§12.1 随机抽样

第十二章 统计与概率§12.1 随机抽样【知识回顾】一．随机抽样：1．简单随机抽样(1)定义：从元素个数为N 的总体中__________抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有________的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．(3)应用范围：总体中的个体数__________．2．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．(2)系统抽样的操作步骤第一步编号：先将总体的N 个个体编号；第二步分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； 第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号s (s ≤k )；第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将s 加上间隔k 得到第2个个体编号__________，再加k 得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．(3)应用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按____________________进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)应用范围：当总体是由__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样．参考答案：1．(1)不放回地， 相同 (3)较少2．(2)(s ＋k )， (s ＋2k )3．(1)层在总体中所占比例 (2)差异明显【基础训练】1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大．(×)(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．(√)(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(×)(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.答案 A3．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则() A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p3解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.答案 D4．(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为：300×44＋5＋5＋6＝60.答案605．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为________________．解析因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为适合．答案简单随机抽样【例题分析】例1．下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．(2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．(3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．解(1)不是简单随机抽样．因为被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的．(2)不是简单随机抽样．因为它是放回抽样．(3)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．(4)不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．规律方法(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．变式练习1：(1)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07 C．02 D．01(2)下列抽样试验中，适合用抽签法的有()A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验解析(1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第5个个体编号为01.(2)A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B.答案(1)D(2)B例2．(1)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________．(2)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20解析 (1)由系统抽样知识知，第一组1～8号；第二组为9～16号；第三组为17～24号；第四组为25～32号；第五组为33～40号．第一组抽出号码为2，则依次为10，18，26，34.(2)由系统抽样的定义知，分段间隔为1 00040＝25.故答案为C. 答案 (1)2，10，18，26，34 (2)C规律方法 (1)系统抽样又称“等距抽样”，所以依次抽取的样本对应的号码就组成一个等差数列，首项就是第1组所抽取的样本号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码，但有时也不是按一定间隔抽取的．(2)系统抽样时，如果总体中的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．变式练习2：(1)从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，6，16，32(2)某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )A ．10B ．11C ．12D ．16解析 (1)间隔距离为10，故可能编号是3，13，23，33，43.(2)因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16. 答案 (1)B (2)D例3．(1)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．(2)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析 (1)由题意知，甲、乙两套设备产品数量抽样比为5∶3，故乙设备生产的产品共 4800×38＝1 800(件)．(2)高二年级学生人数占总数的33＋3＋4＝310.样本容量为50，则高二年级抽取：50×310＝15(名)学生．答案 (1)1 800 (2)15规律方法 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .变式练习3：(1)某公司一共有职工200人，其中老年人25人，中年人75人，青年人100人，有关部门为研究老年人、中年人、青年人对公司发展的态度问题，现在用分层抽样的方法从这个公司抽取m 人进行问卷调查，如果抽到老年人3人，那么m ＝( )A ．16B ．20C ．24D ．28(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100，10B ．200，10C ．100，20D ．200，20解析 (1)由325＝m 200，解得m ＝24，故选C. (2)共有10 000名学生，样本容量为10 000×2%＝200，高中生近视人数200×15×12＝20，故选D. 答案 (1)C (2)D【课后练习】1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是( )A ．1 000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．1 000名学生的成绩是一个个体D ．样本的容量是100解析 1 000名学生的成绩是总体，其容量是1 000，100名学生的成绩组成样本，其容量是100.答案 D2．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析 对于①，个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样；对于②，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样；对于③，个体有明显的差异，所以选用分层抽样，故选A.答案 A3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481，720]的人数为720－48020＝24020＝12(人)． 答案 B4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．答案 C5． (1)某学校为了了解2014年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是( )A ．(1)Ⅲ，(2)ⅠB ．(1)Ⅰ，(2)ⅡC ．(1)Ⅱ，(2)ⅢD ．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ解析 通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法． 答案 A6．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．解析 由已知得抽样比为624＝14， ∴丙组中应抽取的城市数为8×14＝2. 答案 27．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析 因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．答案 378．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为______．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x 人，则40200＝x 100，解得x ＝20.答案 37 209．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解 (1)∵x 2 000＝0.19.∴x ＝380. (2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482 000×500＝12名． 10．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．解 用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4， ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00，01，02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样解析①在1～108之间有4个，109～189之间有3个，190～270之间有3个，符合分层抽样的规律，可能是分层抽样．同时，从第二个数据起每个数据与其前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的；同理③符合分层抽样的规律，可能是分层抽样时，从第二个数据起每个数据与其前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的，故选D.答案 D12．(2015·青岛模拟)将参加夏令营的600名学生编号为001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26，16，8 B．25，17，8C．25，16，9 D．24，17，9解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N+)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得1034<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知，选B.答案 B13．一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k 的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案7614．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.解总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6，12，18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。