号是(A)① (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分,每题2分)9. 若 x−3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 .10. 分解因式:x²y-12xy+36y= .11. 方程43x−1=3x−2的解为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，若函数 y =kx(k ≠0)的图象经过点(-1,8)和(2,n), 则n 的值为.13. 如图, 在▱ABCD 中, 点E 在边AD 上, BA, CE 的延长线交于点F. 若AF=1, AB=2, 则 AEED =¯.14. 如图, 在⊙O 的内接四边形ABCD 中, 点A 是 ⌢BD 的中点，连接AC, 若∠DAB=130°, 则∠ACB= °.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第2页 (共7页)23.某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成).同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂.甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g)，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲同学的山楂重量的折线图：b.乙同学的山楂重量：8, 8.8, 8.9, 9.4, 9.4, 9.4, 9.6, 9.6, 9.6, 9.8, 10, 10, 10, 10,10c.甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m, n的值;(2)对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好.①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦.据此推断：品相更好的是(填写“甲”或“乙”);甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大.他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为和 ；(3)估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第4页 (共7页)26. 在平面直角坐标系xOy中，点A−2y₁,B2y₂,C m y₃在抛物线y=ax²+bx+3(a⟩0)上.设抛物线的对称轴为直线x=t.(1)若y₁=3,,求t的值;(2) 若当t+1<m<t+2时，都有y₁>y₃>y₂,求t的取值范围.27. 在△ABC中,∠ABC=∠ACB=45°,AM⊥BC于点M.D是射线AB上的动点 (不与点 A, B重合), 点 E 在射线 AC 上且满足.AE=AD,，过点D 作直线 BE 的垂线交直线BC于点F, 垂足为点 G, 直线BE交射线AM于点P.(1) 如图1, 若点D在线段AB上, 当AP=AE时,求∠BDF的大小；(2)如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，MP, AB的数量关系, 并证明.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4第6页 (共7页)28.在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为1.对于⊙O 上的点 P 和平面内的直线l:y =ax 给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为 P¹,，若射线OP 上的点Q 满足 OQ =PP ′,则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”.(1)当a=0时,已知⊙O 上两点 PP 2−22,在点Q ₁(1,2), QQ 3(−1,−1),Q 4(−2,−2)中，点P ₁关于直线l 的“衍生点”是 ，点P ₂关于直线l 的“衍生点”是 ；(2) P 为⊙O 上任意一点, 直线y=x+m (m≠0)与x 轴, y 轴的交点分别为点 A,B.若线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；(3) 当-1≤a≤1时，若过原点的直线s 上存在线段 MN，对于线段 MN 上任意一点R，都存在⊙O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”. 将线段MN 长度的最大值记为D(s)，对于所有的直线s ，直接写出D(s)的最小值.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第7页 (共7页)北 京 市 西 城 区 九 年 级 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.4一、选择题(共16分，每题2分)题号12345678答案C B D D A A C B二、填空题(共16分，每题2分)9. x≥3 10.y(x−6)² 11. x=-1 12. -413.1214. 25 15.3516. 1, 19三、解答题(共68分, 第17-22题, 每题5分, 第23-26题, 每题6分, 第27-28题,每题7分)17. 解: |−3|−+2sin60∘−12=3−5+2×32−23 4分 =-5 . 5分18.解：原不等式组为2(x+1)<x+5, x+23≥x−12.解不等式①, 得x<3. ·2分 解不等式②, 得x≤7. 4分 ∴ 原不等式组的解集为x<3. 5分19. 解: (x−2)²+(x−1)(x+3)=(x²−4x+4)+(x²+2x−3)=2x²−2x+1.…… 3分∵x²−x−4=0,∴x²−x=4.∴原式=2(x²−x)+1=9. ·5分20. (1) 证明: 如图1.∵ AE=AD, AF⊥BD于点F,∴ ∠EAG=∠DAG, EF=DF.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第1页(共6页)①②∴ AD∥BC.∵ EG∥BC,∴ AD∥EG.∴ ∠AGE=∠DAG.∴ ∠EAG=∠AGE.∴ AE=EG.∴ AD=EG.∴ 四边形AEGD 是平行四边形.又∵ AE=AD,∴四边形AEGD是菱形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2) 解: 在Rt△ABF中, ∠AFB=90°, AF=BF, AB=4,∴ ∠ABF=45° , AF=AB·sin45°=22.在Rt△AEF中,∠AFE=90∘,tan∠AEF=12,AF=22,∴EF=AFtan∠AEF=4 2.∵ 四边形 AEGD 是菱形,∴AG=2AF=42,DE=2EF=8 2.∴S差πAEGD =12AG×DE=12×42×82=32. …5分21.解:设购买x套围棋,y套象棋 (1)假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，①则40x+30y=1000,x=2y.② 3分解得y=10011. 4分此时 y不为正整数，不合题意.答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分22. 解: (1) ∵ 函数y=kx+b (k≠0) 的图象经过点 A(3,5), B(-2,0),∴3k+b=5,−2k+b=0.解得k=1,b=2.∴该函数的解析式为y=x+2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分点C的坐标为C(0,2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2)n≥10.……………………………………………………………………………5分北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第2页 (共6页)23.解:(1)9.4,10;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(2)①甲;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分②9.3,9.6;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(3)76009.5×5=160(串).答：估计这些山楂共能制作160串糖葫芦.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分24. (1) 证明: 如图2, 连接OC, OC与AF交于点 G.∵ CE 与⊙O 相切, 切点为C,∴CE⊥OC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴ ∠OCE=90° .∵ AF∥CE,∴ ∠OGA=∠OCE=90° .∴ OC⊥AF于点 G.∴ AF=2AG.∵ CD⊥AB 于点 H,∴ ∠OHC=90° , CD=2CH .∴ ∠OGA=∠OHC.又∵ ∠AOG=∠COH, OA=OC,∴ △OAG≌△OCH.∴ AG=CH.∴AF=CD.…………………………………………………… 3分(2) 解: ∵ ⊙O的半径为6, AH=2OH,∴ OH=2, AH=4.在Rt△OCH中,∠OHC=90∘,cos∠COH=OHOC =13.在Rt△OCE中,∠OCE=90∘,cos∠COE=13,OC=6,∴OE=OCcos∠COE=18.∴AE=OE-OA=18-6=12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第3页(共6页)25. 解: (1)0.5; ……………………… 1分(2)3分(3)①见图3; ·4分 ②0.5, 1. …6分26. 解: (1) 抛物线 y =ax²+bx +3与y 轴的交点的坐标为(0，3).∵ 抛物线. y =ax²+bx +3过A(-2,y ₁), y ₁=3,∴ A(-2,3)与(0,3)关于直线x=t 对称.∴t =−2+02=−1. 2分(2) ∵ a>0,∴ 当x≤t 时, y 随x 的增大而减小; 当x≥t 时, y 随x 的增大而增大.A(-2,y ₁), B(2,y ₂), C(m,y ₃).①当t≤-2时,∵ t≤-2<2,|.y₁<y₂,不合题意.②当-2<t<2时, A(-2,y ₁)关于对称轴x=t 的对称点为 A ′(2t +2,y ₁).∵ 当t+1<m<t+2时, 都有 y₁>y₃>y₂,∴t +1≥2,t +2≤2t +2.解得 t≥1.∴ 1≤t<2.③当t≥2时,A(-2,y ₁),B(2,y ₂)关于对称轴x=t 的对称点分别为 A ′(2t +2,y ₁), B ′(2t−2,y ₂).北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第4页(共6页)∵当t+1<m<t+2时, 都有. y₁>y₃>y₂,∴t +1≥2t−2,t +2≤2t +2.解得 0≤t≤3.∴ 2≤t≤3.综上所述,t 的取值范围是1≤t≤3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分27. 解: (1) 如图4.∵在△ABC 中, ∠ABC=∠ACB=45° ,∴ AB=AC, ∠BAC=90° , ∠1+∠2=90°.∵ AM⊥BC 于点 M,∴∠3=∠BAC 2=45∘,BM =CM.∵ AP=AE, ∴∠2=180∘−∠32=180∘−45∘2=67.5∘.∵ DF⊥BE 于点 G,∴ ∠1+∠BDF=90°.∴∠BDF=∠2=67.5°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(2)补全图形见图5.CF =2MP +2AB.证明: 如图4, 作 CQ∥AP 交BE 于点 Q.∵ CQ∥AP, BM=CM, AM⊥BC, ∴MP CQ =BM BC =12,∠BCQ =∠AMC =90∘ ∴CQ =2MP,∠5=180°−∠ACB−∠BCQ =45°.∵∠4=∠ABC =45°,∴ ∠4=∠5.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第5页 (共6页)∵∠DBG=∠ABE,DG⊥BE于点 G,∠BAC=90°,∴ ∠D=∠E.∵AD=AE,AB=AC,∴AD−AB=AE−AC, 即BD=CE.∴△BDF≅△CEQ.:.BF=CQ.∵CF=BF+BC,BC=2AB,∴CF=CQ+2AB=2MP+2AB. ……………… 7分28. 解: (1)Q₂,Q₃; · ·2分(2)−22≤m≤−2或 2≤m≤22; ·5分(3)2−2. 7分北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第6页(共6页)。

2023北京初三一模数学汇编几何综合（第27题）一、解答题∠平分线的一点，点M，N分1.（2023·北京西城·统考一模）如图，直线AB，CD交于点O，点E是BOC别是射线OA，OC上的点，且ME=NE.∠=∠；（1）求证：MEN AOC（2）点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF=EG，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明.2.（2023·北京朝阳·统考一模）如图，∠MON=α，点A在ON上，过点A作OM的平行线，与∠MON的平分线交于点B，点C在OB上（不与点O，B重合），连接AC，将线段AC绕点A顺时针旋转180°-α，得到线段AD，连接BD.（1）直接写出线段AO与AB之间的数量关系，并证明∠MOB=∠DBA；（2）连接DC并延长，分别交AB，OM于点E，F. 若α=60°，用等式表示线段EF与AC之间的数量关系，并证明.3.（2023·北京海淀·统考一模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于点G.（1）求∠AGF的度数；（2）在线段AG上截取MG=BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N.①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明.备用图4.（2023·北京房山·统考一模）如图，正方形ABCD 中，点E 是边BC 上的一点，连接AE ，将射线AE 绕 点A 逆时针旋转90°交CD 的延长线于点F ，连接EF ，取EF 中点G ，连接DG . （1）依题意补全图形；用等式表示∠ADG 与∠CDG 的数量关系，并证明； （2）若DG，用等式表示线段BC 与BE 的数量关系，并证明.5.（2023·北京丰台·统考一模）在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，点E 在对角线AC 上，连接EB ，点F 在直线AD 上（点F 与点D 不重合），且EF = EB. （1）如图1，当点E 在线段AO 上（不与端点重合）时，①求证：∠AFE = ∠ABE ；②用等式表示线段AB ，AE ，AF 的数量关系并证明；（2）如图2，当点E 在线段OC 上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB ，AE ，AF 的数量关系.图1 图26．（2023·北京门头沟·统考一模）已知正方形ABCD 和一动点E ，连接CE ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CF ，连接BE ，DF ．（1）如图1，当点E 在正方形ABCD 内部时， ①依题意补全图1；G FED CBA G FEDCBA ABCD E②求证：BE DF =；（2）如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，连接AF ，取AF 中点M ，连接AE ，DM ，用等式表示线段AE 与DM 的数量关系，并证明．7．（2023·北京顺义·统考一模）已知：如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB =90°，点D 在AB 边上，点A 关 于直线CD 的对称点为E ，射线BE 交直线CD 于点F ，连接AF ．（1）设∠ACD =α，用含α的代数式表示∠CBF 的大小，并求∠CFB 的度数； （2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．8．（2023·北京通州·统考一模）直线MO 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点O ，点C 是直线OM 上一点，连接AC ．以AC 为斜边作等腰直角ACD △，连接OD ．（1）如图1，若CO AB =，求AOD ∠的度数；（2）如图2所示，点E 是直线MO 上一点，且CE AB =，连接DE ，延长DO 至点F ，使得OF OD =， 连接AF ．根据题意补全图2，写出线段,DE AF 之间的关系，并证明．9.（2023·北京延庆·统考一模）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 是边 AB 上的一动点（不与点A ，B重合），连接CE 交AD 于点F ．将线段CF 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CG ，连接AG ． （1）如图1，当CE 是∠ACB 的角平分线时，①求证：AE=AF ；②直接写出∠CAG= °．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF ，AC ，AG 之间的数量关系，并证明．图1 图2 10．（2023·北京燕山·统考一模）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为边BC 上一点(不与点B ， C 重合)，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，过点B 作BF ⊥CE ， 交直线CE 于点F ．(1) 依题意补全图形；用等式表示线段CE 与BF 的数量关系，并证明； (2) 点G 为AB 中点，连接FG ，用等式表示线段AE ，BF ，FG 之间的数量关系，并证明．GFEDCBADB图1图2 参考答案1． （1）证明：作EH ⊥CD ，EK ⊥AB ，垂足分别是H ，K ，如图1． ∵ OE 是∠BOC 的平分线， ∴ EH ＝EK ． ∵ ME ＝NE ，∴ Rt △EHN ≌Rt △EKM ． ∴ ∠ENH ＝∠EMK ． 记ME 与OC 的交点为P ，∴ ∠EPN ＝∠OPM ．∴ ∠MEN ＝∠AOC ． ····························································· 3分 （2）OM ＝ NF ＋OG ．证明：在线段OM 上截取OG 1＝OG ，连接EG 1，如图2．∵ OE 是∠BOC 的平分线，∴ ∠EON ＝∠EOB ． ∵ ∠MOF ＝∠DOB ， ∴ ∠EOM ＝∠EOD ． ∵ OE =OE ，∴ △EOG 1≌△EOG ．∴ EG 1=EG ，∠EG 1O =∠EGF ．∵ EF ＝EG ，∴ EF =EG 1EFG =∠EGF ． ∴ ∠EFG =∠EG 1O ． ∴ ∠EFN =∠EG 1M ． ∵ ∠ENF =∠EM G 1．∴ △ENF ≌△EM G 1． ∴ NF ＝M G 1． ∵ OM ＝M G 1＋O G 1，∴ OM ＝NF ＋OG ． ······························································· 7分2．解：（1）AO =AB.证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ， ∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB.根据题意，得AC=AD ，∠OAB=∠CAD.∴∠CAO=∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA=∠DBA. ∴∠MOB=∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH=BE ，连接CH.∵△OAC ≌△BAD ， ∴OC=BD. 又OH=BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ， ∵OM//AB ， ∴∠MFC=∠BED. ∴∠MFC=∠OHC. ∴CF=CH. ∴CF=DE. ∴CD=EF. ∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°， 作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK=30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD .∴EF =.3.（本题满分7分）（1）∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°. 又∵ BE =CF ，∴ △ABE ≌△BCF （SAS ）. ………………………………………………………1分 ∴ ∠BAE =∠FBC .∵ ∠FBC +∠ABG =90°， ∴ ∠BAE +∠ABG =90°.∴ ∠AGF =90°. …………………………………………………………………2分 （2）① 依题意补全图形.…………………………………………………………………………………3分 ② 线段MN 与ND 的数量关系为MN =ND . …………………………………4分 证明：过点A 作AH ⊥AE 交GN 延长线于点H ，连接DH . ∵ ∠AGF =90°，GN 平分∠AGF ， ∴ ∠AGN =12∠AGF =45°. ∵ AH ⊥AE ， ∴ ∠GAH =90°. ∴ ∠AHG =∠AGH =45°. ∴ AG =AH .∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ ∠BAD =90°，AB =AD .∵ ∠GAH =90°，∴ ∠BAG =∠DAH .∴ △BAG ≌△DAH （SAS ）. ∴ BG =DH ，∠AHD =∠AGB =90°. ∵ BG =GM ，∠AHG =45°， ∴ GM =DH ，∠DHN =∠NGM =45°.∵ ∠HND =∠GNM ，∴ △HND ≌△GNM （AAS ）.∴ MN =ND . ……………………………………………………………7分4.（1）补完图形如下：……………………1分∠ADG =∠CDG . ……………………2分M NG F EDC BAH M NG F EDCBA证明：如图，连接AG 、CG∵∠EAF =90° ，点G 是EF 中点， ∴AG =12EF ∵正方形ABCD ，∠ECF =90° ，∴CG =12EF∴AG =CG ……………………3分 ∵AD =CD ，DG =DG ∴△ADG ≌△CDG∴∠CDG =∠ADG ……………………4分 （2）BC =3BE ……………………5分过点G 作GH ⊥CD 于点H ， 易证GH 是△CEF 的中位线，∴CE =2GH . ……………………6分 易证△GDH 是等腰直角三角形，∴DG .又∵DG =DF ，∴DF =GH . 易证△ADF ≌△ABE ∴DF =BE ， ∴BE =GH . ∵CE =2GH ， ∴CE =2BE∴BC =3BE ……………………7分 （其它证法酌情给分）5.（1） ①证明：连接DE . ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAD =90°. ∵点E 在对角线AC 上，∴∠BAC =∠DAC =45°. ∵AE =AE ，∴△ABE ≌△ADE . ∴BE =DE ,∠ABE =∠ADE . ∵EF =BE ,∴DE =EF . ∴∠F =∠ADE .∴∠F =∠ABE . ……2分 ②AB=AF +2AE ; ……3分 证明：过点E 作EG ⊥AE 交AB 于点G .∴ ∠AEG =90°. ∵∠BAE =45°， ∴ ∠AGE =∠BAE =45°. ∴AG =2AE ,∠EGB =135°. ∵∠F AE =∠F AB +∠BAE =135°, ∴ ∠EGB =∠F AE . ∵∠F =∠ABE ,EF=EB , ∴△AEF ≌△GEB . ∴BG=AF . ∴AB=BG+GA=AF +2AE . ……5分 （2）正确补全图形；AB+AF=2AE . ……7分 6．（本小题满分7分）解：（1）① 图1；……………………………………………1分②∵正方形ABCD ，∴BC =DC ，∠BCD =90°. ……………………2分∵线段CE 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CF ，∴CE =CF ，∠ECF =90°. ∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD =90°.∴∠BCE =∠DCF . ……………………………3分 图1 ∴△BCE ≌△DCF .∴BE =DF . …………………………………………………………………………4分ADBM（2）猜想：AE =2DM .证明：如图2，延长AD 到N ，使得DN =AD .∵M 是AF 中点，∴NF =2DM .………………………5分 ∵由（1）得△BCE ≌△DCF ， ∴∠EBC =∠FDC ，EB =FD .又∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠ABC =∠ADC = 90°. ∵DN =AD ，∠ADC +∠CDN =180°，∴AB =DN ，∠CDN = 90°.∴EBC ABC FDC CDN ∠−∠=∠−∠， 图2即：∠ABE =∠NDF .∴△ABE ≌△NDF . ……………………………………………………………6分 ∴AE =NF .∴AE =2DM .……………………………………………………………………7分7．（1）解：∵A 、E 关于直线CD 对称，∴∠ACF =∠ECF =α，AC =CE ． ∵∠ACB =90°，∴∠BCE =90°-2α． …………………………………………… 1分 ∵AC =CE ， ∴CB =CE ． ∴∠CBF =∠CEB =12(180°-∠BCE )=45°+α． …………………… 2分 ∠CFB =∠CEB -∠ECF =45°+α-α=45°． …………………… 3分（2）线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系AF +BF CF ． ……………… 4分证明：过C 作MC ⊥CF 于C 交F A 的延长线于点M ． ∵A 、E 关于FC 对称 ∴∠AFC =∠CFE =45°． ∵MC ⊥CF∴∠M =∠AFC =45°． ∴MC =FC ．∵∠ACB =∠MCF =90° ∴∠MCA =∠BCF ． 又∵AC =BC ∴△MCA ≌△FCB ．NFE∴MA=FB．∴MF=AF+MA=AF+BF．∵MC=FC，∠MCF=90°∴MF．∴AF+BF．……………………………………………………7分8.暂缺9．（本小题满分7分）（1）①证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB =∠B= 45°．∵AD是BC边上的高，∴∠BAD =∠CAD= 45°．∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE =∠BCE．∵∠AFE =∠CAD+∠ACE，∠AEF =∠B+∠BCE．∴∠AFE =∠AEF．∴AE = AF．②∠CAG= 45°．（2）依题意补全图形．AC=AF+AG．证明：过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M．∵∠CAD= 45°，∴∠M= 45°．∴CA = CM．∴AM．∵∠ACM= 90°，∴∠ACF+∠MCF = 90°．∵∠FCG= 90°，∴∠ACF+∠ACG = 90°．∴∠MCF =∠ACG．∵CF= CG，∴△MCF≌△ACG．∴MF = AG．∴AM =AF +AG．AC=AF+AG．GFED CBAB………… 2分………… 3分………… 7分10．(本题满分7分)解：(1)依题意补全图形，如图．线段CE与BF的数量关系：CE＝BF．证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠CDE＝90°．∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠CAE＝∠DCE．在△ACE和△CBF中，∠AEC＝∠CFB＝90°，∠CAE＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF．……………………………………………3分(2)线段AE，BF，FG之间的数量关系：AE－BF．证明：连接CG，EG，设CF与AB交于点H．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点G为AB中点，∴CG⊥AB，CG＝BG＝12 AB．∵∠CGH＝∠BFH＝90°，∠CHG＝∠BHF，∴∠GCH＝∠FBH．由(1)得△ACE≌△CBF，∴AE＝CF，CE＝BF．在△GCE和△中，CG＝BG，∠GCE＝∠GBF，CE＝BF，∴△GCE≌△GBF，∴GE＝GF，∠CGE＝∠BGF，∴∠EGF＝∠EGB＋∠BGF＝∠EGB＋∠CGE＝∠CGB＝90°，∴△GEF是等腰直角三角形，∴EF．∵CF－CE＝EF，CF＝AE，CE＝BF，∴AE－BF．……………………………………………7分GFE DCB AH。

2024年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（）A．B．C．D．2．（2分）2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A．1.33×107B．13.3×105C．1.33×106D．0.13×107 3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（2，3）4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A．|a|＜|b|B．a+1＜b+1C．a2＜b2D．a＞﹣b5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）在反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）6．（2分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90°C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C 7．（2分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A．B．C．D．8．（2分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（）（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）因式分解：2xy2﹣18x＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（2分）为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如表所示：锻炼时间x5≤x＜66≤x＜77≤x＜8x≥8学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有____人．14．（2分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE＝DA，连接DB．若∠C＝20°，则∠DBE的度数为°．15．（2分）阅读材料：如图，已知直线l及直线l外一点P．按如下步骤作图：①在直线l上任取两点A，B，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AP于点C；②连接BC，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，交BC于点Q；③作直线PQ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN是线段BC的；（2）若△CPQ与△CAB的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．16．（2分）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如表：名称图形顶点数（V）面数（F）棱数（E）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x﹣y﹣9＝0，求代数式的值．20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形．延长BA到点E，使得AE＝AB，延长DA到点F，使得AF＝AD，连接BD，DE，EF，FB．（1）求证：四边形BDEF是矩形；（2）若∠ADC＝120°，EF＝2，求BF的长．21．（5分）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD的长第一次 1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y＝10，则钟楼的高度约为____米．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm），数据整理如下：a.1班1681711721741741761771792班168170171174176176178183b．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是cm．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠EAC＝∠CAB，直线CD⊥AE于点D，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当，CD＝4时，求BF的长．25．（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB＝1.5m．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：水平距离x/m01234飞行高度y/m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1d2（填“＞”，“＜”或“＝”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+1（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若点（2，1）在该抛物线上，求t的值；（2）当t≤0时，对于x2＞2，都有y1＜y2，求x1的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是BC边上的点，，连接AD．过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F．连接AF交BC 于点G．（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系；（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时，①补全图形；②∠DAF与∠BAC在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD，DG，CG之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d．（1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为；（2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为；（3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．2024年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．【解答】解：A、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、长方体俯视图是矩形，故此选项符合题意；C、三棱锥俯视图是三角形（三角形内部有一点与三角形的三个顶点相连接），故此选项不合题意；D、圆柱俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1330000＝1.33×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据平行四边形的对边相等，对边平行求解即可．【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴顶点D的坐标为（3，2），故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．4．【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1，∴|a|＞|b|，∴选项A不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，∴a+1＜b+1，∴选项B符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴1＜a2＜4，0＜b2＜1，∴a2＞b2，∴选项C不符合题意；∵0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∵﹣2＜a＜﹣1，∴a＜﹣b，∴选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．5．【分析】根据反比例函数比例系数k＝xy（k≠0），依次判断各个选项即可．【解答】解：根据题意得，k＝xy＝1×2＝2，∴将A，B，C，D四个选项中点的坐标代入得到k＝6的点在反比例函数的图象上．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是运用xy＝k解决问题．6．【分析】根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C，故A、B、C不符合题意，D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．7．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种，∴两次摸出的小球标号相同的概率为．故选：B．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．8．【分析】设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，根据正五边形的性质可得∠AOB＝72°，△AOB的面积＝m2，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：∠AOF＝36°，AB＝2AF，从而设OF＝x m，再在Rt△OAF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：如图：设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠AOB＝＝72°，△AOB的面积＝正五边形的面积＝m2，∵OA＝OB，OF⊥AB，∴∠AOF＝∠AOB＝36°，AB＝2AF，设OF＝x m，在Rt△OAF中，AF＝OF•tan36°≈0.7x（m），∴AB＝2AF＝1.4x（m），∴AB•OF＝，•1.4x•x＝，解得：x≈3.71，∴AB＝1.4x≈5.2（m），∴该正五边形的边长大约是5.2m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据被开方数不小于零的条件【解答】解：由题可知，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．10．【分析】提取公因式后再用平方差公式分解即可．【解答】解：2xy2﹣18x＝2x（y2﹣9）＝2x（y+3）（y﹣3）．故答案为：2x（y+3）（y﹣3）．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法和提取公因式法是关键．11．【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出3（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘x（x﹣3），得3（x﹣3）＝2x，3x﹣9＝2x，3x﹣2x＝9，x＝9，检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以分式方程的解是x＝9．故答案为：x＝9．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．【分析】总人数乘以样本中体育锻炼时间不低于7小时的人数所占比例即可．【解答】解：估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500×＝240（人），故答案为：240．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．14．【分析】由∠A＝90°，∠C＝20°，求得∠ABC＝70°，然后证明Rt△EBD≌Rt△ABD，推导出∠DBE＝∠DBA，或根据角平分线的性质证明BD平分∠ABC，求得∠DBE＝∠ABC＝35°，于是得到问题的答案．【解答】解法一：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵DE⊥BC于点E，∴∠BED＝90°，在Rt△EBD和Rt△ABD中，，∴Rt△EBD≌Rt△ABD（HL），∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．解法二：∵∠A＝90°，∠C＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠C＝70°，∵∠A＝90°，∴DA⊥BA，∵DE⊥BC，且DE＝DA，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBA＝∠ABC＝35°，故答案为：35．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明∠DBE＝∠DBA是解题的关键．15．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC 的垂直平分线．（2）由题意可得AP＝CP，CQ＝BQ，可证明△PCQ∽△ACB，根据相似三角形的性质可得答案．【解答】解：（1）由作图过程可知，步骤②得到的直线MN是线段BC的垂直平分线．故答案为：垂直平分线．（2）由作图过程可知，AP＝CP，∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CQ＝BQ，∴，∵∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴S1：S2＝＝．故答案为：．【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．16．【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，则由上面的规律数可以看出，棱数E＝5x，而顶点数V＝×5x，有欧拉公式列出二元一次方程；再由足球表面中所有白皮的边数等于所有黑皮的边数；组成方程组解决问题．【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；故答案为：V+F﹣E＝2；（2）设正五边形x块，正三边形y块，由题意得，解得所以正五边形为12块，正三边形为20块．所以需要准备正三角形和正五边形的材料共32个．故答案为：32．【点评】本题考查等边三角形的性质，欧拉公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7.分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质计算即可．【解答】解：原式＝4﹣2×+1﹣2＝4﹣+1﹣2＝3﹣1．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x＜4，解不等式②，得：x≥﹣2，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】根据2x﹣y﹣9＝0，得2x﹣y＝9，化简约分即可求出答案．【解答】解：∵2x﹣y﹣9＝0，∴2x﹣y＝9，∴＝＝，当2x﹣y＝9时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的值，关键是求出2x﹣y＝9．20．【分析】（1）先证明四边形BDEF为平行四边形，再由菱形的性质得AB＝AD，则BE＝DF，然后由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，再由菱形的性质得∠ADB＝60°，AB ＝AD，进而证明△ABD是等边三角形，得AB＝AD＝BD＝2，则DF＝2AD＝4，然后由勾股定理求出BF的长即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AB，AF＝AD，∴四边形BDEF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AB＝AF＝AD，∴BE＝DF，∴平行四边形BDEF是矩形；（2）解：由（1）可知，AB＝AD，四边形BDEF是矩形，∴∠DBF＝90°，BD＝EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠ADC＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝2，∴DF＝2AD＝4，∴BF＝＝＝2，即BF的长为2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）由同一时刻测量，可得＝，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于x、y的方程；（2）已经求得y＝10，将y＝10代入任一个方程，可求得x的值，即得钟楼的高度．【解答】解：（1）由同一时刻测量，可得＝，第一次测量：，化简得，y＝0.6x﹣15.8，第二次测量：＝，化简得，y＝0.7x﹣20.1，故答案为：y＝0.6x﹣15.8，y＝0.7x﹣20.1；（2）对于y＝0.6x﹣15.8，代入y＝10，得，0.6x﹣15.8＝10，解得：x＝43，∴钟楼AB＝43米，故答案为：43．【点评】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到＝是本题的关键．22．【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），可得，即可解得一次函数的解析式为y＝x+1；从而求出B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，根据当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，可得﹣3+m≥0，可解得答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A （3，2），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；在y＝x+1中，令y＝0得0＝x+1，解得x＝﹣3，∴B的坐标为（﹣3，0）；（2）当x＝﹣3时，y＝x+m＝﹣3+m，y＝x+1＝×（﹣3）+1＝0，∵当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于一次函数y＝x+1的值，∴﹣3+m≥0，解得m≥3，∴m的取值范围是m≥3．【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式﹣3+m≥0解决问题．23．【分析】（1）根据中位数和众数概念，即可作答；（2）根据方差的概念，即可作答；（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班第6位首发选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．【解答】解：（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183从中可以看出一共八个数，第四个数据为174、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：（174+176）÷2＝175，故m＝175；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n＝176；故答案为：175、176．（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于168﹣179，2班的身高分布于168﹣183，从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，故答案为：1．（3）（171+172+174+174+176+177）÷6＝174（厘米）设2班第六位选手的身高为x厘米，则（171+174+176+176+178+x）÷6≥174，x≥169，据此，第六位可选的人员身高为170、183，若为170时，2班的身高数据分布于170﹣178，若为183时，2班的身高数据分布于171﹣183，从中可以看出当身高为170时的数据波动更小，更加稳定，所以第六位选手的身高应该是170厘米，故答案为：170．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，求得∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；（2）设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，根据勾股定理得到OF＝＝x，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∵OC∥AD，∵CDAD，∴OC⊥DF，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：∵，∴，设OC＝x，则CF＝2x，AO＝OB＝x，∴OF＝＝x，∵OC∥AD，∴△AFD∽△OFC，∴，∴，∴x＝2，∴BF＝OF﹣OB＝10﹣2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）令y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35中x＝0，求出y的值即可（或由表格信息直接得出）；（2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可；（3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，再比较即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+2.35＝1.1，故击球点的高度为1.1m；（2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为（3，2），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2，过点（4，1.9），∴1.9＝a（4﹣3）2+2，解得a＝﹣0.1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+2，（3）∵第一次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.2（x﹣2.5）2+2.35．解得x1＝+2.5，x2＝﹣+2.5＜0（舍去），∴d1＝+2.5﹣1.5＝+1，∵第二次练习时，当y＝0时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+2．解得x1＝+3，x2＝﹣+3＜0（舍去），∴d2＝+3﹣1.5＝+1.5，∵+1＜+1.5，∴d1＜d2，故答案为：＜【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．26．【分析】（1）点（2，1）代入解析式求得b＝﹣2a，进一步即可求得t＝1；（2）根据二次函数的性质即可得到x1的取值范围．【解答】解：（1）∵点（2，1）在该抛物线∴4a+2b+1＝1，∴b＝﹣2a，∴t＝﹣＝1；（2）∵t≤0时，x2＞2，∴N（x2，y2）的对称点的横坐标x3＜﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）开口向上，y1＜y2，∴﹣2≤x1≤2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）运用等腰三角形性质可得AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，再证明A、E、F 在同一条直线上，即可得出答案；（2）①按照题意作图即可；②过点A作AH⊥BC于点H，可证得△ADH≌△DFE（AAS），得出AD＝DF，即△ADF是等腰直角三角形，即可证得结论；（3）将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，可证得∠DBG′＝90°，运用勾股定理可得BD2+BG′2＝DG′2，再证得△ADG′≌△ADG（SAS），即可得出答案．【解答】解：（1）当点D与点B重合时，∠DAF＝∠BAC，理由如下：如图1，∵点D与点B重合，点D，E是BC边上的点，且DE＝BC，∴E是BC的中点，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC，∵EF⊥BC，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠BEF＝180°，即A、E、F在同一条直线上，∴∠BAF＝∠BAC，即∠DAF＝∠BAC；（2）①补全图形如图2所示：②∠DAF＝∠BAC仍然成立，理由如下：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHD＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠AHD＝∠DEF，∵∠ADH+∠FDE＝∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠FDE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，∴AH＝BC，∵DE＝BC，∴AH＝DE，∴△ADH≌△DFE（AAS），∴AD＝DF，∵∠ADF＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAC；（3）BD2+CG2＝DG2，理由如下：如图4，将△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，则BG′＝CG，AG′＝AG，∠ABG′＝∠ACG，∠BAG′＝∠CAG，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACG＝45°，∴∠ABC+∠ABG′＝90°，即∠DBG′＝90°，∴BD2+BG′2＝DG′2，由（2）知∠DAF＝45°，即∠DAG＝45°，∴∠BAD+∠CAG＝45°，∴∠BAD+∠BAG′＝45°，即∠DAG′＝45°，∴∠DAG′＝∠DAG，在△ADG′和△ADG中，，∴△ADG′≌△ADG（SAS），∴DG′＝DG，∴BD2+CG2＝DG2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）根据定义得出点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，进而得出结果；（2）延长NQ，MP交于点A，得出四边形ANOM是矩形，AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），从而得出OA＝＝，进而得出结果；（3）设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，可得出△PBQ是等边三角形，可得出点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，从而得出当点B越往上，MN越大，从而推出当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小；当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，可求得AE＝，AF＝OF＝EF＝2，从而得出BF和BE的值，进而得出BM和BN的值，进一步得出结果；当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵点P到x轴的距离为：1，点Q到y轴的距离为：2，∴线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为：1+2＝3，故答案为：3；（2）如图1，延长NQ，MP交于点A，∵QN⊥y轴，PM⊥x轴，∴∠ANO＝∠AMO＝90°，∵∠MON＝90°，∴四边形ANOM是矩形，∴∠NAM＝90°，MN＝AO，∵线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动，∴∠AQP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），∴OA＝＝，∴当m＝1时，OA＝2，最小∴MN的最小值为：2，故答案为：2；（3）如图2，1设直线y＝﹣x+b与x轴交于D，交直线y＝﹣于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，∴∠CDO＝∠OCD＝30°，∵QN⊥l2，PM⊥x轴，∴∠CNQ＝∠PMD＝90°，∴∠BQP＝∠CQN＝60°，∠BPQ＝∠MPD＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴∠QBP＝60°，AB⊥PQ，∠PBA＝30°，∴点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，∴当点B越往上，MN越大，∴当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小，如图3，当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，∴AP⊥BM，∴AB＝2AP＝2，∵∠AOE＝90°，∠OAE＝∠PBA＝30°，OA＝2，∴AE＝，∵∠FOE＝∠FEO＝60°，∴∠OFE＝60°，∴∠OAF＝∠AOF＝30°，∴AF＝OF＝EF＝2，∴BF＝AF+AB＝4，BE＝AE+AB＝6，∴BN＝BF•sin∠BFN＝4•sin60°＝2，BM＝BE•sin∠FEO＝6•sin60°＝3，∴MN2＝BN2+BM2﹣BN•BM＝（2）2+＝21，∴MN＝，如图4，当直线y＝﹣与⊙A相切时，MN最小，∵PF＝AF﹣AP＝2﹣1＝1，EQ＝AE﹣AQ＝4﹣1＝3，∴PN＝PF＝，QM＝EQ＝，∴MN2＝PN2+QM2﹣PN•QM＝，∴MN＝，∴．【点评】本题考查了新定义的阅读理解，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化题意。

2024北京人朝分校初三一模数学一.选择题（共16分，每小题2分）1．（2分）右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．圆锥D．圆柱2．（2分）2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元，将39500用科学记数法表示应为（）A．395×102B．3.95×104C．3.95×103D．0.395×1053．（2分）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝60°，∠BOE＝40°，则∠DOE的度数为（）A．60°B．40°C．20°D．10°5．（2分）正六边形的外角和是（）A．720°B．540°C．360°D．180°6．（2分）已知关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．﹣1B．0C．2D．17．（2分）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x 的函数关系的图象可能是（）A． B． C． D．8．（2分）如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．给出下面四个结论：①AE+CE≥a；②CE≤a；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE＝a时，tan∠ABE＝．上述结论中，所有正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①④D．①③④二.填空题（共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：3x2﹣12＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（﹣2，n），则m+n＝．13．（2分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是米．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD．若∠BAC＝40°，则∠D＝°．15．（2分）用一组a，b，m的值说明“若a＜b，则ma＞mb”是错误的，这组数可以是a＝，b ＝，m＝．16．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：（填“45分钟”的可能性最大． 三.解答题（共52分） 17．计算：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0．18．解不等式组：．19．已知x 2﹣x ﹣3＝0，求代数式（x +2）（x ﹣2）﹣x （2﹣x ）的值． 20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．（1）使用直尺和圆规，作AD ⊥BC 交BC 于点D （保留作图痕迹）； （2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ． ①∠BEC ＝ °；②写出图中一个与∠CBE 相等的角 ．21．如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠CAD ＝90°，点E 在BC 上，AE ∥DC ，EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分∠BAC ，BE ＝5，cos B ＝，求BF 和AD 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x 轴交于点A．（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．23．列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24．如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．25．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：1，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+c（k≠0）．则b＝，c＝，k＝；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A x B（填“＞”，“＝”或“＜”）．26．在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α（45°＜α＜90°）D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE．将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：∠B＝∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．（1）若点P在直线y＝2x上；①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是；②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标x P的取值范围；（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．参考答案一.选择题（共16分，每小题2分）1．【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，可知该几何体是柱体，又因为俯视图是长方形，故该几何体是长方体．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个长方形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：39500＝3.95×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是＝，故选：D．【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．4．【分析】由对顶角的性质得到∠BOD度数，而∠BOE＝40°，即可求出∠DOE的度数．【解答】解：∵∠BOD＝∠AOC＝60°，∠BOE＝40°，∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题考查对顶角，角的计算，关键是掌握对顶角的性质．5．【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．【解答】解：六边形的外角和是360°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关．6．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝0，然后解一次方程即可【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝0，解得a＝1．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．7．【分析】由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得z＝mkx+mb，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【解答】解：由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得：z＝m（kx+b）＝mkx+mb，∴z与x的函数关系为一次函数关系，∵k＜0，b＞0，m＞0，∴mk＜0，mb＞0，∴z与x的函数图象过一、二、四象限．故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．8．【分析】根据正方形性质和切线的性质定理逐项分析判断即可．【解答】解：①连接AC，△ABC为等腰直角三角形，AC＝a，所以AE+CE≥a正确；②连接CO，OC＝＝，CE最小＝＝，故CE≥a；故②错误；③当CE与圆O相切时，∠BCE最大，此时∠BCE＝2∠OCB，若∠BCE＝60°，则∠BCO＝30°，tan30＝，但此时tan∠BCO＝③错误；④当CE＝a时，CE与圆O相切，tan∠ABE＝tan∠BCO＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质定理，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．二.填空题（共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．【解答】解：由题意可得，∴x﹣1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．【点评】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．10．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．11．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，3x＝2（x+2），解得：x＝4，检验：当x＝4时，x（x+2）≠0，∴x＝4是原方程的根，故答案为：x＝4．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．12．【分析】根据反比例函数系数k＝xy得到2m＝﹣2n，即m＝﹣n，即可得到m+n＝0．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（﹣2，n），∴2m＝﹣2n，∴m＝﹣n，∴m+n＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数系数k＝xy得到2m＝﹣2n是解题的关键．13．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴＝，∴AB＝2（m），答：树的高度AB长是2m，故答案为：2．【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．14．【分析】连接BC．利用三角形内角和定理求出∠B，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∵∠CAB＝40°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝50°，∴∠ADC＝∠B＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】根据不等式的性质即可求得答案．【解答】解：若a＝2，b＝3，m＝4时，那么ma＝4×2＝8，mb＝4×3＝12，此时a＜b，但ma＜mb，那么原结论错误，故答案为：2（答案不唯一）；3（答案不唯一）；4（答案不唯一）．【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．16．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．三.解答题（共52分）17．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0＝6×﹣3+5﹣1＝3﹣3+5﹣1＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同19．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）＝x2﹣4﹣（2x﹣x2）＝x2﹣4﹣2x+x2＝2x2﹣2x﹣4，∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2﹣x＝3，则原式＝2（x2﹣x）﹣4＝2×3﹣4＝2．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线得到AD；（2））①根据等腰三角形的性质得到DB＝DC，则BC为⊙O的直径，然后根据圆周角定理得到∠BEC ＝90°；②先利用AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，再根据圆周角定理得到∠CFB＝∠BEC＝90°，根据等角的余角相等得到∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴DB＝DC，AD平分∠BAC，∴BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°；故答案为：90；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴BC为⊙O的直径，∴∠CFB＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠BCF，∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．故答案为：∠BCF（答案不唯一）．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．21．【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论；（2）先由锐角三角函数定义求出BF＝4，再由勾股定理求出EF＝3，然后由角平分线的性质得EC＝EF ＝3，最后由平行四边形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BFE＝90°，∵cos B＝＝，BE＝5，∴BF＝BE＝×5＝4，∴EF＝＝＝3，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，∴EC＝EF＝3，由（1）得：四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC＝3．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．22．【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝﹣x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；（2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），∴，解得，该一次函数的表达式为y＝﹣x+1，令y＝0，得0＝﹣x+1，∴x＝2，∴A（2，0）；（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，∴2x+m＞﹣x+1，∴m＞﹣4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．23．【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．【分析】（1）连接OC，先证AB是CD的垂直平分线，从而得AC＝AD，∠DAE＝∠CAE，在Rt△OCE 中，利用锐角三角函数可求出∠COE＝60°，进而可得∠DAE＝∠CAE＝60°，则∠CAD＝60°，据此可得出结论；（2）先利用（1）得结论证明∠CAF＝30°，然后求出AE＝3，进而求出AC＝，最后在Rt△ACG 中根据AC＝，∠CAF＝30°可得CG的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，∴∠DAE＝∠CAE，∵OC＝OB，点E为OB的中点，∴OE＝OB＝OC，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠CAE＝∠COE＝30°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，∴∠D＝60°，∵点F为弧AC的中点，∴∠CAF＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OA＝OB＝2，∵点E为OB的中点，∴OE＝1，∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，cos∠CAE＝，∴AC＝＝＝，在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，∴CG＝AC＝．【点评】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解垂径定理及其推论，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数进行计算是解答此题的关键．25．【分析】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当y＝4时x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意，作图如下．（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．又点（0，25），（10，20）在函数图象上，∴．解得：．∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝kx+c．又（0，25），（10，15）在函数图象上，∴，解得：，∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．故答案为：﹣0.1，25，﹣1；（3）由题意，当y＝4时，场景A中，x A≈21.7，场景B中，4＝﹣x B+25，解得：x B＝21，∴x A＞x B．故答案为：＞．【点评】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．26．【分析】（1）更近抛物线对称轴公式求出即可；（2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，∴＜，∵y1＜y2，a＞0，∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，∴解得：m．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，即可求解；②由余角的性质可得结论；（2）由“SAS”可证△ABE≌△HDE，可得∠BAE＝∠AHD，AB＝DH＝AC，由“SAS”可证△ACF≌△HDF，可得CF＝DF．【解答】解：（1）①解：如图所示，②证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∠B+∠BAD＝90°，∵将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，∴∠EAF＝α＝∠BAD，∵EF⊥AE，∴∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE；（2）解：DF＝CF，理由如下：如图，延长AE至H，使EH＝AE，连接DH，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，又∵AE＝EH，∠AEB＝∠HED，∴△ABE≌△HDE（SAS），∴∠BAE＝∠AHD，AB＝DH＝AC，∵AE＝EH，AE⊥EF，∴AF＝FH，∴∠F AE＝∠FHE＝α，∵∠BAC＝2α，∴∠BAE+∠CAF＝α＝∠AHD+∠FHD，∴∠CAF＝∠FHD，∴△ACF≌△HDF（SAS），∴DF＝CF．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设y＝2x与⊙O交于点M，N，过点N，P分别作x轴的垂线，垂足分别为A，B，根据勾股定理得出x2+y2＝1，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p＝，同理可得p的最小值为﹣即可求解；（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN的最值，即可求解．【解答】解：（1）解：如图所示，PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，故答案为：Q2，Q3．②如图所示，点P在线段RS和UW上，设R（m，2m），在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，解得m＝或m＝﹣（舍），∴x R＝；同理x S＝，x U＝﹣，x W＝﹣，∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵AM≤1，则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，∴OA＝＝，设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，解得x＝，∴≤MN≤4．【点评】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。