河南省2019届中考数学总复习第四章三角形真题帮

专题17 三角形及其性质☞解读考点知识点名师点晴三角形的重要线段中线、角平分线、高线理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线三角形的中位线理解并掌握三角形的中位线的性质三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理三角形的外角三角形的外角的性质能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明☞2年中考【题组】1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D ．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确； B ．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C ．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D ．∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误． 故选A ．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ． 7或9 D ．9或12 【答案】B ． 【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12； 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是12． 故选B ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121° 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE ，CD 是∠B 、∠C 的平分线，∴∠CBE=21∠ABC ，∠BCD=21∠BCA ，∴∠CBE+∠BCD=21（∠ABC+∠BCA ）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C ． 考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或10 【答案】B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心 【答案】D ． 【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D ． 考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A 正确，B ．C 、D 错误．故选A ．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）A ．4B ．4或5C ．5或6D ．6 【答案】B ． 【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么a=24S ，b=212S ，c=2S h ，又∵a ﹣b ＜c ＜a+b ，∴22222412412S S S S Sh -<<+，即2233S S Sh <<，解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故选B ．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形 【答案】D ． 【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D ． 考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A ． 【解析】试题分析：为△ABC 中BC 边上的高的是A 选项．故选A ． 考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A．17 B ．16 C．15 D．14【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．【答案】1＜c ＜5． 【解析】试题分析：由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为：1＜c ＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 20．（南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是 度．【答案】60． 【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A ，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个． 【答案】10． 【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10． 考点：三角形三边关系．22．（广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若ABC 12S =△，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．【答案】5． 【解析】试题分析：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE=22BC CE +=2243+=5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】53 2．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD = ．【答案】2． 【解析】试题分析：∵△ABC 的中线BD 、CE 相交于点O ，∴点O 是△ABC 的重心，∴OBOD =2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A ⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B 在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简2221432a a a a a a +⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．【答案】13a -，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a 的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A． 120° B． 135° C． 150° D． 180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A55255225105【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵55，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=55BEAB，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】1 5．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是21105 ． 考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2= 度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An 在射线OA 上，点B1，B2，B3，…，Bn ﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An ﹣1Bn ﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn ﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An ﹣1AnBn ﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】12；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知2132A B A B =212323A B B A B B S S=12，2233A B A B =212323A B B A B B SS=12，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。

第一节角、相交线与平行线考点1 角1.[2018甘肃白银]若一个角为65°,则它的补角的度数为( )A.25°B.35°C.115°D.125°2.[2018山东德州]如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中,α与β互余的是( )图(1) 图(2) 图(3) 图(4)A.图(1)B.图(2)C.图(3)D.图(4)3.[2018河北]如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行,则此时快艇的航行方向为( )A.北偏东30°B.北偏东80°C.北偏西30°D.北偏西50°考点2 相交线4.[2018广东广州越秀区二模]如图,直线AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,若∠1=26°,则∠2的度数是( )A.26°B.64°C.54°D.以上答案都不对(第4题) (第5题)5.[2018湖南邵阳模拟]如图,OC⊥AB于点O,∠1=∠2,则图中互余的角有对.考点3 平行线6.[2018广东广州]如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )22A.∠4,∠2B.∠2,∠6C.∠5,∠4D.∠2,∠47.[2018平顶山一模]如图,BE∥AF,点D 是AB 上一点,且DC⊥BE 于点C,若∠A=35°,则∠ADC 的度数为( )A.105°B.115°C.125°D.135°(第7题)(第8题)8.[2018濮阳二模]如图,AB∥CD,AD 平分∠BAC,若∠ADC=70°,则∠ACD 的度数为( ) A.35° B.40° C.45° D.50°9.[2018海南]将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF 的大小为( ) A.10° B.15° C.20° D.25°(第9题)(第10题)10.[2018湖南郴州]如图,直线a,b 被直线c 所截,下列条件中,不能判定a∥b 的是( ) A.∠2=∠4 B.∠1+∠4=180° C.∠5=∠4 D.∠1=∠311.[2018湖北十堰张湾区模拟]如图,直线a∥b,Rt△BCD 如图放置,∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°,则∠2的度数为( ) A.20° B.40° C.30° D.25°(第11题)(第12题)12.[2019原创]如图,直线a,b 被直线c,d 所截,若∠1=80°,∠2=100°,∠3=85°,则∠4的度数是( )A.80°B.85°C.95°D.100°13.[2018湖北天门]如图,AD∥BC,∠C=30°,∠ADB∶∠BDC=1∶2,则∠DBC的度数是( )A.30°B.36°C.45°D.50°(第13题)(第14题)14.[2018湖北恩施州]如图所示,直线a∥b,∠1=35°,∠2=90°,则∠3的度数为( )A.125°B.135°C.145°D.155°15.[2018四川内江]如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为( )A.31°B.28°C.62°D.56°(第15题)(第17题)16.[2018贵州铜仁]在同一平面内,设a,b,c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为( )A.1 cmB.3 cmC.5 cm或3 cmD.1 cm或3 cm17.[2018湖南湘潭]如图,点E是AD延长线上一点,若添加一个条件,使BC∥AD,则可添加的条件为.(任意添加一个符合题意的条件即可)18.[2018内蒙古通辽]如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°45',在OB边上有一点E,从点E射出一束光线经平面镜反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是.(第18题)(第19题)19.[2018安徽合肥45中模拟]如图所示,AB∥EF,∠B=35°,∠E=25°,则∠C+∠D的度数为.考点4 命题与证明20.[2018重庆B卷]下列命题是真命题的是( )A.如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0B.如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1C.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是034 4D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0 21.[2018湖南衡阳]下列命题是假命题．．．的是( ) A.正五边形的内角和为540° B.矩形的对角线相等C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.圆内接四边形的对角互补22.[2018浙江舟山]用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上D.点在圆上或圆内23.[2018江苏无锡]命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 .24.[2018北京]用一组数a,b,c 的值说明命题“若a<b,则ac<bc”是错误的,则这组数的值可以是a= ,b= ,c= .第二节 三角形及其性质考点1 三角形及其边、角关系1.[2018河北]下列图形具有稳定性的是()A B C D2.[2017湖南长沙]一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形3.[2018湖南常德]已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是( )A.1B.2C.8D.114.[2017青海]如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点D,若∠A=50°,则∠BDC= °.考点2 三角形中的重要线段5.[2017山东泰州]三角形的重心是( ) A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点6.[2018浙江杭州]若线段AM,AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线,则( )A.AM>ANB.AM≥ANC.AM<AND.AM≤AN7.[2018湖北黄冈]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( )A.2B.3C.4D.2(第7题)(第8题)8.[2018四川达州]如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为( )A.B .2 C.D.3考点3 等腰三角形的性质与判定9.[2018浙江湖州]如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°(第9题)(第12题)10.[2018江苏宿迁]若实数m,n满足等式|m-2|+=0,且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长,则△ABC的周长是( )A.12B.10C.8D.611.[2016湖北武汉]平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )A.5B.6C.7D.812.[2018贵州遵义]如图,在△ABC中.点D在BC边上,BD=AD=AC,点E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B为°.13.[2017山东淄博]在边长为4的等边三角形ABC中,点D为BC边上的任意一点(不与点B,C 重合),过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,则DE+DF= .考点4 直角三角形的性质与判定14.[2018四川泸州]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正56 6方形.设直角三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )A.9B.6C.4D.315.[2018湖北黄冈]如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿3 cm 且与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处所走的最短路程为 cm(杯壁厚度不计). 考点5 角平分线、线段垂直平分线的性质与判定 16.[2018河北]已知:如图,点P 在线段AB 外,且PA=PB.求证:点P 在线段AB 的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则下列作法不正确的是( ) A.作∠APB 的平分线PC,交AB 于点C B.过点P 作PC⊥AB 于点C,且AC=BC C.取AB 中点C,连接PCD.过点P 作PC⊥AB,垂足为点C17.[2018黑龙江大庆]如图,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,点M 是BC 的中点,DM 平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( ) A.30° B.35° C.45° D.60°(第17题) (第18题) (第19题)18.[2018湖南常德]如图,已知BD 是△ABC 的角平分线,ED 垂直平分BC,∠BAC=90°,AD=3,则CE 的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3考点6 与特殊三角形结合的动态问题19.[2016湖北鄂州]如图,AB=6,点O 是AB 的中点,直线l 经过点O,∠1=120°,点P 是直线l 上一点.当△APB 为直角三角形时,AP= .1.[2018平顶山三模]一副三角板有两个三角形,如图叠放在一起,则α的度数是( ) A.120° B.135° C.150° D.165°7(第1题)(第2题)2.[2017河北唐山路南区一模]已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示,则点P 叫做△ABC 的( )A.中心B.重心C.外心D.内心3.[2018平顶山三模]等腰三角形一边长等于5,一边长等于10,它的周长是( ) A.20 B.25 C.20或25 D.154.[2017山东日照经济开发区一模]如图,已知点P 是∠AOB 的平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,点M 是OP 的中点,DM=4 cm,若点C 是OB 上一个动点,则PC 的最小值为( )A.2 cmB.2 cm C .4 cm D.4cm(第4题) (第5题) (第6题)5.[2018郑州二模]如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以点A,B 为圆心,大于AB 的长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN,分别交AB,AC 于点D,E,连接CD,BE,则下列结论中不一定正确的是( ) A.AD=BD B.BE>CDC.∠BEC=∠BDCD.BE 平分∠CBD6.[2018安阳地区模拟]如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D,E 分别是AB,AC 的中点,连接CD,过点E 作EF∥DC 交BC 的延长线于点F,若四边形DCFE 的周长为25 cm,AC 的长为5 cm,则AB 的长为( )A.13 cmB.12 cmC.10 cmD.8 cm7.[2018河南省实验中学一模]如图所示,点M 是△ABC 的边BC 的中点,AN 平分∠BAC,BN⊥AN 于点N,且AB=8,MN=3,则AC 的长是( ) A.12 B.14 C.16D.18(第7题) (第8题)8.[2018四川乐山沙湾区二诊改编]如图,已知A(0,0),B(4,0),C(0,4),在△ABC 内依次作等边三角形,使一边在x 轴上,第三个顶点在BC 边上,作出的第1个等边三角形是△AA 1B 1,第2个是△B 1A 2B 2,第3个是△B 2A 3B 3……则第2 019个等边三角形的边长为( )8 8A. B. C. D.9.[2018焦作一模]如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,∠B=30°,BC=+1,点E,F 分别是BC,AC 边上的动点,沿EF 所在直线折叠∠C,使点C 的对应点C'始终落在边AB 上,若△BEC'是直角三角形,则BC'的长为 .第三节 全等三角形考点1 全等三角形的性质1.[2016四川成都]如图,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=24°,则∠B= .(第1题) (第2题)2.[2017吉林中考改编]如图,Rt△ABF≌Rt△DCE,且点E,F,B,C 在同一直线上.若AB=2,∠AFB=30°,则EC= . 考点2 全等三角形的判定3.[2018贵州黔南州]下列各图中a,b,c 为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙4.[2018四川成都]如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB 的是( )A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC9(第4题)(第5题)5.[2017湖南娄底]如图,在Rt△ABC 与Rt△DCB 中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 .考点3 全等三角形的判定与性质6.[2018四川绵阳中考改编]如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,连接BD,若AE=,AD=,则△ABD 的面积为( ) A.3 B.4 C.2 D.7.(8分)[2018广西桂林]如图,点A,D,C,F 在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF. (1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F 的度数.8.(8分)[2018浙江嘉兴]在△ABC 中,AB=AC,D 为AC 的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC 是等边三角形.9.(8分)[2018湖北恩施州]如图,点B,F,C,E 在一条直线上,FB=CE,AB∥DE,AC∥FD,AD 交BE 于点O.求证:AD 与BE 互相平分.101010.(9分)[2018内蒙古通辽]如图,在△ABC 中,点D 是BC 边上一点,点E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F,且AF=CD,连接CF. (1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF 的形状,并证明你的结论.考点4 全等三角形的应用11.(9分)[2016湖北宜昌]杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A 步行到达B 处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下.如图,AB∥OH∥CD,相邻平行线间的距离相等,AC,BD 相交于O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20米.请根据上述信息求标语CD 的长度.1.[2018信阳二模]如图,E,B,F,C四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,则添加下列条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是( )A.DF∥ACB.AB=DEC.∠E=∠ABCD.AB∥DE2.[2018四川绵阳二模]如图,△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=50°,则∠DEF的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.60°(第2题) (第3题)3.[2018开封一模]如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,则y关于x的解析式是.4.(9分)[2018湖南永州二模]如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别是AC,BC上的两点,AD=CE,且AE与BD交于点P,BF⊥AE于点F.(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)若BP=6,求PF的长.5.(10分)[2018许昌一模](1)观察猜想如图(1),点B,A,C在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE=90°,AD=AE,则BC,BD,CE之间的数量关系为;(2)问题解决如图(2),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰直角三角形DAC(∠DAC=90°),连接BD,求BD的长;(3)拓展延伸如图(3),在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接写出BD的长.第四节相似三角形考点1 比例的性质12 1.[2017甘肃兰州]已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是( ) A.= B.= C.=D.=2.[2018四川成都]已知==,且a+b-2c=6,则a 的值为 . 考点2 黄金分割3.[2016山西]宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形(如图所示):作正方形ABCD,分别取AD,BC 的中点E,F,连接EF;以点F 为圆心,以FD 为半径画弧,交BC 的延长线于点G;作GH⊥AD,交AD 的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是()A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH考点3 平行线分线段成比例定理 4.[2017山东临沂]如图,已知AB∥CD,AD 与BC 相交于点O.若=,AD=10,则AO= .5.[2018浙江舟山]如图,直线l 1∥l 2∥l 3,直线AC 交l 1,l 2,l 3于点A,B,C;直线DF 交l 1,l 2,l 3于点D,E,F,已知=,则= .(第5题)(第6题)6.[2018四川泸州中考改编]如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边AD,CD 上,AF,BE 相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是 .考点4 相似三角形的判定7.[2017河北]若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B 的度数相比( ) A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变8.[2018湖南邵阳]如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD 于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形: .9.[2017湖北随州]在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE= 时,以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.考点5 相似三角形的性质10.[2017重庆A卷]若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为( )A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶911.[2018重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架,已知其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边长为( )A.3 cmB.4 cmC.4.5 cmD.5 cm12.[2017黑龙江齐齐哈尔]经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD∽△ABC,∠A=46°,则∠ACB的度数为.考点6 位似13.[2017四川成都]如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为( )A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.∶14.[2018山东潍坊]在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB的边长放大到原来的2倍,则点P的对应点的坐标为( )A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.(m,n)D.(m,n)或(-m,-n)考点7 相似三角形的应用15.[2018山东临沂]如图,利用标杆BE14 测量建筑物的高度.已知标杆BE 高1.2 m,测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD 的高是( )A.9.3 mB.10.5 mC.12.4 mD.14 m16.[2018浙江绍兴]学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置绕O 点旋转到AC 位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为点B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆右端应下降的垂直距离CD 为()A.0.2 mB.0.3 mC.0.4 mD.0.5 m17.[2018湖南岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形的边长最大是多少步.”该问题的答案是 步.(示意图如图所示)考点8 相似三角形的判定与性质18.[2018湖北随州]如图,平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分,则的值为()A.1B.C.-1D.+119.[2018黑龙江哈尔滨]如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连接AD,点G 在线段AD 上,GE∥BD,且交AB 于点E,GF∥AC,且交CD 于点F,则下列结论一定正确的是( )A.=B.=C.=D.=20.[2018北京]如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE,交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.21.(9分)[2018浙江宁波中考改编]若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,则我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.1.[2018南阳地区模拟]如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,点E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF∶S△AOB等于( )A.1∶3B.1∶5C.1∶6D.1∶112.[2017三门峡一模]如图所示,AB∥CD∥EF,AC与BD相交于点E,若CE=4,CF=3,AE=BC,则的值是.(第2题)(第3题)3.[2017周口地区模拟]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,且BC=2,则AB= .4.(9分)[2018洛阳地区模拟]如图,△ABC是一块锐角三角形材料,边BC=120 cm,高AD=80 cm,要把它加工成矩形零件EFHG,使矩形的一边GH在BC上,其余两个顶点E,F分别在AB,AC上.(1)求证:=.(2)设EF=x,EG=y,用含x的代数式表示y.(3)设矩形EFHG的面积是S,求S与x的函数关系式,并求当x为何值时S取得最大值,最大值是多少?5.(10分)[2018商丘地区模拟]如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,点D,E分别在边AC,AB上,AD=DE=AB.将△ADE绕点A逆时针旋转,连接BE,CD,记旋转角为θ.(1)问题发现①当θ=0°时,= ;②当θ=180°时,= .(2)拓展探究试判断:当0°≤θ<360°时,的大小有无变化?请仅就图(2)的情形给出证明;16(3)问题解决①在旋转过程中,BE的最大值为;②当△ADE旋转至B,D,E三点共线时,线段CD的长为.[2019原创] 【问题发现】(1)如图(1),在△ABC中,点E是AC的中点,点D在边BC上,直线AD与BE相交于点P,CD∶CB=1∶3,求的值.小明通过添加辅助线,经过推理和计算得到的值为.【拓展探究】(2)在(1)的条件下,若点D在边BC的延长线上,且CD∶CB=m∶n,如图(2),求的值;【解决问题】(3)如图(3),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E是AC的中点,点D在直线CB上,直线AD与BE 相交于点P,CD=4,CB=3,AC=8,请直接写出线段BP的长.第五节锐角三角函数及其应用考点1 锐角三角函数的相关概念1.[2018天津]cos 30°的值等于( )A.B .C .1 D.2.[2018云南]在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为( )A.3B.C.D.3.[2018贵州贵阳中考改编]如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则sin∠BAC的值为( )A. B.1 C.D .考点2 解直角三角形4.[2017黑龙江哈尔滨]在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos B的值为( )A. B. C. D.5.[2016福建福州]如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,点P 是上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是( )A.(sin α,sin α)B.(cos α,cos α)C.(cos α,sin α)D.(sin α,cos α)6.[2017浙江嘉兴中考改编]如图,把4个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=,tan∠BA3C=,则tan∠BA4C= .7.(8分)[2018贵州贵阳]如图(1),在Rt△ABC中,小亮探究与之间关系的方法:∵sin A=,sin B=,∴c=,c=,∴=.18根据你掌握的三角函数知识.在图(2)的锐角三角形ABC中,探究,,之间的关系,并写出探究过程.考点3 解直角三角形的实际应用之仰角、俯角问题8.(9分)[2018山东德州]如图,两座建筑物的水平距离BC为60 m,从点C测得点A的仰角α为53°,从点A测得点D的俯角β为37°,求两座建筑物的高度(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈).9.(9分)[2018云南昆明]小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国—南亚博览会”的竖直标语牌CD(如图).她在点A测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D三点在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的高度(结果保留到小数点后一位.参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,≈1.73)20 10.(9分)[2018四川泸州]如图,甲建筑物AD,乙建筑物BC 的水平距离AB 为90 m,且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,从点E(A,E,B 在同一水平线上)测得点D 的仰角为30°,点C 的仰角为60°,求这两座建筑物顶端C,D 间的距离(计算结果用根号表示,不取近似值).考点4 解直角三角形的实际应用之坡度、坡角问题11.[2017山东济南]如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5 m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁,量出杆长1 m 处的点D 离地面的高度DE=0.6 m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3 m,则石坝的坡度为()A. B.3 C. D.412.(9分)[2018贵州安顺中考改编]如图是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC 是10米,坡面AC 的倾斜角∠CAB=45°,在距点A 10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC 的倾斜角∠BDC=28°,若新坡面D 处与建筑物之间需留下至少1.5米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除.(参考数据:≈1.414,sin 28°≈0.469,cos 28°≈0.883,tan 28°≈0.532)考点5 解直角三角形的实际应用之方位角问题 13.(9分)[2018四川成都]由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A 处时,测得小岛C 位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80 n mile,再航行一段时间后到达B 处,测得小岛C 位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处,求还需航行的距离BD 的长.(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)14.(9分)[2018广西贺州]如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行2 h到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少.(结果精确到1 n mile,参考数据:≈1.41,≈1.73)考点6 解直角三角形的实际应用之其他类型15.(9分)[2017内蒙古赤峰]王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图所示.已知AC=20 cm,BC=18 cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为17 cm,宽为8 cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.8,cos 50°≈0.6,tan 50°≈1.2)16.(9分)[2017广西桂林]“C919”大型客机首飞成功,激发了同学们对航空科技的兴趣,如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE,请根据图中数据,求出线段BE和CD的长.(参考数据:sin)37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,结果保留到小数点后一位1.(9分)[2017洛阳三模]为改善洛阳的公共交通状况,洛阳市开始建设地铁系统.如图为某地地铁出站口的横截面示意图,为提高某一段台阶的安全性,决定进行改善,把坡角由45°减至30°,已知原台阶坡面AB的长为5 m.(1)改善后的台阶坡面会加长多少?(2)求BD的长.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)222.(9分)[2018濮阳二模]如图,小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42°,在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为30°,已知旗杆CD的高度为12 m,根据测得的数据,计算楼AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 42°≈0.7,cos 42°≈0.7,tan 42°≈0.9,≈1.7)3.(9分)[2018开封二模)如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需要绕行B地,已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520 km,C地位于B地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数,参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan 67°≈,≈1.73)4.(9分)[2018新乡一模]如图,为探测某座山的高度AB,某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°,此时飞机的飞行高度CH=4 km;保持飞行高度与方向不变,继续向前飞行2 km 到达D处,测得山顶A处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据:tan 31°≈0.6,tan 50°≈1.2)5.(9分)[2018平顶山三模]某商场将一广告牌(AB)放置在商场大楼的顶部(如图所示).小明在商场大楼的广场上的点D处,用1 m高的测角仪从点C测得广告牌的底部B的仰角为37°,然后向商场大楼的方向走了4 m到达点F处,又从点E测得广告牌的顶部A的仰角为45°.已知商场大楼高BM=17 m,且点A,B,M在同一直线上,求广告牌AB高度(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).6.(9分)[2018南阳一模]图(1)是太阳能热水器装置的示意图,利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能,玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最好.假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直).请完成以下计算:如图(2),AB⊥BC,垂足为点B,CD∥AB,FG⊥DE,垂足为24点G.若θ=37°50',FG=30 cm,CD=10 cm,求CF的长.(结果取整数,参考数据:sin37°50'≈0.61,cos 37°50'≈0.79,tan 37°50'≈0.78)图(1) 图(2)参考答案第一节角、相交线与平行线1.C 180°-65°=115°,故该角的补角的度数为115°.故选C.2.A 题图(1)中,α+β=180°-90°=90°,故α与β互余;题图(2)中,根据同角的余角相等,可得α=β;题图(3)中,根据等角的补角相等,可得α=β;题图(4)中,α+β=180°,故α与β互补.故选A.3.A 如图,过点B作BC∥PA,则∠CBD=50°,∴∠CBE=80°-50°=30°,故此时快艇的航行方向为北偏东30°.4.B ∵∠1=26°,∠DOF与∠1是对顶角,∴∠DOF=∠1=26°,又∵∠DOF与∠2互余,∴∠2=90°-∠DOF=90°-26°=64°.故选B.5.4 ∵OC⊥AB,∴∠1+∠AOE=90°,∠2+∠COD=90°,即∠1与∠AOE互余,∠2与∠COD互余,又∵∠1=∠2,∴∠1与∠COD互余,∠2与∠AOE互余.故题图中互余的角有4对.6.B 根据同位角和内错角的定义可得,∠1的同位角是∠2,∠5的内错角是∠6.故选B.7.C ∵BE∥AF,∠A=35°,∴∠B=∠A=35°,又∵DC⊥BE,∴∠BCD=90°,∴∠ADC=∠B+∠BCD=35°+90°=125°,故选C.8.B ∵AB∥CD,∴∠BAD=∠ADC=70°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=2×70°=140°.∵AB∥CD,∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-140°=40°.故选B.9.A 易知DE∥AF,∠B=30°,∴∠CFA=∠CDE=40°,∴∠BAF=∠CFA-∠B=40°-30°=10°.10.D 由∠2=∠4,∠1+∠4=180°或∠5=∠4,均可判定a∥b.由∠1=∠3,不能判定a∥b.故选D.11.A 如图,由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠B=70°.∵a∥b,∴∠3+90°+∠2=180°,∴∠2=20°.故选A.12.B ∵∠1=80°,∠2=100°,∴∠1+∠2=180°,∴a∥b.又∵∠3=85°,∴∠4=∠3=85°.故选B.13.D ∵AD∥BC,∴∠ADC=180°-∠C=150°,∠ADB=∠DBC.又∵∠ADB∶∠BDC=1∶2,∴∠ADB=50°,∴∠DBC=50°.14.A 如图,过直角顶点作直线c∥a,则c∥b,∴∠6=∠1=35°,∴∠4=∠5=90°-∠6=55°,∴∠3=180°-∠4=125°.15.D ∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°.∵AD∥BC,∴∠CBD=∠FDB =28°.由折叠得∠FBD=∠CBD=28°,∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°.故选D.16.C 当c在a,b之间时,a与c的距离为4-1=3(cm);当a,c在b的两侧时,a与c的距离为4+1=5(cm).17.答案不唯一,如∠A+∠ABC=180°等. 同旁内角互补,两直线平行,据此应添加:∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°;内错角相等,两直线平行,据此应添加:∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE.18.75°30'(或75.5°)∵CD∥OB,∴∠ADC=∠AOB=37°45'.由题可得∠EDO=∠ADC=37°45',∴∠DEB=∠AOB+∠EDO=2×37°45'=75°30'(或75.5°).19.240°如图,过点C作CG∥AB,过点D作DH∥EF.∵AB∥EF,∴AB∥EF∥CG∥DH,∴∠1=∠B=35°,∠2=∠E=25°,∠GCD+∠HDC=180°,∴∠BCD+∠CDE=35°+180°+25°=240°.20.A 如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0,是真命题;如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1,是假命题,也可能是-1;如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题,也可能是1;如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题,也可能是1.故选A.21.C 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故选项C中的命题是假命题.22.D 假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是:点在圆上或圆内.故选D.23.菱形的四条边相等24.1 2 0(答案不唯一,满足a<b,c≤0即可) 根据不等式的基本性质,可知当c为0或负数时,该命题是错误的.第二节三角形及其性质真题分点练1.A 三角形具有稳定性,故选A.2.B 设该三角形最小的内角度数为x°,则其他两个内角的度数分别为2x°,3x°,根据三角形内角和定理得x+2x+3x=180,解得x=30,则3x=90,所以该三角形最大的内角为90°,故它是直角三角形.3.C 根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可知应选C.4.115 ∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°.∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D,∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=×130°=65°,∴∠BDC=115°.5.A 三角形的重心是三条中线的交点,故选A.6.D 根据垂线段最短,可得AM≤AN,且当AB=AC时,等号成立.故选D.7.C ∵CE是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AE=CE=5,∴D E=AE-AD=5-2=3.∵CD为AB边上的高,∴CD⊥DE.在Rt△CDE中,由勾股定理得,CD===4.故选C.8.C ∵△ABC的周长为19,BC=7,∴AB+AC=12.∵∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∴BA=BE,N是AE的中点.∵∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,∴AC=DC,M是AD的中点,∴DE=BE+DC-BC=AB+AC-BC=5,MN是△ADE 的中位线,∴MN=DE=.故选C.9.B ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC 的角平分线,∴∠ACE=∠ACB=35°.故选B.10.B ∵|m -2|+=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4.当等腰三角形ABC的腰长为2时,三边的长分别为2,2,4,不符合三角形三边关系;当等腰三角形ABC的腰长为4时,三边的长分别为2,4,4,符合三角形三边关系,周长为2+4+4=10.故选B.11.A 分三种情况讨论:①当AC=AB时,满足条件的点C只有(0,0)一个;②当BC=BA时,满足条件的点C有(4+2,0)和(4-2,0)两个;③当CA=CB时,满足条件的点C有(2,0)和(0,-2)两个.综上所述,满足条件的点C共有5个,故选A.26。

中考数学总复习考点系统复习2.第⼆节三⾓形及其性质第四章三⾓形第⼆节三⾓形及其性质(建议时间：_____分钟)基础过关1. (2019⾃贡)已知三⾓形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三⾓形的周长为()A. 7B. 8C. 9D. 102.(2019毕节)如图，△ABC中，CD是AB边上的⾼，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A. 线段CA的长度B. 线段CM的长度C. 线段CD的长度D. 线段CB的长度第2题图3. (2019杭州)在△ABC中，若⼀个内⾓等于另两个内⾓的差，则()A. 必有⼀个内⾓等于30°B. 必有⼀个内⾓等于45°C. 必有⼀个内⾓等于60°D. 必有⼀个内⾓等于90°4. (2019天⽔)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为()A. (1，1)B. (1，3)C. (3，1)D. (3，3)第4题图5. (2019南充)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为()C. 16D. 17第5题图6. (2019西安交⼤附中模拟)如图，AD是△ABC的⾼，AB＝10，AD＝8，BC＝12，则△ABC为()A. 等腰三⾓形B. 等腰直⾓三⾓形C. 直⾓三⾓形D. 钝⾓三⾓形第6题图7.(2019眉⼭)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°第7题图8. (2019⾚峰)如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为()第8题图A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°9. (2019⼤庆)如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外⾓∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A ＝60°，则∠BEC 是( )A. 15°B. 30°第9题图10. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的⾼，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，则图中共有等腰三⾓形( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个第10题图11. (2019西安⾼新⼀中模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝9，D 是AB 的中点，连接CD ，F 为CD 上⼀点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A. 6B. 4C. 7D. 12第11题图12. (2019西安交⼤附中模拟)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，AF ⊥BC ，垂⾜为点F ，∠ADE ＝30°，DF ＝3，则BF 的长为( )第12题图A. 4B. 2 3C. 3 313. (2019陕师⼤附中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D.若AC ＝3，AB＝5，则CD的长为()A. 32 B.43 C.53 D.85第13题图14. (2019长沙)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选⼀点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是________m.第14题图15. (2019⽢肃省卷)定义：等腰三⾓形的顶⾓与其⼀个底⾓的度数的⽐值k称为这个等腰三⾓形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．16. (2019西安⾼新⼀中模拟)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC＝________．第16题图17. (2019西安⾼新⼀中模拟)把两个同样⼤⼩的含45°⾓的三⾓尺按如图所⽰的⽅式放置，其中⼀个三⾓尺的锐⾓顶点与另⼀个的直⾓顶点重合于点A，且另三个锐⾓顶点B，C，D在同⼀直线上．若AB＝2，则CD＝__________．第17题图能⼒提升1. (2019黄⽯)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的⾓平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD ＝CF，则∠ACD＋∠CED＝()A. 125°D. 190°第1题图2. (2019西安铁⼀中模拟)如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝7，MN＝3，则AC的长为()A. 14B. 13C. 12D. 11第2题图3. (2019西安铁⼀中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，CD⊥AB，垂⾜为D，CE 为△ABC的中线．若DE ＝22，则AD的长为()A. 4－2 2B. 6－22 C. 2 D. 4第3题图4. (2019青岛)如图，BD是△ABC的⾓平分线，AE⊥BD，垂⾜为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE 的度数为()第4题图A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°5. (2019铜仁)如图，D是△ABC内⼀点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为()A. 12B. 14第5题图6.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的⾯积是________．第6题图满分冲关1. (2019盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．第1题图2.(2019泸州)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂⾜为F，则AD的长为________．第2题图【每⽇加练】每天多点努⼒，结果超乎想象，32开加练册，今天你打卡了吗？参考答案第⼆节三⾓形及其性质基础过关1.C【解析】设这个三⾓形的第三边长为c，则4－1＜c＜4＋1，即3＜c＜5，∵c是整数，∴c＝4，∴这个三⾓形的周长为1＋4＋4＝9.2. C 【解析】根据点到直线的距离概念理解，点C 到AB 所在直线的距离是垂线段CD 的长度．3. D 【解析】设这三个内⾓分别为∠A ，∠B ，∠C ，则∠A ＝∠B －∠C ，移项得∠A ＋∠C ＝∠B ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴2∠B ＝180°，即∠B ＝90°.4. B 【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△OAB 为等边三⾓形，边长为2，∴∠BOA ＝60°，OA ＝OB ＝2.∴OD ＝1，BD ＝OB · sin60°＝2×32＝3，∴点B 的坐标为(1，3)．第4题解图5. B 【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ，∴AE ＋CE ＝BC ＝6 ，∴△ACE 的周长＝AC ＋AE ＋CE ＝AC ＋BC ＝5＋6＝11 .6. A 【解析】∵AD 是△ABC 的⾼，AB ＝10，AD ＝8，∴BD ＝AB 2－AD 2＝6，∴CD ＝BD ＝6，∴AC ＝AB ＝10.∴△ABC 是等腰三⾓形．∵AB 2＋AC 2≠BC 2，∴△ABC 不是等腰直⾓三⾓形．7. C 【解析】∵∠ADC ＝70°，∠B ＝30°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝40°，∴∠C ＝180°－70°－40°＝70°. 8. B 【解析】在△AEF 中，∠AFE ＝90°－∠A ＝55°.∴∠DFC ＝∠AFE ＝55°.⼜∵∠ACB 是△DCF 的外⾓，∴∠ACB ＝∠DFC ＋∠D ＝55°＋15°＝70°.9. B 【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，CE 是∠ACM 的平分线，∴∠CBE ＝12∠ABC ，∠ECM ＝12∠ACM ，∵∠BEC ＝∠ECM －∠CBE ，∴∠BEC ＝12(∠ACM －∠ABC )，∵∠ACM ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋∠ABC ，∴∠BEC ＝12(60°＋∠ABC －∠ABC )＝30°.10. B 【解析】∵∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的⾼，∴∠DAC ＝45°，∴CD ＝AD ，∴△ADC 为等腰直⾓三⾓形；∵∠ABC ＝60°，BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠CBE ＝30°，在△ABD 中，∠BAD ＝180°－∠ABD －∠ADB ＝180°－60°－90°＝30°，∴∠ABF ＝∠BAD ＝30°，∴AF ＝BF ，即△ABF 是等腰三⾓形；在△ABC 中，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝180°－60°－45°＝75°，∵∠AEB ＝∠CBE ＋∠ACB ＝30°＋45°＝75°，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴△ABE 是等腰三⾓形，∴等腰三⾓形有△ACD 、△ABF 、△ABE 共3个．11. A 【解析】∵在Rt △ABC 中，AB ＝9，点D 为AB 的中点，∴AD ＝CD ＝12AB ＝92，∵CF ＝13CD ，D 为AB 中点，∴DF ＝23CD ＝3.∵BE ∥CD ，∴DF 是△ABE 的中位线，∴BE ＝2DF ＝6.12. C 【解析】在Rt △ABF 中，∵∠AFB ＝90°，AD ＝DB ，DF ＝3，∴AB ＝2DF ＝6，∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴DE ∥BC ，∴∠ABF ＝∠ADE ＝30°，∴AF ＝12AB ＝3，∴BF ＝AB 2－AF 2＝62－32＝3 3.13. A 【解析】如解图，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DC ＝DH ，设DC ＝DH ＝x ，在Rt △ACB 中，∵∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，∴BC ＝52－32＝4，∵∠ACD ＝∠AHD ＝90°，AD ＝AD ，DC ＝DH，∴Rt △ADC ≌Rt △ADH (HL)，∴AH ＝AC ＝3，BH ＝5－3＝2，在Rt △HBD 中，则有(4－x )2＝x 2＋22，解得x ＝32，∴CD ＝32.第13题解图14. 100 【解析】∵D 是AC 的中点，E 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ，∵DE＝50 m ，∴AB ＝2DE ＝100 m.15. 85 或 14 【解析】当∠A 为顶⾓时，则底⾓∠B ＝∠C ＝12×(180°－∠A )＝50°，此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底⾓时，则顶⾓(∠B 或∠C )＝180°－2∠A ＝20°，此时的特征值k ＝ 20°80° ＝14.故特征值k 为85或14. 16. 6 【解析】∵在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB ，MN ∥BC ，且MN 平分∠AMC ，∴∠AMN ＝∠NMC ＝∠B ，∠NCM ＝∠BCM ＝∠NMC ，∴∠ACB ＝2∠B ，NM ＝NC ，∴∠B ＝30°，∵AN ＝1，∴MN ＝2，∴AC ＝AN ＋NC ＝3，∴BC ＝6. 17. 3－1 能⼒提升1. C 【解析】如解图，连接DF .∵CD ⊥AB ，F 为AC 的中点，∴DF ＝CF ，∵CD ＝CF ，∴△CDF 是等边三⾓形，∠ACD ＝60° .∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°，∵CE 平分∠BCD ，DE 平分∠BDC ，∴∠CED ＝180°－(∠DCE ＋∠CDE )＝180°－12(∠BCD ＋∠BDC )＝115°，∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.第1题解图2. B 【解析】如解图，延长BN ，交AC 于点D.∵AN 平分∠BAC ，∴∠BAN ＝∠DAN ，∵∠ANB ＝∠AND ＝90°，AN ＝AN ，∴△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝7，BN ＝DN ，⼜∵M 是BC 边的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，∴CD ＝2MN ＝6，∴AC ＝AD ＋CD ＝13.第2题解图3. A 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝22.5°，∵CE 为△ABC 的中线，∴AE ＝CE ＝BE ＝12AB ，∠CED ＝2∠B ＝45°.∵CD ⊥AB ，DE ＝22，∴△CDE 是等腰直⾓三⾓形．∴CE ＝4，∴AE ＝4.∴AD ＝AE －DE ＝4－2 2.4. C 【解析】如解图，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.∵AE ⊥BD ，∴AF ＝EF .∴BD 为AE 的垂直平分线．∴AD ＝DE ，∴∠3＝∠4.∴∠5＝2∠3.∵∠ABC ＝35°，∠C ＝50°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝95°，∠1＝∠2＝12∠ABC ＝17.5°.∵AE ⊥BD ，∴∠6＝90°－∠1＝72.5°.∴∠3＝∠BAC －∠6＝22.5°.∴∠CDE＝2∠3＝45°.第4题解图5. A 【解析】∵BD ⊥CD ，BD ＝4，CD ＝3，∴由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝5.∵点E ，H 分别是AB ，AC 的中点，∴EH 是△ABC 的中位线，∴EH ∥BC ，EH ＝12BC ＝52，∵F ，G 分别是BD ，CD 的中点，∴FG 是△BDC 的中位线，∴FG ＝12BC ＝52；同理可得EF ＝GH ＝12AD ＝72，∴四边形EFGH 的周长为EF ＋GH ＋EH ＋FG ＝72＋72＋52＋52＝12.6. 83 【解析】如解图，取AC 的中点E ，连接ED ，∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝12×4＝2.∴∠CDE ＝∠BC D.∵DC ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠BCD ＝90°.∵∠ACB ＝120°，∴∠DCE ＝30°，∠CED ＝60°.在Rt △EDC 中，CD ＝ED ·tan ∠CED ＝23，∴S △BCD ＝12BC ·DC ＝12×4×23＝4 3.∵D 为AB 的中点，∴S △ABC＝2S △BCD ＝8 3.第6题解图满分冲关1. 2 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADC ＝90°.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝45°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝90°－45°＝45°.∴∠DAC ＝∠C.∴AD ＝C D.设AD ＝CD ＝x ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得AC ＝AD 2＋CD 2＝x 2＋x 2＝2x .∵AB ＝2AC ，∴AB ＝2×2x ＝2x .在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x .∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x .∵BC ＝6＋2＝2×(3＋1)，∴(3＋1)x ＝2×(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.第1题解图2. 92 【解析】如解图，过E 作EG ⊥AB 于点G ，∵△ABC 是等腰直⾓三⾓形，∴AC ＝BC ＝15，⼜∵CE ＝2EB ，∴CE ＝10，EB ＝5.∵∠ACE ＝90°，∴AE ＝AC 2＋EC 2＝513.∵S △ACE ＝12AC ·CE ＝12AE ·CF ，即15·10＝513·CF ，∴CF ＝301313.∴AF ＝AC 2－CF 2＝451313，∵∠B ＝45°，∠EGB ＝90°，∴EG ＝BG ＝522，∴AG ＝2522.易得△AFD ∽△AGE ，∴AF AG ＝AD AE .即4513132522＝AD513，解得AD ＝9 2.第2题解图。

2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】 如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以边长为a 的等边三角形各定点为圆心，以a 为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a 的圆的周长之比是( )A ．1：1B ．1：3C ．3：1D ．1：22．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（ ）A.B.C. D.3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（ ）A. B. C. D.4．下列计算的结果是a 6的为（ ） A ．a 12÷a 2B ．a 7﹣aC ．a 2•a 4D ．（﹣a 2）35．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（ ）A ．322t << B ．34t << C ．45t << D ．57t <<7．如图所示的几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°9．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A→C→B 运动，点Q 从点A 出发以vcm/s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sinB ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（ ）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④11．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（ ） A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．612．整数a 满足下列两个条件，使不等式﹣2≤352x +＜12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程135-22ax x x x----＝1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．任意写出一个3的倍数(例如：111)，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M ，它会掉入一个数字“黑洞”.那么最终掉入“黑洞”的那个数M 是______．14．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______.15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC=4AM ，设BD=m ，那么∠ACD 的正切值是______（用含m 的代数式表示）16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在3x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______.17 ______.18．如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．三、解答题19．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．21．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.22．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x＝﹣2时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝4(1)求这个二次函数表达式．(2)此函数图象与x轴交于点A，B(A在B的左边)，与y轴交于点C，求点A，B，C点的坐标及△ABC的面积．(3)该函数值y能否取到﹣6？为什么？23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2； ①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．25．解不等式组1531x x x +≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①，得_________； (Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．153 14．1215．316． 17．18．20 三、解答题19．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（97，127）；（3）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似． 【解析】 【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标，由点B ，C 的坐标可得出直线BC 的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+PA取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出OA OCCD CB=，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：-k0 33mk m+=⎧⎨+=⎩，解得：3k434m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AO′的解析式为y ＝34x+34． 联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，得：33y 443x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：9x 7127y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（97，127）． （3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0）， ∴CD，BC，BD∴CD 2+BC 2＝BD 2， ∴∠BCD ＝90°．∵点A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐标为（0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3， ∴OA OC CD CB ==． 又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°， ∴△AOC ∽△DCB ，∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ． 如图2，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ． ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC ． 又∵△AOC ∽△DCB ， ∴△ACQ ∽DCB ，∴AC AQDC DB =AQ=， ∴AQ ＝10，∴点Q 的坐标为（9，0）．综上所述：当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P 的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q 的坐标．20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O 的半径是2． 【解析】 【分析】（1）根据AC 为⊙O 直径，得到∠ADC ＝∠CBA ＝90°，通过全等三角形得到CD ＝AB ，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到NB ＝12MF ＝NF ，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB 是⊙O 的切线；（3）根据垂径定理得到DE ＝GE ＝6，根据四边形ABCD 是矩形，得到∠BAD ＝90°，根据余角的性质得到∠FAE ＝∠ADE ，推出△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质列比例式得到AE ＝，连接OD ，设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ADC ＝∠CBA ＝90°，在Rt △ADC 与Rt △CBA 中，AC ACAD BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △CBA ， ∴CD ＝AB ， ∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠CBA ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形； （2）连接OB ，∵∠MBF ＝∠ABC ＝90°， ∴NB ＝12MF ＝NF ， ∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴AE＝，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣）2+62＝r2，∴r，∴⊙O的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．21．（1）该种水果每次降价的百分率是10%；（2）第10天时销售利润最大；【解析】【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；【详解】（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元），综上所述，第10天时销售利润最大.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x 的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．22．(1)y ＝x 2+4x ﹣1；(3)函数值y 不能取到﹣6；理由见解析. 【解析】 【分析】(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c ，求得a 、c 的值即可求得；(2)令y ＝0，解方程求得A 、B 点的坐标，令x ＝0，求得y ＝﹣1，得到C 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△ABC 的面积；(3)把(1)中求得的解析式化成顶点式，求得函数y 的最小值为﹣5，故函数值y 不能取到﹣6． 【详解】解：(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c 得48544a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得11a c =⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数表达式为y ＝x 2+4x ﹣1； (2)令y ＝0，则x 2+4x ﹣1＝0，解得x∴A(﹣20)，B(﹣0)， 令x ＝0，则y ＝﹣1， ∴C(0，﹣1)，∴△ABC 的面积：12AB•OC＝12(﹣ (3)∵y ＝x 2+4x ﹣1＝(x+2)2﹣5， ∴函数y 的最小值为﹣5， ∴函数值y 不能取到﹣6． 【点睛】本题考查了抛物线和x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】 【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．． 【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ）， 在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ）， 答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录， ②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录， ③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ， 得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）①BD ；②AC =【解析】 【分析】（1）由“SSS”可证△ABC ≌△ADC ；（2）①由题意可得AC 垂直平分BD ，可得BE=DE ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得∠BAD=2∠BAC=60°，由弧长公式可求弧BD 的长；②由AC=AE+CE 可求解． 【详解】证明：（1）由题意可得AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）； （2）①∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AC 垂直平分BD ∴BE ＝DE ，AC ⊥BD ∵∠BCA ＝45°，BC ＝2；∴BE ＝CE ，且∠BAC ＝30°，AC ⊥BD∴AB ＝2BE ＝，AE ∵AB ＝AD ，AC ⊥BD ∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°∴60BD 1803π︒︒⨯⨯==②∵AC ＝AE+CE∴AC +【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】 【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4， 故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1，解得：x>12， 故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x<≤，故原不等式的解集为：142x<≤，故答案为：14 2x<≤【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（ ）A.0.96a 元B.0.972a 元C.1.08a 元D.a 元 2．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 3．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ）A.2B.3C.5D.12 4．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下：①分别以点DE 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ；②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①5．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A ．18B ．36C ．41D ．58o7．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）A ．1269×108B ．1.269×108C ．1.269×1010D ．1.269×10118．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线且交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，若AB ＝8cm ，则△DBE 的周长（ ）A ．B ．cmC ．8cmD ．cm9．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．①②③D ．②③④ 10．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A. B. C. D.11．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，则Rt ABC ∆的中线CD 的长为（ ）A.5B.6C.8D.1012．如果方程x 2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为（ ） A.34 B.35 C.45 D.34或35二、填空题13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。

中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)以下是查字典数学网为您推荐的中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)一.选择题1. (2019荆门)已知：直线l1∥l2，一块含30角的直角三角板如图所示放置，1=25，则2等于()A. 30B. 35C. 40D. 45解析：∵3是△ADG的外角，A+1=30+25=55，∵l1∥l2，4=55，∵EFC=90，EFC=90﹣55=35，2=35.故选B.2.(2019中考)如图，在△ABC中，C=70，沿图中虚线截去C，则2=【 B 】A.360B.250C.180D.1403.(2019连云港)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，1=50，2=60，则3的度数为()A. 50B. 60C. 70D. 80考点：平行线的性质;三角形内角和定理。

分析：先根据三角形内角和定理求出4的度数，由对顶角的性质可得出5的度数，再由平行线的性质得出结论即可. 解答：解：∵△BCD中，1=50，2=60，4=1801-2=180-50-60=70，4.(2019深圳)如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到一个四边形，则么的度数为【】A. 120OB. 180O.C. 240OD. 3000【答案】C。

【考点】三角形内角和定理，平角定义。

【分析】如图，根据三角形内角和定理，得4+600=1800，又根据平角定义，3=1800，4=1800，1800-1+1800-2+600=1800。

2=240O。

故选C。

5.(2019聊城)将一副三角板按如图所示摆放，图中的度数是()A.75B.90C.105D.120考点：三角形的外角性质;三角形内角和定理。

专题：探究型。

分析：先根据直角三角形的性质得出BAE及E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论.解答：解：∵图中是一副直角三角板，BAE=45，E=30，6.(2019毕节)如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若1=120，2=80，则3的度数是( )A.40B.60C.80D.120解析：根据平行线性质求出ABC，根据三角形的外角性质得出1-ABC，代入即可得出答案.7.(2019十堰)如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若ABC=30，BAC=75，则CEF的大小为( D )A.60B.75C.90D.105【考点】平行线的性质;三角形内角和定理.【专题】探究型.【分析】先根据三角形外角的性质求出1的度数，再由平行线的性质即可得出结论.【解答】解：∵1是△ABC的外角，ABC=30，BAC=75，ABC+BAC=30+75=105，∵直线BD∥EF，CEF=1=105.故选D.【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键.8.(2019梅州)如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则2=()A.150B.210C.105D.75考点：三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题)。

中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形;考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形;经典直角三角形：勾三、股四、弦五用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：1确定最大边不妨设为c ；2若c 2＝a 2＋b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2,则此三角形为钝角三角形其中c 为最大边； 若a 2＋b 2＞c 2,则此三角形为锐角三角形其中c 为最大边4. 勾股定理的作用：1已知直角三角形的两边求第三边; 2已知直角三角形的一边,求另两边的关系;3用于证明线段平方关系的问题; 4利用勾股定理,作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在△ABC 中,∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA,即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA,即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA,即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA,即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sinα cos αtan α 1 cot α14、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A ； 2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4商弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时,1正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；2余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；3正切值随着角度的增大或减小而增大或减小；4余切值随着角度的增大或减小而减小或增大 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形; 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c 1三边之间的关系：222c b a =+勾股定理 2锐角之间的关系：∠A+∠B=90°3边角之间的关系：正弦sin,余弦cos,正切tan4 面积公式：h c 为c 边上的高考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：1仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角;2坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等; 把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==; 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;解直角三角形的基本类型及其解法公式总结2测量底部可以到达的物体的高度h ＝h 1＋h 2＝a 1tan α＋tan β3测量底部不可到达的物体的高度1数学模型所用工具 应测数据 数量关系根据 理论 皮尺 侧倾器仰角α 俯角β 高度a tan α＝x h 1 ,tan β＝xah ＝a ＋h 1＝a ＋a ＝a1＋矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角α 俯角β 高度 tan α＝, tan β＝xa∴x ＝＝ ∴h ＝a －测量底部不可到达的物体的高度2数字模型 所用工具 应测距离 数量关系根据 原理皮尺侧倾器 仰角α, 仰角β 水平距离a 1 侧倾器高a 2tan α＝xa h +11tan β＝x h 1∴h 1＝αββαtan tan tan tan 1-ah ＝a 2＋h 1＝a 2＋αββαtan tan tan tan 1-a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝ h ＝tan α＝, tan β＝、h ＝仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝h ＝第三部分 真题分类汇编详解2007-2012200719．本小题满分6分一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈2200819．本小题满分6分在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如图所示,其中,AB 表示窗户,且2AB =米,BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6,最大夹角β为64.5．请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米结果保留两个有效数字参考数据：sin18.60.32=,tan18.60.34=,sin 64.50.90=,tan 64.5 2.1=200919．本小题满分6分在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器,测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°,然后往塔的方向前进50米到达B 处,此时测得仰D ＤＣ BβC GEFhα β x h xaα βhAa x α βhaxαβ hx α β角37CGE ∠=°,已知测倾器高米,请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． 参考数据：3sin 375°≈,3tan 374°≈,9sin 2125°≈,3tan 218°≈ 201019．本小题满分6分小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．结果保留整数参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，解：201119．6分某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 原来的40o 减至35o ．已知原楼梯AB 长为5m,调整后的楼梯所占地 面CD 有多长结果精确到0.1m ．参考数据：sin40o ≈,cos40o ≈≈,tan35o ≈ 201220.8分附历年真题标准答案：200719．本小题满分6分解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD．设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°．在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°． ∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近． …………………………6′ 200819．本小题满分6分解：设CD 为x ,在Rt△BCD 中, 6.18==∠αBDC ,∵CDBCBDC =∠tan ,∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ········· 2′ 在Rt△ACD 中, 5.64==∠βADC , ∵CDACADC =∠tan ,∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=． ∵BC AC AB -=,∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈． 答：CD 长约为米． 200919．本小题满分6分B CD A CG EDBAF B37° 48°DC A 第19题图40o 35o ADBC解：由题意知CD AD ⊥,EF AD ∥, ∴90CEF ∠=°,设CE x =,在Rt CEF △中,tan CE CFE EF ∠=,则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中,tan CE CGE GE ∠=,则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°∵EF FG EG =+,∴845033x x =+． 37.5x =,∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=米．答：古塔的高度约是39米． ························ 6分 201019．本小题满分6分解：设CD = x ．在Rt △ACD 中,tan37ADCD︒=, 则34AD x =,∴34AD x =. 在Rt△BCD 中,tan48° = BD CD,则1110BD x=, ∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ,∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分201119．本小题满分6分 201220.8分第19题图。

中考数学总复习《全等三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是( )A. B. C. D.2.下列叙述中错误的是( )A.能够重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.所有正方形都是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形3.下列四个选项图中，与题图中的图案完全一致的是( )A. B. C. D.4.如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是( )A.AD＝AEB.DB＝AEC.DF＝EFD.DB＝EC5.如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是( )A.这两个三角形的对应边相等B.这两个三角形都是锐角三角形C.这两个三角形的面积相等D.这两个三角形的周长相等6.已知图中的两个三角形全等，则∠a度数是( )A.72°B.60°C.58°D.50°7.已知下列条件，不能作出唯一三角形的是( )A.两边及其夹角B.两角及其夹边C.三边D.两边及除夹角外的另一个角8.如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去9.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是( )A.②B.①②③C.①②④D.①②③④10.如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°.下列结论：①∠1＝∠3；②BD＋DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF.其中正确的结论是( )A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④二、填空题11.如图，四边形ABCD≌四边形A/B/C/D/，则∠A的大小是________.12.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x＋y＝.13.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法得△MOC≌△NOC的依据是．14.如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝38°，则∠AEB＝ .15.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD ＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC ≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是16.在△ABC中，AB＝8，AC＝10，则BC边上的中线AD的取值范围是 .三、解答题17.如图，线段AC与线段BD相交于点O，连结AB，BC，CD，∠A＝∠D，OA＝OD.求证：∠1＝∠2.18.如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD，BD，CD．求证：AD平分∠BAC．19.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED;(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．20.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB的延长线上一点，点E在BC 边上，且BE＝BD，连结AE，DE，CD．(1)求证：△ABE≌△CBD．(2)若∠CAE＝27°，∠ACB＝45°，求∠BDC的度数．21.如图，AD∥BC，∠D＝90°．(1)如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数为多少？22.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论.答案1.D.2.C3.A4.B.5.B6.D7.D.8.C9.C10.C.11.答案为：95°.12.答案为：10.13.答案为：SSS.14.答案为：128°.15.答案为：ASA.16.答案为：1＜AD ＜9.17.证明：在△AOB 和△DOC 中∵⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，OA ＝OD ，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ≌△DOC(ASA)∴AB ＝DC ，OB ＝OC.∴OA ＋OC ＝OD ＋OB ，即AC ＝DB.在△ABC 和△DCB 中∵⎩⎨⎧AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(SSS)∴∠1＝∠2.18.证明：在△ABD 和△ACD 中∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS)∴∠BAD ＝∠CAD即AD 平分∠BAC ．19.解：(1)∵AE 和BD 相交于点O∴∠AOD ＝∠BOE.在△AOD 和△BOE 中∠A ＝∠B ，∠AOD ＝∠BOE∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2∴∠1＝∠BEO∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA)；(2)∵△AEC ≌△BED∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.在△EDC 中∵EC ＝ED ，∠1＝42°∴∠C ＝∠EDC ＝69°∴∠BDE ＝∠C ＝69°.20.证明：(1)∵∠ABC ＝90°∴∠CBD ＝90°＝∠ABC ．在△ABE 和△CBD 中∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS)．(2)∵△ABE ≌△CBD∴∠AEB ＝∠CDB ．∵∠AEB 为△AEC 的一个外角∴∠AEB ＝∠CAE ＋∠ACB ＝27°＋45°＝72° ∴∠BDC ＝72°．21.解：点P 是线段CD 的中点． 证明如下：过点P 作PE ⊥AB 于E∵AD ∥BC ，PD ⊥CD 于D∴PC ⊥BC∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ∴PD ＝PE ，PC ＝PE∴PC ＝PD∴点P 是线段CD 的中点．(2)35°22.解：(1)证明：延长AE 交DC 的延长线于点F∵E 是BC 的中点∴CE ＝BE∵AB ∥DC∴∠BAE ＝∠F在△AEB 和△FEC 中∴△AEB≌△FEC∴AB＝FC∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAE＝∠EAD∵AB∥CD∴∠BAE＝∠F∴∠EAD＝∠F∴AD＝DF∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB(2)如图②，延长AE交DF的延长线于点G∵E是BC的中点∴CE＝BE∵AB∥DC∴∠BAE＝∠G在△AEB和△GEC中∴△AEB≌△GEC∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG∵AB∥CD∴∠BAG＝∠G∴∠FAG＝∠G∴FA＝FG∴AB＝CG＝AF＋CF第11 页共11 页。