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2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源实验高中、二高中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|y=}，则（）A．A∩B={x|1＜x＜2}B．A∩B={x|x＞1}C．A∪B={x|x＞1}D．A∪B=R 2．（5分）设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数a的值是（）A．0 B．﹣ C．2 D．3．（5分）高三年级某次月考后，化学老师从所有考生中随机抽取了100名考生的化学成绩进行分析，并画出频率分布直方图（如图所示），则这次月考化学成绩的中位数的估计值为（）A．60 B．65 C．70 D．804．（5分）若双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则双曲线C的实轴与虚轴的长度之差为（）A．1 B．2 C．±2 D．45．（5分）如图是赵爽弦图，我国古代数学家赵爽利用“弦图”证明了勾股定理，该“弦图”中用勾（a）和股（b）分布表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）来表示斜边，已知该“弦图”的勾为3，股为4，则从正方形ABCD中随机取一点，该点恰好落在正方形EFGH中的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，α⊥β，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β7．（5分）已知正数m，n，满足mn=，则曲线f（x）=x3+n2x在点（m，f （m））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，π）B．[，）C．[，]D．[，）8．（5分）函数f（x）=﹣2ln|x|+2x的部分图象大致为（）A． B．C．D．9．（5分）阅读如图程序框图，如果输出S=0，那么空白的判断框中可填入的条件是（）A．n≤11？ B．n≥11？ C．n≤10？ D．n≤13？10．（5分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin2x B．g（x）=2sin（2x﹣）C．g（x）=﹣cos2x D．g（x）=2sin（2x+）11．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知btanB+btanA=2ctanB，△ABC的外接圆半径为2，则△ABC周长的最大值为（）A．6 B．4 C．2+D．4+212．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1的左，右焦点，P为椭圆C上位于第一象限内的一点，∠PF1F2的平分线与∠PF2F1的平分线相交于点I，直线PI与x轴相交于点Q，则+的值为（）A．B．2 C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2018届辽宁省凌源二中高考三模高三数学考试卷数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}240,01M x x N x x =-≤=<<,则M C N =（ ） A.[]2,0- B.[][]2,01,2- C.[]1.2 D ．∅2.已知复数()4121iz i -=-,则它的实部与虚部之和为（ ）A ．34-B ．34C ．14-D ．143.如图,在正六边形ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．12 B ．13 C.14 D ．254.已知点()0,23A ，,,06B π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()() 406,2f x sin x πωϕωϕπ=+<<<<⎛⎫⎪⎝⎭的图象上的两个点,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．12x π=B ．6x π=C.3x π=D ．512x π=5.设数列设数列{}n a 的前n 项和为n S ,如果114,24n n a a S +==-,则10S =（ ）A ．()10231- B ．()10231+ C.()9231+ D ．()9431-6.《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度之,不足一尺，木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?"解决本题的程序框图如图所示,则输出的i =（ ）A ．4.5B ．5 C.6 D ．6.57.如图为一个半圆柱.ADE 是等腰直角三角形,F 是线段CD 的中点，4AB =,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB 与EF 所成角的正弦值为（ ）A ．3311 B ．1111 C.2211 D ．238.大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是 A.小徐 语文 B 小蔡 数学 C.小杨 数学 D.小蔡 语文 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A.3442+B.3422+C.3242+D.3622+10.在直角坐标系中,已知三点()()(),1,3,,4,5A a B b C ,O 为坐标原点,若向量OA 与OC 在向量OB 方向上的投影相等,且10AB OC =-,则a b -=( ) A.6 B.-6 C.-5 D.511.已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<.作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b =A ．1B ．2 C.3 D ．6212.已知函数()()2xf x x m e -=-,曲线()y f x =上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与直线y x =平行,则实数m 的取值范围是A ．()21,1e -- B ．()21,1e ---- C.()2,0e -- D ．()21,1e -+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在()421x x --的展开式中,含3x 项的系数是 ．14.设实数,x y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值为 ．15.设数列{}n a 满足(1)2n n n a +=，则12891111...a a a a ++++= ． 16.设1F ,2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b->>的左、右焦点,AB 为过焦点1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),且()2231AB AF BF +=+.若4= 3AB b .则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,.a b c ,且 2asin A bsin B bsinA csinC ++=. (1)求C ;(2)若2,22a b ==,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.18. 某大型高端制造公司为响应(中国制造2025)中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:月份5 6 7 8 9 10 11 12 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 21 13 15 18 产品销量y （万台）1122.563.53.54.5（1）根据数据可知y 与 x 之间存在线性相关关系. (i)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量;(2)为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z (单位:万台)表示日销量，[) 0. 18,0.2x ∈,则每位员工每日奖励200元;[)0.2,0.21z ∈,则每位员工每日奖励300元;[)0.21.z ∈+∞,则每位员工每日奖励400元.现已知该公司9月份日销量z (万台)服从正态分布()0. 2,0.0001N ,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元 参考数据:88112347,1308i i xiyi x i ====∑∑. 参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,......,,n n x y x y x y .其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121,2ni ni xiyi nx yb a y bx x nx i ==-==--∑∑若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ,则()()0. 6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.19.如图、在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 是矩形.11AB B C ⊥.平面1A BC ⊥平面11AB C.(1)证明:1=AA AB ;(2)若111=3,4,60BC AB ABB =∠=,求二面角1A ACB --余弦值. 20.设O 是坐标原点,F 是抛物线()220x py p =>的焦点,C 是该抛物线上的任意一点，当它与y 轴正方向的夹角为60°时,21OC =.(1)求抛物线的方程;(2)已知()0,A p ,设B 是该抛物线上的任意一点,,M N 是x 轴上的两个动点,且=2MN p ，BM BN =当+AM AN ANAM取得最大值时,求BMN 的面积.21.已知函数()21ln 22f x m x x x -+-. (1)若0m <,曲线()y f x =在点()(1,1f 处的切线在两坐标轴上的截距之和为2,求m 的值(2)若对于任意的1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意的[]1212, 2.,x x e x x ∈≠总有121212()()f x f x tx x x x ->-成立.求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为a 的直线l 经过点() 2,1A -.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12sin =3ρθρ+(1)写出曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ,求AM AN +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()242f x x x a =++-. (1)当6a =时,求()12f x ≥的解集; (2)已知()27 2,2.4a g x x ax >-=++若对于1,2a x ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦∈,都有()()f x g x ≥成立,求a 取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDCAC 6-10: DBCAD 11、12：BA二、填空题13. -12 14.11 15.9516.2 三、解答题17.解（1）因为sin sin 2sin sin a A b B b A c C ++=.所以2222a b ab c ++=.由余弦定理得2222cos 22a b c C ab +-==-. 又0C π<<，所以34C π=. （2）由（1）知34C π=根据余弦定理可得()2222222cos 2222222202c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭.所以25c =.由下弦定理得sin sin c b C B =，即2522sin 22B=. 解得5sin 5B =，从而25cos 5B =. 设BC 的中垂直交于BC 于点E . 因为在Rt BDE ∆中，cos BE B BD =,所以15cos 2255BE BD B ===. 因为DE 为线段BC 的中垂线. 所以52CD BE ==. 18.解：（1）（i)因为11.3x y ==所以1213478113830.244213088121340ni ni xiyi nx yb x nx i ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑833110.315340a y bx =-=-⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.2440.135y x =+（ii ）当25x =时，0.244250.135 6.415y =⨯+=（万台）（注：若30.244110.316,0.2440.316a y x =-⨯==+，当25x =时，0.244250.136 6.416y =⨯+=（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）（2）由题知9月份日销量z （万台)服从正态分布()0.2,0.0001N . 则20.2,0.0001,0.01μσσ===.日销量[)0.18,0.2z ∈的概率为0.95440.47722=. 日销量[)0.2,0.21z ∈的概率为0.68260.34132=. 日销量[)0.21,z ∈+∞的概率为10.68260.15872-=. 所以每位员工当月的奖励金额总数为()2000.47723000.3134000.1587307839.3⨯+⨯+⨯⨯=元 19.(1)证明∵在三棱柱111ABC A B C -中,1111// BC B C AB B C +⊥，,∴AB BC ⊥. 又.11BC BB ABBB B ⊥=，，∴BC ⊥平面11AA B B .设1AB 与1A B 相交于点E ,1AC 与1AC 相交于点F ,连接EF , ∵四边形11AA B B 与11AAC C 均是平行四边形 ∴//EF BC .EF ⊥平面11AA B B , ∴1EF AB ⊥,1EF A B ⊥又1AEA ∠是平面1A BC 与平面11AB C 所成其中和个二面角的平面角. 又平面1A BC ⊥平面11AB C , ∴11AB A B ⊥,∴四边形1AA B B 1是菱形，从而1AA AB =.(2)解:由题设可知四边形11AA B B 是菱形，160ABB ∠=.∴14AB AB ==.以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. ∴()()()()10,0,0,2,0,00,23,0,23,3E A A C -. ∴()()12,23,0,2,23,3AA AC =--=-. 设平面1AAC 的法几量(),,m x y z =. ∴100m AA m AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即3022330x y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩. 令3y =-，可得()3,3,4m =-. 又由（1）可知1AB ⊥平面1A BC .∴可取平面1A BC 的法向量为()2,0,0n EA ==. ∴37cos ,14m n m n m n ==，由图可知二面角1A ACB --的平面角为锐角，所以它的余弦值为3714. 20.解：（1）设()0,0C x y ，则由抛物线的定义得02pFC y =+. 当FC 与y轴正方向的夹角60°时，00222p p y y ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即032p y =.又2222120212OC x y py y p o o o =+=+==. 所以2p =，抛物线的方程为24x y =（2）因为BM BN =所以点B 在线段MN 的中垂线上，设()11,B x y ，则()()112,0,2,0M x N x -+ 所以()()22221122,22AM x AN x =-+=++()221121622216814226464164111xAM AN AM AN y y AN AM AM AN x y y+++++====+++所以1222444112222224411y y y AM ANAN AMyy⎛⎫+++ ⎪⎝⎭+=≤=++当且仅当12y =时等号成立，此时122x =± 所以1142AMNSMN y ∆==. 21.解（1）因为21()ln 22f x m x x x =+- 所以'()2,'(1)1mf x x f m x=+-=-. 又因为切点坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以切线方程为()112y m x m =---. 令0x =，得212m y +=-；令0y =，得212(1)m x m +=-. 由212122(1)2m m m ++-=-，化简得2260m m +-=.解得2m =-或32m =，又0m <，所以2m =-. （2）不防设12x x >，由（1）知，1'()2,1,22m f x x m x e x =+-≤≤≤≤所以()()121212f x f x tx x x x ->-等价于()()()121212t x x f x f x x x -->.即()()122111f x f x t x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，所以()()1212t tf x f x x x +>+.设()()'tg x f x x=+，则()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,e 上为单调递增函数. 因此()()2'0,'20m t g x g x x x x ≥=+--≥，对于1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 所以2120,2t x x x +--≥即3222xt x x ≤-+对于[]2,x e ∈恒成立. 设()()32222x h x x x x e =-+≤≤，则()()211'3434+022h x x x x x =-+=->.所以()h x 在[]2,e 上单调递增，()max (2)1h x h ==. 因此，1t ≤，即(],1t ∈-∞22.解（1）由12sin 3ρθρ+=得22sin 3ρρθ+=将222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）代入上式中. 得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-= （2）将l 的参数方程2cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨-+⎩，代入C 的方程22230x y y ++-=整理得()24cos sin 40t t αα--+-. 因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点.所以()224cos -sin 240αα∆->化简得cos sin 0αα<.又0a π≤<，所以2a ππ<<，且cos 0,sin 0αα<>.设方程的两根为12,t t ，则()12124sin cos 0,40t t t t αα+=-<=>. 所以120,0t t <<所以()()12+4sin cos 42sin 4AM AN t t πααα⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭. 由2παπ<<，得3444πππα<-<. 所以2sin 124πα⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，从而442sin 424πα⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.即AM AN +的取值范围是(4,42⎤⎦.23.解：当6a =时，()2426f x x x =++-，()12f x ≥等价于236x x ++-≥.因为21,3235,2321,2x x x x x x x -≥⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-+<-⎩.所以3216x x >⎧⎨-≥⎩或2356x -≤≤⎧⎨≥⎩或2216x x <-⎧⎨-+≥⎩.解得72x ≥或52x ≤-. 所以解集为5722x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.第页 11 （2）当2a >-，且1,2a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()2424f x x x a a =+--=+. 所以()()f x g x ≥，即()4a g x +≥. 又()2724g x x ax =++的最大值必为()1,2a g g ⎛⎫- ⎪⎝⎭之一. 所以21142457444a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，即25345944a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩. 解得59125a -≤≤.所以α的取值范围为59,125⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
辽宁省凌源市2018届高三数学三校联考试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知命题:p x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．()12,20x x ∀∈-≥R B ．()12,20x x ∀∈->R C ．()1200,20x x ∃∈-≥R D ．()1200,20x x ∃∈->R 3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限4．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．4312x y ±=B ．4410x y ±=C ．1690x y ±=D ．430x y ±=5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B ．2363mm 5π C ．2363mm 10π D ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122xx y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A．1yx= B．2y x=C．()()22x xyx x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩D．siny x=7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A． B． C． D．8．设55log4log2a=-，2ln ln33b=+，1lg5210c=，则,,a b c的大小关系为（）A．b c a<< B．a b c<< C．b a c<< D．c a b<<9．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1819B．120C．2021D．192010．将函数()2sin43f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭π的图象向平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x=的图象，则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．最小正周期为π B．初相为3πC．图象关于直线12x=π对称 D．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称11．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x=的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．43-B．43 C ．43± D ．169- 12．如图，在ABC ∆中，1AB =，3BC =，以C 为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD ，当ABC ∠变化时，线段BD 长度的最大值为（ ）A 61B 6C ．2361第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量sin,cos36a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ，(),1b k =，若a b ∥，则k = ． 14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为 ．15．已知实数,x y 满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ则()sin x y +的取值范围为 （用区间表示）．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥平面ABCD 且，2MA BC AB ===，则该阳马的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点()2,1，2，直线:20l kx y -+=与椭圆C 交于,A B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()e xaxf x =的图象在0x =处的切线方程为y x =，其中e 是自然对数的底数. （1）若对任意的()0,2x ∈，都有()212f x k x x<+-成立，求实数k 的取值范围； （2）若函数()()()ln g x f x b b =-∈R 的两个零点为()1212,x x x x <，试判断122x x g +⎛⎫' ⎪⎝⎭的正负，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）求曲线C 普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥.文数参考答案及评分细则一、选择题1-5:BCADC 6-10:CBBDD 11、12：AD 二、填空题13．1 14．2- 15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴252,16a a ==或2516,2a a ==（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*n ∈N ）. （2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++()211222n -=+++++()123n ++++()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. ∵点D 为AB 的中点， ∴1OD AC ∥.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD .（2）∵AC BC =，AD BD =， ∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A 平面ABC AB =，∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin 24CD AC ==π∴11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆==⨯ 1111132A B AA CD =⨯⨯⨯⨯122226=⨯43=. 19．解：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为,,a b c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为,d e .则从5人中选出2人的所有可能结果为()()()(),,,,a b a c a d a e ，，，，()()()(),,,,,b c b d b e c d ，，，()(),,c e d e ，，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20．解：（1）依题意，得22222211,,2,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =，故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）假设存在符合条件的实数k . 依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理，得()2212840k x kx +++=， 则()226416120k k ∆=-+>，即2k >或2k <-. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122812k x x k +=-+，122412x x k =+.由OA OB OA OB +=-， 得0OA OB ⋅=. ∴12120x x y y +=，∴()()1212220x x kx kx +++=， 即()()212121240k x x k x x ++++=，∴()22224116401212k k k k+-+=++. 即2284012k k -=+，即22k =，即k =故存在实数k =OA OB OA OB +=-成立. 21．解：（1）由题得，()()1e xa x f x -'=， ∵函数在0x =处的切线方程为y x =，∴()011af '==，∴1a =. 依题意，()21e 2x xf x k x x =<+-对任意的()0,2x ∈都成立，∴220k x x +->，即22k x x >-对任意的()0,2x ∈都成立，从而0k ≥.又不等式整理可得，2e 2xk x x x <+-. 令()2e 2xh x x x x=+-， ∴()()()2e 1+21x x h x x x -'=-()2e 12x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴()()min 1e 1k h x h <==-.综上所述，实数k 的取值范围为[)0,e 1-. （2）结论是1202x x g +⎛⎫'<⎪⎝⎭.理由如下：由题意知，函数()ln g x x x b =--， ∴()111xg x x x-'=-=， 易得函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴只需证明1212x x +>即可. ∵12,x x 是函数()g x 的两个零点，∴1122ln ,ln ,x b x x b x +=⎧⎨+=⎩相减，得2211ln x x x x -=.不妨令211x t x =>， 则21x tx =，∴11ln tx x t -=，∴11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证()1ln 201t t t t -=-⋅>+ϕ.∵()()2141t t t '=-=+ϕ()()22101t t t ->+， ∴()t ϕ在区间()1,+∞上单调递增. ∴()()10t >=ϕϕ.综上所述，函数()g x 总满足1202x x g +⎛⎫'<⎪⎝⎭.22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），得曲线C 的普通方程为2214x y +=.sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ， 得()sin cos 3+=ρθθ.即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=.（2）设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα，则该点到直线l的距离d ==（其中tan 2=ϕ），当()sin 1+=-αϕ时，max d ==. 即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为2. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 则不等式()3f x ≤即为1,33,x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤. 故原不等式的解集为{}11x x -≤≤.由题得，()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---= 当且仅当()()21220x x -+≤ 即112x -≤≤时取等号，∴[)3,M =+∞.∴()()2331t t t t --=-+.∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>，∴()()310t t -+≥.∴223t t -≥.。
辽宁凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考语文试题及答案人教版高三上册2017-2018学年度上学期高三学年12月验收考试语文试卷考生注意:l.本试卷满分150分,考试时间150分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围:高考范围。
一、现代文阅读（35分）阅读下面的文字，完成1-3题。
我虽然已活到了不惑之年，但还常常为一件事感到疑惑：为什么有很多人总是这样的仇恨新奇、仇恨有趣。
古人曾说：天不生仲尼，万古长如夜；但我有相反的想法。
假设历史上曾有一位大智者，一下发现了一切新奇、一切有趣，发现了终极真理，根绝了一切发现的可能性，我就情愿到该智者以前的年代去生活。
这是因为，假如这种终极真理已经被发现，人类所能做的事就只剩下依据这种真理来做价值判断。
从汉代以后到近代，中国人就是这么生活的。
我对这样的生活一点都不喜欢。
我认为，在人类的一切智能活动里，没有比做价值判断更简单的事了。
假如你是只公兔子，就有做出价值判断的能力——大灰狼坏，母兔子好；然而兔子就不知道九九表。
此种事实说明，一些缺乏其他能力的人，为什么特别热爱价值的领域。
倘若对自己做价值判断，还要付出一些代价；对别人做价值判断，那就太简单、太舒服了。
讲出这样粗暴的话来，我的确感到羞愧，但我并不感到抱歉。
因为这种人士带给我们的痛苦实在太多了。
在一切价值判断之中，最坏的一种是：想得太多、太深奥、超过了某些人的理解程度是一种罪恶。
我们在体验思想的快乐时，并没有伤害到任何人；不幸的是，总有人觉得自己受了伤害。
诚然，这种快乐不是每一个人都能体验到的，但我们不该对此负责任。
2018届辽宁省凌源二中高三三校联考数学（文）试题(解析版）一、单选题1．已知集合{}2540M x x x =-+≤， {}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】B【解析】由题得集合{}/14M x x =≤≤，所以{}1,2,3M N ⋂=，故选B 点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目 2．已知命题:R p x ∀∈， ()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A. ()12R,20x x ∀∈-≥ B. ()12R,20x x ∀∈-> C. ()1200R,20x x ∃∈-≥ D. ()1200R,20x x ∃∈->【答案】C【解析】含有一个量词的命题的否定写法是“变量词，否结论”，故选C3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 【答案】A 【解析】由题得()()525i 5i 2122i 12i 1215i i z i i -++====---+-（）（），所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2，-1），位于第四象限，故选A4．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 4312x y ±=B. 40x =C. 1690x y ±=D. 430x y ±= 【答案】D【解析】由题得c=5,则22169a c =-= ，即a=3,所以双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±= ，故选D 5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A.2726mm 5π B. 2363mm 5π C. 2363mm 10π D. 2363mm 20π【答案】C【解析】根据题意可估计军旗的面积大约是22303631110010S mm ππ=⨯⨯= ，故选C6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A. 1y x= B. 2y x =C. ()()220{ 0x x y x x -≥=< D. sin y x = 【答案】C 【解析】函数122xx y =-为奇函数，且在R 上单调递减，对于C,画出图象可知函数()()220{ 0x x y x x -≥=<，是奇函数，且在R 上单调递减，故选C 7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为B,故选B点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．设55log 4log 2a =-， 2ln ln33b =+， 1lg5210c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. b c a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】由题得， 5log 2a =， ln2b =，c =由换底公式，得21log 5a =， 21log b e=，而22log 5log 1e >>， 221101log 5log e ∴<<<，即01a b c <<<<=，故选B9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A.1819 B. 120 C. 2021 D. 1920 【答案】D【解析】由框图可知， 11111191++223192020S =---= .故选D 10．将函数()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A. 最小正周期为πB. 初相为3πC. 图象关于直线12x π=对称D. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】易求得()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π ，初相为3π，即A,B 项正确，而2sin 2122g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故函数()y g x =的图象关于直线12x π=对称，即C 项正确，故选D11．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ）A. 43-B. 43C. 43±D. 169-【答案】A【解析】令y=1,代入24y x =，得14x = ，即114A （，）,由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F(1,0),所以 直线AB 的斜率为1041314k -==--，故选A12．如图，在ABC ∆中， 1AB =，BC ，以C 为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD ，当ABC ∠变化时，线段BD 长度的最大值为（ ）A.1B.C.D. 1【答案】D【解析】在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=，由余弦定理，可得24AC α=-，由正弦定理，可得sin β=，()2342cos 907BD αβαα∴=+--+=-+45α=-（）所以当=135α时，BD，故选D点睛:本题考查的是三角形中的正余弦定理和三角函数式的化简，三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.二、填空题13．已知向量，，若，则__________．【答案】1【解析】由,得.即.解得.14．已知函数，若曲线在点处的切线经过圆：的圆心，则实数的值为__________．【答案】【解析】对求导，得，所以.故所求切线的方程为，即.由该直线经过圆：的圆心，得.解得. 15．已知实数，满足约束条件则的取值范围为__________（用区间表示）．【答案】【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即,所以.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥 为阳马，侧棱 底面 ，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________． 【答案】【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别 与 ，则 .即 . 由表.得表.所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为 .三、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中， 1632a a ⋅=， 2518a a +=，其中*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）2212nn n+-+.【解析】试题分析：（1）由251632a a a a ⋅=⋅=及2518a a +=得22a =， 516a =，进而的q ，可得通项公式；（2）12n n b n -=+利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴22a =， 516a =或216a =， 52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q --==（*N n ∈）.（2）由（1）得， 12n n b n -=+. ∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（I ）连接 交 于点 ，连接 ，通过证明 ，利用直线与平面平行的判定定理证明AC 1∥平面CDB 1．（II ）要求三棱锥 的体积，转化为即可求解．试题解析：（1）连接 交 于点 ，连接 .在三棱柱 中，四边形 是平行四边形. ∴点 是 的中点. ∵点 为 的中点， ∴ .又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 .（2）∵ ， ， ∴ .在三棱柱中，由平面，得平面平面.又平面平面.∴平面.∴点到平面的距离为，且.∴.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人.(ii)9 10【解析】试题分析：(1)由列联表可得2 2.198 2.072K≈>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关.(2)（i ）依题意可知，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率910P =.试题解析：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a ， b ， c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为d ， e .则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ， (),a c ， (),a d ， (),a e ，(),b c ， (),b d ， (),b e ， (),c d ， (),c e ， (),d e 共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e 共1种， 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20．已知椭圆 ：过点 ，离心率为，直线 ：与椭圆 交于 ， 两点. （1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在实数 ，使得 （其中 为坐标原点）成立？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2） .【解析】试题分析：（1）根据题意得，从而可得方程；（2）直线和椭圆联立得 ，设 ， ，由，得 ，即 ，由韦达定理代入即得. 试题解析：（1）依题意，得解得 ， ， ， 故椭圆 的标准方程为.（2）假设存在符合条件的实数 . 依题意，联立方程消去 并整理，得 . 则 ， 即或. 设 ， ，则，. 由 ， 得. ∴ .∴ . 即 . ∴.即.即 ，即 .故存在实数 成立. 21．已知函数()ex axf x =的图象在0x =处的切线方程为y x =，其中e 是自然对数的底数.（1）若对任意的()0,2x ∈，都有()212f x k x x <+-成立，求实数k 的取值范围；（2）若函数()()()ln R g x f x b b =-∈的两个零点为()1212,x x x x <，试判断122x x g +⎛'⎫⎪⎝⎭的正负，并说明理由.【答案】（1）[)0,e 1-.（2）见解析【解析】试题分析：（1）由()01f '=解得1a =.由题可得22e 2?2xx x k x x x-<<+-在()0,2x ∈恒成立，分别求得两边函数的值域，运用恒成立思想，即可得到k 的范围（2）由题意知，函数()ln g x x x b =--， 12,x x 是函数()g x 的两个零点，易得函数()g x 在区间在区间()1,+∞上单调递减.只需证明1212x x +>即可. 试题解析： （1）由题得， ()()1exa x f x '-=，∵函数在0x =处的切线方程为y x =，∴()011af '==，∴1a =. 依题意， ()21e 2x xf x k x x =<+-对任意的()0,2x ∈都成立，∴220k x x +->，即22k x x >-对任意的()0,2x ∈都成立，从而0k ≥.又不等式整理可得， 2e 2xk x x x <+-.令()2e 2xh x x x x=+-，∴()()()2e 1+21x x h x x x ='-- ()2e 12x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时， ()0h x '<， ()h x 单调递减； 当()1,2x ∈时， ()0h x '>， ()h x 单调递增. ∴()()min 1e 1k h x h <==-.综上所述，实数k 的取值范围为[)0,e 1-.（2）结论是1202x x g +⎛⎫< ⎪⎝⎭'.理由如下：由题意知，函数()ln g x x x b =--，∴()111x g x x x-=-='， 易得函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴只需证明1212x x +>即可. ∵12,x x 是函数()g x 的两个零点， ∴1122,{,x b lnx x b lnx +=+=相减，得2211ln xx x x -=.不妨令211x t x =>， 则21x tx =，∴11ln tx x t -=，∴11ln 1x t t =-， 2ln 1t x t t =-， 即证1ln 21t t t +>-， 即证()1ln 201t t t t ϕ-=-⋅>+. ∵()()2141t t t ϕ=-+'= ()()22101t t t ->+， ∴()t ϕ在区间()1,+∞上单调递增. ∴()()10t ϕϕ>=.综上所述，函数()g x 总满足1202x x g +⎛⎫< ⎪⎝⎭'.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为. （1）求曲线 的普通方程及直线 的直角坐标方程； （2）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.【答案】（1）曲线 的普通方程为，直线 的普通方程为 ；（2）. 【解析】试题分析：（1）利用 消去参数得曲线 的普通方程为，利用 ， 得直线 的普通方程为 ；（2）利用圆的参数方程得，进而由三角求最值即可.试题解析：（1）由曲线的参数方程（为参数），得曲线的普通方程为.由，得，即.∴直线的普通方程为.（2）设曲线上的一点为，则该点到直线的距离（其中）.当时，.即曲线上的点到直线的距离的最大值为.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，试证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用分段去绝对值解不等式；（2），得，由即可证得.试题解析：（1）依题意，得则不等式即为或或解得.故原不等式的解集为.（2）由题得，，当且仅当.即时取等号.∴.∴.∵，∴，.∴.∴.。
辽宁省凌源二中2018届高三数学三校联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，本题选择D选项.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，结合同角三角函数基本关系可得：.本题选择B选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离，据此可得，当m=4时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为，据此可得：，双曲线（）的渐近线为.本题选择C选项.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即时推出循环，则①中应填.本题选择C选项.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10. 已知函数（）的部分图象如图所示，其中.即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】C【解析】由可得：，解得：，结合可得：，结合可得：，函数的解析式为：，则命题p是真命题.将函数的图像上所有的点向右平移个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题q为假命题，则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题.本题选择C选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故△ABM的周长为,本题选择D选项.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. 49 C. D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，结合排列组合的性质可知，由，当且仅当时等号成立.综上可得：的最大值为.....................................(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知满足其中，若的最大值与最小值分别为1，，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）若，求函数的值域；（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可得..结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域是；(2)由题意得到三角方程：.据此可得，然后利用余弦定理求得.最后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（1）由题意，得.所以.因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为，所以.因为，所以.所以，解得.所以.又，且，，所以.所以的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.(2)①；②；.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，. 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数（），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）分类讨论：当时，明显成立；当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得极小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，成立.当时，由（1），知在内单调递增，令为和中较小的数，所以，且，则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得，g(x)的值域为.然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2）当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2018届高三三校联考文数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N I 中元素的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知命题:p x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．()12,20x x ∀∈-≥R B ．()12,20x x ∀∈->R C ．()1200,20x x ∃∈-≥R D ．()1200,20x x ∃∈->R 3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限4．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．4312x y ±=B ．40x ±=C ．1690x y ±=D ．430x y ±=5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B ．2363mm 5π C ．2363mm 10π D ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122xxy=-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）A．1yx= B．2y x=C．()()22x xyx x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩D．siny x=7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A． B． C． D．8．设55log4log2a=-，2ln ln33b=+，1lg5210c=，则,,a b c的大小关系为（）A．b c a<< B．a b c<< C．b a c<< D．c a b<<9．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1819B．120C．2021D．192010．将函数()2sin43f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭π的图象向平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x=的图象，则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．最小正周期为π B．初相为3πC．图象关于直线12x=π对称 D．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称11．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．43-B ．43C ．43±D ．169- 12．如图，在ABC ∆中，1AB =，BC =，以C 为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD ，当ABC ∠变化时，线段BD 长度的最大值为（ ）A1 BC．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量sin ,cos 36a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππr ，(),1b k =r，若a b ∥r r ，则k = ．14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为 ．15．已知实数,x y 满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ则()sin x y +的取值范围为 （用区间表示）．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥平面ABCD 且，2MA BC AB ===，则该阳马的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点()，直线:20l kx y -+=与椭圆C 交于,A B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r（其中O 为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()ex axf x =的图象在0x =处的切线方程为y x =，其中e 是自然对数的底数. （1）若对任意的()0,2x ∈，都有()212f x k x x <+-成立，求实数k 的取值范围；（2）若函数()()()ln g x f x b b =-∈R 的两个零点为()1212,x x x x <，试判断122x x g +⎛⎫' ⎪⎝⎭的正负，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线lsin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）求曲线C 普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥.文数参考答案及评分细则一、选择题1-5:BCADC 6-10:CBBDD 11、12：AD 二、填空题13．1 14．2- 15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴252,16a a ==或2516,2a a ==（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*n ∈N ）. （2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++L()211222n -=+++++L ()123n ++++L ()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. ∵点D 为AB 的中点， ∴1OD AC ∥.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD .（2）∵AC BC =，AD BD =， ∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =， ∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin 4CD AC ==π∴11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆==⨯1111132A B AA CD =⨯⨯⨯⨯126=⨯43=. 19．解：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为,,a b c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为,d e .则从5人中选出2人的所有可能结果为()()()(),,,,a b a c a d a e ，，，，()()()(),,,,,b c b d b e c d ，，，()(),,c e d e ，，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20．解：（1）依题意，得22222211,2,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =，故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y 并整理，得()2212840k x kx +++=， 则()226416120k k ∆=-+>，即2k >或2k <-. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122812k x x k +=-+，122412x x k=+.由OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r ，得0OA OB ⋅=uu r uu u r.∴12120x x y y +=，∴()()1212220x x kx kx +++=， 即()()212121240k x x k x x ++++=，∴()22224116401212k k k k+-+=++. 即2284012k k -=+，即22k =，即k =故存在实数k =OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立.21．解：（1）由题得，()()1e xa x f x -'=， ∵函数在0x =处的切线方程为y x =，∴()011af '==，∴1a =. 依题意，()21e 2x xf x k x x =<+-对任意的()0,2x ∈都成立，∴220k x x +->，即22k x x >-对任意的()0,2x ∈都成立，从而0k ≥.又不等式整理可得，2e 2xk x x x <+-. 令()2e 2xh x x x x=+-， ∴()()()2e 1+21x x h x x x -'=-()2e 12x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴()()min 1e 1k h x h <==-.综上所述，实数k 的取值范围为[)0,e 1-. （2）结论是1202x x g +⎛⎫'<⎪⎝⎭.理由如下：由题意知，函数()ln g x x x b =--， ∴()111xg x x x-'=-=， 易得函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴只需证明1212x x +>即可. ∵12,x x 是函数()g x 的两个零点，∴1122ln ,ln ,x b x x b x +=⎧⎨+=⎩相减，得2211ln x x x x -=.不妨令211x t x =>， 则21x tx =，∴11ln tx x t -=，∴11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证()1ln 201t t t t -=-⋅>+ϕ.∵()()2141t t t '=-=+ϕ()()22101t t t ->+， ∴()t ϕ在区间()1,+∞上单调递增. ∴()()10t >=ϕϕ.综上所述，函数()g x 总满足1202x x g +⎛⎫'<⎪⎝⎭.22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），得曲线C 的普通方程为2214x y +=.sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ， 得()sin cos 3+=ρθθ.即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=.（2）设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα，则该点到直线l的距离d ==（其中tan 2=ϕ），当()sin 1+=-αϕ时，max d ==. 即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为2. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 则不等式()3f x ≤即为1,33,x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤. 故原不等式的解集为{}11x x -≤≤.由题得，()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---= 当且仅当()()21220x x -+≤ 即112x -≤≤时取等号， ∴[)3,M =+∞.∴()()2331t t t t --=-+. ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>，∴()()310t t -+≥.∴223t t -≥.。
辽宁省凌源二中2018届高三数学三校联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，本题选择D选项.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，结合同角三角函数基本关系可得：.本题选择B选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离，据此可得，当m=4时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为，据此可得：，双曲线（）的渐近线为.本题选择C选项.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即时推出循环，则①中应填.本题选择C选项.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10. 已知函数（）的部分图象如图所示，其中.即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】C【解析】由可得：，解得：，结合可得：，结合可得：，函数的解析式为：，则命题p是真命题.将函数的图像上所有的点向右平移个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题q为假命题，则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题.本题选择C选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故△ABM的周长为,本题选择D选项.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. 49 C. D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，结合排列组合的性质可知，由，当且仅当时等号成立.综上可得：的最大值为.....................................(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知满足其中，若的最大值与最小值分别为1，，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）若，求函数的值域；（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可得..结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域是；(2)由题意得到三角方程：.据此可得，然后利用余弦定理求得.最后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（1）由题意，得.所以.因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为，所以.因为，所以.所以，解得.所以.又，且，，所以.所以的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且. （1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，. 当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.(2)①；②；.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数（），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值. （2）分类讨论：当时，明显成立；当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得极小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，成立.当时，由（1），知在内单调递增，令为和中较小的数，所以，且，则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得，g(x)的值域为.然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2）当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
