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(北师大版)数学九年级下册：2.1《二次函数》ppt课件

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数学北师大版九年级下册第2章二次函数 2.2.1--二次函数的图像与性质 课件(18张PPT)

数学北师大版九年级下册第2章二次函数 2.2.1--二次函数的图像与性质 课件(18张PPT)
2
【规律方法】
y=ax²及y=ax²+k（a≠0）的图象和性 质
y=ax2+k的图象是由 y=ax2的图象上下 平移得到的.
当k>0 时，向上平移k个单位;
当k<0 时，向下平移︱k︱个单位.
抛物线 a>0向上,a<0向下 y轴 （0，0） 抛物线 a>0向上,a<0向下 y轴 （0，k）
当堂练习
问题4：它与二次函数y=x2的 图象有什么相同和不同？它 的开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么？
讲授新课
二次函数 y=ax²+k的图象
问题: 类比 y = ax 2 的研究内容和研究方法，画出二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的图象，并思考它们的图象有什么相同与 不同．
-4
-6
y=- 1 x2-1 -8 2
y=- 1 x2 2
课堂小结
1.y=ax2+k(a≠0)的图象的特征 (1)y=ax2+k的图象是一条抛物线; (2)其顶点坐标是（0，k）; (3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）; (4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
问题引导
二次函数y=-3x2 + 1 , y=-3x2- 1 的图象与二次函数y=-
2
2
3x2 的图象有什么关系？
你能肯定吗？
探究归纳
二次函数 y=-3x2+ 1 是由二次函数 y=-3x2的图象向
2
上平移 1 个单位得到的；
2
二次函数 y=-3x2-1 是由二次函数 y=-3x2的图象向
2

2020年北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)

2020年北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)
－x2)[a(x1＋x2－2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴a(x1＋x2－2)＋b＝0，∴x1＋x2
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.

北师大版九年级数学下册课件：2.1二次函数 (共17张PPT

北师大版九年级数学下册课件：2.1二次函数 (共17张PPT
设人民币一年定期储蓄的年利率是 x,一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100元,那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二、新课讲解
用心想一想
1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数 之积y的表达式吗？
四、强化训练
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1;
(2) y x 1 . x
(3) s=3-2t²;
(4) y

1 x2
； x
(5)y=(x+3)²-x²;
(6) v=10πr².
（1）（3） （6）
四、强化训练
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
一、新课引入
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数

y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
二、新课讲解
用心想一想
某果园有100棵橙子树,平均每 棵树结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高果园产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结5个橙子.
例如: y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.

北师大版数学九年级下册二次函数说课课件

北师大版数学九年级下册二次函数说课课件
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 7 5 3 1 -1 -3 -5 … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 7 5 3 1 -1 -3 -5 …
设计了问题串，有效的进行了知识梳理
梳理一：一次函数与反比例函数的一般形式与本质变化规律。
教学过程
一.复习回顾 4.我们研究过那些关于函数的生活实际问题呢？我们是如何研究的呢？
提供丰富的、贴近学生实际的现实情境,尽可能减少因情境陌生而造成的 列函数关系式的困难，以更好地帮助学生认识概念.
教学过程
三.归纳总结 抽象概念 1.对比经上所列出的函数表达式，它们是一次函数吗？它们是反比例函数吗？ 它们有什么特征，你能概括出来吗？ 2.自变量每增加1,函数值增加或减少的值相等吗？有什么规律？ 3.用来表示函数的代数式有什么特点？项数？自变量的次数？ 4.你能写出这类函数关系式的一般形式吗？
数学 建模
数学 思维
二次函数概念的学习，有利于发展学生“数 学建模”的核心素养，体会数学应用的广泛 性.
二次函数概念的学习，有利于学生领悟数学 的思维方式与研究问题的方法，帮助学生积 累数学活动经验.
学情分析
学习二次函数概念的已有知识经验分析
知识技能基础 学生活动经验基础
学困分析
困难一：体现在对二次函数所刻画的变量关系与变化规律 的本质属性的认识上
困难二：体现在从众多的函数表达式中，抽象二次函数表 达式的共性特征比较困难.
教学目标
课标要求：通过对实际问题的分析，体会二次函数意义。
✓ 经历从实际问题中建立变量之间的函数关系式，借助表格探索变量之间关系 的过程，发展抽象概括能力，初步体会二次函数的模型作用及其应用的广泛 性；
✓ 能说出二次函数的一般形式，能表示简单变量之间的二次函数关系，能识别 具体问题中的二次函数；

北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)

北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)

不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.

北师大版九年级数学下册教学课件二次函数

北师大版九年级数学下册教学课件二次函数
2
(2)当x=3cm时,S=225－4×32=189(cm2).
D B
y＝－2x2＋12x－16
－2
12
-16
2
10.如图所示,矩形的长为4cm,宽为3cm,如果矩形的长与宽 都增加xcm,那么面积增加ycm2.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围； (2)当矩形的长与宽都分别增加2cm、3cm时,矩形的面积各 增加多少？ (3)要使矩形的面积增加为18cm2,长和宽 都增加多少米？
观察函数关系式①和②,并思考以下问题： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………① y=－100x2＋100x＋200(0≤x≤2)……②
(1)函数关系式①和②的自变量各有几个？(各有1个) (2)多项式－2x2＋20x和－100x2＋100x＋200分别是几 次多项式？ (分别是二次项式) (3)函数关系式①和②有什么共同特点？
［x的值不能任意取,其范围是0≤x≤2］
5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。 ［y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)］
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10)化为： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)………………(1)
将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋200(0≤x≤2)………………(2)
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？ [利润=(售价－进价)×销售量］ 2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元？一天总的利 润是多少元？
［10－8=2(元),(10－8)×100=200(元)］ 3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元？一天 可销售约多少件商品？

二次函数的应用ppt课件


∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
返回目录
◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);

6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
返回目录
◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2

北师大版九年级数学下册：2.1 二次函数 课件(共16张PPT)

笛卡尔是伟大数学家。据 说，某一天笛卡尔躺在床上休 息时，看到了天花板上趴着的 苍蝇，他为了用简易的方法表 示出苍蝇的位置而苦苦思索。 那时他产生了用形如围棋盘模
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？

北师大版九下《二次函数》全章ppt课件

2
.
解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新 产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金 为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2. 故填a(1+x)2.
第二章
二次函数
在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否 注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?
【做一做】 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将 本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元, 那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
与存款有关的知识: 1.银行的储蓄利率是随时间的变化而 变化的,也就是说,利率是一个变量. 2.利息=本金×利率×期数(时间). 3.本息和=本金+利息. 解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100. 观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.
检测反馈
1.下列说法正确的是 ( D ) A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大 C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同，其对称轴都是y轴,y值都随着x 值的增大而增大 D.当x<0时，y=x2中y随x的增大而减小；当x>0时，y=-x2中y随x的增大而减小
(二)二次函数自变量的取值范围 自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除 了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.
1.(2014· 兰州中考)下列函数解析式中,一定 为二次函数的是 ( C ) A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1 B.y=ax2+bx+c D.y=x2+

北师大版九年级下册数学课件2.1二次函数(共22张PPT)


(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变 量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共 有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个
橙子? (100+x)棵 (600-5x)个
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你 写出y与x之间的关系式．
y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
（是）
(4)y 1 x2 x
（不是） （不是）
(5)y=(x+3)²-x²
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a( 60- a)=a(30-a)
2
=30a-a²
= -a²+30a .
(1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
注意:二次函数的二次项系数不能为零 解（1）根据题意得 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,
(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). 在以往所学函数的基础上，本节课我们学习一种新的函数形式——二次函数，二次函数的在日常生活中很常见，我们一定要学好它！
是 不是二次函数？ (1) k为何值时，y是x的一次函数？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． 3、拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
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想一想
源于生活的数学 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600
个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但 是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一 棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变 量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少 棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² +100x+60000 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
X/棵 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
1
2
3
4
5 6
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
?
y=100(x+1)² =100x² +200x+100
思索归纳
二次函数 y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
7
8 9 10 11 12 13 14
想一想
行家看“门道”
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以 使果园橙子的总产量最多？
y=-5x²+100x+60000
x y …… …… 6
60420
7
60455
8
60480
9
60495
10 11 12 13 14 ……
60500 60480 60420 60455 60495
……
例欣赏
数学真奇妙
你发现了吗？
60500
60495 60480 60455 60420 60375
60495 60480 60455 60420
60375
想一想
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
=30a-a²
= -a²+30a .
是二次函数关系式.
小试牛刀
心动不如行动
如果函数y=
0或3 则k的值一定是______
x
k 3 k 2
2
+kx+1是二次函数,
如果函数y=(k-3) x +kx+1是二 0 次函数,则k的值一定是______
k 2 3 k 2
小结
拓展
回 味 无 穷
定义中应该注意的几个问题:
y是x的函数吗？ y是x的一次函数？是反比例函数？
有何 定义：一般地,形如 特点
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数.
思索归纳
二次函数 y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
随堂练习
在实践中感悟
1 ( 2) y x x
（不是）
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎 么 判 断
(1）y=3(x-1)²+1
（是）
(3) s=3-2t ²
回顾与思考
温故知新
变量之间的关系 函 数
函数知多少
一次函数 y=kx+b (k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数 k y k 0. x
二次函数
二次函数素描述的关系
想一想
源于生活的数学 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个
橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受 的阳光就会减少. 根据经验估计,每多 种一棵树,平均每棵 树就会少结5个橙子.
（是） （不是）
?
1 ( 4) y 2 x x
(5)y=(x+3)²-x²
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
随堂练习
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
知道就做别客气
解：S=a(
60 - a)=a(30-a) 2
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
小结
拓展
回 味 无 穷
2.定义的实质是：ax² +bx+c是整 式,自变量x的最高次数是二次