单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中的应用

求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解： 变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列 ｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理 ）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知： ｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把 ；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描 （n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（ ：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知： ｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠 ％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠 亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时， 可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积 分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二 二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列 ｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2： （0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心 「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由 方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)， 归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级 数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此 数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设 解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。

单调有界原理的应用什么是单调有界原理单调有界原理是指在一个有序的序列中存在两个极限，且序列中的其他元素都比这两个极限小，或者都比这两个极限大。

这个原理在数学、计算机科学和其他领域中有着广泛的应用。

应用场景•数据分析•算法设计•优化问题数据分析在数据分析中，单调有界原理可以用来描述一些规律或趋势。

例如，在时间序列分析中，我们可以根据单调有界原理来研究一个事件的发展趋势。

如果一个事件的变化过程是单调有界的，那么我们就可以根据过去的数据来预测未来的发展情况。

算法设计在算法设计中，单调有界原理可以用来优化算法的运行效率。

例如，在搜索算法中，我们可以利用单调有界原理来缩小搜索范围，从而减少算法的时间复杂度。

具体来说，我们可以根据单调有界原理来确定搜索的边界，然后在这个边界内进行搜索，而不是遍历整个搜索空间。

优化问题在优化问题中，单调有界原理可以用来指导问题的求解过程。

例如，在线性规划问题中，我们可以根据单调有界原理来确定目标函数的极大值或极小值。

通过分析问题的约束条件和目标函数的性质，我们可以推导出问题的解的取值范围，并在这个范围内寻找极值点。

如何应用单调有界原理在应用单调有界原理时，我们需要注意以下几点：1.确定序列的有序性：在应用单调有界原理之前，我们需要确定序列是否满足有序性的条件。

只有在序列有序的情况下，才能应用单调有界原理进行分析。

2.寻找极限点：根据单调有界原理，我们需要找到序列中的两个极限点。

这两个极限点可以是最大值和最小值，也可以是两个相邻元素之间的极限。

根据具体的问题，我们需要确定哪两个点是需要分析的极限点。

3.分析序列的其他元素：根据单调有界原理，我们知道序列中的其他元素都比极限点小（或大）。

我们可以通过比较其他元素与极限点的大小关系来确定序列的单调性。

4.应用单调有界原理：在确定序列的有序性、极限点和其他元素的大小关系之后，我们就可以应用单调有界原理。

根据问题的具体需要，我们可以利用单调有界原理来推导问题的解决方案，或者优化算法的运行效率。

单调有界原理的一个重要应用《数学分析》在数学分析中，单调有界原理有以下几个重要的应用。

1.序列的逼近和极限证明：单调有界原理可以用来证明给定的数列是否收敛，并找出该数列的极限。

对于一个单调递增有上界的序列，可以通过单调有界原理证明该序列收敛，并求得其上确界。

同样地，对于单调递减有下界的序列，可以证明其收敛，并求得其下确界。

2.函数的极限证明：对于定义在一些区间上的实函数，如果该函数在该区间上满足单调性和有界性，则可以采用单调有界原理来证明函数的极限存在。

通过适当地构造序列和利用单调有界原理，可以证明函数在特定点处的极限存在，并确定其极限值。

3.函数的连续性证明：单调有界原理可以用来证明函数的连续性。

如果一个函数在一些区间上满足单调性和有界性，那么可以利用单调有界原理证明该函数在该区间上连续。

这可以通过证明函数的左极限和右极限相等，并且等于该点处的函数值来实现。

4.实际问题的解析解：单调有界原理在求解一些实际问题时也起到了重要的作用。

例如，在经济学中，可以利用单调有界原理来证明其中一种货币的价值在很长时间内是稳定的，因为货币价值的变化通常是受到市场供求关系的限制，并且价格变动是有上下限的。

数列极限的求法探讨用数学符号简记0, N 0,当 n Nx n x 0n n n n a 例1 用 N 语言证明 lim(a1).证明：设 a由于 a 1, 所以0. 有二项式定理关于数列极限的求法探讨摘 要: 数列极限是高等数学中最重要的概念之一 , 本文主要探讨了数学分析中 数列极限求解的几种 思路和 方法，结合具体的例题分析了一般极限的求解过 程，给出了一般极限求解的方法和技巧，揭示了极限求解的解题思路 . 关键词 : 数列极限 单调有界 归结原则极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定变化过程中的 终极状态。

纵观数学的发展，我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一 段漫长的过程。

它把初等数学扩展为一个新的阶段——变量数学，整个数学分 析都是以极限为基础而展开的一门数学科学。

利用极限定义了函数的连续性、 导数、积分等。

同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的。

本文主要结合相 关概念、定理、性质和例题，对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总 结.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解 的相关的方法予以归纳总结 .1. 利用定义求数列极限定义11：（点列 x n 以x 0为极限的定义 ） 对于任意给定的 0 ，存在正整数N 0，当n N 时， x n x 0，则称点列 x n 当n 趋于无穷时以 x 0为极限.记为 lim x n x 0 . （ n 必须用公式编辑器中的符号） n1n，解此不等式得n 22因此1.0, 取N 2 21 ,当n N 时，有a 1 2这说明 lim nn 0 a 1 . n定义 21 ：（ 点列x nnn0 a不以 x 0为极限的定义 ） 存在定数 0 0, 对于任意 k 0,存在x n kx 0 0.用数学符号简记0,0，k, x nkx 0例 2 用 N 语言证明lim n1.证明：取 0 1, n 0,令k 2n 1 n, 则有 x 2n 1 1 2 1 0.的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子 步一步放大，有时还需 则alimnx ny nl n im nx n lim n limnx n y n lim x n n lim y n ; nxlim x nlimnn ( lim y ny nl n im y n nn 1， lim y n 2 ， 则求 lim l n im x n y nl n im x n y n12x n ，有注：用极限的定义时，只需要证明存在 N ，故求解的关键在于不等式的建立在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有 n 的因子移到不等式加入一些限制条件，限制条件必须和所求的 N 一致，最后结合在一起考虑 .2. 利用极限的运算性质求数列极限定理 6 ：若lim x n 和lim y n 存在， nn解：根据数列极限的运算性质有3. 利用两边夹定理求数列极限b c y n ;例 3 若 lim x n nx n y nn 0) .两边夹定理）若x n , y n , z n 满足例4 证明lim1g3gL g2n 1x 2g4gL g2n0（在我的电脑上此题不显示数字之间的运算符号）证明：由于两相异的算术平均值大于几何平均值， 2 1 31g3 4故分母中因3 53g522n 1 2n 12n22n 2n 11g3gL g2n 1由此可知： 02g4gL g2n12n 10ng2n 1 故由两边夹定理，得 lim1g3gLx2g4gL g2n注：两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小，和缩小的数列是容易求得相同的极限。

递推型数列极限-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，递推型数列是一种常见且重要的数学概念，它是通过一个或多个初始项和递推关系来定义的数列。

递推型数列在数学理论、应用和计算等领域都有着广泛的应用。

本文将系统地讨论递推型数列的定义、性质、收敛性以及极限计算方法，旨在帮助读者更深入地理解这一数学概念。

在探讨递推型数列的特点、收敛性及极限的基础上，我们还将探讨其在实际应用中的广泛应用领域，并展望未来递推型数列研究的发展方向。

通过本文的阐述，读者将能够全面了解递推型数列的重要性和深远影响，为进一步深入研究和应用打下基础。

1.2 文章结构本文将以递推型数列的极限为主题进行探讨。

文章主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们首先对递推型数列的概念进行概述，介绍递推型数列的定义和基本性质。

接着，我们将详细介绍本文的结构和各个章节的内容安排，以便读者能够清晰地了解全文的框架。

正文部分则包括了四个核心章节。

首先，我们将详细阐述递推型数列的定义，解释递推型数列的形式和特点。

其次，我们将探讨递推型数列的性质，包括等差数列、等比数列等特殊类型的递推型数列。

然后，我们将重点讨论递推型数列的收敛性，即数列是否会趋于有限的极限值。

最后，我们将介绍计算递推型数列的极限的方法，包括使用递推关系式和数列单调有界性等方法。

在结论部分，我们将对递推型数列的特点进行总结，概括递推型数列的基本性质和收敛性。

同时，我们将分析递推型数列的收敛性及其极限的计算方法的应用领域，例如在微积分中的应用。

最后，我们将展望未来递推型数列研究的方向，探讨可能的拓展和深入研究的领域。

通过本文的阐述，读者将能够全面地了解递推型数列的极限及其相关概念和性质。

同时，读者也将掌握计算递推型数列的极限的方法和应用领域。

希望通过本文的介绍，能够为读者提供对递推型数列极限的深入理解，并激发对该领域进一步研究的兴趣和热情。

1.3 目的本文的目的是探讨递推型数列的极限计算方法及其应用领域。

压缩映射法求数列极限压缩映射法的概念是一种数学工具，它常常被应用于求解数列的极限问题。

通过不断压缩并映射数列中的元素，我们能够找到数列的极限值。

在数学中，数列是一串按照特定规律排列的数字。

求解数列的极限，则是要找到这个数列在无限项情况下的趋势或终极结果。

压缩映射法就是一种帮助我们求解数列极限的工具。

压缩映射法的基本思想是，将数列中的元素通过一个函数映射到另一个数列中，并通过不断迭代这个过程，逐步逼近数列的极限值。

具体步骤如下：1. 第一步是选择一个合适的映射函数。

这个函数应该能够将数列中的每个元素映射到另一个数列中，并且能够保持数列的递增或递减特性。

2. 接下来，我们需要对数列中的元素进行压缩。

这就是将选择的映射函数应用到数列的每个元素上，得到一个新的数列。

3. 然后，我们需要分析这个新的数列的特性。

我们可以观察数列的增减情况、极限值的趋势等等。

4. 根据前一步的分析，我们可以调整映射函数的选择或者调整压缩步骤的策略。

目的是逼近数列的极限值。

5. 通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐接近数列的极限值。

举个例子来说明压缩映射法的应用。

考虑数列 {an} = {1/n}，我们希望求解这个数列的极限值。

首先，我们选择映射函数 f(x) = 1/(x+1)，然后将数列中的每个元素映射到新的数列 {bn} = {f(an)} = {1/(n+1)} 上。

接下来，我们观察新数列的特性。

可以发现新数列 {bn} 也是递减的，并且极限值为 0。

然后，我们可以进一步调整映射函数的选择，比如选择 f(x) = 1/(2x+1)，再次将数列中的每个元素映射到新的数列上。

通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐逼近数列的极限值。

在这个例子中，我们发现数列的极限值是 0。

压缩映射法在数列极限的求解中具有广泛的应用。

通过选择合适的映射函数和采取适当的压缩步骤，我们能够更好地理解数列的性质，并找到数列的极限值。

这种方法在数学领域中的数列问题求解中是非常有用的，同时也提供了一种思路和工具，用于解决其他相关的数学问题。

压缩映射原理在求数列极限中的应用1 压缩映射原理在求数列极限中的应用压缩映射原理是一种以压缩方式在数值模拟和分析方面发挥巨大作用的原理。

它是基于数学中的积分和微分方法，采用简易压缩运算，综合得到极限值。

压缩映射原理在求数列极限中应用比较广泛，因为数列极限是数学中常用的概念。

压缩映射原理在求数列极限中是一种高效率的方法，它能够实现快速求解数列极限的操作，且求解结果更准确、有效，从而节约时间。

2 压缩映射原理的基本原理压缩映射原理的基本原理就是运用积分和微分的基本概念，以简单的压缩操作获得极限值。

压缩映射原理中，积分求出极限点的数值，而微分则比较两个极限点之间的变化，以此来达到求解数列极限的目的。

3 压缩映射原理在求解数列极限中的应用压缩映射原理在求解数列极限中，其应用是很重要的。

因为这可以避免计算量大、精度低的误差而能够快速求出数列极限，也可以较好地发挥微分计算和积分估算的作用。

这可以将求解难度减轻，从而达到数学计算上的最优效果。

4 压缩映射原理的几大优点压缩映射原理在求数列极限中应用十分广泛，它的几大优点也是因此而产生的。

其几大优点有：1、准确性高：压缩映射原理能够准确求出数列极限，这也是它应用非常广泛的主要原因之一。

2、快速性高：压缩映射原理的特点是快速求解，它能够将求解过程快速地完成，从而节省计算量和工作量。

3、方便性高：使用压缩映射原理进行数列极限的求解，计算速度迅速，而且工作量也不大。

5 结论压缩映射原理在求数列极限中的应用非常重要，它的应用可以显著提高数列极限求解的效率。

其优点是准确性高、快速性高、方便性高，值得广泛应用。

2007年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar． 2007文章编号：1007-9831（2007）02-0019-03压缩映像原理在递推数列极限中的应用吴秉会1，魏连锁2（1. 齐齐哈尔大学 教务处，黑龙江 齐齐哈尔 161006； 2. 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：结合递推数列的特点，将压缩映像原理运用到数列极限问题中去，使关于数列极限存在性和求解问题得到更快、更简易的解决． 关键词：不动点；递推数列；压缩映像原理中图分类号：O177.91 文献标识码：A波兰数学家Banach 在1922年提出的压缩映像原理是对前人用逐次逼近法求解各类方程的方法的概括，在方程解的存在性、希尔伯特空间规范正交系存在性、隐函数存在定理等诸多方面有着广泛的应用．在此，我们将压缩映像原理应用到数列极限中，利用不动点来求得数列的极限．１ 概念和定理Banach 不动点原理——压缩映像原理[1]是建立在完备的度量空间基础上的，由实数集R 的完备性及闭集F 的完备性，有如下的定义和定理： 定义1 f 为R R →（或闭集F F →）的的映像，如果∃10<<k 使得|| |)()(|y x k y f x f −<−，x ，R ∈y （或x ，F y ∈）则称f 是一个压缩映像．定理1 f 为R R →（或闭集F F →）的压缩映像，则对R 0∈∀x （或F x ∈∀0），迭代数列)(1n n x f x =+" ,2 ,1 ,0=n 必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．定义2f 是→] ,[b a ] ,[b a 的映像，若满足|| |)()(|y x y f x f −<−，y x ≠∀，x ，] ,[b a y ∈，则称f为] ,[b a 到] ,[b a 的广义压缩映像．定理2[2]f 是→] ,[b a ] ,[b a 的广义压缩映像，则对] ,[0b a x ∈∀，迭代数列)(1n n x f x =+，" ,2 ,1 ,0=n ，必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．在实际应用中可通过如下定理来确定f 是否为（广义）压缩映射． 定理3)(x f 是一元可微函数，则有：i）若)(x f 在R 上可微，且当∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，则f 是一个压缩映像．ii）若)(x f 在] ,[b a 上可微，且当∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，则f 是一个广义压缩映像．证明 i ）因为)(x f 是一元可微函数，)(x f 在R ] ,[⊂y x 满足拉格朗日中值定理条件，则有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，所以|| |)()(|y x k y f x f −<−，则由定义1可得f 是一个压缩映像．ii）同理，)(x f 在] ,[] ,[b a y x ⊂上亦满足拉格朗日中值定理条件，于是有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，所以|| |)()(|y x y f x f −<−，则由定义2，可得f 是一个广义压缩映像．２ 应用收稿日期：2006-12-16作者简介：吴秉会（1978-），男，黑龙江齐齐哈尔人，助教．E-mail：wbh760776@以下各例均取材于部分高校研究生入学试题，并进行了一定的推广，使其更具一般性．例1[3]给定常数1>k ，设k u =1，1−+=n n u k u ，=n 2，3，… ，证明|}{|n u 有极限，并求出极限．证明 令x k x f +=)(，0≥x ，显然)(1−=n n u f u ，2≥n ．又1)2/(1|)2/(1||)(|'<≤+=k x k x f ，故依定理3 i）知)(x f 为) ,0[) ,0[∞+→∞+的压缩映射，由定理1，}{n u 必收敛于)(x f 在) ,0[∞+中的唯一不动点，即A u n n =∞→lim ，满足A k A +=，解得2/)411(k A +±=，由于0>n u ，" ,2 ,1=n ，有0lim >=∞→A u n n ，从而2/)411(lim k u n n ++=∞→．由以上例题可以看出，在解决递推数列的极限问题时，可先依题意构造出一个（广义）压缩映射f ，应用（广义）压缩映射原理判定其是否有极限A ，若存在则由)(A f A =得到A ，即为所求数列极限．但在构造函数f 时，需注意x 的定义域X 的选取，要使X u n ⊂}{，" ,2 ,1=n ．并且，由于数列的前有限项的值对数列极限无影响，从而对X 的要求可以减弱为X u n ⊂}{，" ,1 ,+=m m n ，N ∈m 为一有限数．在压缩映像条件常数r （1|)(|'≤≤r x f ）难以寻求时，用广义压缩映像原理．例2 a a =1，2/)/(1n n n a A a a +=+)0 , ; ,2 ,1(>=A a n "，证明}{n a 收敛，并求n n a ∞→lim ．证明 令2/)/()(x A x x f +=，0>≥a x ，则)(1n n a f a =+（" ,2 ,1=n ），A x A x x f +−=2/)/()(2A ≥，可视)(x f 为) ,[) ,[∞+→∞+A A 的映像，因为2/1|2/)/1(||)(|2'<−=x A x f ，) ,[∞+∈A x ，则由定理3 i）知)(x f 为压缩映像，再由定理1数列}{n a 收敛，设C a n n =∞→lim ，由0>n a 有0>C ，则2/)/(C A C C +=，解得A C =．例3 给定Z ,π ,00∈≠k k a a ，设 n n a a sin 1=+（" ,2 ,1 ,0=n ），求n n a ∞→lim ．解 令x x f sin )(=，]1 ,0(∈x ，则)(1n n a f a =+（πk a ≠），]1 ,0(sin 01∈=a a ，从而)1 ,0(∈i a （,2=i " ,3 ），又 1|cos ||)(|'<=x x f ，)1 ,0(∈∀x ，则由定理3 ii）知f 为广义压缩映像，由定理2知n a 必收敛于f 在]1 ,0[中唯一不动点，设A a n n =∞→lim ，有A A sin =，]1 ,0[∈A ，所以0=A ，即0lim =∞→n n a ．在例2中，有限项a a =1是否在) ,[∞+A 内对极限问题无影响，故可视)(x f 为) ,[) ,(∞+→∞+A A 的映像，进而运用定理3，同样情况出现在例３中的0a ，0a 是否在]1 ,0[内对极限问题及区间]1 ,0[的选取无影响．众所周知，单调有界定理是研究序列极限存在性的有力工具，但对于某些问题应用单调有界定理证明较繁琐，此时，不妨用压缩映像原理一试．例4 给定1≥k 常数，设11=x ，)1/(2+=k k x ，)/(1n n x k k x +=+，求n n x ∞→lim ．分析 假设极限存在，值为A ，则)/(A k k A +=，2/)4(2k k k A +±−=（舍去负值）．再研究n x 与A 的大小关系：若A x n <，则A A k k x k k x n n =+>+=+)/()/(1；若A x n >，则A A k k x k k x n n =+<+=+)/()/(1， 即n x 在A 左右来回跳动，又由于)42/(22/)42(2/)4(11222k k k k k k k k k A +++=+−+=++−−=− 0>，即A x >=11，从而得到A x x x x n >+"" , , , , ,12531，, ,42x x A x x n <+"" , , ,226．至此可看出此问题应用单调有界原理比较繁琐，若用压缩映射原理将很容易解得此题．解 令)/()(x k k x f +=，]1 ,0[∈x ，则)(1n n x f x =+，" ,2 ,1=n ，1|/||)/(||)(|22'≤<+=k k x k k x f ，)1 ,0(∈x ，即1|)(|'<x f ，从而由定理3得到)(x f 是]1 ,0[]1 ,0[→的广义压缩映像，再由定理2可得}{n x 收敛于f 在]1 ,0[中的唯一不动点，设A x n n =∞→lim ，则)/()(A k k A f A +==，由0>n x 解得，)4(2k k k A ++−=/2． 参考文献：[1] 张恭庆，林源渠．泛函分析讲义（上册）[M]．北京：北京大学出版社，1998． [2] 宋国柱．分析中的基本定理和典型方法[M]．北京：科学出版社，2004． [3] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．第2期 吴秉会等：压缩映像原理在递推数列极限中的应用 21 Application of contraction mapping principle to recursion sequence of numberWU Bing-hui 1，WEI Lian-suo 2（1. Office of Dean，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China； 2. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China） Abstract：Combining the features of recursion sequence of number, applied the contraction mapping principle to the limit of sequence of number, arriving at a more prompt and easier approach to existence of limit of sequence of number and its solution.Key words：fixed point；recursion sequence of number；contraction mapping principle管式炉在粗苯生产系统的应用杜红宝1 粗苯工艺流程简介黑化集团公司焦化厂现有2座半焦炉（型号58－Ⅱ一座，JN43-80一座半），年设计能力为75万t焦炭及与其配套的化产回收系统．粗苯系统是化产回收的重要生产系统，年设计生产粗苯一万t．粗苯系统分洗涤和蒸馏2部分． （1）洗涤部分：从硫铵系统来的 45～55℃的煤气进入终冷塔，用循环水直接冷却到20～30℃，煤气中 的萘同时被水洗下来，然后煤气再进入洗苯塔，用洗油与煤气逆流喷洒，吸收煤气中的苯，使煤气中的苯含量达到2 g/Nm3以下后送往化肥厂及焦炉回炉加热．（2）蒸馏部分：洗油在洗苯塔内洗苯后变成富油，再用富油泵送经苯分缩器、贫富油换热器后，经管式炉加热到160～180℃再送到脱苯塔，富油在脱苯塔内被直接蒸汽蒸吹，从脱苯塔顶蒸出的苯汽经分缩器、苯冷凝冷却器后得到液态粗苯产品，脱苯塔底的热贫油经贫富油换热器、贫油冷却器回到循环油槽，供洗苯塔洗苯用．2 粗苯管式炉蒸馏工艺的优点（1）提高粗苯回收率 在粗苯蒸馏系统中，由于富油在管式炉内被加热的温度高，可达160～180℃（蒸汽预热富油一般只有145℃），进入脱苯塔后，则塔底贫油温度也相应提高，贫油中各组分的蒸汽压增大，从而使粗苯的蒸出率也增加，贫油含苯降低，粗苯管式炉蒸馏工艺可使贫油含苯降到0.5％以下（蒸汽预热富油蒸馏工艺贫油含苯一般在0.8％左右）．在粗苯洗涤系统中，用洗 油吸收煤气中的苯族烃是物理吸收过程，服从亨利定律和道尔顿定律，贫油含苯量越低，则洗苯塔后含苯量也越低，苯的回收率越高．（2）不受蒸汽压力波动影响，生产稳定．（3）降低蒸汽耗量．（4）减少酚水量．3 粗苯管式炉加热富油脱苯工艺生产运行情况经过管式炉热负荷计算，得知管式炉需提供热量为1608万kJ/h，又根据对国内济南钢铁厂等8个厂家考察，选择1 674万kJ/h 型号为5.815 mw-245 mpa-φ140/φ114．粗苯管式炉2003年12月29日投产，同蒸汽加热富油脱苯工艺比，近几年主要技术指标情况如表1．由表可以看出，粗苯管式炉投产后，运行稳定，主要技术指标完成的很好，但由于我厂入管式炉的蒸汽本身就是过热蒸汽温度200℃左右，致使出管式炉的过热蒸汽超出规定范围，解决办法是进一步计算后，减少管式炉内蒸汽管根数（换热面积）．表1 主要技术指标同期 富油流量t/h富油出管式炉温度/℃过热蒸汽温度/℃贫油含苯/（％）洗苯塔前煤气含苯g/Nm3洗苯塔后煤气含苯g/Nm3苯回收率/（%）煤气耗量Nm3/t粗苯蒸汽耗量t/t粗苯2003 60 富油出预热器温度 145—— 0.8 38.58 2.0 94.8 — 5.52004 60 165 480 0.5 38.38 1.64 95.7 590 1.52005 60 168 485 0.45 41.55 1.16 97.2 595 1.52006上半年60 168 484 0.46 40.15 1.17 97.1 593 1.54 经济效益焦炉结焦时间按18 h计算，洗苯塔后含苯降低按0.5 g/Nm3计算，则全年可增收粗苯154 t粗苯，增收77万元；年节约蒸汽4.4万t，节约费用308万元；年消耗煤气660万Nm3， 消耗费用330万元．则每年综合增效为55万元． 黑化集团公司焦化厂于2003年12月将粗苯蒸汽加热富油脱苯工艺改为管式炉加热富油脱苯工艺，经过几年的生产实践检验，此装置运行稳定、良好，达到了改造的目的——富油温度由原来的145℃提高到168℃，贫油含苯由原来的0.8％降到0.5％，塔后含苯由原来的2.0 kg/Nm3降到1.5 kg/Nm3，蒸汽单耗1.5 t/t粗苯．问题是过热蒸汽温度偏高些，需进一步改进． 参考文献：[1] 库咸熙．炼焦化学产品回收与加工[M]．北京：冶金工业出版社，1983．[2] 焦化设计参考资料编写组．焦化设计参考资料[M]．北京：冶金工业出版社，1982．（作者单位：黑化集团公司 焦化厂技术科，黑龙江 齐齐哈尔161041）。

单调有界定理和压缩映射定理在求解递
推数列极限中的应用
求解递推数列极限是数学中一个重要的问题，它可以帮助我们更好地理解数学知识，并且可以
用来解决实际问题。

在求解递推数列极限中，单调有界定理和压缩映射定理是两个重要的定理，它们可以帮助我们更好地求解递推数列极限。

单调有界定理是一个重要的定理，它可以帮助我们求解递推数列极限。

它的主要思想是：如果
一个递推数列是单调的，并且它的值都在一个有界的区间内，那么这个递推数列的极限存在，
并且它的极限值就是这个区间的上界或下界。

压缩映射定理也是一个重要的定理，它可以帮助我们求解递推数列极限。

它的主要思想是：如
果一个递推数列的每一项都可以通过一个压缩映射函数映射到另一个递推数列，那么这两个递
推数列的极限是相等的。

因此，单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中都有重要的作用。

它们可以帮助我
们更好地理解数学知识，并且可以用来解决实际问题。