黄冈中学2008年春季高二数学文科期中考试

湖北省黄冈市红安一中高二实验班数学期中试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 1．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是（D ）A ．{x|0≤x＜1}B ．{x|x ＜0且x≠－1}C ．{x|－1＜x ＜1}D ．{x|x<1且x≠－1} 2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是（D ） A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1． 当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为（A ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．不等式|2x －log 2x|＜2x ＋|log 2x|的解集为（C ）A ．(1，2)B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞) 5．如果x ，y 是实数，那么“xy＜0”是“|x－y|＝|x|＋|y|”的（A ） A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件 D ．非充分条件非必要条件 6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则（C ）A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c7．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则（B ）A ．x ＝2b a + B ．x≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x≥2ba + 8．若方程036=++-+k y x y x 仅表示一条直线，则k 的取值范围是（ D ）A (]3,∞-B (]30,=∞-k 或C 3=kD ()30,=∞-k 或9．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（A ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3 10．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于 （ D ）A32 B 22 C 21 D 32 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．与圆()2222=-+y x 相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为4,+-=±=x y x y12．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是4 13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞ ．14．正三角形ABC 中，AC AB E D ,,分别是的中点，则以C B ,为焦点且过E D ,的双曲线的离心率是 1+15．若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ． 解：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；11． 12．13． 14．15． 三、解答题：16．（本小题满分12分）解关于x 的不等式.1||,11≠>++a ax ax 其中 解：,0)1()1(01>+--->+--+a x a x a a x a x ax 即若01,1>+->a x x a 则得原不等式的解集为}1|{a x x x -<>或若01,1<+-<ax x a 则若,1,11<-<<-a a 时得原不等式的解集为}1|{<<-x a x ；若1,1>--<a a 时，得原不等式的解集为}1|{a x x -<<17．（本题满分12分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，并指出取最小值时x 的值．解：（1）应用二元均值不等式，得22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+， 故 222()a b a b x y x y++≥+． 当且仅当22y x ab x y =，即a bx y=时上式取等号 （2）由（1）22223(23)()252122(12)f x x x x x +=+≥=-+-． 当且仅当23212x x =-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x = 18．（本题满分12分）已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，求：a 的取值范围。

湖北省黄冈中学2008-2009学年上学期高二期中考试数学试题（理）命题：胡华川 审稿：曾建民 校对：冯小玮一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线0y =与直线20x y +-=的夹角A ．4π B ．3πC ．2πD ．43π 2．若图中的直线123l l l 、、的斜率分别为123k k k 、、，则有：A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<3．椭圆2211612x y +=上一点到其焦点1F 的距离为3，则该点到椭圆另一焦点2F 的距离为 A ．13B ．9C ．5D ． 14．若直线10ax y +-=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于A ．4B ．4或1-C ．35D ．32-5．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2）,则实数a 等于A ．8B ．2C ．－4D ．－86．曲线422=+y x 与曲线22cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩ （[0,2)θπ∈），关于直线l 对称，则直线l 的方程为A ．2-=x yB ．0=-y xC ．02=-+y xD ． 02=+-y x8．已知关于x 的不等式2056a xx x -≤-+的解集是(]()+∞,3,2 a , 则a 的取值范围是A ．()2,∞-B ．[]3,2C ．()+∞,3D ． ()3,29．如果椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的范围是A．1] B．1,1) C．1] D．1,1)10．经济学中的“蛛网理论”（如下图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图像为直线1l ，“供给—价格”函数的图像为直线2l ，它们的斜率分别为21,k k ，1l 与2l 的交点P 为“供给—需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线1l 、2l 的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为A ．021>+k kB ．021=+k kC ．021<+k kD ．21k k +可取任意实数二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上）．11．倾斜角为23π且在y 轴上截距为2的直线方程是______ ______． 12．中心在坐标原点，离心率为45的椭圆的一个焦点为(0,4)，则此椭圆的准线方程是____ ．13．已知圆C ：221x y +=，点()2,0A -及点(3,)B a ，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是 __ ．14．过点（1，2）的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ __ ．15．由实数,x y 满足不等式组2132y x y kx k ≤⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩所确定的可行域内，若目标函数z x y =-+仅在点(3,2)取得最小值，则正实数k 的取值范围是 ．答题卡（图2）1（图3）（图1）三、解答题：( 本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明或演算步骤．)16．(本小题12分) 若||1a ≤，||1b ≤，试比较||||a b a b ++-与2的大小关系．17．(本小题12分) 已知ABC ∆的顶点)3,1(--B ，AB 边上高线CE 所在直线的方程为013=--y x ，BC 边上中线AD 所在的直线方程为0398=-+y x ． （Ⅰ）求直线AC 的方程；（Ⅱ）求直线AB 到直线BC 的角的正切值．18．(本小题12分) 已知圆0342:22=+-++y x y x C ．圆C 外有一动点P ，点P 到圆C 的切线长等于它到原点O 的距离． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）当点P 到圆C 的切线长最小时，切点为M ，求∠MPC 的值．19．(本小题12分) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：20．(本小题13分) 已知椭圆的中心在原点，一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．21．(本小题14分) 已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （Ⅲ）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．参考答案1．A 题意即求直线20x y +-=与x 的夹角，易知倾斜角为43π，所以夹角为4π． 2．D 有图像观察易知132k k k <<．3．C 由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点距离之和为8，一个为3时，另一个为5． 4．A 两直线平行，则(3)4a a -=，解得1a =-或4，但当1a =-时，两直线重合． 5．C 由6|2|<+ax 得84ax -<<，要解集为（－1，2），则4a =-． 6．D 两圆圆心(0,0)、(2,2)-关于直线l 对称，易求直线为02=+-y x ． 7．B 由题意：圆心（3，1）到直线的距离是11=，解得a =． 8．D 由根轴法易知()2,3a ∈．9．B 由题意得：111||22||||11PF aa PF PF e e=-⇒=+，又1||a c PF a c -≤≤+，所以 221111(1)(1)2(1)(1)1111a a c a c e e e e e e e e-≤≤+⇒-≤≤+⇒-+≤≤++++解得1e ≥，结合椭圆中e的范围得：1,1)e ∈．10．A 图1中最终能达到均衡点P ，当021=+k k 时，就得到图2所示，要得到图1 ，则满足12k k >-，即021>+k k ．11．2y =+直线斜率为(0,2)，所以直线为2y =+．12．由题意知焦点在y 轴上，4c =且45c a =解得5a =，所以得准线方程为254y =±．13．(,)-∞⋃+∞过点()2,0A -作圆221x y +=的切线得：2)y x =+，当3x =时，3y =±，要视线不被挡住，则实数a的取值范围是(,)-∞⋃+∞14．2由题意知点在圆内，所以当过点的弦垂直于过此点的直径时，弦所对的劣弧所对的圆心角最小，过此点的直径的斜率为'012k ==-L 的斜率1'2k k =-=．15．(0,1) 当恰有1k =时，不等式组21(3)2y x y k x ≤⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩确定的可行域如下： 因为直线(3)2y k x =-+恒过点(3,2)，要仅在点(3,2)取得最小值，则直线(3)2y k x =-+的斜率(0,1)k ∈．16．解：（法1）：若()()0a b a b +-≥，则|||||()()|2||2a b a b a b a b a ++-=++-=<， 若()()0a b a b +-<，则|||||()()|2||2a b a b a b a b b ++-=+--=< 所以综上得||||2a b a b ++-<．（法2）：显然||||a b a b ++-与2都为正，所以可以先比较2(||||)a b a b ++-与2的大小，222222244(||||)(||||)222||44(||||)a ab a b a b a b a b b a b ⎧≤≥⎪++-=++-=⎨≤<⎪⎩，即有同上结论．17．（Ⅰ）设点),(y x A ,则⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅++=-+131130398x y y x ，解得3,3=-=y x ，故点A 的坐标为)3,3(-．设点),(n m C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--⋅+-⋅=--03239218013n m n m 解得1,4==n m ，故)1,4(C ， 又因为)3,3(-A ，所以直线AC 的方程为01572=-+y x ．（Ⅱ）因为)3,3(-A ，)3,1(--B ，)1,4(C ，所以3,54-==AB BC k k ，故直线AB 到直线BC 的角的正切值71951213541tan -=-+=⋅+-=AB BC AB BC k k k k θ．18．（Ⅰ）设(,)P x y ，圆22:(1)(2)2C x y ++-=，依题意有22)，化简得：0342=+-y x （Ⅱ）设切线长为||PM ，点P 到圆心的距离为||PC，则有：||PM =由此可知要切线长||PM 最小，则点P 到圆心的距离||PC 最小，而点P 到圆心的距离||PC 最小值即为圆心C 到（Ⅰ）中的直线0342=+-y x 的距离，即min ||PC ==sin 7MPC ∠==又∠MPC为锐角，所以sin 7MPC arc ∠=． 19．解：设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计收益8060z x y =+．则⎩⎨⎧20x ＋30y≤300，10x ＋5y≤110，x≥0，y≥0， 作出可行域，如图；作出直线:430o l x y +=并平移由图象得，当直线经过M 点时能z 取得最大值，⎩⎨⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22， 解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝4，即(9,4)M ， 所以z ＝80×9＋60×4＝960(万元)答：应供应产品A 9件，产品B 4件，可使得利润最多达到960万元．20．解 ： (Ⅰ)由题意知，9834322=⋅=e ，所以322=e ． 设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，322429)22(22=+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ． 若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(22<+-y ，解得023*******<<-<<y y 或． 将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x )1()2(-得，09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x ，故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=， 所以ABk y 290=，则有029233233290<<-<<ABAB k k 或， 解得33-<>AB AB k k 或，故存在直线l 满足条件，其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈．21．解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为1222=+y x ． （Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ；当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ．所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．（Ⅲ）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22121a a S -=,2222+=a S ,（12分）若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ， 22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 于是641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([max =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81．。

2008-2009学年度湖北省黄冈中学第二学期高二期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．由1，2，3这三个数字组成的没有重复数字的自然数共有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．15个2．已知1215n n C C +<，则自然数n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．(13)nx -(*)n ∈N 的展开式中所有项的系数之和为32-，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．某中学举行的电脑知识竞赛，满分100分，80分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩整理后分成五组，绘制频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组频率分别为0.30、0.05、0.10、0.05．第二小组频数为40，则参赛的人数和成绩优秀的概率分别为（ ）A ．100，0.15B ．100，0.30C ．80，0.15D ．80，0.305．设函数()2f x ax a =+，若/()0f x <，则函数()f x 在[1,1]-上的最大值是（ ）A ．3aB ．2aC ．aD ．06．一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（ ）A ．4381=种B ．43224⨯⨯=种C ．3464=种D ．3412⨯=种7．设凸n (3)n ≥棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为()f n ，则(1)()f n f n +=+（ ）A ．1n -B ．nC ．1n +D ．2n +8．给出下列命题，其中错误的一个命题是（ ） A ．事件A 与事件B 是互斥事件，那么它们必是对立事件 B ．事件A 与事件B 是对立事件，那么它们必是互斥事件C ．事件A 与事件B 是相互独立事件，那么A 与B 也是相互独立事件D ．事件A 是必然事件，那么它的概率()1P A =9．某人在5次上班的途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9；已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．“如果存在正整数y ，使得2x y =，则称x 是一个完全平方数”．现已知1!2!9!10!a =⨯⨯⨯⨯，若ab是一个完全平方数，则正整数b 可以是（ ）A ．3!B ．5!C ．23!⨯D ．25!⨯二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．抛物线2122y x =-在点3(1,)2--处的切线为l ，则l 的倾斜角为______________． 12．已知2272m mn n A C ==(,*)m n ∈N ，则m n +=___________．13．已知函数32()331f x x x x =-++的反函数是1()f x -=_____________．14．某校参加2009年高考的考生数学成绩按“好、中、差”分层的人数比例恰为3:5:2，抽样调查发现此次考试“好、中、差”三层的人平分分别为121、104和78，则该校此次高考数学的人平分应为____________分（精确到0.1），若已知“好成绩”的共有180人，则“差成绩”的考试总分为_______________分．15．甲乙二人玩猜字游戏，先由甲在心中想好一个数字，记作a ，然后再由乙猜甲刚才所想到的数字，并把乙猜到的数字记为b ，二人约定：a 、b ∈{1，2，3，4}，且当||1a b -≤时乙为胜方，否则甲为胜方．则甲取胜的概率是_______________．三、解答题（本大题共6小题，共75分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）下表为某班英语及数学成绩的等级分公布（共分为5个等级，最高等级分为5分），全班共有学生50人，设,x y 分别表示英语成绩和数学成绩的等级分（例如表中英语成绩等级分为5分的共6人，数学成绩等级分为3分的共15人）．由已知表格，试填写出对应的表格（见答题卷中的表格）．也即求出下列各对应值：（1）4x =的概率P （A ）； （2）4x =且3y =的概率P （B ）； （3）3x ≥的概率P （C ）；（4）3x ≥且3y =的概率P （D ）；（5）2x =的概率P （E ）及对应的m n +的值．17．（本小题满分12分）已知8()x x-的展开式中常数项为1120． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求二项展开式中含2x 的项．18．（本小题满分12分）已知高二年级的某6名学生，独立回答某类问题时答对的概率都是0.5，而将这6名同学平均分为甲、乙、丙3个小组后，每个小组经过两名同学讨论后再回答同类问题时答对此类问题的概率都是0.7，若各个同学或各个小组回答问题时都是相互独立的． （Ⅰ）这6名同学平均分成3组，共有分法多少种？（Ⅱ）若已经平均分成了甲、乙、丙3个小组，则3个小组中恰有2组能答对此类问题的概率是多少？ （Ⅲ）若要求独立回答，则这6名学生中至多有4人能答对此类问题的概率是多少？（注意：要求用分数表示（Ⅱ）、（Ⅲ）中所求的概率，否则各扣除1分）19．（本小题满分12分）由0，2，5，6，7，8这六个数字组成没有重复数字的四位自然数（解答给出简单的理由）． （Ⅰ）共能得到多少个这样的四位数？（Ⅱ）设这样得到的四位奇数有a 个，四位偶数有b 个，求a b -的值；（Ⅲ）将所得到的所有四位数从小到大排成数列{}n a ，求128a ．20．（本小题满分13分）已知正四棱锥P —ABCD 的高为H ，底面边长为a ，其内接正四棱柱EFGH —E 1F 1G 1H 1的四个顶点E 、F 、G 、H 在底面上，另外四个顶点E 1、F 1、G 1、H 1分别在棱PA 、PB 、PC 、PD 上（如图所示），设正四棱柱的底面边长为x ． （Ⅰ）设内接正四棱柱的体积为()V f x =，求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）试求该内接正四棱柱的最大体积及对应的x 的值．21．（本小题满分14分）已知函数d cx bx ax x f 42)(23++-=（a 、b 、c 、d ∈R ）是奇函数，且x =1时，)(x f 取极小值23-． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意的[3,3]x ∈-，恒有2()5f x m m ≥-成立，求m 的取值范围；（Ⅲ）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f 图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（IV ）设()f x 表示的曲线为G ，过点(1,10)-作曲线G 的切线l ，求l 的方程．。

如东县2008—2009学年度第一学期期中四校联考高二数学参考答案及评分标准一、填空题：1、18y =-； 2、8； 3、27；4、原点； 5、②③； 6、（3，0）；7、13； 8、5； 9、2；10、(][)0,28,m ∈⋃+∞；11、；（不写单位不扣分）12、①②； 13；141- 二、解答题：15、解：（Ⅰ）由题意，椭圆224936x y +=的焦点为（），………………………2分即c ，∴设所求双曲线的方程为222215x y a a-=-．…………………………………4分 ∵双曲线过点（3，－2），∴229415a a -=-．……………………………………………6分∴23a =，或215a =（舍去）．∴所求双曲线的方程为22132x y -=．………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ），可知双曲线的右准线为x =． ………………………………10分设所求抛物线的标准方程为220y px p =->（），则p =．…………………………12分∴所求抛物线的标准方程为2y =．………………………………………………14分 16、（Ⅰ）证明：由正三棱柱111ABC A B C -，∴ 1CC ⊥面ABC ，又AD ⊂面ABC ∴AD 1CC ⊥ ……………………………………………3分 又1AD C D ⊥，11,CC C D ⊂面11BCC B ，111CC C D C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B ………………………………………………………6分（Ⅱ）连结DE ，由AD ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B∴AD ⊥BC ，又ABC ∆为正三角形∴D 为BC 的中点……………………………………………………………………8分又E 为E 是11B C 的中点∴BE//1C D ，又BE 不在面AD 1C ，1C D 在面AD 1C 内，∴BE//面AD 1C …………………………………………………………………10分又易证1A E//AD ，1A E 不在面AD 1C ，AD 在面AD 1C 内∴1A E//面AD 1C …………………………………………………………………12分BE//面AD1C，1A E//面AD1C，BE，1A E为1A EB内两相交线∴平面1A EB//平面1ADC……………………………………………………14分17. 解:(Ⅰ) 设椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>……………………………2分则22238ca ca b c=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩………………………………………………7分所以椭圆C的方程为2212516x y+=………………………………………………8分 (Ⅱ)∵MN BD⊥，垂足为P00()x y，，1F，2F为椭圆C的两焦点,所以P点在以线段1F2F为直径的圆上，∴22009x y+=……………………12分∴2200199x y+=∴222200001251699x y x y+<+=………………………………………………………15分18证明：（Ⅰ）连结1BD，在BDD1∆中，E、F分别为1D D，DB的中点，则11111111////EF D BD B BCD A EF BCD AEF BCD A⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面……………………………5分（Ⅱ）1111111,B C ABB C BCAB B C ABC DAB BC B⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒111111B C ABC DBD ABC D⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BDEF BD⊥⎫⎬⎭1EF B C⇒⊥……………………………………………10分（Ⅲ）11AF BDD B⊥平面1AF EFB∴⊥平面且A F D F==112EF BD==1B F===13B E ===∴22211EF B F B E +=即190EFB ∠=……………………………………………………………12分11113B AEF A B EF B EF V V S AF --∆∴==⋅⋅=11132EF B F AF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯= …………………………………………14分 19解：(Ⅰ) BD 与FG 异面………………………………………………………2分 证明：∵BD 在面AC 内，Q 点在面AC 内，F 点不在面AC 内，Q 不在BD 上， ∴BD 与FG 异面…………………………………………………5分 (Ⅱ)连结AC 交BD 于M 点，连结PM易证AMP ∠为所求二面角的平面角 …………………………………………8分在Rt AMP ∆中，tanAP AMP AM ∠===∴二面角P BD A --…………………………………………10分 (Ⅲ)假设在线段CD 上存在一点Q 满足题设条件。

2008-2009学年黄冈中学高二数学第一学期期中考试试题（文） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．直线20x y +-=的倾斜角为A ．4π-B ．4π C ．23π D ．43π2．椭圆2255x y +=的焦点坐标是A ．)0,2(±B ．)2,0(±C ．)0,4(±D ． )4,0(±3．若图中的直线123l l l 、、的斜率分别为123k k k 、、，则有：A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<4．若直线10ax y +-=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于A ．4B ．4或1-C ．35D ．32-5．椭圆2211612x y +=上一点到其焦点1F 的距离为3，则该点到椭圆另一焦点2F 的距离为 A ．13 B ．9C ．5D ． 16．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2）,则实数a 等于A ．8B ．2C ．－4D ．－8 7．曲线422=+y x 与曲线))2,0[(sin 22cos 22πθθθ∈⎩⎨⎧+=+-=参数y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程为A ．02=+-y xB ．0=-y xC ．02=-+y xD ．2-=x y9．如果椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的范围是 A．1] B．1,1) C．1] D．1,1)10．经济学中的“蛛网理论”（如下图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图像为直线1l ，“供给—价格”函数的图像为直线2l ，它们的斜率分别为21,k k ，1l 与2l 的交点P 为“供给—需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线1l 、2l 的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为A ．021>+k kB ．021=+k kC ．021<+k kD ．21k k +可取任意实数二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上）．11．倾斜角为3π且在y 轴上截距为2的直线方程是______ ______． 12．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为21的椭圆方程是_________ __ ．13．已知圆C ：221x y +=，点()2,0A -及点(3,)B a ，从A 点观察B 点，要使视线被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是 ．14．过点（1，2）的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ ．15．若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线0x y +=对称，则不等式组1001kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域面积是____ ________．答 题 卡三、解答题：( 本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明或演算步骤．)16．(本小题12分) 若||1a ≤，||1b ≤，试比较||||a b a b ++-与2的大小关系．1（图2）1（图3）2（图1）17．(本小题12分) 设圆上点(2,3)A 关于直线y =x 的对称点仍在圆上，且该圆与直线20x y -+=相交所得的弦长为18．(本小题12分) 已知ABC ∆的顶点)3,1(--B ，AB 边上高线CE 所在直线的方程为013=--y x ，BC 边上中线AD 所在的直线方程为0398=-+y x ．（Ⅰ）求点A 的坐标； （Ⅱ）求直线AC 的方程；（Ⅲ）求直线AB 到直线BC 的角的正切值．19．(本小题12分) 点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，已知一束光线过点P 且沿斜率为25-的直线传播，经直线02=+y 反射后通过椭圆的左焦点． （Ⅰ）求反射光线所在直线方程； （Ⅱ）求椭圆的离心率． 20．(本小题13分) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：21．(本小题14分) 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，直线:2l y x =+与以原点为圆心、椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求动点M 的轨迹2C 的方程； （Ⅲ）过椭圆1C 的焦点2F 作直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，当l 的斜率为12时，直线1l 上是否存在点M ，使?AM BM ⊥若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．参考答案1． D 易知斜率为1-，故倾斜角为43π． 2． B3． D 有图像观察易知132k k k <<．4．A 两直线平行，则(3)4a a -=，解得1a =-或4，但当1a =-时，两直线重合． 5．C 由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点距离之和为8，一个为3时，另一个为5. 6．C 由6|2|<+ax 得84ax -<<，要解集为（－1，2），则2a =． 7．A 两圆圆心(0,0)、(2,2)-关于直线l 对称，易求直线为02=+-y x ． 8．B 由题意：圆心（3，1）到直线的距离是11=，解得a =． 9．B 由题意得：111||22||||11PF aa PF PF e e=-⇒=+，又1||a c PF a c -≤≤+，所以 221111(1)(1)2(1)(1)1111a a c a c e e e e e ee-≤≤+⇒-≤≤+⇒-+≤≤++++解得1e ≥，结合椭圆中e 的范围得：1,1)e ∈．10．A 图1中最终能达到均衡点P ，当021=+k k 时，就得到图2所示，要得到图1 ，则满足12k k >-，即021>+k k ．11(0,2)，所以直线为2y =+．12．由题意知焦点在x 轴上，24a c =且12c a =解得2,1a c ==，所以得22143x y +=． 13．[过点()2,0A -作圆221x y +=的切线得：2)y x =+，当3x =时，y =，要视线被挡住，则实数a的取值范围是[．142由题意知点在圆内，所以当过点的弦垂直于过此点的直径时，弦所对的劣弧所对的圆心角最小，过此点的直径的斜率为'k =，所以直线L 的斜率1'2k k =-=．15．32由题意知MN 的中垂线为直线0x y +=，所以1k =，此时圆：2240x y x my +++-=，联立1y x =+得：22(3)50x m x m +++-=，所以MN 的中点为31(,)44m m ---，代入0x y +=得1m =-，所以不等式组为1001x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，可行域为一个等腰三角形，面积为94．16．解：（法1）：若()()0a b a b +-≥，则|||||()()|2||2a b a b a b a b a ++-=++-=<， 若()()0a b a b +-<，则|||||()()|2||2a b a b a b a b b ++-=+--=< 所以综上得||||2a b a b ++-<．（法2）：显然||||a b a b ++-与2都为正，所以可以先比较2(||||)a b a b ++-与2的大小，222222244(||||)(||||)222||44(||||)a ab a b a b a b a b b a b ⎧≤≥⎪++-=++-=⎨≤<⎪⎩，即有同上结论．17．解：由题设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵点A 关于直线y x =的对称点在圆上 ∴圆心在直线y x =上∴a b = ①且222(2)(3)a b r -+-=②又圆与直线20x y -+=相交弦长为∴222r +=③ 由①、②、③解得2115a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或2445a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故所求圆的方程为22(1)(1)5x y -+-=或22(4)(4)5x y -+-=.18题：（Ⅰ）设点),(y x A ,则⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅++=-+131130398x y y x ，解得3,3=-=y x ，故点A 的坐标为)3,3(-．（Ⅱ）设点),(n m C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--⋅+-⋅=--03239218013n m n m 解得1,4==n m ，故)1,4(C ，又因为)3,3(-A ，所以直线AC 的方程为01572=-+y x ．（Ⅲ）因为)3,3(-A ，)3,1(--B ，)1,4(C ，所以3,54-==AB BC k k ，故直线AB 到直线BC 的角的正切值71951213541tan -=-+=⋅+-=AB BC AB BC k k k k θ．19.解：（Ⅰ）设入射光线与直线02=+y 交于点A ， 由已知可得，入射光线所在直线方程为)3(251+-=-x y ，令2-=y ，可得59-=x ，所以点A 坐标为)2,59(--． 由对称性可知，反射光线所在直线斜率为25，故反射光线所在直线方程为)59(252+=+x y ，即0525=+-y x（Ⅱ）在0525=+-y x 中，令0=y ，得1-=x ，所以椭圆左焦点坐标为)0,1(-，故1=c ，又因为点)1,3(-P 在椭圆的左准线上，所以32=c a ，故3=a ，所以椭圆的离心率33==a c e20．解：设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计收益8060z x y =+．则⎩⎨⎧20x ＋30y≤300，10x ＋5y≤110，x≥0，y≥0，作出可行域，如图；作出直线:430o l x y +=并平移由图象得，当直线经过M 点时能z 取得最大值， ⎩⎨⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22， 解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝4，即(9,4)M ， 所以z ＝80×9＋60×4＝960(万元)答：应供应产品A 9件，产品B 4件，可使得利润最多达到960万元．21．（Ⅰ）222222221,2333c a b e e a b a a -=∴===∴= 直线:20l x y -+=与圆222x y b +=相切，2,2b b b =∴==23a ∴=. ∴椭圆1C 的方程是22132x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以1:1l x =-，设(,)M x y ，2||||MP MF =，∴|(1)|x --=化简得：24y x = ∴点M 的轨迹2C 的方程为24y x =.（Ⅲ）直线l 的方程为210x y --=，代入24,y x =得2840y y --=.由韦达定理得12128,4y y y y +==，设221212(,),(,)44y y A y B y设直线1:1l x =-上存在点M （1,m -），使得AM BM ⊥，则0AM BM ⋅=， 221212(1,)(1,)044y y m y m y ∴---⋅---=22222121212121616()4()16160m m y y y y y y y y ∴-++++++=，28160,4m m m ∴-+=∴=，∴准线上存在点(1,4)M -，使AM BM ⊥.。

高二（下）期中考试数学试题（文科）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、抛物线28y x =的准线方程是（ ）A.2x =-B.4x =-C.2y =-D.4y =-2、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A.19 B.29 C.13 D.233、函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A ．2B ．4 D ．64、若点A 的坐标是(3,2)，F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使得PA PF +取得最小值，则P 点的坐标是（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (2,2)D. (0,1)5、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．6mB ． mC ．4.5mD ．9m6、函数32)(ax x x f +-=，若1)2(='f ，则=a （ ） A.4 B.41 C.-4 D.41-7、()y f x =在定义域(3,6)-内可导,其图象如图,其导函数为()y f x '=,则不等()0f x '≤ 的解集是（ ）A.(][]3,12,4-B.[][)2,13,5--C.[][)1,24,6-D.(][][)3,21,35,6--8、若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y++的最小值是（ ）A ．．1+．6 D ．79、已知三角形的三边长分别为,,a b c ，设,,1111a b c a b M N Q a b c a b+=+==+++++，则 ,M N 与Q 的大小关系是（ ）A.M N Q <<B.M Q N <<C.Q N M <<D.N Q M <<10、已知函数223y x x =--+在区间] ,[2a 上的最大值为433, 则a 等于( ) A. －23 B. 21 C. －21 D. －21或－23二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上）11、抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．12．已知x ＞2，则21-+x x 的最小值是________.13、若不等式12x x +--≤a 对于任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.14、设F 为抛物线214y x =-的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴的交点为Q ，则PQF ∠=_________.15、已知c b a ,,为正数，且3=++c b a ，则ac c b b a 222++的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、解不等式：（１）236x x -<+； （2）1312>+-x x ．17、已知直线1l 为曲线12+=x y 的切线,且与直线2:l 23y x =-+ 垂直．（1）求直线1l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．18、已知抛物线px y C 2:2=，点(1,0)P -是其准线与x 轴的焦点，过P 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．当线段AB 的中点在直线7=x 上时，求直线l的方程，并求出此时FAB ∆的面积．19、某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，且4AB BC km ==，2AO km =,曲线 段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落 在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到20.1km ）．20、(1)已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号 成立的条件；(2)利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，并指出取最小值时x 的值.21、设函数2)2(12)(223=->-+---=x m m x m mx x x f 的图象在其中处的切线与直线125+-=x y 平行． （1）求m 的值；（2）求函数)(x f 在区间[0，1]的最小值； （3）若1,0,0,0=++≥≥≥c b a c b a 且，根据上述（I ）、（II ）的结论，证明：.109111222≤+++++cc b b a a。

湖北省黄冈市黄冈中学高二下学期期中考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数ii+-11的虚部是( B ) A ．－i B ．－1 C ．1D ．i1．B 原式=1(1)(1)21(1)(1)2i i i ii i i i ----===-++-，虚部为 1.-2．使不等式11a b<成立的条件是 （ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b >且0ab <D ．a b >且0ab > 【答案】：D【提示】：110a ba b ab a b ab-<⇔>⇔-与同号．3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程$$y bx a =+$必过点（ ） A ．()2,2B ．()1.5,0C ．()1,2D ．()1.5,4【答案】：D【提示】：回归直线必过样本点中心(),x y 4. “3>x ”是“不等式022>-x x ”的( A )A ．充分不必要条件 B.充分必要条件 C ．必要不充分条件 D.非充分必要条件【答案】A【解析】：解不等式022>-x x 得20x x ><或，则3x >⇒022>-x x ，而022>-x x 3/x ⇒>.故“3>x ”是“不等式022>-x x ”的充分不必要条件. 5．曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为（ ）A ．31y x =+B ．31y x =-C ．21y x =+D ．21y x =-5.A 【解析】 2'++=xx xe e y ，斜率k ＝200++e ＝3，所以，y －1＝3x ，即31y x =+.6．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.C 解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ，b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小． 7．方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：B.令32()267f x x x =-+，则2'()612f x x x =-，故()f x 在(0,2)上为减函数，又(0)7f =，(2)1f =-，故()0f x =在(0,2)内有1个根.8．如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为（ ）A．(,-∞B．C．)+∞ D．(,-∞U【解析】当x∈(,-∞时，()0f x '>，则0x <，故(,-∞是解集的一部分；同理也是解集的一部分.故选D.9．已知a ，b ，c 是正实数，且1ab bc ac ++=，则abc 的最大值为( )． A．1 D【答案】A【解析】∵3ab bc ac ++≥=,∴9abc ≤= 10、椭圆()012222>>=+b a b y a x 和圆2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b c y x （其中c 为椭圆半焦距)有四个不同的交点，则椭圆离心率的范围是：( A )3)55A ⋅,55B ⋅3,)55C ⋅ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅55,0D 10、A 要有四个交点只须b<r<a ，∴b<b/2+c<a，∴2c>b，∴a 2=c 2+b 2<5c 2，5/5>∴e∵b 2<4(a-c)2∴a 2-c 2<4(a-c)2，∴a+c<4(a -c),∴5c<3a，∴e<3/5。

湖北省黄冈中学2008年春季高二数学期末考试试题（文）命题：熊斌 校对：罗欢一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 一物体的运动方程为2()2S t t =（位移单位：米，时间单位：秒），则该物体在1秒时的瞬时速度为（ ）A ．1米/秒B ． 2米/秒C ． 3米/秒D ．4米/秒2．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ）A.3 B.23C.4D.133．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．12125B ．16125C ．48125D ．961254．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10B ．20C ．30D ．1205．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）A ．14B ．24C ．28D ．486．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60,则该棱锥的体积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．187．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖8．长方体1111ABC D A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中1::2:1:AB AD AA =,则,A B 两点的球面距离为( ) A ．4πB ．3πC ．2πD ．23π9． 如果函数y =f (x )的图象如下图，那么导函数y =()f x '的图象可能是（ ）10．将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字， 下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种二、填空题:本大共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．若一个球的体积为36π，则它的表面积为_________．12. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为_________．13．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . 14．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。

湖北省黄冈中学2014年秋季高二数学期中考试试题（文科）（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A ．7B ．15C ．25D ．35【答案】B【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15． 2.下列各数中最小的数为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】(4)(2)(3)(5)3315,111014,12217,2111==== 3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】原几何体为一个半球，表面积为． 4．下列说法中正确的是（ ）A ．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率.B ．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平.C ．根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关.D ．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半. 【答案】A【解析】B 选项是错的，系统抽样对每个学生而言被抽到概率相等． C 选项是错的，样本容量越大，误差越小．D 选项是错的，数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的． 5．某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：根据表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为( ) A ．63．6万元 B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元【答案】B【解析】样本中心点是(3.5,42)，＝42－9.4×3.5＝9.1，以回归方程是，把x ＝6代入得＝65.5． 6．设是不同的直线，是不同的平面，下列四个命题其中真命题的序号是( )①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】与同一个平面垂直的两条直线互相平行，故①为真命题；当，，时，可能有，也可能有，故②为假命题；当，，则，也可能有故③为假命题；与同一条直线垂直的两个平面互相平行，故④为真命题．故选B.7．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．恰有一个红球与恰有二个红球【答案】D【解析】对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立．8．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断 框①处应填入的条件是( ) A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环(63)3274s ,n =+⨯==.此时满足条件跳出循环，输出.因此判断框①处应填.故选B .9．动点到点的距离是到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，则由题意可得= 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A侧视图正视图PA 【解析】由三视图，还原几何体为三棱锥， 且三条侧棱两两垂直，如图所示，设则体积，在中，，故，则，所以．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11．空间直角坐标系中与点关于平面对称的点的坐标为 ． 【答案】．12．已知一组数据1，2，，4的平均数是3，则这组数据的方差为 ． 【答案】．【解析】已知一组数据1，2，，4的平均数是3124354m m +++∴=∴=，则这组数据的方差为22221[(13)(23)(53)(43)] 2.54-+-+-+-=． 13．根据下图算法语句，当输出的值为31时，输入的值为 ． 【答案】． 【解析】0.550250.6(50)50x x y x x ≤⎧=⎨+->⎩，当的值为31时，的值为60.14．若曲线222410x y x y ++-+=上的任意一点关于直线220(,)ax by a b R +-+=∈的对称点仍在该曲线上，则最小值是______ ． 【答案】【解析】因为曲线222410x y x y ++-+=上的任意一点关于直线220(,)ax by a b R +-+=∈的对称点仍在该曲线上11112220124aba b a b ()(a b )a b a b b a∴--+=∴+=∴+=++=++≥．15．正方体中,是棱的中点,是侧面内的动点,且平面,若正方体的棱长是,则的轨迹被正方形截得的线段长是________. 【答案】【解析】取的中点P ，Q .易证，面面，所以点F 的轨迹即为线段PQ ， 所以点F 的轨迹的长度为：.INPUT x IF x <=50 THEN y=0.5 * xELSE y=25+0.6*(x -50) END IF PRINT yEND13题图 15题图三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）如图所示:下列程序框图的输出结果构成了数列的前项．的递推公式；（2）证明：数列为等比数列；并求数列的通项公式．解：（1）123411371521n n a ,a ,a ,a ,a a +=====+． （2）证明：112112(1)n n n n a a a a ++=+∴+=+，所以数列为等比比数列， 111(1)2221n n nn n a a a -+=+=∴=- ．17．（本小题满分12分）高二某班名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于秒到 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组， 第二组,…，第五组，如图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图． （1）若成绩在区间内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数； （2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数 （精确到）．解：（1）根据直方图可知成绩在内的人数：2838.05018.050=⨯+⨯人 ． （2）由图可知众数落在第三组是．因为数据落在第一、二组的频率5.022.008.0104.01<=⨯+⨯=数据落在第一、二、三组的频率5.06.038.0108.0104.01>=⨯+⨯+⨯=所以中位数一定落在第三组中.假设中位数是，所以()5.038.01522.0=⨯-+x 解得中位数74.157368.1519299≈≈=x ． 18.（本小题满分12分）三棱柱，侧棱与底面垂直， ，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 解：（1）连结，， ∵是，的中点∴．又∵平面，∴平面．0.38 0.34 0.18 0.06 0.0413 14 15 16 17 18 秒 频率 / 组距（2）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直， ∴四边形是正方形．∴． ∴．连结，．∴，又中的中点，∴． ∵与相交于点，∴平面．（3）由（2）知是三棱锥的高．在直角中，，∴．又．11111433M A B C A B C V MN S -=⋅=．19．（本小题满分12分）在中，分别是角的对边，，． （1）求的值； （2）若，求边的长．解：（1）231221484C A,cos A cos C cos A sinC A ===-=∴==916cos B cos(A C )sin AsinC cos Acos A ∴=-+=-=．（2）127sin 2422ABC S ac B ac ∆==∴=又由正弦定理得， 解得2222255b a c accos B b ∴=+-=∴=．20．（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点．（1）求证：平面⊥平面；（2）已知，点为线段上的一个动点，直线与平面所成角的最大值为．①求正方形的边长；②在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：底面是正方形，底面 ，平面⊥平面．（2）①点为线段上的一个动点，底面直线与平面所成角为，．当最小时，直线与平面所成角的最大，当时，即为点时，直线与平面所成角的最大．此时，正方形的边长为． ②存在，当为中点时，平面．BD ACE BD CG ∴⊥∴⊥平面，又为等腰三角形，平面．21.（本小题满分14分）已知圆与直线交于两点，动圆过两点．（1）若圆圆心在直线上，求圆的方程； （2）求动圆的面积的最小值；（3）若圆与轴相交于两点（点横坐标大于1）．若过点任作的一条与圆：交于两点直线都有，求圆的方程．解： （1）设圆方程为2210x y x x y λ+=+-+-()，111122222C ,λλλλλ--⎛⎫-∴-=⋅∴=- ⎪⎝⎭圆方程为22102x y x y -+-=+．（2）圆与直线交于两点，联立方程求得两个交点坐标为以线段为直径的圆面积最小，此时圆的半径为148min S π==． （3）设圆方程为2210x y x x y λ+=+-+-()， 令20(1)0(1))11M N y ,x x -x (x+=0,x ,x ,λλλλλ=+-=∴-==-->设直线AB 的方程为，代入得，042)1(2222=-+-+k x k x k ，设从而2221222114,12k k x x k k x x +-=+=+ 因为1212211212[(1)()(1)()]()(y y k x x x x x x x x )λλλλλλ-++-++=++++ 而12211221(1)()(1)()2(1)()2x x x x x x x x λλλλ-++-+=--++-2222422(1)211k k k k λλ-=--+-++因为，所以，即，得．当直线AB 与轴垂直时，也成立．圆的方程为225440x x y y -+-+=．。

图1乙甲75187362479543685343213 4湖北黄冈中学2010-2011学年高二上学期期中考试（数学文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在试验中随机事件A 的频率A np n=满足 （ ）A ．01p <≤B ．01p ≤<C ．01p <<D ．01p ≤≤2．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是（ ） A ．50 B ．41 C ．51 D ．61．53．将直线1133y x =-绕其与x 轴的交点顺时针旋转090，所得到的直线的方程为 （ ） A ．33y x =-+ B ．33y x =--C ．31y x =--D ．33y x =-4．已知含5个数的组数1,2,3,4,a 的平均数是3，则该数组的方差是 （ ）A ．1B ．10C ．4D ．25．若直线l 过点(0,),A a 斜率为1，圆224x y +=上恰有1个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）A ． B．±C ．2±D ．6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2, ……,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段 如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，37，65，92，119，148，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样 7．已知下面两个程序：甲： i=1 乙：i=1000 S=0 S=0WHILE i<=1000 DO S=S+i S=S+i i=i+l i=i －1WEND LOOP UNTIL i<1 PRINT S PRINT S END END对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是 （ ）A ．程序不同，结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序相同，结果相同8．用秦九韶算法计算多项式356()1235953f x x x x x =++++在当1x =-时的值，有如下的说法：①要用到6次乘法和6次加法；②要用到6次加法和15次乘法；③023v =-； ④311v =，其中正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．①③④9．已知x 、y 满足22(1)1x y -+=，则S = （ ）A B ．2C 1D ．6-10．从圆222210x x y y -+-+=外一点(1,1)P -向这个圆作两条切线，则该圆夹在两切线间的劣弧的长为（ ）A ．23πB ．3π C ．6π D ．56π二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．若六进制数()6105m （m 为正整数）化为十进数为293，则m =________．12．用辗转相除法或更相减损术求得1855与1120的最大公约数为 ．13．已知,x y 的取值如下表所示：x 01 3 4 y2．24．34．86．7从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = ．14．已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(2,1)P -的直线l 与线段AB 没有公共点．．．．．， 则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．11A 15．已知方程222220x y mx my ++--=表示的曲线恒过第三象限的一个定点A ，若点A又在直线:l 10mx ny ++=上，则当正数m 、n 的乘积取得最大值时直线l 的方程是_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=， （I ）若1l 与2l 交于点(,1)P m -，求,m n 的值； （Ⅱ）若12//l l ，试确定,m n 需要满足的条件。