初中数学竞赛辅导资料(48)

《初中数学竞赛小蓝本》是一套适合初中数学竞赛的辅导教材。

它涵盖了初中数学竞赛的所有考点，并提供了大量的例题和习题，
以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

这套书的内容非常丰富，包括代数、几何、数论等多个方面的
知识。

每个章节都配备了相应的概念描述和公式标注，以便学生更
好地理解和记忆。

同时，习题部分也是该书的亮点之一，题目难度
适中，从基础到高级，适合不同层次的学生进行练习。

此外，《初中数学竞赛小蓝本》还注重培养学生的解题思路和
方法。

通过大量的例题和习题，学生可以逐渐掌握数学竞赛的解题
技巧和方法，提高自己的解题能力和思维能力。

总的来说，《初中数学竞赛小蓝本》是一套非常适合初中数学
竞赛的辅导教材，可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。

精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)初中数学竞赛专题讲解最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】l 上求一点P ，使值最小．【问题2】“将军饮马” 作法图形原理l 上求一点P ，使值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为【问题3】 作法图形原理1l 、2l 上分别求点，使△PMN 的周长最分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．lBAlPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P周长最小．【问题5】“造桥选址” 作法图形 原理∥n ，在m 、n ，上分别求点M 、N ，使MN ⊥AM +MN +BN 的值将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇B +MN ．【问题6】 作法图形原理l 上求两点M 、N （M ，使a MN ，并使将点A 向右平移a 个长度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇， 连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇＇B +MN ．m nM NA'BA la BM Nm nABM NlA''A'BAM N一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2===，假设AB BC CD一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

初中数学竞赛辅导资料（47）配方法甲内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式（a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：① 用完全平方式来因式分解例如：把x 4+4 因式分解.原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝……这是由a 2+b 2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简625-.我们把5－26写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.这是由2 ab 配上a 2+b 2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0，∴当a=0时，a 2的值为0是最小值.例如：求代数式a 2+2a －2 的最值.∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3.这是由a 2±2ab 配上b 2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0.要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0201y x .解得 ⎩⎨⎧=-=21y x此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.乙例题例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a －b)2 （配方）＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2. 化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.解：化简的关键是把被开方数配方①347+＝33224+⨯+＝2)32(+ ＝32+＝2＋3. ②32-＝2322-＝2324-＝2)13(2- ＝2)13(2-＝226-. ③223410+-＝2)12(410+- ＝）＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-=2－2.例3. 求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 . 解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭⎫ ⎝⎛－425+1 ＝（x+25）2－421. ∵（x+25）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－421. ②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-21） =－2(x 2+2×23x+4949-－21) ＝－2（x+23）2+211 ∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211. 例4. 解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组）(x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0012y x x ∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或 ⎩⎨⎧=-=11y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组)(x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方）∴⎩⎨⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x 例5. 已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.（1986年全国初中数学联赛题）解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项)（x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==04y x 同理，共有12个解⎩⎨⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……丙练习471. 因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4 ； ②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1.2. 化简下列二次根式： ①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）； ②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)； ③21217-； ④53+； ⑤324411-+； ⑥5353-++；⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x -3）2＋1682+-x x .3求下列代数式的最大或最小值：①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1. 4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+ba 的值.5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 .试判断代数式cb a 111++值的正负. （1987年全国初中数学联赛题） 7.已知：x=3819- .求：1582316262234+-++--x x x x x x . （1986年全国初中数学联赛题） 8.已知：a 2+c 2+2(b 2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c.9. 解方程：①x 2-4xy+5y 2-6y+9 ； ②x 2y 2+x 2+4xy+y 2+1=0 ；③5x 2+6xy+2y 2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整数解：①（2x-y －2）2＋(x+y+2)2=5；②x 2-6xy+y 2+10y+25=0.练习471. ②（x －y －3）22. ①8， ②0.5x ， ③3－22， ④2210+， ⑤2＋3， ⑥10 ⑦3＋5， ⑧7－2x （x ≤3）3. ①当x=－25时，有最小值－223 ②x=1时，有最大值－21 4. a=2, b=1 代数式值是3＋225. ±136.负数。

初中数学竞赛辅导资料乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

第一篇 一元一次方程的议论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

比如：方程 2 x ＋ 6＝0，x （ － 1）=0, |x |=6,0 x =0, 0 =2的解xx分别是：x =－3, x =0 或 x =1,x =±6, 全部的数，无解。

2. 对于 x 的一元一次方程的解（根）的状况：化为最简方程 ax =b 后，议论它的解：当 a ≠0时，有独一的解x = b；a当 a =0 且 b ≠0时，无解；当 a =0 且 b ＝ 0 时，有无数多解。

（∵无论 x 取什么值， 0x ＝ 0 都建立）3. 求方程 ax =b ( a ≠0) 的整数解、正整数解、正数解当 a ｜ b 时，方程有整数解；当 a ｜ b ，且 a 、 b 同号时，方程有正整数解；当 a 、 b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，议论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程 ax =b第二部分 典例精析 例 1a 取什么值时，方程 a ( a －2) x =4( a － 2) ①有独一的解②无解③有无数多解④是正数解例 2 k取什么整数值时，方程①k( x+1)= k－2（x－ 2）的解是整数②（ 1－x）k=6 的解是负整数例 3己知方程a( x－2)= b( x+1)－2a无解。

问 a 和 b 应知足什么关系例 4a、 b 取什么值时，方程（3x－ 2）a+（ 2x－ 3）b=8x－7 有无数多解第三部分典题精练1. 依据方程的解的定义，写出以下方程的解：① (x +1)=0, ②x 2③| |=9 ， ④| |= －3,=9,xx⑤3 +1=3 － 1,⑥ +2=2+xx x x2. 对于 x 的方程 ax =x +2 无解，那么 a __________3. 在方程 a ( a － 3) x =a 中，当 a 取值为＿＿＿＿时，有独一的解； 当 a ＿＿＿时无解；当 a ＿＿＿＿＿时 , 有无数多解；当 a ＿＿＿＿时 , 解是负数。

初中数学竞赛辅导资料
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初一上目录
1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数
6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则
初一下目录
9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类
初二上目录
17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质
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初二下目录
29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）
初三上目录
45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形
初三下目录
61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习。

初中数学竞赛辅导全完整版一、代数部分。

（一）代数式化简求值。

代数式化简求值是初中代数的基础内容。

化简式子3x + 2y 5x + 3y，咱先把同类项合并，也就是把含有相同字母且相同字母指数也相同的项合并在一起。

这里3x和-5x是同类项，合并后得到-2x；2y和3y是同类项，合并后得到5y，所以化简结果就是-2x + 5y。

要是再要求求值，比如当x = 2，y = 3时，把值代入化简后的式子，-2×2 + 5×3 = -4 + 15 = 11。

这就是代数式化简求值的基本思路，先化简再代入求值，这样计算会更简便。

（二）方程与不等式。

方程和不等式在数学竞赛中经常出现。

比如说解方程2x + 5 = 13，咱的目标就是求出x的值。

可以通过移项来求解，把5移到等号右边，变成2x = 13 5，也就是2x = 8，然后两边同时除以2，得到x = 4。

再看看不等式，比如解不等式3x 7 > 2。

同样先移项，把-7移到右边变成3x > 2 + 7，也就是3x > 9，两边再同时除以3，得到x > 3。

解不等式的时候要注意，当两边同时乘以或者除以一个负数时，不等号的方向要改变。

二、几何部分。

（一）三角形的性质。

三角形是几何里很重要的图形。

比如说三角形的内角和是180^∘。

举个例子，在一个三角形中，已知两个角分别是30^∘和60^∘，那第三个角就是180^∘ 30^∘ 60^∘= 90^∘，这个三角形就是直角三角形。

还有三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

比如有三条边分别是3、4、5，3 + 4 > 5，4 + 5 > 3，3 + 5 > 4，同时5 3 < 4，5 4 < 3，4 3 < 5，满足三边关系，能构成三角形。

（二）四边形的相关知识。

四边形也有很多知识点。

像平行四边形，它的对边平行且相等。

比如一个平行四边形ABCD，AB平行且等于CD，AD平行且等于BC。

初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0）所得的商A/B 是整数，那么叫做A 被B 整除。

0能被所有非零的整数整除。

能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56(能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x ，y解:x ，y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除，∴y=6。

∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5,8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0,4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3)＝4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习一1、分解质因数:（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除,那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。