新课标高二数学选修1-1《变化率与导数》练习卷

一、选择题1．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞2．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820195．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．D ．6．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞8．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12> 9．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45- 10．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e11．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或412．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________. 15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．17．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.三、解答题21．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 22．已知函数()1x f x e x =--（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．23．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．2．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.3．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．5．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.6．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.7．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+，可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．8．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．B解析：B【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．10．B解析：B 【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n xy e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x=则121x x k e ==所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x =可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=14．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-【分析】求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，由①②得32b a =⎧⎨=-⎩，所以2()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.故答案为：-11. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.15．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-,设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.17．【解析】【分析】利用导数求出切线斜率根据点斜式求得切线方程将圆心坐标代入切线方程进而可得结果【详解】因为切线的斜率所以切线方程为即因为圆的圆心为所以所以实数的值为-4故答案为-4【点睛】本题主要考查 解析：4-【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.18．【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意∴∴所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图象在处的切线方程是 解析：70x y +=【分析】由切线方程求出(1)g ，即可得(1)f ，然后求出(1)f '后可得切线方程． 【详解】由题意9(1)10g +-=，(1)8g =-，∴2(1)(1)17f g =+=-，(1)9g '=-，()()2f x g x x ''=+，∴(1)(1)27f g ''=+=-，所求切线方程为77(1)y x +=--，即70x y +=． 故答案为：70x y +=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 的图象在00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．【分析】求出直线的斜率得直线的斜率再求出直线的切点坐标得方程【详解】的导数为时即的导数为设切点为则∴直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程未知切点时可设切点坐标由其他条件求出 解析：1y x =+【分析】求出直线1l 的斜率，得直线2l 的斜率，再求出直线2l 的切点坐标，得方程． 【详解】ln y x =的导数为1y x'=,1x =时，1y '=，即1k =， x y e =的导数为e x y '=，设切点为11(,)x y ，则11x e =，10x =，011y e ==，∴直线2l 的方程为1y x =+． 故答案为：1y x =+． 【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．三、解答题21．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点．又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

高二数学选修1－1《变化率与导数》练习卷知识点：1、 若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021lim limx x f x f x f x x x ∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．同步练习：1、在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆≠D ．0x ∆=2、设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A ．()0f x x +∆ B ．()0f x x +∆ C ．()0f x x ⋅∆ D ．()()00f x x f x +∆-3、已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则y x∆∆等于（ ） A ．4 B ．4x C ．42x +∆D ．()242x +∆4、自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A ．在区间[]01,x x 上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的变化量 D ．在区间[]01,x x 上的导数5、如果质点M 按规律23s t =+运动，则在一小段时间[]2,2.1中相应的平均速度是（ ）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3 6、如果质点A 按规律32s t =运动，则在3t =s 时的瞬时速度是（ ） A ．6B ．18C ．54D ．817、在()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于08、曲线221y x =+在()1,3P -处的切线方程是（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =-9、函数1y x =-在1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是（ ）A ．4y x =B ．44y x =-C ．()41y x =+D ．24y x =-10、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角是（ ） A ．1B ．4πC ．54π D ．4π-11、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=12、一质点运动的方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度是（ ）A ．36t ∆+B ．36t -∆+C ．36t ∆-D ．36t -∆- 13、设()f x 在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A ．()2f x 'B ．()12f x ' C ．()f x ' D ．()4f x '14、函数()()211y x x =+-在1x =处的导数等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．415、曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是（ ）A ．34y x =-B ．32y x =-+C ．43y x =-+D ．45y x =- 16、函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是（ ） A ．在点0x 处的斜率B ．在点()()00,x f x 处的切线与x 轴所成夹角的正切值C ．曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率D ．点()()00,x f x 与点()0,0连线的斜率 17、已知曲线31433y x =+，则过点()2,4P 的切线方程是____________________． 18、若函数()f x 在0x 处的切线的斜率为k ，则极限()()0002limx f x x f x x∆→-∆-=∆_______．19、若()f x 在0x 处可导，则()()0002limx f x x f x x∆→-∆-=∆________________．20、若()03f x '=-，则()()0003lim h f x h f x h h→+--等于_____________．21、函数1y x x=+在1x =处的导数是___________． 22、已知212s gt =，t 从3秒到3.1秒的平均速度是______________． 23、已知函数32y x =-，当2x =时，yx∆=∆__________．。

一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =3．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)4．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．326．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ） A ．1712-B ．29-C ．14-D ．07．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --8．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++9．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-310．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或411．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．412．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且2a b ==，则sin B =__________．14．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.17．曲线224x y e x x =+-在1x =处的切线方程是_____________ 18．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.19．曲线ln y a x =有一条切线方程为y kx =（a 、k 为常数，且a ≠0、k ≠0），则ak的值为_______.20．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为670x y -+=，求函数()y f x =的解析式.22．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.23．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．24．已知函数()()()()2ln ,1f x x x g x x λλ==-为常数.(1)若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线,求实数λ的值; (2)当1≥x 时, ()()f x g x ≤,求实数λ的取值范围. 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．C解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．5．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥= 当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．B解析：B 【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()11g x x=-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=； 当13x <≤时，令()0f x =得1xkx x -=即11kx x-=，设(),01 11,13xe e xg xxx⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x=与y kx=的图象，如图所示：函数()f x有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x=的图象与y kx=的图象有且仅有3个不同的公共点，当直线y kx=与()11g xx=-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为1,1A xx⎛⎫-⎪⎝⎭，由()21g xx'=-可得此时直线y kx=的斜率()021k g xx'==-，所以0200111xx x-=-，解得02x=，14k=-；当直线y kx=经过点23,3B⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时22339k-==-.所以实数k的最大值为29-.故选：B.【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.7．C解析：C【分析】由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可【详解】由题意得，()sin cosf x x x=+，()10'()cos sinf x f x x x==-，()21'()sin cos f x f x x x ==--， ()32'()cos sin f x f x x x ==-+， ()43()sin cos f x f x x x ==+，以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.8．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2bf x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题9．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值. 【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.10．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =. 故选C. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．【解析】∵∴则∵为三角形内角∴由正弦定理得：得故答案为解析：35【解析】 ∵2ln y x x =-，∴22122x y x x x='+=+ ，则1tan |3x A k y ='===，∵A 为三角形内角，tan 0A >，∴02A π<<，sin A =，2sin B =，得3sin 5B =，故答案为35.14．【解析】因故由题设问题转化为有且仅有一个整数使得或因为所以当时函数单调递增；当时函数单调递减即函数在处取最大值由于因此由题设可知解之得应填答案点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件有且仅有一个整数解析：11ln 21ln 3123a -≤<-【解析】 因ln ()xf x a x=-，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．因为21ln ()xf x x-'=，所以当0x e <<时，()0f x '>，函数ln ()x f x a x =-单调递增；当x e >时，()0f x '<，函数ln ()xf x a x=-单调递减，即函数ln ()xf x a x =-在x e =处取最大值，由于23e <<，因此由题设可知(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，解之得11ln21ln3123a -≤<-，应填答案11ln21ln3123a -≤<-． 点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k ⎡⎤->⎣⎦”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在x e =处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，通过解不等式组使得问题获解．15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-，因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.16．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①解析：③ 【分析】先根据平均变化率的定义，求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解． 【详解】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小，下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2yx ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【分析】求导函数确定曲线在处的切线斜率从而可求切线方程【详解】求导函数可得y 当时y ∴曲线在点处的切线方程为即答案为【点睛】本题考查导数的几何意义考查切线方程属于基础题 解析：20ex y --=【分析】求导函数，确定曲线2y 24xe x x =+-在1x =处的切线斜率，从而可求切线方程． 【详解】求导函数可得y '44x e x =+-， 当1x =时，y 'e =，∴曲线2y 24x e x x =+-在点12e -（，）处的切线方程为()()21,20.y e e x ex y --=-∴--=即答案为20ex y --=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．18．【分析】求得的导数由导数的几何意义可得切线的斜率再由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】在点处的切线方程即故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及切线的方程的求法考查方程思想和运算能力属于基解析：.330x y --= 【分析】求得()4ln 1f x x x =--的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可得所求切线的方程. 【详解】()4ln 1f x x x =--,31()4f x x x'∴=-, (1)3k f '∴==,()4ln 1f x x x ∴=--在点()1,0P 处的切线方程03(1)y x -=-,即330x y --=， 故答案为：330x y --= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.19．e 【分析】设切点坐标对求导后表示出切线方程即可计算出结果【详解】设切点为由可得则则曲线在切点处的切线方程为把代入可得则则切点为即故答案为：【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程根据题意即可得到结果解析：e【分析】设切点坐标，对ln y a x =求导后表示出切线方程，即可计算出结果. 【详解】设切点为()00,ln x a x ，由ln y a x =可得a y x'= 则0x x a y x ='=则曲线ln y a x =在切点处的切线方程为()000ln ay a x x x x -=- 把()0,0代入可得0ln a x a -=-，则0x e = 则切点为(),e a ，,a k e =即a e k= 故答案为：e 【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程，根据题意即可得到结果，本题较为基础.20．【分析】根据题意可判断利用函数的导数转化求解的最大值从而求出的取值范围【详解】由题意当时函数且的图象与一次函数的图象没有交点设当时指数函数且的图象与一次函数的图象恰好有两个不同的交点则设且与相切于则解析：1(1,)ee【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0x y a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >， 设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0x y a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题21．32()33 2.f x x x x =--+【分析】由32()f x x bx ax d =+++在点M （－1，f （－1））处的切线方程为670x y -+=，可得(1)671,'(1)6-=-+=-=f f ，再由()f x 的图象经过P （0，2），可列出关于a ,b ,d 的方程，解方程组即可得出解析式. 【详解】由()f x 的图象经过P （0，2），知d =2，所以32()2,=+++f x x bx ax2()32=+'+f x x bx a 在M （－1，f （－1））处的切线方程是670x y -+=，知(1)671,'(1)6-=-+=-=f f326121b a b a -+=⎧∴⎨-+-+=⎩解得33b a =-⎧⎨=-⎩故所求的解析式是32()33 2.f x x x x =--+ 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了运算求解能力和逻辑能力，属于基础题目.22．（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min ()19F x =--，max ()19F x =-. 【分析】（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数32()3f x x x x m =+-+图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值； （2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值. 【详解】（1）联立2223y x ay x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或05=3x -当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -时，0133y =-，12525132025279327m m ∴-+++=-⇒=- 2m ∴=或20227m =-（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2()31F x x '∴=-令()0F x '≥则x -≤≤11x ≤≤；令()0F x '<则x <<()F x ∴在1,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在33⎡-⎢⎣⎦，上单调递减又(1)(1)1F F -==-，(1F -，1⎝⎭min ()139F x F ∴==--，max ()(139F x F =-=- 【点睛】此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题. 23．14y x =-,33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率，构造方程，求解即可. 【详解】∵直线过原点，∴()0000y k x x =≠． 由点()00,x y 在曲线C 上，得32000032y x x x =-+，∴2000032y x x x =-+． 又∵2362y x x =-+'，∴在点()00,x y 处曲线C 的切线的斜率()2000362k f x x x =-'=+，∴22000032362x x x x -+=-+，整理得200230x x -=，解得()00302x x =≠． 这时，038y =-，14k =-． 因此，直线l 的方程为14y x =-，切点的坐标是33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义、求函数的导数；“已知”曲线的切点时，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率. 24．（1）12λ=. （2）12λ≥. 【分析】（1）根据题意，求出f （x ）与g （x ）的导数，由导数的几何意义可得f'（1）=g'（1），则2λ=1，解可得λ的值，即可得答案；（2）根据题意，设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=xlnx ﹣λ（x 2﹣1），则原问题可以转化为h （x ）≤0对∀x ∈[1，+∞）恒成立，求出h （x ）的导数，利用导数与函数单调性的关系，分析可得答案． 【详解】 (1)由题意得,又,且函数与在处有相同的切线,,则,即.(2)设,则对恒成立.,且,即.另一方面,当时,记,则.当时,在内为减函数, 当时,,即在内为减函数,当时,恒成立,符合题意.当时, ①若,则对恒成立,在内为增函数,当时,恒成立,不符合题意.②若,令,则在内为增函数,当时,,即在内为增函数,当时,,不符合题意,综上所述.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 25．(Ⅰ)y=2e (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程； （Ⅱ）法一：，令f '（x ）＝0，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最小值，只需证明，，，设，其中x ＞2，利用导函数转化求解即可；法二：设，其中x ＞0，，推出F （x ）在区间（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以函数F （x ）在x ＝2时取得最小值，而，推出结果即可；法三：因为“对任意的x＞0，”等价于“对任意的x＞0，”，只需证“x＞0时，2e x+e（a﹣x2）＞0”，设g（x）＝2e x+e（a﹣x2），其中x≥0，g'（x）＝2e x﹣2ex，设h（x）＝g'（x），h'（x）＝2e x﹣2e，求出函数的极小值，通过g（x）在（0，+∞）上单调递增，得g（x）＞g（0），转化证明即可．【详解】（Ⅰ）因为所以当时，所以，而曲线在处的切线方程为（Ⅱ）法一：因为，令得显然当时，所以，，在区间上的变化情况如下表:极小值所以在上的最小值为，所以只需证明因为，所以设，其中所以当时，，所以在区间单调递增，因为，所以，问题得证法二：因为，所以当时，设，其中所以所以，，的变化情况如下表:所以在区间上单调递减，在上单调递增，所以函数在时取得最小值，而所以时所以，问题得证法三：因为“对任意的，”等价于“对任意的，”即“，”，故只需证“时，”设，其中所以设，,令，得所以，，的变化情况如下表:极小值所以所以时，，所以在上单调递增，得而，所以问题得证【点睛】本题考查导数的应用，切线方程的求法以及函数的导数判断函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及计算能力． 26．(Ⅰ)y ex =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】分析：（1）设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程；（2）先证得()f x ex ≥，再证()ex g x >即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，求得最值大于0即可. 详解：（Ⅰ）设切点()00,P x y ，则00xy e =，()/x fx e =，()0/0xf x e =，切线方程为：()()/000y y fx x x -=-，即：()00x xy e e x x -=-，将原点()0,0O 带入得： ()00000x x e e x -=-，01x =，切线方程为：y ex =.（Ⅱ）设()()xh x f x ex e ex =-=-，()0,x ∈+∞，()/,xh x e e =- ()/0h x =，则1x =.当()0,1x ∈时，()/0h x <，当()1,x ∈+∞时，()/0h x >，则()()min 10h x h ==，所以()0h x ≥，即：()0,x ∈+∞当时，()f x ex ≥. 设()()11ln 2ln 222v x ex g x ex x x e x x ⎛⎫=-=--+=+-- ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞， ()/112v x e x=+-，()/0v x =，112x e =+，当10,12x e ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭时，，当1,12x e ⎛⎫⎪∈+∞ ⎪ ⎪+⎝⎭时，，则()min1111ln 21112222v x v e e e e ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫==+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 11ln 21ln 202e e ⎛⎫=++->+-= ⎪⎝⎭，所以()0v x >，即：()0,x ∈+∞当时，()ex g x >， 所以()()()0,,x f x g x ∈+∞>当时.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣4．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()()3ln f x x a x =+-，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是1，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．6．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e=或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 7．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．538．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 9．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--10．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e12．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.15．已知曲线1n y x +=在2x =处的切线与y 轴交点的织坐标为n a ，其中*n N ∈，则数列1{}2nn a +的前50项和的值为________. 16．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 17．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______ 18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 22．函数在点处的切线方程为，若在区间上，恒成立，求的取值范围.23．已知曲线()()1xf x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3xg x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．25．已知曲线3212313y x x x =-+-+. （1）求该曲线斜率为-3的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为P ，过点P 作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最小值.26．已知函数2()()xf x e x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x x e x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x '=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =，两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数 ∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.3．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =， 则相切时斜率625k =-故要满足题意，只需(0,625k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.4．C解析：C 【分析】利用奇偶性可求得0x >时()f x 的解析式，根据切线斜率为()1f '可构造方程求得结果. 【详解】当0x >时，0x -<，()3ln f x x a x ∴-=-+，()f x 为奇函数，()()()3ln 0f x f x x a x x ∴=--=->， ()23af x x x'∴=-，()131f a '∴=-=，解得：2a =. 故选：C . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，涉及到利用函数奇偶性求解函数解析式的问题5．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.6．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.7．D解析：D 【分析】由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】()323212f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，由题意得()1310f a '=-=，解得13a =，()32132132f x x x x ∴=-++，()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()283522221323f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.8．C解析：C 【分析】设点B 的坐标为(),ln m m ，根据直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，得到t 关于m 的表达式，再利用两点间的距离公式结合AB 的最小值为m 的值，即可得出实数t 的值. 【详解】设点B 的坐标为(),ln m m ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 由题意可知，直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，则ln AB t mk m m-==--， 得2ln t m m =+，由两点间的距离公式得AB ==由于AB 的最小值为4212m m +=，0m >，解得m =，因此，133ln 32t =+=+.故选：C. 【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.10．C解析：C 【分析】 求导得到()1'sin 2f x x x =-，根据奇偶性排除BD ，特殊值计算排除A 得到答案. 【详解】()21cos 4f x x x =+，则()1'sin 2f x x x =-，则函数()'f x 为奇函数，排除BD ；()'02f ππ=>，排除A ；故选：C . 【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.11．B解析：B 【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n xy e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x=则121xx k e ==所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得 ()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x =可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.12．C解析：C 【分析】先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项. 【详解】()cos f x x x '=，()cos f x x x '=为奇函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有()0f x '>，故选C.【点睛】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.二、填空题13．1或【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标求出导数值得到两切线方程由两切线重合得斜率和截距相等从而求得切线方程的答案【详解】设与和的切点分别为由导数的几何意义可得曲线在在点处的切线方程为即曲线在点处解析：1或1e【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案． 【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e-=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k ex -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．14．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-，因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.15．【分析】求导得到根据切线公式得到切线方程故再计算前50项和得到答案【详解】则故故切线方程为：取得到前50项和为故答案为：【点睛】本题考查了切线方程通项公式数列求和意在考查学生的计算能力和综合应用能力 解析：1275-【分析】求导得到()()'1nf x n x =+，根据切线公式得到切线方程()()11222nn y n x +=+-+，故()12122n n n a n +=-++，12nn a n +=-，再计算前50项和得到答案. 【详解】()1n y f x x +==，则()()'1n f x n x =+，故()()'212n f n =+，()122n f +=故切线方程为：()()11222nn y n x +=+-+，取0x =，得到()12122n n n a n +=-++.()1112n n a n n +=-++=-，前50项和为()1505012752+-⨯=-.故答案为：1275-. 【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16．【分析】根据题意求出的导数计算可得的值由导数的几何意义可得由三角函数的恒等变形公式可得代入数据计算可得答案【详解】解：根据题意曲线其导数则；故答案为：【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程关键是解析：12-【分析】根据题意，求出3y x =的导数，计算可得1|x y ='的值，由导数的几何意义可得tan 3α=，由三角函数的恒等变形公式可得222222sin cos 12tan cos sin 21cos sin cos tan ααααααααα---==++，代入数据计算可得答案． 【详解】解：根据题意，曲线3y x =，其导数23y x '=，1|3x y =∴'=，tan 3α∴=，则22222222sin cos 12tan 1231cos sin 22sin cos 1312cos cos sin cos tan αααααααααααα---⨯-=-====-+++；故答案为：12- 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．17．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222xx S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.18．【分析】根据导数的几何意义得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜率为根据两直线垂直可得到参数值再求出在两点处的切线方程求出两直线的交点即可【详解】对函数求导得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜解析：11(1,1)e e+-【分析】根据导数的几何意义得到在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，根据两直线垂直可得到参数值，再求出在两点处的切线方程，求出两直线的交点即可. 【详解】对函数求导得到()21ln 1x f x ax -'=-，在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，因为两直线垂直，故得到a=12,()22(1ln )1x f x x '-=-, 切线1l 的切点为()()1,1f ，即()1,1，切线2l 的切点为2,e e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，根据点斜式写出直线方程得到：1l 为y=-x+2,2 l 为2y x e =-，联立两条直线得到交点坐标为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.故答案为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【点睛】点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．【分析】求导函数确定其值域即可求出的取值范围【详解】的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查函数的值域考查学生的计算能力属于基础题 解析：[1,0)-【分析】求导函数，确定其值域，即可求出tan α的取值范围． 【详解】41xy e =+， 2441(1)2x x x xe y e e e --∴'==+++，1124,01421x xx x e e e e++≥∴<≤++, 10y ∴-≤'<， tan α∴的取值范围是[1,0)-．故答案为：[1,0)-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题21．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>，∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+3．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --5．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++= D ．10x y ++=6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-37．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．588．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D．()1-9．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ） A ．20072008B ．20092010C ．20082009D ．2010201110．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定二、填空题13．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________． 14．已知f （x ）＝lnx ，g （x ）12=x 2+mx 72+（m ＜0），直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切，且与函数f （x ）的图象的切点为（1，f （1）），则m 的值为_____． 15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.17．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____.18．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b =___________． 19．已知函数f(x)＝e x －mx ＋1的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是_________.20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+．（1）求导函数()'f x ；（2）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+，求a ，b 的值．22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=+-，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()1(1)f ，处的切线方程； （2）若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数32()1f x x ax bx =++-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为81y x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()y f x =在区间()1,4-上的极值．24．已知函数()ln x f x ae b x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)1y e x =-+． （1）求a ，b 的值； （2）求证：()2f x >． 25．已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【详解】 ∵，∴，∴，可知应该为奇函数，且当02t π<<时，故选B ．考点：利用导数研究函数的单调性.2．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.4．C解析：C 【分析】由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x ，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可 【详解】由题意得，()0sin cos f x x x =+，()10'()cos sin f x f x x x ==-， ()21'()sin cos f x f x x x ==--，()32'()cos sin f x f x x x ==-+， ()43()sin cos f x f x x x ==+，以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.5．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值. 【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=1'(2)2f ⇒=3(2)2f = ()()2'()()'()f x f x x f x h x h x x x -=⇒=()3112248h -'==- 故答案选C 【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.8．B解析：B 【分析】求出导数()f x '，设切点为00(,)x y ，写出切线方程，由切线过点(1,0)可得0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，由根的分布可求得a 的范围． 【详解】由题意22()x af x x -'=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为200020()x a y y x x x --=-， 切线过点(1,0)，则22000200(1)x a x a x x x +--=-，化简得20020x ax a +-=，由题意此关于0x 的方程的两根为,A B x x ，由0A B x x <<得0A B x x a =->，0a <，2440a a ∆=+>，0a >或1a <-，∴1a <-，记2000()2g x x ax a =+-，则(1)10g a =+<，所以1(,)A B x x ∈，∵1是(,)A B x x 上的唯一整数，∴(0)0(2)430g a g a =->⎧⎨=+≥⎩，解得43a ≥-，∴413a -≤<-．故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题．解题方法是求出导数，设出切点坐标得出切线方程，由切线过点10（，）得出0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，问题转化为二次方程根的分布问题．9．B解析：B 【分析】求出()f x '，将1x =代入，得到切线斜率，从而得到b 的值，利用裂项相消求和，得到n S ，从而得到答案.【详解】因为函数2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，代入1x =，得切线斜率2k b =+， 因为切线l 与直线320x y -+=平行， 所以23b +=，得1b = 所以()2f x x x =+所以21111()1f n n n n n ==-++， 所以11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+ 111n =-+ 所以200912009120102010S =-=. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据切线斜率求参数的值，裂项相消法求和，属于中档题.10．B解析：B 【分析】由题意可知，当0x ≤时显然方程有一个根，问题转化为当0x >时，12x e a x-+=有2个根，即1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解. 【详解】当0x ≤时，()20f x -=即为320x +-=， 即1x =-， 所以方程有1根，又方程()20f x -=恰有3个不同的根， 所以当0x >时，()20f x -=有2个根， 即1(2)x e a x -=-有2个根，所以1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点， 设过原点与1x y e -=相切的直线切点为010(,)x x e -， 则切线斜率0011000()0x x e k f x e x ---'===-， 解得01x =， 所以1k =，所以(2)y a x =-与1x y e -=有2个交点则需21a ->， 即1a <， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.11．C解析：C 【分析】 求导得到()1'sin 2f x x x =-，根据奇偶性排除BD ，特殊值计算排除A 得到答案. 【详解】()21cos 4f x x x =+，则()1'sin 2f x x x =-，则函数()'f x 为奇函数，排除BD ；()'02f ππ=>，排除A ；故选：C . 【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.12．A解析：A【分析】对()f x 求导，令1x =可求出()12f '=，从而可得到()2221f x x x =-+，然后利用二次函数的单调性可比较出()22f a a -+与()1f 的大小关系.【详解】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=， 所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】由题意g′（x ）＝x+m （m ＜0）从而可得直线l 的斜率为切点为（10）；从而求出直线方程联立令△＝0即可求出m 的值【详解】解：由题意故直线l 的斜率为切点为（10）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1【分析】 由题意，1'()f x x=，g ′（x ）＝x +m （m ＜0），从而可得直线l 的斜率为11k f '＝（）＝，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令△＝0即可求出m 的值. 【详解】解：由题意，1'()f x x=， 故直线l 的斜率为11k f '＝（）＝， 切点为（1，0）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1； 即x ﹣y ﹣1＝0；由12x 2+mx 72+=y ，y ＝x ﹣1消y 得， x 2+2（m ﹣1）x +9＝0,故241490m ∆⨯=（﹣）﹣＝，解得，m ＝﹣2（m ＜0）； 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.16．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①【分析】先根据平均变化率的定义，求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解． 【详解】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小， 下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2yx ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0 【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+， 即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．18．【解析】本小题考查导数的几何意义切线的求法令得故切点为代入直线方程得所以解析：ln 21-【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．1y x'=，令112x =得2x =，故切点为(2,ln 2)，代入直线方程，得1ln 222b =⨯+，所以ln 21b =-．19．【分析】先求存在与直线垂直的切线即切线斜率为根据切线的斜率求再取的子集即可【详解】若曲线上存在与直线垂直的切线则对任意的使故所求的取值范围是【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜解析：1(,]e-∞ 【分析】先求存在与直线y ex ＝垂直的切线,即切线斜率为－，根据切线的斜率求m ,再取m 的子集即可. 【详解】()e x f x m '＝－，若曲线C 上存在与直线y ex ＝垂直的切线，则对任意的x ，使e xm －＝－ 1e ，e x m ＝＋ 1e ＞ 1e ，故所求m 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜率的关系.求解中运用了正难则反的补集思想，这是本题解题的突破口.20．【分析】画出的图像再分析与的交点个数即可【详解】画出函数的图像如图所示：先求与相切时的情况由图可得此时设切点为则解得此时斜率又当时与平行也为临界条件故故答案为：【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数解析：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】画出()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图像,再分析()f x 与y ax =的交点个数即可. 【详解】画出函数()f x 的图像,如图所示：先求y ax =与ln y x =相切时的情况,由图可得此时ln y x =,1'y x=设切点为()00,ln x x ,则001ln ax x ax⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得0x e =, 1a e =. 此时x y e =.斜率113e >.又当13a =时13y x =与11,03x x +≤平行也为临界条件.故11,3a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.三、解答题21．（1）()f x '=112ln ---++x x x xae be x beae x x x；（2）1a =，2b =． 【分析】（1）根据导数的运算法则求导；（2）求出(1)f '，由(1)e f ，(1)2f =可求得,a b ．【详解】（1）由1e ()e ln x xb f x a x x-=+，得()1()ln x xbe f x ae x x -'⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭'112ln x x x xae be x be ae x x x---=++． （2）由题意得，切点既在曲线()y f x =上，又在切线(1)2y e x =-+上，将1x =代入切线方程，得2y =， 将1x =代入函数()y f x =，得(1)f b =， 所以2b =．将1x =代入导函数()'f x 中 得(1)f ae e =='， 所以1a =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的运算法则，考查导数的几何意义．函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 的切线方程，则切点坐标为11(,)x y ，写出切线方程111()()y y f x x x '---，代入00(,)x y 求出11,x y 即可得切线方程．22．（1）y e a =+ （2）a e ≥- 【分析】（1）先求出(1)f 与'(1)f ，再利用点斜式即可得到答案.（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0，在求()y f x =的最小值时需分0a ≥，0a <两种情况讨论即可. 【详解】解：（Ⅰ）当1x =时，(1)+f e a =，因为'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x---=+， 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y e a =+．（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0.'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x---=+， 因为1≥x 所以10x -≥， 20x >. ①当0a ≥时，显然+0x e ax >，'22(1)1(+)(1)()()=0x x e x x e ax x f x a x x x---=+≥ 函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =， 显然+0e a ≥，所以0a ≥符合条件.②当0a <时，令()+x h x e ax =，'()+x h x e a =解得=ln()x a -，若ln()1a -≤即0e a -≤<时，'(1)+0h e a =≥ 当1≥x 时，'()+0x h x e a =≥函数()y h x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+0h e a =≥， 当1≥x 时，显然+0x e ax ≥.函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =， 依题意有+0e a ≥，所以0e a -≤<符合条件.若ln()1a ->即a e <-时，显然(1)+0f e a =<，不符合. 综上，若函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，则a e ≥-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常构造函数，转化为最值来处理.23．（1）()32431f x x x x =---（2）极小值为()319f =-,极大值为113327f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出()1f '，由切线斜率为()1f '，得到等式()18f '=-①，再将1x =代入切线方程，得出切点坐标，并将切点坐标代入函数()y f x =的解析式，得到等式②，将等式①②联立求出a 与b 的值，于此可得出函数()y f x =的解析式；（2）对函数()y f x =求导，求出该函数的极值点，分析函数()y f x =在区间()1,4-上的单调性，便可求出该函数在区间()1,4-上的极值。

一、选择题1．设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为'()f x ，且'()f x 是奇函数，则a 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-1 2．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．eC ．ln 2D ．13．已知函数()3213f x x bx =+在()()1,1A f 点处的切线与直线210x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬'⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20192020B ．20192021C ．20202021D ．202120224．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ） A．B．3+ C．6+D．5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45-8．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞9．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5310．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为23，则实数t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 11．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．412．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.17．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____． 18．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b =___________．19．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____. 20．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.三、解答题21．定义在实数集上的函数2()f x x x =+，31()23g x x x m =-+． （1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()()f x g x ≥对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围． 22．（1）已知曲线3y x =，求曲线在1x =处的切线方程； （2）已知直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，求k 的值． 23．已知函数在处取得极值. （1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．25．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数；（2）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围. 26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】∵函数()xxf x e ae -=-∴()x x f x e ae -'=+ ∵()'f x 是奇函数∴(0)0f '=，即10a +=. ∴1a =- 故选D.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数必要不充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式.2．D解析：D 【解析】切线的斜率为1，令11,1y x x==='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =. 3．C解析：C 【分析】由(1)2f '=得出2()f x x x '=+，进而得出111()1f n n n =-'+，利用裂项相消求和法得出答案. 【详解】由题意可得(1)2f '=，()22f x x bx '=+，则122b +=，12b =2()f x x x '∴=+，1111()(1)1f n n n n n ∴==-'++ 202011111112020112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及裂项相消求和法的应用，属于中档题.4．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-，由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断 【详解】①()22ln 2x x '=，故①错误②()31log ln 3x x '=，故②正确 ③()x xee '=，故③正确④()211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故④错误 ⑤()x x x x e e xe '⋅=+，故⑤错误故选：B 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.7．B解析：B 【解析】【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．8．B解析：B 【分析】由题意可知，当0x ≤时显然方程有一个根，问题转化为当0x >时，12x e a x-+=有2个根，即1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解.【详解】当0x ≤时，()20f x -=即为320x +-=， 即1x =-， 所以方程有1根，又方程()20f x -=恰有3个不同的根， 所以当0x >时，()20f x -=有2个根， 即1(2)x ea x -=-有2个根，所以1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，设过原点与1x y e-=相切的直线切点为010(,)x x e-，则切线斜率0011000()0x x e k f x e x ---'===-， 解得01x =， 所以1k =，所以(2)y a x =-与1x y e -=有2个交点则需21a ->，即1a <， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.9．D解析：D 【分析】由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】()323212f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，由题意得()1310f a '=-=，解得13a =，()32132132f x x x x ∴=-++，()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()283522221323f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】设点B 的坐标为(),ln m m ，根据直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，得到t 关于m 的表达式，再利用两点间的距离公式结合AB 的最小值为m 的值，即可得出实数t 的值. 【详解】设点B 的坐标为(),ln m m ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 由题意可知，直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，则ln AB t mk m m-==--， 得2ln t m m =+，由两点间的距离公式得AB ==由于AB 的最小值为4212m m +=，0m >，解得m =，因此，133ln 32t =+=+.故选：C. 【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =. 故选C. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可得选项. 【详解】若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''=--，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()ln 2f x x x =-，则21()f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若3()21f x x x =-+-，则()6f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()xf x xe -=-，则()2(2)xx x f x exe x e ''---=-=-.在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''>，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．二、填空题13．【分析】由题意可知有解即与有交点根据导数的几何意义求出切点结合图象可知的范围【详解】函数与的图象上存在关于轴的对称点在上有解即在上有解在上有解分别设若为的切线则设切点为则结合图象可知故答案为：【点睛解析：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题意可知()()f x g x =-有解，即y lnx =与y ax =有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围. 【详解】函数3()f x lnx x =-与3()g x x ax =-的图象上存在关于x 轴的对称点，()()f x g x ∴=-在(0,)+∞上有解，即33lnx x x ax -=-+在(0,)+∞上有解，lnx ax ∴=，在(0,)+∞上有解，分别设y lnx =，y ax =， 若y ax =为y lnx =的切线，则1y x'=， 设切点为0(x ，0)y ，则01a x =，00ax lnx =， 0x e ∴=，1a e∴=， 结合图象可知，1ae. 故答案为：(-∞，1]e.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y lnx =与y ax =有交点，利用相切求出临界值，在求相切问题时，关键是设出切点，再建立各个量之间的联系，属于中档题.14．【分析】对函数求导由可以求出切线的斜率进而求出切线方程然后求出切线与坐标轴的交点从而求出围成的三角形的面积【详解】对求导而所以曲线在处的切线斜率为1切线方程为切线与坐标轴的交点为（01）和（-10）解析：12【分析】对函数()f x 求导，由()'0f 可以求出切线的斜率，进而求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而求出围成的三角形的面积． 【详解】对()2xf x e x =+求导，()'2xf x e x =+，()0'001f e =+=，而()0001f e =+=，所以曲线在()()0,0f 处的切线斜率为1，切线方程为1y x =+， 切线与坐标轴的交点为（0，1）和（-1，0）， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为111122S =⨯⨯=. 【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．15．【解析】因故由题设问题转化为有且仅有一个整数使得或因为所以当时函数单调递增；当时函数单调递减即函数在处取最大值由于因此由题设可知解之得应填答案点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件有且仅有一个整数解析：11ln 21ln 3123a -≤<-【解析】 因ln ()xf x a x=-，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．因为21ln ()xf x x-'=，所以当0x e <<时，()0f x '>，函数ln ()x f x a x =-单调递增；当x e >时，()0f x '<，函数ln ()xf x a x=-单调递减，即函数ln ()xf x a x =-在x e =处取最大值，由于23e <<，因此由题设可知(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，解之得11ln21ln3123a -≤<-，应填答案11ln21ln3123a -≤<-． 点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k ⎡⎤->⎣⎦”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在x e =处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，通过解不等式组使得问题获解．16．0【分析】由题意列方程组可求即求【详解】∵在点处的切线方程为代入得①又②联立①②解得：故答案为：0【点睛】本题考查导数的几何意义属于基础题解析：0 【分析】 由题意()()'2,3f e e f e ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .【详解】∵在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①.又()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.联立①②解得：1,1a b ==-.0a b ∴+=.故答案为：0. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.17．【分析】根据导数的几何意义得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜率为根据两直线垂直可得到参数值再求出在两点处的切线方程求出两直线的交点即可【详解】对函数求导得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜解析：11(1,1)e e+-【分析】根据导数的几何意义得到在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，根据两直线垂直可得到参数值，再求出在两点处的切线方程，求出两直线的交点即可. 【详解】对函数求导得到()21ln 1x f x ax -'=-，在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，因为两直线垂直，故得到a=12,()22(1ln )1x f x x '-=-, 切线1l 的切点为()()1,1f ，即()1,1，切线2l 的切点为2,e e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，根据点斜式写出直线方程得到：1l 为y=-x+2,2 l 为2y x e =-，联立两条直线得到交点坐标为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 故答案为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.【点睛】点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.18．【解析】本小题考查导数的几何意义切线的求法令得故切点为代入直线方程得所以 解析：ln21-【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．1y x'=，令112x =得2x =，故切点为(2,ln 2)，代入直线方程，得1ln 222b =⨯+，所以ln 21b =-．19．-2【解析】【分析】根据题意由的解析式对其求导可得令可得：可解得的值即可得函数的解析式将代入解析式计算可得答案【详解】根据题意函数则其导函数令可得：解得则所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关求函数解析：-2 【解析】 【分析】根据题意，由()f x 的解析式对其求导可得2'()34'(1)f x x f x =+，令1x =可得：'(1)34'(1)f f =+，可解得'(1)f 的值，即可得函数()f x 的解析式，将1x =-代入解析式，计算可得答案. 【详解】根据题意，函数32()2'(1)1f x x f x =++， 则其导函数2'()34'(1)f x x f x =+，令1x =可得：'(1)34'(1)f f =+，解得'(1)1f =-，则32()21f x x x =-+，所以(1)1212f -=--+=-，故答案是：2-. 【点睛】该题考查的是有关求函数值的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，根据函数解析式求自变量所对应的函数值，在解题的过程中，注意总结此类问题的解法.20．②③④【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当时从而可判断②的正误；对函数化简得定义域为利用函数单调性的性质得到函数的单调性结合零点存在定理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到进而可判断④的正解析：②③④ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 20,1ae a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到00011x x e x +=-，进而可判断④的正误. 【详解】(0)2f =，33223()5352(0)2f e f =-<-<=，所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错；当0a <时，0a e >，201a ->-， 则2()11af a e a =---1>-，②正确； 函数()11x x f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---， 定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；22111(2)0,(0)2033f e f e --=-=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点224545559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫⎛⎫=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点.因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；x y e =在点 ()()000,1xx e x≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，即:l 000(1)xxy e x x e =--，又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=-y x x x x ，即:l 1111ln y x x x =-+， 则011x e x =且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1xx e x -=+， 则00011x x e x +=-,则00001()01x x f x e x +=-=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.三、解答题21．（1）310x y --=；（2）53m ≤-． 【解析】试题分析：（1）由2()f x x x =+⇒'()21f x x =+，(1)2f =⇒'(1)3f =⇒310x y --=；（2）化简321()33h x x x m x =-+-，原命题等价于max ()0h x ≤，再利用导数工具可max 5()03h x m =+≤⇒53m ≤-． 试题（1）∵2()f x x x =+，∴'()21f x x =+，(1)2f =，∴'(1)3f =，∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=． （2）令323211()()()2333h x g x f x x x m x x x x m x =-=-+--=-+-， ∴2'()23h x x x =--，当41x -<<-时，'()0h x >；当13x时，'()0h x <；当34x <<时，'()0h x >，要使()()f x g x ≥恒成立，即max ()0h x ≤， 由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得，而5(1)3h m -=+，20(4)3h m =-， ∵52033m m +>-，∴503m +≤，即53m ≤-．考点：1、导数的几何意义；2、直线方程；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 22．（1）320x y --= （2）1 【分析】（1）利用导数几何意义求斜率即可（2）设切点为()00,x y ，根据两函数在该点导数相等及该点为公共点列方程组即可求解. 【详解】（1）切点为()1,1 又2'3y x = 所以=3k 切所以切线方程为：320x y --=（2）设切点为()00,x y ，又1'y x=所以00000011101y kx x k y x k y lnx ⎧=+=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎩ 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题. 23．（1）（2）【解析】 【分析】 先对函数求导，根据函数 在处取得极值，求出；（1）将代入解析式，再由导数的方法求出其在处的切线斜率，进而可求出结果； （2）函数有三个零点，等价于方程有三个不等实根，也即是函数与直线有三个不同的交点，由导数的方法研究函数的极值，即可得出结果.【详解】 解：，由题意知，所以，即.所以.（1）当时，，，所以，，所以在处的切线方程为，即.（2）令，则.设，则与的图象有三个交点.，所以当变化时，，的变化情况为1+ 0 -0 +增函数 极大值 减函数极小值增函数所以，.又当时，；当时，，所以，即.所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果. 24．（1）1y x =-（2）20a e -<< 【分析】（1）将0a =代入()()ln f x x a x =+，再对函数()f x 求导，求出切线斜率，进而即可得出结果；（2）对函数()f x 求导，通过讨论a 的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，()'ln 1f x x =+．()'11f =，()10f =， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-． （2）()f x 有极小值⇔函数()'f x 有左负右正的变号零点. ()()1'ln ln 1af x x x a x x x=++=++ 令()()'g x f x =，则()221'a x ag x x x x -=-=令()'0g x =，解得x a =．x ，g （x ），()'g x 的变化情况如下表： x（0，a ） a （a ，+∞） ()'g x﹣ 0+ g （x ）减极小值lna+2增①若ln 20a +≥，即2a e -≥，则0g x ≥，所以'f x 不存在变号零点，不合题意． ②若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，()110g a =+>． 所以()0,1x a ∃∈，使得()00g x =；且当()0,x a x ∈时，()0g x <，当()0,1x x ∈时，()0g x >． 所以当(),1x a ∈时，x ，()'f x ，f （x ）的变化情况如下表：x()0,a x0x()0,1x()'f x﹣ 0 + f （x ）减极小值增所以20a e -<<． 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线方程；第二问主要考查导数在函数中的应用，利用导数的方法研究函数的单调性，即可求出结果；属于常考题型. 25．(1)见解析(2) 231a e e<≤++ 【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与()y g x =联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得()()y f x g x =-的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围． 详解：（1）∵()ln f x x x =， ∴()'ln 1f x x =+， ∴()'11f =. 又()10f =，∴曲线在点()1,0处的切线方程为1y x =-．由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得()2110x a x +-+=.故()()()22142313a a a a a ∆=--=--=+-，所以当0∆>，即1a <-或3a >时，切线与曲线()y g x =有两个公共点； 当0∆=，即1a =-或3a =时，切线与曲线()y g x =有一个公共点； 当0∆<，即13a -<<时，切线与曲线()y g x =没有公共点. （2）由题意得()()22ln y f x g x x ax x x =-=-++，由0y =，得2ln a x x x=++， 设()2ln (0)h x x x x x=++>， 则()()()212'x x h x x -+=.又1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()0,?h x h x <'单调递减；当[]1,x e ∈时，()()0,?h x h x >'单调递增． 所以()()min 13h x h ==.又1121h e e e⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()21h e e e =++，结合函数图象可得，当231a e e <≤++时，方程2ln a x x x=++有两个不同的实数根， 故当231a e e<≤++时，函数()()y f x g x =-有两个零点． 点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数． 26．b ＝0，c ＝1 【解析】试题分析：先求出函数 ()f x 的导函数()'f x ，再根据曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，可得()()01,'00f f ==，解方程组即可求出求,b c 的值. 试题由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知，即，故b ＝0，c ＝1.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解。

数学选修1-1变化率与导数练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知某物体的运动曲线方程为：S =2t 2−3t −1，则该物体在t =3时的速度为（ ） A.8 B.9 C.10 D.112. 已知函数f(x)，当自变量x 由x 0增加到x 0+△x 时，函数值的增量与自变量的增量的比值为（ ）A.函数在x 0处的变化率B.函数在区间[x 0, x 0+△x]上的平均变化率C.函数在x 0+△x 处的变化率D.函数在x 0处的导数3. 当自变量x 足够大时，下列函数中增长速度最快的是（ ） A.y =e x B.y =ln xC.y =x 2D.y =2x4. 设f(x)是可导函数，且lim △x →0f(x 0)−f(x 0+△x)2△x =2，f′(x 0)=( ) A.−4 B.−1 C.0D.125. 函数f(x)=|x|，在x =0处（ ） A.无定义 B.极限不存在 C.不连续 D.不可导6. 若f ′(x 0)=−3，则lim ℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ等于( )A.−3B.−6C.−9D.−127. 设P 为曲线C:y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,π4]，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A.[−1,−12] B.[−1, 0] C.[0, 1]D.[12, 1]8. 已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f (4)−f (2)4−2=a ，则下列不等式正确的是( )A.a<f′(2)<f′(4)B.f′(2)<a<f′(4)C.f′(4)<f′(2)<aD.f′(2)<f′(4)<a9. 已知直线y=ax+2a与曲线y=ln(x+2)相切，则a的值为（）A.1B.2C.1e D.1e210. 水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为2.5m时，圆面积的膨胀率是( )A.πm2/sB.1.5πm2/sC.2πm2/sD.2.5πm2/s11. 某物体其运动方程为s=2t3，则物体在第t=3秒时的瞬时速度是________．12. 质点运动的速度v＝(18t−3t2)m/s，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是________．13. 一质点沿直线运动，如果有始点起经过t秒后的位移为s=13t3−32t2+2t，那么三秒末的瞬时速度为________．14. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=________15. f′(x0)=2，求lim△x→0f(x0−△x)−f(x0)2△x的值________．16. 给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=（f′(x)）′．若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0, π2)上不是凸函数的是________．（把你认为正确的序号都填上）①f(x)=sin x+cos x；②f(x)=ln x−2x；③f(x)=−x3+2x−1；④f(x)=xe x．17. 已知函f(x)是可导函数，且f′(a)=1，则limx→a f(x)−f(a)2(x−a)等于________．18. 已知f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A=f′(a)，B=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，C= f′(a+1)，则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是________．19. 函数f(x)的导函数f′(x)在R上恒大于0，则对任意x1，x2(x1≠x2)在R上f(x1)−f(x2)x1−x2的符号是________（填“正”、“负”）20. 某部战士以v0m/s的初速度从地面竖直向上发射信号弹，ts后距地面的高度ℎm由ℎ(t)=v0t−4.9t2表示，已知发射后5s时信号弹距地面245m，则信号弹的初速度v0等于________m/s，信号弹在245m以上所持续的时间为________s．21. 已知函数f(x)=x2+1，（1）求在区间[1, 2]上f(x)的平均变化率；（2）求f(x)在x=1处的导数．22. （1）若f(x+ℎ)−f(x)＝2ℎx+5ℎ+ℎ2，用割线逼近切线的方法求f′(x)； 22. （2）若g(x+ℎ)−g(x)＝3ℎx2+3ℎ2x+ℎ3，用割线逼近切线的方法求g′(x)．23. 已知函数f(x)=2x2+3，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：（1）[2, 4]；（2）[2, 3]；（3）[2, 2.1]；（4）[2, 2.001]．24. 根据导数的几何意义，求函数y=√4−x2在x=1处的导数．25. 一杯80∘C得热红茶置于20∘C的房间里，它得温度会逐渐下降，温度T（单位∘C）与时间t（单位min）之间的关系由函数T=f(t)给出，请问(1)f′(t)的符号是什么？为什么？(2)f′(3)=−4得实际意义是什么？如果f(3)=65(∘C)，你能画出函数在点t=3时图象得大致形状吗？26. 已知一次函数y=f(x)在区间[−2, 6]上的平均变化率为2，且函数图象过点(0, 2)，试求此一次函数的表达式．27. 设函数f(x)在x=1处存在导数为2，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=________.28.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(c>0)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值；(2)令g(x)=f(x)x，求y=g(x)在[1, 2]上的最大值．29. 设函数f(x)={x 2+ax(x ≤1)x +b(x >1)，若该函数在实数集R 上可导，求实数a 、b 的值和该函数的最小值．30. 子弹在枪膛中的运动可以看作是匀变速运动，其位移与时间t 的关系是s =12at 2，如果它的加速度是a =5×105m/s 2，子弹从枪口射出时，所用的时间为t 0=1.6×10−3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．31. 设f(x)在x =x 0处可导，求极限lim x −x 0xf(x 0)−x 0f(x)x−x 0．32. 过函数y =f(x)=x 3图象上两点P(1, 1)和Q(1+△x, 1+△y)作曲线的割线． （1）求出当△x =0.1时割线的斜率．（2）求y =f(x)=x 3在x =x 0处的瞬时变化率．33. 一质点作曲线运动，它的位移S 与时间t 的关系为：S =t−1t 2+2t 2，试用导数的定义求t =3时的速度．34. 求曲线f(x)=x 3−3x 2+2x 过原点的切线方程．35. 若存在过点(1, 0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+154x −9都相切，求实数a 的值．36. 设f(x)={√1−cos x−π<x <0b,x =01x(ln x −ln (x 2+x)，x >0连续，求a ，b ．37. 如果曲线y =x 3+x −10的某一切线与直线y =4x +3平行，求切点坐标与切线方程．38. 航天飞机升空后一段时间内，第t s 时的高度ℎ(t)=5t 3+30t 2+45t +4，其中ℎ的单位为m ，t 的单位为s ．（1）ℎ(0)，ℎ(1)，ℎ(2)分别表示什么？（2）求第2s内的平均速度；（3）求第2s末的瞬时速度．39. 若曲线f(x)存在垂直于y轴的切线，且f′(x)=2x2+3−2a，求实数a的取值范围．40. 已知函数f(x)=x3+(1−a)x2−a(a+2)x(a∈R)，g(x)=196x−13．是否处在实数a，存在x1∈[−1, 1]，x2∈[0, 2]，使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析数学选修1-1变化率与导数练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求质点的运动方程为s(t)=2t2−3t−1的导数，再求得t=3秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度【解答】解∵质点的运动方程为s(t)=2t2−3t−1∴s′(t)=4t−3∴该质点在t=3秒的瞬时速度为4×3−3=9米/秒．故选B．2.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x0, x0+△x]上的平均变化率．【解答】解：当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x0, x0+△x]上的平均变化率．只有当x0变到x1的变化量趋向于0时，函数值的增量与相应自变量的增量之比的极限值才是函数在区间[x0, x0+△x]上的导数．故选：B．3.【答案】A【考点】变化的快慢与变化率【解析】直接根据幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，得出结论．注意2个底数都大于1的指数函数，底数较大的，增长速度更快．【解答】解：由于y=e x是指数函数，y=ln x是对数函数，y=x2是幂函数，y=2x是指数函数，由于当x足够大时，指数函数的增长速度最快，且2个指数函数的底数分别为e和2，且e>2，故增长速度最快的是y=e x，故选A ． 4.【答案】 A【考点】 导数的概念 【解析】由导数的概念知f′(x 0)=lim−△x →∞f(x 0)−f(x 0+△x)−△x ，由此结合题设条件能够导出f′(x 0)的值． 【解答】 解：∵ −12lim−△x →∞f(x 0)−f(x 0+△x)−△x =2，∴ f′(x 0)=lim−△x →∞f(x 0)−f(x 0+△x)−△x =−4 故选A ．5.【答案】 D【考点】 导数的概念 【解析】由在x =0处左侧的导数小于零，在x =0处右侧的导数大于零，根据导数的定义可知在x =0处不可导． 【解答】解：当x >0时，f′(x)>0，当x <0时，f′(x)<0，根据导数的定义可知函数f(x)=|x|，在x =0处导数不存在， 故选D ． 6. 【答案】 D【考点】 导数的概念 【解析】根据lim ℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=lim ℎ→0[4⋅f(x 0+4m)−f(x 0)4m ]=4lim m →0( f(x 0+4m)−f(x 0)4m )=4f′(x 0)，利用条件求得结果．【解答】解：∵ f ′(x 0)=−3， 则limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=lim ℎ→0[4⋅f(x 0+4ℎ)−f(x 0)4ℎ]=4lim ℎ→0(f(x 0+4ℎ)−f(x 0)4ℎ)=4f ′(x 0)=4×(−3)=−12.故选B . 7. 【答案】A【考点】导数的几何意义【解析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′|x=x=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵α∈[0,π4]，∴0≤2x0+2≤1，∴x0∈[−1,−12]．故选：A．8.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】根据导数的几何意义结合题目所给图象即可判断．【解答】解：由图象可知，函数在(0,+∞)上增长越来越快，故函的斜率越来越大，∵f(4)−f(2)4−2=a，∴f′(2)<a<f′(4).故选B．9.【答案】C【考点】导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：y′=1x+2=a,解得x=1a−2，∴ a(1a −2)+2a=ln(1a+2−2),解得a=1e, 故选C. 10.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数，计算水波半径是2.5时的时间，求出对应的导数即可．【解答】解：水波的半径以v=0.5m/s的速度向外扩张，则水波的面积为s=πr2=π(vt)2=0.25πt2，又水波面积的膨胀率为s′=0.5πt，所以当半径为2.5m时，t=2.5=5(s)，0.5此时s′=0.5π×5=2.5π，即半径为2.5m时，水波面积的膨胀率是2.5πm2/s．故选D.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】54【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用导数的物理意义即可得出．【解答】解：∵v=s′=6t2，∴当t=3时，v(3)=6×32=54．故答案为：54．12.【答案】108【考点】变化的快慢与变化率【解析】由速度为0求出t的值为0和6，求出速度函数在[0, 6]上的定积分即可．【解答】由18t−3t2＝0，得t＝0或t＝6．(18t−3t2)dt=(9t2−t3)|06=−63+当t∈[0, 6]时，质点运动的路程为S=∫69×62＝108；13.【答案】2【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意，对s=13t3−32t2+2t进行求导，然后令t=3代入即可得到答案．【解答】解：∵s=13t3−32t2+2t，，∴s′=t2−3t+2当t=3时，v=s′=9−9+2=2故答案为：2．14.【答案】−2【考点】导数的几何意义导数的概念【解析】由导数和切线斜率的关系，求极限可得．【解答】解：由导数的概念和几何意义，知limΔt→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=k AB=0−42−0=−2.故答案为：−2.15.【答案】−1【考点】导数的概念【解析】先将lim△x→0f(x0−△x)−f(x0)2△x化成(−12)lim△x→0f(x0−△x)−f(x0)−△x，而f′(x0)=lim △x→0f(x0−△x)−f(x0)−△x，从而求出所求．【解答】解：lim△x→0f(x0−△x)−f(x0)2△x=(−12)lim△x→0f(x0−△x)−f(x0)−△x=−12f′(x0)=−1故答案为：−116.【答案】④【考点】导数的概念【解析】①由f″(x)=−(sin x+cos x)且x∈(0, π2)时，f″(x)<0恒成立；符合定义对于②，f″(x)=−1x2，且在x∈(0, π2)时，f″(x)<0恒成立；符合定义对于③，f″(x)=−6x，在x∈(0, π2)时，f″(x)<0恒成立；符合定义对于④，f″(x)=(2+x)⋅e x在x∈(0, π2)时f″(x)>0恒成立，不符合定义【解答】解：对于①，f″(x)=−(sin x+cos x)，x∈(0, π2)时，f″(x)<0恒成立；对于②，f″(x)=−1x2，在x∈(0, π2)时，f″(x)<0恒成立；对于③，f″(x)=−6x，在x∈(0, π2)时，f″(x)<0恒成立；对于④，f″(x)=(2+x)⋅e x在x∈(0, π2)时f″(x)>0恒成立，所以f(x)=xe x不是凸函数．故答案为：④17.【答案】12【考点】导数的概念【解析】利用导数的定义，函数在某点处的导数，就是在该点处函数的增量与自变量的增量的比，求出f′(a)，再根据limx→a f(x)−f(a)2(x−a)与f′(a)的关系，求出limx→af(x)−f(a)2(x−a)【解答】解：∵f′(a)=limx→af(x)−f(a)(x−a)=1又∴limx→af(x)−f(a)2(x−a)=12limx→af(x)−f(a)(x−a)=12f′(a)=12故答案为1218.【答案】A>B>C【考点】导数的几何意义【解析】设M坐标为（a, f(a)），N坐标为（a+1, f(a+1)），利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案【解答】解：记M（a, f(a)），N（a+1, f(a+1)），则由于B=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，表示直线MN的斜率；A=f′(a)表示函数f(x)=log a x在点M处的切线斜率；C=f′(a+1)表示函数f(x)=logax在点N处的切线斜率．所以A>B>C．故答案为：A>B>C．正【考点】导数的几何意义【解析】根据函数的导数的符号，判断函数的单调性，以及函数的割线的斜率进行求解即可．【解答】解：∵函数f(x)的导函数f′(x)在R上恒大于0，∴函数f(x)为增函数，>0，即函数f(x)在定义域上的割线斜率k=f(x1)−f(x2)x1−x2故答案为：正20.【答案】73,5【考点】导数的几何意义【解析】根据ℎ(t)=v0t−4.9t2，令t=5s，可求初速度v0；再根据ℎ(t)>245，可得不等式，从而问题得解．【解答】解：由题意：t=5s，∴ℎ(5)=5v0−4.9×25=245，∴v0=73.5m/s，又73.5t−4.9t2>245，即t2−15t+50<0，∴5<t<10，故答案为73.5，5三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：（1）∵f(x)=x2+1，∴f(1)=2，f(2)=5∴该函数在区间[1, 2]上的平均变化率为5−2=3，2−1（2）∵f′(x)=2x，∴f′(1)=2【考点】导数的运算变化的快慢与变化率【解析】（1）利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间[1, 2]上的平均变化率．（2）先求导，再代入求值即可．【解答】解：（1）∵f(x)=x2+1，∴f(1)=2，f(2)=5∴该函数在区间[1, 2]上的平均变化率为5−2=3，2−1（2）∵f′(x)=2x，∴f′(1)=2f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ=limℎ→02ℎx−5ℎ+ℎ2ℎ=limℎ→0(2x−5+ℎ)＝2x−5．g′(x)=limℎ→0g(x+ℎ)−g(x)ℎ=limℎ→03ℎx2+3ℎ2+ℎ3ℎ=limℎ→0(3x2+3ℎ+ℎ2)＝3x2．【考点】变化的快慢与变化率利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据导数的定义直接计算即可．【解答】f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ=limℎ→02ℎx−5ℎ+ℎ2=limℎ→0(2x−5+ℎ)＝2x−5．g′(x)=limℎ→0g(x+ℎ)−g(x)ℎ=limℎ→03ℎx2+3ℎ2+ℎ3ℎ=limℎ→0(3x2+3ℎ+ℎ2)＝3x2．23.【答案】解：（1）函数f(x)在[2, 4]上的平均变化率为f(4)−f(2)4−2=12；（2）函数f(x)在[2, 3]上的平均变化率为f(3)−f(2)3−2=10；（3）函数f(x)在[2, 2.1]上的平均变化率为f(2.1)−f(2)2.1−2=8.2；（4）函数f(x)在[2, 2.001]上的平均变化率为f(2.001)−f(2)2.001−2=8.002．【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用函数值的增量与自变量的增量的比，即可求得在区间上的平均变化率．【解答】解：（1）函数f(x)在[2, 4]上的平均变化率为f(4)−f(2)4−2=12；（2）函数f(x)在[2, 3]上的平均变化率为f(3)−f(2)3−2=10；（3）函数f(x)在[2, 2.1]上的平均变化率为f(2.1)−f(2)2.1−2=8.2；（4）函数f(x)在[2, 2.001]上的平均变化率为f(2.001)−f(2)2.001−2=8.002．24.【答案】解：y′=(√4−x2)′=[(4−x2)12]′=12(4−x2)−12×(−2x)，在x=1处的导数为12(4−12)−12×(−2)=−√33．【考点】导数的几何意义【解析】根据求导公式和复合函数的求导法则求函数的导数，再把x=1代入求值即可．【解答】解：y′=(√4−x2)′=[(4−x2)12]′=12(4−x2)−12×(−2x)，在x=1处的导数为12(4−12)−12×(−2)=−√33．25.【答案】解：(1)f′(t)<0，其意义为在t附近函数值的瞬时变化率，f′(t)为负数，说明f(t)的值在t附近递减，原因是红茶的温度在下降．(2)∵f′(3)=−4，∴f′(3)=−4的实际意义是：在3min附近红茶温度约以4∘C/min的速率下降．∵f(3)=65(∘C)，f′(3)=−4，∴函数在t=3处为递减，可以作一个简单的图象．【考点】导数的几何意义函数的概念及其构成要素【解析】(1)根据题意可得f′(t)的符号为负值．(2)根据导数的几何意义进行判断即可．【解答】解：(1)f′(t)<0，其意义为在t附近函数值的瞬时变化率，f′(t)为负数，说明f(t)的值在t附近递减，原因是红茶的温度在下降．(2)∵ f′(3)=−4，∴ f′(3)=−4的实际意义是：在3min 附近红茶温度约以4∘C/min 的速率下降． ∵ f(3)=65(∘C)，f′(3)=−4，∴ 函数在t =3处为递减，可以作一个简单的图象． 26.【答案】解：设f(x)=kx +b ，∵ f(x)的平均变化率为2，∴ k =2． 又∵ f(x)图象过点(0, 2)，∴ b =2． ∴ f(x)=2x +2． 【考点】变化的快慢与变化率 【解析】一次函数的变化率为x 的系数，使用待定系数法解出． 【解答】解：设f(x)=kx +b ，∵ f(x)的平均变化率为2，∴ k =2． 又∵ f(x)图象过点(0, 2)，∴ b =2． ∴ f(x)=2x +2． 27. 【答案】 23【考点】 极限及其运算 导数的概念 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=13lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=13f ′(1) =23. 故答案为：23. 28.【答案】解：(1)因为f′(x)=2ax +b ， 由图可知，f′(x)=2x +1， 由{2a =2，b =1，(2)g(x)=f(x)x=x 2+x+cx=x +cx+1，则g′(x)=1−c x 2=(x+√c)(x−√c)x 2，①若√c ≤1，即0<c ≤1时， g′(x)≥0，g(x)在[1, 2]上递增， 故g(x)max =g(2)=12c +3； ②若1<√c <2，即1<c <4， 当1≤x <√c 时，g′(x)<0， 此时g(x)单调递减；当√c <x ≤2时，g′(x)>0， 此时g(x)单调递增；又g(1)=c +2，g(2)=12c +3， 所以当1≤c ≤2时，g(1)≤g(2)， 即g(x)max =g(2)=12c +3； 当2<c ≤4时，g(1)>g(2)， 即g(x)max =g(1)=c +2； ③若√c ≥2，即c ≥4时，g′(x)≤0，g(x)在[1, 2]上单调递减， 故g(x)max =g(1)=c +2； 综上所述， g(x)max={12c +3，0<c ≤2,c +2,c >2.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 导数的概念利用导数研究函数的单调性 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）先求出f′(x)=2ax +b ，根据图象可得f′(x)=2x +1，由此可得a ，b 的方程组； （2）由（1）先求出g(x)，从而可得g′(x)=(x+√c)(x−√c)x 2，分√c ≤1，1<√c <2，√c ≥2三种情况进行讨论，根据导数符号与单调性的关系可得最大值； 【解答】解：(1)因为f′(x)=2ax +b ， 由图可知，f′(x)=2x +1， 由{2a =2，b =1，(2)g(x)=f(x)x=x 2+x+cx=x +cx+1，则g′(x)=1−c x 2=(x+√c)(x−√c)x 2，①若√c ≤1，即0<c ≤1时， g′(x)≥0，g(x)在[1, 2]上递增， 故g(x)max =g(2)=12c +3； ②若1<√c <2，即1<c <4， 当1≤x <√c 时，g′(x)<0， 此时g(x)单调递减；当√c <x ≤2时，g′(x)>0， 此时g(x)单调递增；又g(1)=c +2，g(2)=12c +3， 所以当1≤c ≤2时，g(1)≤g(2)， 即g(x)max =g(2)=12c +3； 当2<c ≤4时，g(1)>g(2)， 即g(x)max =g(1)=c +2； ③若√c ≥2，即c ≥4时，g′(x)≤0，g(x)在[1, 2]上单调递减， 故g(x)max =g(1)=c +2； 综上所述， g(x)max ={12c +3，0<c ≤2,c +2,c >2.29. 【答案】解：依题意f ′(1)=2+a =1，且limx →1+f(x)=f(1)=1+a ，∴ a =b =−1，∴ f(x)={x 2−x(x ≤1)x −1(x >1)，当x >1时，f(x)>0，当x ≤1时，f(x)=x 2−x =(x −12)2−14≥−14， ∴ 可得函数的最小值是f(12)=−14． 【考点】 导数的概念函数的最值及其几何意义 【解析】由题意函数f(x)={x 2+ax(x ≤1)x +b(x >1)，对其进行分段求导，求出a ，b 的值，然后根据二次函数的性质求出最小值． 【解答】解：依题意f ′(1)=2+a =1，且limx →1+f(x)=f(1)=1+a ，∴ a =b =−1，∴ f(x)={x 2−x(x ≤1)x −1(x >1)，当x >1时，f(x)>0，当x ≤1时，f(x)=x 2−x =(x −12)2−14≥−14， ∴ 可得函数的最小值是f(12)=−14． 30.【答案】子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s ． 【考点】变化的快慢与变化率 【解析】根据导数的物理意义即可求出． 【解答】解：∵ a =5×105m/s 2，t 0=1.6×10−3s∴ v(t 0)=s′=at 0=5×105×1.6×10−3=800m/s ， 31.【答案】解：由题意知，当x 趋近x 0时，分子和分母都趋近与0 根据洛必达法则 此时函数极限=分子导数分母导数， （xf(x 0)−x 0f(x)）′=f(x 0)−x 0f′(x)， (x −x 0)′=1，∴ 极限lim x −x 0xf(x 0)−x 0f(x)x−x 0=f(x 0)−x 0f′(x 0)．【考点】变化的快慢与变化率 【解析】根据洛必达法则即可求出． 【解答】解：由题意知，当x 趋近x 0时，分子和分母都趋近与0 根据洛必达法则 此时函数极限=分子导数分母导数， （xf(x 0)−x 0f(x)）′=f(x 0)−x 0f′(x)， (x −x 0)′=1，∴ 极限lim x −x 0xf(x 0)−x 0f(x)x−x 0=f(x 0)−x 0f′(x 0)．32.【答案】解：（1）当△x=0.1时，1+△x=1.1；故1+△y=1.13=1.331；故k PQ=1.331−11.1−1=3.31．（2）△y△x =(x0+△x)3−x03△x=△x3+3△x2x0+3△xx02△x=3x02+3x0△x+(△x)2．则f′(x0)=lim△x→0△y△x=lim△x→0(3x02+3x0△x+(△x)2)=3x02【考点】导数的几何意义变化的快慢与变化率【解析】（1）由题意，当△x=0.1时，1+△x=1.1；故1+△y=1.13=1.331；从而求斜率．（2）利用瞬时变化率的意义，利用极限进行求解即可得出．【解答】解：（1）当△x=0.1时，1+△x=1.1；故1+△y=1.13=1.331；故k PQ=1.331−11.1−1=3.31．（2）△y△x =(x0+△x)3−x03△x=△x3+3△x2x0+3△xx02△x=3x02+3x0△x+(△x)2．则f′(x0)=lim△x→0△y△x=lim△x→0(3x02+3x0△x+(△x)2)=3x0233.【答案】32327．【考点】导数的几何意义【解析】函数在某个点的导数值就是瞬时速率，先求出函数的导数，在导数表达式中令t=3可得t=3时的速度值．【解答】解：∵S=t−1−t−2+2t2∴S′=−t−2+2t−3+4t=−1t2+2t3+4t，∴t=3时S′=−19+227+4×3=32327，34.【答案】解f′(x)=3x2−6x+2．设切线的斜率为k．(1)当切点是原点时k=f′(0)=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．(2)当切点不是原点时，设切点是(x0, y0)，则有y 0=x 03−3x 02+2x 0，k =f′(x 0)=3x 02−6x 0+2，①又k =y 0x 0=x 02−3x 0+2，②由①②得x 0=32，k =y 0x 0=−14． ∴ 所求曲线的切线方程为y =−14x ．故曲线的切线方程是y =2x ；y =−14x【考点】导数的几何意义【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，分原点是切点和原点不是切点两类求．【解答】解f′(x)=3x 2−6x +2．设切线的斜率为k ．(1)当切点是原点时k =f′(0)=2，所以所求曲线的切线方程为y =2x ．(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0, y 0)，则有y 0=x 03−3x 02+2x 0，k =f′(x 0)=3x 02−6x 0+2，①又k =y 0x 0=x 02−3x 0+2，②由①②得x 0=32，k =y 0x 0=−14． ∴ 所求曲线的切线方程为y =−14x ．故曲线的切线方程是y =2x ；y =−14x 35.【答案】解：设直线与曲线y =x 3的切点坐标为(x 0, y 0)，则{y 0=x 03y 0x 0−1=3x 02，则切线的斜率k =3x 02=0或k =274， 若k =0，此时切线的方程为y =0，由{y =0y =ax 2+154x −9， 消去y ，可得ax 2+154x −9=0， 其中△=0，即(154)2+36a =0，解可得a =−2564；若k =274，其切线方程为y =274(x −1)，由{y=274(x−1)y=ax2+154x−9，消去y可得ax2−3x−94=0，又由△=0，即9+9a=0，解可得a=−1．故a=−2564或−1．【考点】导数的几何意义【解析】设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax2+154x−9都相切，联立方程组，△=0可求出所求．【解答】解：设直线与曲线y=x3的切点坐标为(x0, y0)，则{y0=x03 y0x0−1=3x02，则切线的斜率k=3x02=0或k=274，若k=0，此时切线的方程为y=0，由{y=0y=ax2+154x−9，消去y，可得ax2+154x−9=0，其中△=0，即(154)2+36a=0，解可得a=−2564；若k=274，其切线方程为y=274(x−1)，由{y=274(x−1)y=ax2+154x−9，消去y可得ax2−3x−94=0，又由△=0，即9+9a=0，解可得a=−1．故a=−2564或−1．36.【答案】解：根据题意，limx→0+f(x)=limx→0−f(x)=f(0)=b，lim x→0+ln x−ln(x2+x)=limx→0+(1−2x+12)=lim x→0+−1x+1=−1，因此，b=−1，又有limx→0√1−cos x =−limx→0√2sin x2=−limx→0−(sin axax⋅x2sin x2⋅√2a)=−√2a，所以，−√2a=−1，a=√22，故a=√22，b=−1．【考点】函数的连续性导数的概念【解析】问题等价为：limx→0+f(x)=limx→0−f(x)=f(0)=b，再直接求函数在x=0处的左右极限即可．【解答】解：根据题意，limx→0+f(x)=limx→0−f(x)=f(0)=b，lim x→0+ln x−ln(x2+x)x=limx→0+(1x−2x+1x2+x)=lim x→0+−1x+1=−1，因此，b=−1，又有limx→0√1−cos x =−limx→0√2sin x2=−limx→0−(sin axax⋅x2sin x2⋅√2a)=−√2a，所以，−√2a=−1，a=√22，故a=√22，b=−1．37.【答案】解：∵切线与直线y=4x+3平行，斜率为4又切线在点x0的斜率为y′|_x0∵3x02+1=4，∴x0=±1，有{x0=1y0=−8，或{x0=−1y0=−12，∴切点为(1, −8)或(−1, −12)，切线方程为y+8=4(x−1)或y+12=4(x−1)，即y=4x−12或y=4x−8．【考点】导数的几何意义【解析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得．【解答】解：∵ 切线与直线y =4x +3平行，斜率为4又切线在点x 0的斜率为y′|_x 0∵ 3x 02+1=4，∴ x 0=±1，有{x 0=1y 0=−8，或{x 0=−1y 0=−12， ∴ 切点为(1, −8)或(−1, −12)，切线方程为y +8=4(x −1)或y +12=4(x −1)，即y =4x −12或y =4x −8．38.【答案】ℎ(0)表示航天飞机发射前的高度；ℎ(1)表示航天飞机升空后1s 的高度；ℎ(2)表示航天飞机升空后2s 的高度；（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为v ¯=ℎ(2)−ℎ(0)2−0=5×23+30×22+45×2+42=125(m/s)．答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；（3）航天飞机升空后在t =2时的位移增量与时间增量的比值为v =ℎ(2+△t)−ℎ(2)△t=5(2+△t)3+30(2+△t)2+45(2+△t)+4−(5×23+30×22+45×2+4)△t=5(△t)3+60(△t)2+225(△t)△t =5(△t)2+60(△t)+225，当△t 趋向于0时，v 趋向于225，因此，第2s 末的瞬时速度为225m/s ．答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．【考点】变化的快慢与变化率【解析】（1）由ℎ(t)表示航天飞机发射t 秒后的高度分别说明ℎ(0)，ℎ(1)，ℎ(2)的意义；（2）直接由（ℎ(2)−ℎ(0)）除以2得到第2s 内的平均速度；（3）求出2秒时刻的瞬时变化率，取极限值求第2s 末的瞬时速度．【解答】解：（1）答：ℎ(0)表示航天飞机发射前的高度；ℎ(1)表示航天飞机升空后1s 的高度；ℎ(2)表示航天飞机升空后2s 的高度；（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为v ¯=ℎ(2)−ℎ(0)2−0=5×23+30×22+45×2+42=125(m/s)．答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；（3）航天飞机升空后在t =2时的位移增量与时间增量的比值为v=ℎ(2+△t)−ℎ(2)△t=5(2+△t)3+30(2+△t)2+45(2+△t)+4−(5×23+30×22+45×2+4)=5(△t)3+60(△t)2+225(△t)△t=5(△t)2+60(△t)+225，当△t趋向于0时，v趋向于225，因此，第2s末的瞬时速度为225m/s．答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．39.【答案】解；∵曲线f(x)存在垂直于y轴的切线，∴存在斜率为0的切线，∵f′(x)=2x2+3−2a，∴2x2+3−2a=0有根，即△=2a−3≥0，得出a≥32故实数a的取值范围：a≥32．【考点】导数的几何意义【解析】根据题意得出存在斜率为0的切线，利用导数的几何意义得出2x2+3−2a=0有根，即△=2a−3≥0，即可得出答案．【解答】解；∵曲线f(x)存在垂直于y轴的切线，∴存在斜率为0的切线，∵f′(x)=2x2+3−2a，∴2x2+3−2a=0有根，即△=2a−3≥0，得出a≥32故实数a的取值范围：a≥32．40.【答案】由题意，函数f′(x)+2ax值域是g(x)的值域的子集∵x∈[0, 2]，g(x)=196x−13，∴g(x)∈[−, 6]；令F(x)=f′(x)+2ax=3x2+2(1−a)x−a(a+2)+2ax=3x2+2x−a2−2a ∵x∈[−1, 1]，∴F(x)∈[−13−a2−2a, 5−a2−2a]∴−13−a2−2a≥−13且5−a2−2a≤6∴−2≤a≤0∴a∈[−2, 0]【考点】导数的几何意义【解析】由题意，函数f′(x)+2ax值域是g(x)的值域的子集，分别求出值域，再建立不等式，即可得到结论【解答】由题意，函数f′(x)+2ax值域是g(x)的值域的子集∵x∈[0, 2]，g(x)=196x−13，∴g(x)∈[−, 6]；令F(x)=f′(x)+2ax=3x2+2(1−a)x−a(a+2)+2ax=3x2+2x−a2−2a ∵x∈[−1, 1]，∴F(x)∈[−13−a2−2a, 5−a2−2a]∴−13−a2−2a≥−13且5−a2−2a≤6∴−2≤a≤0∴a∈[−2, 0]。

一、选择题1．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+2．已知函数()3213f x x bx =+在()()1,1A f 点处的切线与直线210x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬'⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ）A ．20192020B ．20192021C ．20202021D ．202120223．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣4．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 5．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．26．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．327．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．328．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞9．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A．4B．4C．10D．10-10．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．2018201911．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） ABC．D ．12．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．14．已知函数()()f x xg x =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是_________.15．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 16．已知函数2()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 17．已知函数()2sinxf x cosx=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是________ . 18．函数()1ln x f x ex -=+的图象在1x =处的切线方程为__________.19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数()2ln f x a x x x=++． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线与直线22y x =-+平行，求a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；（2）当2a =时，若对任意()0,x ∈+∞，都有()2f x c x ≥+恒成立，试求实数c 的取值范围．22．设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为直线:2l y =-上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为,M N .（1）若P 的坐标为()0,2-，求MN ； （2）证明：2PFMF NF =⋅.23．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 24．已知函数()ln m f x x x=+（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线410y x -+=垂直时，求实数m 的值； （2）若1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知三次函数32()(,,)f x x bx cx d a b c R =+++∈过点(3,0)，且函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线恰好是直线0y =.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ） 设函数()91g x x m =+-，若函数()()y f x g x =-在区间[2,1]-上有两个零点，求实数m 的取值范围.26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.2．C解析：C 【分析】由(1)2f '=得出2()f x x x '=+，进而得出111()1f n n n =-'+，利用裂项相消求和法得出答案. 【详解】由题意可得(1)2f '=，()22f x x bx '=+，则122b +=，12b =2()f x x x '∴=+，1111()(1)1f n n n n n ∴==-'++ 202011111112020112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及裂项相消求和法的应用，属于中档题.3．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =， 则相切时斜率625k =-故要满足题意，只需(0,625k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.4．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x -恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0，∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 5．A解析：A 【分析】求得()f x 的导函数，令1x =求出(1)f '，则求得曲线()y f x =在1x =处的切线斜率． 【详解】()()221ln f x x f x '=+的导数为()()212f f x x x''=+令1x =可得()()121f f ''=+，解得()12f '=-， 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为2- 故选A 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题．6．D解析：D 【解析】分析：先求出()'g x 和(1)g '，再求(1)(1)f f '和即得()'1g . 详解：由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=， 所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-7．B解析：B 【分析】 先求得2222a ay x x a x x'=+≥⋅=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥=当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴21122x a x x+=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．9．C解析：C 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =， 所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =， 所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===，所以1tan 2α=，所以sin α，所以1sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅==παπααααα． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．10．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．11．B解析：B【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.12．B解析：B 【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n xy e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x=则121x x k e ==所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=-由121xe x =,可得21ln x x =-,代入上式可得 ()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x =可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.二、填空题13．6【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】解：当直线平移到与曲线相切位置时切点即为点到直线的距离最小由得（负值舍去）即切点则切点Q 到直线的距离为故答案解析：6 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】解：当直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时， 切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2911y x '=-=-，得2x =（负值舍去），2y =，即切点Q ⎝⎭，则切点Q 到直线0x y +=6=，故答案为：6． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题，是中档题.解题的关键在于直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.14．【分析】由曲线在点处的切线方程是故再结合得到故得解【详解】由曲线在点处的切线方程是故又在点处的切线方程是：故答案为：【点睛】本题考查了导数在切线问题中的应用考查了学生综合分析转化划归数学运算的能力属 解析：10x y --=【分析】由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，故(1)0,'(1)1f f ==，再结合()()f x xg x =，'()()'()f x g x xg x =+，得到(1),'(1)g g ，故得解.【详解】由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，故(1)0,'(1)1f f ==，()()(1)(1)0f x xg x f g =∴==又'()()'()'(1)(1)'(1)'(1)'(1)1f x g x xg x f g g g f =+∴=+∴==()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是：10x y --=故答案为：10x y --=. 【点睛】本题考查了导数在切线问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15．【分析】根据题意求出的导数计算可得的值由导数的几何意义可得由三角函数的恒等变形公式可得代入数据计算可得答案【详解】解：根据题意曲线其导数则；故答案为：【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程关键是解析：12- 【分析】根据题意，求出3y x =的导数，计算可得1|x y ='的值，由导数的几何意义可得tan 3α=，由三角函数的恒等变形公式可得222222sin cos 12tan cos sin 21cos sin cos tan ααααααααα---==++，代入数据计算可得答案． 【详解】解：根据题意，曲线3y x =，其导数23y x '=，1|3x y =∴'=，tan 3α∴=，则22222222sin cos 12tan 1231cos sin 22sin cos 1312cos cos sin cos tan αααααααααααα---⨯-=-====-+++；故答案为：12- 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．16．【分析】设切点坐标为利用导数求出曲线在切点的切线方程将原点代入切线方程求出的值于此可得出所求的切线方程【详解】设切点坐标为则曲线在点处的切线方程为由于该直线过原点则得因此则过原点且与曲线相切的直线方 解析：2 -0e x y =【分析】 设切点坐标为()2,tt e，利用导数求出曲线()y f x =在切点()2,tt e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，于此可得出所求的切线方程． 【详解】设切点坐标为()2,tt e，()2x f x e =，()22x f x e '∴=，()22tf t e'=，则曲线()y f x =在点()2,t t e 处的切线方程为()222t ty e e x t -=-，由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12t =， 因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是： （1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标； （3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．17．【分析】先由因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点可知当直线为函数的切线时切点为进而可求出切线的方程结合函数图像即可判断结果【详解】因为函数的图像横在直线的下方且两函数都过原点所以当直线为函数解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先由因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，可知当直线y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，进而可求出切线的方程，结合函数图像，即可判断结果. 【详解】因为函数()f x 的图像横在直线y kx =的下方，且两函数都过原点，所以当直线y kx =为函数()f x 的切线时，切点为()0,0，由()2sinx f x cosx =+得()()()()222cosx cosx sinx sinx f x cosx +=+'--，所以切线斜率为210193+-=， 所以可得切线方程为13y x =，结合图像可得13k ≥. 故答案为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程的问题，常用数形结合的方法，结合导数的几何意义来解决，属于中档试题.18．【分析】由函数的解析式求得根据导数求得结合直线的点斜式即可求解【详解】由题意函数可得又由可得即切线的斜率为根据直线的点斜式方程可得即所求切线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方 解析：210x y --=【分析】由函数()f x 的解析式，求得()11f =，根据导数求得()12k f '==，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意，函数()1ln x f x e x -=+，可得()11f =，又由()11x f x ex-'=+，可得()12f '=，即切线的斜率为2k =， 根据直线的点斜式方程，可得12(1)y x -=-， 即所求切线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=. 【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．【分析】画出的图像再分析与的交点个数即可【详解】画出函数的图像如图所示：先求与相切时的情况由图可得此时设切点为则解得此时斜率又当时与平行也为临界条件故故答案为：【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数解析：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】画出()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图像,再分析()f x 与y ax =的交点个数即可. 【详解】画出函数()f x 的图像,如图所示：先求y ax =与ln y x =相切时的情况,由图可得此时ln y x =,1'y x=设切点为()00,ln x x ,则001ln ax x ax⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得0x e =, 1a e =. 此时x y e =.斜率113e >.又当13a =时13y x =与11,03x x +≤平行也为临界条件.故11,3a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.三、解答题21．（1）1a =-，函数()y f x =的递增区间为()2,+∞，递减区间为()0,2；（2）(],1-∞.【分析】（1）由()12f '=-可求得a 的值，然后利用导数可求得函数()y f x =的单调递增区间和减区间；（2）由题意得出1ln c x x≤+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()1ln g x x x =+，利用导数求出函数()y g x =的最小值，进而可求得实数c 的取值范围. 【详解】 （1）()2ln f x a x x x =++，定义域为()0,∞+，()222221a x ax f x x x x+-'=-++=，由题知()112f a '=-=-，解得1a =-，()222x x f x x--'∴= 则()0f x '=，得12x =或21x =-（舍）， 令()0f x '>，即220x x -->且0x >，得2x >； 令()0f x '<，即220x x --<且0x >，得02x <<.所以，函数()y f x =的递增区间为()2,+∞，递减区间为()0,2； （2）当2a =时，()2f x c x ≥+对()0,x ∈+∞恒成立， 即22ln 2x c x +≥，即1ln c x x≤+对()0,x ∈+∞恒成立， 令1()ln g x x x=+，则()min c g x ≤，()0,x ∈+∞， ()22111x g x x x x-'=-+=，令()0g x '=，得1x =.令()0g x '>，得1x >；令()0g x '<，得01x <<.所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 11g x g ==，1c ∴≤.因此，实数c 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）MN =2）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，设切点坐标为2001,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率02xk =，因为P 为直线:2l y =-上的动点，从而求出0x =±MN（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(),2P t -则切线PM 方程为：()21111142y x x x x -=- 又直线PM 过点P ，则有21111224x t x -=-，即211112042x tx --=，即可得到12,x x 是方程2112042x tx --=的两个根，列出韦达定理，根据()()1211MF NF y y ⋅=+⋅+化简即可得证. 【详解】（1）24x y =即24x y =2x y '∴=设切点坐标为2001,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率02x k =，切线方程为()2000142x y x x x -=-又因为切线过点P ，则20124x -=-，0x =±所以MN =（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(),2P t - 则切线PM 方程为：()21111142y x x x x -=- 又直线PM 过点P ，则有21111224x t x -=-， 即211112042x tx --= 同理有222112042x tx --= 于是12,x x 是方程2112042x tx --=的两个根， 则122x x t +=，128x x =-229PF t ∴=+()()1211MF NF y y ⋅=+⋅+=()()22121211164x x x x ++2121192x x t -+=+ 2PF MF NF ∴=⋅【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，导数的应用，属于中档题. 23．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

3.1.1变化率问题与导数的概念一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案] B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4t20[答案] C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2 B.5 2C．1 D．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7 [答案] B[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22Δt＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关[答案] B[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b [答案] C[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于()A．f′(a) B.12f′(a)C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D[解析]limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案]8[解析]limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案]必要不充分[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为______．[答案] 10m/s[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0S (5＋Δx )－S (5)Δxlim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12g (6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h＝A ＋2A ＝3A .17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 所以lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， 即y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x， 故y ′|x ＝1＝12. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( )A ．12B ．－12C ．4D ．－4【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b)在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )【解析】 f ′(x)＝2x ＋b ，因为f(x)顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b<0，则f ′(x)图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A 8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C 10．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x)＝x 2sin θ＋3xcos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)． 则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B ．22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】 将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －2lnx ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2， 所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x)′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x .【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________． ①若f(x)＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x)′＝xln a ；③加速度是质点的位移s对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x)＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x)′＝1xln a ，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________． 【解析】 设切点为M(x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2， ① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f(x)的导数为f ′(x)，且f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝________.【解析】 因为f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，所以f(x)＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－2.【答案】 －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s(t)＝t －1t 2＋2t 2＝tt 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t)＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x. 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23.∴所求直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f(x)是二次函数，且x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1. 【解】 (1)由题意设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)， 则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f(x)＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.所以x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1， 化简得(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f(x)＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 都经过点P(1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x)＝3x 2＋a 和g ′(x)＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g(x)＝kx ＋94与l 平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离．【解】 因为f(x)＝x ，所以f ′(x)＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝1， 切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12. 所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g(x)＝kx ＋94平行， 所以k ＝1，即g(x)＝x ＋94. f(x)的图像上的点到直线g(x)＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离， 所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f(x)＝x 2＋x －2在点P(1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S.【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q(x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13， 解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209， 故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0. (2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－223，0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16，－52， 故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。