人大附分班考试班 第三讲 数论 教师版

6第一讲 计算、几何考点串讲考点概述：一、计算部分：常见计算问题解题方法：1. 分组、凑整；（参考题目：本讲例题1）2. 提取公因数、整体约分；（参考题目：本讲例题4）3. 等差数列、数列数表；（参考题目：本讲例题1、例7）4. 繁分数计算；（参考题目：本讲例题3、例4）5. 换元法；6. 裂项；（参考题目：本讲例题5）7. 定义新运算；（参考题目：本讲例题6）8. 比较大小与估算；9.解方程（组）（参考题目：本讲例题2、例6）．二、 平面几何部分、立体几何部分：1. 常用几何模型求解图形面积；（参考题目：本讲例题8、例9、例10、例11、例12）2. 方程方法在几何问题中的应用；（参考题目：本讲例13）3. 求圆与扇形的面积、周长；（参考题目：本讲例13、例14）4. 勾股定理的运用；（参考题目：本讲例13）5. 正方体、长方体体积及表面积求解；（参考题目：本讲例15、16）6.圆柱体体积及表面积求解．本讲主要内容包括：计算问题和几何问题．首先总结一下常考的计算公式和技巧方法． 常用计算公式、方法： 1. 等差数列求和：()11232n n n +++++=；2. 平方求和：()()222211231216n n n n ++++=++；3. 立方求和：()()22233331123124n n n n +++++=+++=；4. 平方差：()()22a b a b a b -=+-；5. 等比数列求和：()111n a q s q-=-，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比（1q ≠）；6. 循环小数化分数：姓名：_______________ 日期：____年___月___日67. 分数裂项：()11111n n n n =-++；()1111n n k n n k k⎛⎫=-⨯ ⎪++⎝⎭；整数裂项：Ⅰ、()()()11223341123n n n n n ⨯+⨯+⨯++⨯+=++；Ⅱ、()()()()()1123234121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++． 8. 换元法．几何部分：1. 三角形内的比例关系（1）等高三角形（图形特征是三角形或梯形被一分为二）（2）平行线截三角形（中位线，等比例关系）（3）共边三角形（更准确的说应该是共角三角形）：边长比的乘积等于面积比（4）燕尾三角形（专门用来解决三角形被交叉线分割的问题）S 1 aS 2 baS 2S 1a bS 2S 1 ab S 2 S1bBDac d b1）2）ab S 1S 2S 3S 4a bS 1S 2S 3S 4a bS 1S 2S 3S 462. 四边形内面积比例关系（1）四边形被内部线段一分为四的情形（2）沙漏三角中的比例关系3. 补充知识点：凸多边形内角和公式：n 边形内角和=()2180n ︒-⨯．4. 立体图形：（1）正方体的体积与表面积的计算方法．（2）圆柱与圆锥体积：S 1S 2S 3S 4S 3S 4S 1S 21）2）bc dea ab bc cd dee fff图形体积表面积abca6典型题目1. 计算：()()()()713173327533......749325⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=_____________．2. 解方程组：9991002299110019973011x y x y -=⎧⎨-=⎩，____________x y =⎧⎨=⎩．3. 计算：()10.030.031111-⨯+ =__________．立体图形体积侧面展开图圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高．圆锥的侧面展开图为扇形，半径为母线（不是圆锥的高！），弧长为圆锥底面周长． （注：圆锥侧面展开只需了解，不需掌握）hr rh64. 计算：1111111124681012198200__________1111515253100-+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+．5. （1）24466898100_______⨯+⨯+⨯++⨯=．（2）11111=______121231234123100+++++++++++++…+…+．6. a b ∆表示a 、b 的差（大减小）的一半．例如：()1224241226∆=-÷=．那么（1）3523185⎛⎫∆∆= ⎪⎝⎭______；（2）若()2071x ∆∆=，则x 为____________．7. 如图所示数表，那么2013在_____行______列．11 10 4 3 1 12 9 52 13 8 6 14 715第一行第一列68. 边长分别为5、7、10的三个正方形放在一起，则其中四边形ABCD 的面积是____________．9. 如图，已知13AE AC =，14CD BC =，15BF AB =，试求DEF ABC 三角形的面积三角形的面积的值________．10. 如图，四边形ABCD 是等腰梯形，ADBE 是平行四边形，它的面积等于8，三角形BCE 的面积是2，那么三角形CDE 的面积是________．11. 如图，E 是矩形ABCD 的边BC 的三等分点，BD 与AE 的交点为F ．那么图中阴影部分与矩形ABCD的面积之比是_________．12. 如图，D 为BC 边中点，E 、F 是AC 边的两个三等分点，那么三角形ABC 被分成的六部分中，面积最大的两块图形的面积比是_______．ABCDEFABCD EEACDBFABCDEF613. 如图，直角三角形的三条边长度为6，8，10，它的内部放了一个半圆，那么图中阴影部分的面积是________．14. 如图所示，直线上有一个半径为3cm 的60度扇形，它的一条半径AC 恰好与直线垂直．现在让它沿顺时针方向滚动，直到半径AC 与直线重叠为止．那么弧BC 扫过区域面积是________平方厘米．15. 右图是一个544⨯⨯的长方体，若上面有214⨯⨯、215⨯⨯、214⨯⨯的穿透的洞，则剩下部分的体积为_______．16. 如图所示，右图是某个立体图形的平面展开图，其中正方形的边长为6 cm ，则这个立体图形的体积是_____．6810BAC6第二讲 应用题考点串讲一考点概述一、本讲涉及应用题分类：1、基本应用题、和差倍问题；（参考题目：本讲例1、例2、例3、例4） 3、分数、比例应用题；（参考题题目：本讲例5、例6、例7、例8、例13）4、浓度与经济问题；（参考题题目：本讲例9、例10、例11）5、复杂应用题；（参考题题目：本讲例12、例14、例15）二、 常用解题方法：1、线段图解应用题；2、列表法解应用题；3、倒推法解应用题；4、比例方法解应用题；5、列方程解应用题；6、各种方法的综合运用；典型题目1. 一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了____________道题．2. 妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃2天；若每天比计划少吃一个，则计划的时间过去后，还剩12个，那么这一箱桔子共________个．3. 甲、乙、丙三所小学人数的总和为1999，已知甲校学生人数的两倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的．问甲、乙、丙各校学生人数是________．姓名：_______________ 日期：____年___月___日64.今年，小明的年龄是祖父年龄的，几年后，小明的年龄是祖父年龄的，又过几年以后，小明的年龄是祖父年龄的．祖父今年是________岁．5.甲、乙、丙三种物都是由锌铜铁三种元素组成，它们分别含有锌铜铁的比为2:3:1，2:4:3，1:2:1．现在把他们合出5:9:5的新合金570千克．那么，甲、乙、丙各需要________、________、________千克．6.有一篮鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个鸡蛋和余下的，第三人拿走3个鸡蛋和余下的，……，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，那么共有________个鸡蛋，________个人．7.张、王、李、赵4人联合为灾区捐款，张捐的钱是王、李、赵总和的，王捐的钱是张、李、赵总和的，李捐的钱是张、王、赵总和的，赵捐了9元钱，张、王、李各捐_____、_____、_____元．8.周末到了，小光和小明一起去动物园．每张门票的价格是35元，如果两张门票都由小光来付，则小光余下的钱是小明的；如果两张门票都由小明来付，则小明余下的钱是小光的；如果两人各付一张门票的钱，那么两人剩下的钱相差________元．69.有大、小两瓶酒精溶液，重量比为3:2，其中大瓶中溶液的浓度为8%．现在把这两瓶溶液混合起来，得到的酒精溶液浓度恰好是原来小瓶酒精溶液浓度的2倍．那么原来小瓶酒精溶液的浓度是________．10.某容器中装有盐水．老师让小明倒入5％的盐水800克，以配成20％的盐水．但小明错误地倒入了800克水．老师发现后说不要紧，你再将第三种盐水400克倒入容器，就可以得到20％的盐水了．那么第三种盐水的浓度是________．11.某种商品由于进货价降低了15%，使得利润率提高了21%．那么现在的利润率是________．（注：如果原来利润率是10%，提高21%后，利润率变成31%．）12.一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．那么共有________人参加测验．613.某学校开学时招入的学生中，男、女生人数比为8:7．开学一周后，补录了40名学生，使得男、女生人数比变为17:15．由于特殊原因，第二周有几个同学不能来上学，但是又加入了若干学生，这时总人数比上一周增加10人，男、女生人数比是7:6，已知开学招生人数少于1000人．那么开学时该学校招收学生________人．14.学校组织老师进行智力竞赛，共20道题，答对一题得5分，不答不给分，答错扣2分．已知所有老师的总分为600多分，且男老师总分为女老师总分的2倍多1分，答对总题数为答错总题数的3倍少1题．又知每人恰有1道或2道题未答．那么男老师的总分为________分．15.雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有_____、_____、_____张．6第三讲 应用题考点串讲二考点概述一、 工程问题：（参考题目：本讲例1、例2、例3）1. 基本工程问题；2. 工作效率或工作总量发生变化的情况（牛吃草问题等）；3. 轮流工作的（找周期）问题．二、行程问题中的．类型很多这里给大家列举一下：1. 基本行程问题：=⨯=÷=÷路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度．2. 相遇问题：（参考题目：本讲例题4）=⨯路程和速度和相遇时间；=÷速度和路程和相遇时间；=÷相遇时间路程和速度和．3. 追击问题：（参考题目：本讲例5、例10）4.=⨯路程差速度差追及时间；=÷速度差路程差追及时间；=÷追及时间路程差速度差．5. 火车问题：Ⅰ、火车过桥：=+路程车长桥长；Ⅱ、火车过人问题：（1）人站立不动：过人的速度为火车本身的速度，路程为火车的车长．（2）人迎向火车：过人的速度为人与火车的速度之和，路程为火车的车长．（3）人背向火车：过人的速度为火车与人的速度之差，路程为火车的车长．Ⅲ、快车追上并超过慢车：路程差等于两车的车长之和． 两车相遇并错车：路程和等于两车的车长之和． 6. 流水行船问题：（参考题目：本讲例7）=+=-顺水速度船速水速；逆水速度船速水速；2=+÷船速（顺水速度逆水速度）；2=-÷水速（顺水速度逆水速度）．7. 环形路线问题：（参考题目：本讲例11）从同一点出发反向而行：相遇的路程和为环形路线一圈的长度． 从同一点出发同向而行：追及的路程差为环形路线一圈的长度． 在环形问题中，运动总是呈现出很强的周期性． 8. 多次往返运动问题；从两端出发，相向而行：相遇的路程和为1，3，5，7，……个全程．姓名：________________ 日期：____年___月___日6从两端出发，相向而行：追及的路程差为1，3，5，7，……个全程． 从同一端点出发，同向而行：相遇的路程和为2，4，6，8，……个全程． 从同一端点出发，同向而行：追及的路程差为2，4，6，8，……个全程． 特别地：在端点处相遇，既算迎面相遇也算追及．9. 时钟问题；（参考题目：本讲例8）时钟问题的时针和分针速度：10. 平均速度问题；（参考题目：本讲例9）平均速度=总路程÷总时间11. 变速问题；（参考题目：本讲例6、例9）对于变速问题，画出线段图，然后进行分段比较并结合行程中的正反比是常用的解题方法； 12. 复杂行程（往返接送、间隔发车等）；（参考题目：本讲例12、例13、例14）注：行程问题的出题形式，往往是以上多方面的综合．典型题目1. 一项工程，甲队15天干完，乙队30天干完．两队合干4天后，由甲队单独干，还要______天干完．2. 灌满一个水池，只打开A 管要8小时，只打开B 管要10小时，只打开C 管要15小时．开始时只打开A 管和B 管，中途关掉A 管和B 管，然后打开C 管，前后共用了10小时15分灌满了水池．那么C 管打开了________小时．分针 时针用角度来表示 6度/分 0.5度/分 用格数来表示1格/分格/分时针速度始终都是分针的分针速度始终是时针的12倍63.甲、乙、丙、丁四名打字员承担一项打字任务．若由这4人中的某人单独完成全部打字任务，则甲需42小时，乙需28小时，丙需28小时，丁需21小时．（1）如果甲、乙、丙、丁四人同时打字，那么需要________小时完成；（2）如果按甲、乙、丙、甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打字，每轮中甲、乙、丙每人各打1小时，那么需要________小时完成；（3）从甲、乙、丙、丁四人中挑出三人来按第（2）题的方式打字，并允许适当调整每轮中三人打字的先后顺序，最少需要________小时完成．4.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地35处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为_______米/秒．5.蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了10分钟，遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍，那么兔子速度是乌龟速度的________倍．6.A、B两地相距90千米，甲、乙分别从A、B同时出发相向而行，在离A点40千米的地方相遇．如果甲在出发半小时后增速到原来的1.5倍，他们在AB的中点相遇，那么原来甲的速度为________千米/时．7.一艘轮船从甲地道乙地每小时航行60千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度是80千米/小时，则返回时每小时应航行___________千米．68.现在是下午6点整，再过________分钟，分针可以平分时针与刻度9之间所夹的钝角．（列方程求解）9.从甲到乙的路程分为上坡、平路和下坡三段，各段路程的长度之比为5:4:3，某人走这三段路程的速度比为3:4:6，已知他走平路时速度为5千米/时，全程是4.5千米，那么走完全程要用_______分钟，平均速度是_______千米/时．10.如图，在一条直线上有A、B、C、D四个点成等距排列，甲、乙、丙分别位于A、B、C三地，甲开车、乙骑车、丙步行同时出发去D．结果甲、乙、丙三人分别花了10分钟、20分钟、30分钟到达D 地．某天早上甲、丙计划同时从8：00出发去D，他们在CD段的某处相遇了，为了能使三人同时到达这个地点，乙的出发时间是_______：_______．A B C D11.在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%．结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了________米．612.甲、乙、丙三人步行的速度都是每小时7.2千米，他们有一辆时速为每小时36千米的摩托车，该车最多可载两人．他们三人都要到57.6千米外的某地去，他们最快需要______小时到达．13.100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间是______小时．（上、下车所用的时间不计）14.小明家在颐和园，如果骑车到人大附中，每隔3分钟就能见到一辆332路公共汽车迎面而来，如果步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路迎面而来．已知任意两辆332路骑车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是步行速度的3倍，那么如果小明坐332车到人大附中的话，每隔_______分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来．6第四讲 数论、数字谜问题考点串讲考点概述：一、数的整除性相关知识：（参考题目：本讲例1、例2、例3）定义：如果整数a 除以整数b （0b ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作|b a ．如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a ．基本性质：（注意：下面这些性质在考试题目中的运用往往是很隐蔽的，注意自己体会一下．1. 尾数判断法： （1） （2） （3）2. 数字求和法3. 奇偶位差法4. 三位截断法二、质数合数：（参考题目：本讲例4、例5、例6）定义：质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．注意，1既不是质数也不是合数． 1. 短除法：分解质因数的基本方法．2. 姓名：_______________日期：____年___月___日6我们用比这个数小的质数分别去除需要判断的数．例如，我们要判断197是不是质数，只需要试很少的几个就能判断：比197大且最接近的平方数是222515=，因此只要用2、3、5、7、11、13去除197，如果都不能整除就一定是质数．再比如要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数即可，因为45452025⨯=比2011大且最接近．3. 不用短除法，而用横式快速分解质因数．例题：三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个连续自然数的和等于多少？ 4. 100以内质数表要倒背如流，并且牢记2是唯一的偶质数．三、约数与倍数：（参考题目：本讲例7、8）1. 定义：约数又叫因数．如果一个数A 能被B 整除，那么B 就是A 的约数，A 为B 的倍数．例如，6能被1，2，3，6整除，那么1，2，3，6都是6的约数，同时，6也是1，2，3，6的倍数．这里特别注意，每个数至少有两个约数：1和它本身，同时1也是这个数最小的约数，它本身是这个数最大的约数．2. 最大公约数与最小公倍数：a ，b 的最大公约数记为()a b ,；a ，b 的最小公倍数记为[]a b ,．3. 约数个数的计算方法：例如：要求405000的约数个数，首先把405000分解质因数：344405000235=⨯⨯，4.对于平方数和约数个数之间的关系，我们有如下的结论：5. 求最大公约数与最小公倍数的方法： （1）短除法：上面已经提到． （2）分解质因数的方法344235(31)(41)41100⨯⨯+⨯+⨯=的约数个数是（＋）个6（3）辗转相除法：6.最大公约数、最小公倍数与原数之间的关系：例如：两个数的最小公倍数是888，最大公约数是37，其中一个数是117，求另一个数是_______．四、余数问题：（参考题目：本讲例9、例10、例11）1.求解余数的第一类简便算法：替换求余法．．．．．（（（2.求解余数的第二类简便算法：特性求余法（详见：高思学校竞赛数学课本五下第六讲）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例如：一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数；注：“特性求余法”和“替换求余法”相结合，可大大简化余数的计算．3.求解余数的第三类简便算法：周期求余法．．．．．．除以2的余数只有0和1两种，除以3的余数只有0、1、2三种……也就是说除以一个给定的自然数，所得的余数情况是有限的．当把数列中的每一项都对某个数字求余时，所得的余数列往往具有很好的周期性．我们也经常应用这种周期性来解决一些问题．4.其它求余数问题的方法：（1)物不知数问题：逐个条件去满足，找到满足所有条件的解．（2)分解求余法：对于除数是特殊数乘积的情况，可将除数分解为若干个互质特殊数的乘积，分别计算特殊数的余数，再利用物不知数问题的解法，计算出原除数的余数．（3)同余问题：如果两个数除以第三个数是同余的，那么两个数的差是第三个数的倍数．五、进制问题；六、数论综合题目；（参考题目：本讲例12）数字谜问题一、横式、竖式、幻方、数阵图；（参考题目：本讲例13、例14、例16）二、数论相关的数字谜、数字谜综合问题．（参考题目：本讲例15）6典型题目1.2112□、2657□、3316□、6397□、7285□、1403□、4538□和8723□这8个五位数的最后一位都被□卡片遮住，而且这8个五位数依次能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，且这8个被遮住的个位数字两两不同．那么这8个个位数字依次写下来应该分别是_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____．2.有一个四位数是18的倍数，任意交换它两个数字的位置得到的还是四位数且仍然是18的倍数，这样的四位数一共有_______个．3.请从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数最大是________．4.如果一个两位数，它与3、5、7、11的乘积的各位数字之和都是质数，这个两位数是_______．5.算式14710 (100)⨯⨯⨯⨯⨯的计算结果，末尾有_______个连续的0．6.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积末4位都是0，那么这11个数的平均数是_____．67.一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有________个约数．8.已知n是自然数，那么22009n+与29n+的最大公约数最大可以是________．9.两数相初的商是3，余数是1，如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是193，则被除数是__________，除数是___________．10.某正整数被63除商为31，余数为42，那么这个正整数所有质因数的和是_______．11.三个连续的四位数，其中最小的能被15整除，中间的能被19整除，最大的能被23整除，那么这三个自然数中最小是________．12.给出一个多位数，比如123456，我们把从左到右数的第1、3、5位称为奇位，把第2、4、6位称为偶位，位数增多就以此类推．现把多位数123456789101112……979899100写在纸上，然后从左到右划去奇位上的数字，划完之后得到一个新的多位数，再把这个新的多位数奇位上的数字划去，然后又得到一个新的多位数，接着再把奇位划去……最后得到一个三位数，这个三位数等于_________．613. 在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有“仁”与“人”代表的数字相同，那么“仁华学校”代表的四位数字最小可能是____________．14. 在下图的方格中填入合适的数，使每一行都为完全平方数，则最后结果为____________．15. 在乘法算式ABCBD ABCBD CCCBCCBBCB ⨯=中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，如果9D =，那么A B C ++的值是______．16. 如图，在6个圆圈中填入2、3、5、7、11、13各一次，并在每个小三角形的中心处写下它3个顶点上3个数的和．那么这些三角形中心处所写数的和被3除的余数是____________．这个总和一共有____________种不同的可能．仁 华 学 校 ＋ 更 进 1 步 人 大附中人□ □ × □ □ □ □ □ □ □ □□□6第五讲 计数、组合数学考点串讲考点概述：一、计数部分：1. 枚举法、加乘原理、排列组合；（参考题目：本讲例1、例2、例3、例10）2. 递推计数、对应计数；（参考题目：本讲例7、例8、例9）3. 结合数论知识的计数综合问题；（参考题目：本讲例4、例5）4. 结合数字相关知识的计数问题；（参考题目：本讲例6）二、 组合问题包括：1. 逻辑推理、统筹对策、抽屉原理、染色问题（参考题目：本讲例题11、例15）2. 最值问题：（1）满足题目条件的情况不多时，可以用枚举法把可能的情况一一列举出来，再找出最大值或最小值．（2）两个数的和一定，当它们越接近时乘积越大．（3）极端思考与局部调整也是解决最值问题的常用方法．（参考题目：本讲例题12） 3. 构造论证；（参考题目：本讲例题13、例14）典型题目1. 三边长为整数，且最大边长为11的三角形一共有________个．2. 用3种颜色把一个33 的方格表染色，要求同行和同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有________种不同的染色法．姓名：________________ 日期：____年___月___日63.有一个四位数，它与它的逆序四位数和为9999，那么这样的四位数一共有多少个？4.各位数字之和为33，而且能够被33整除的五位数有________个．5.从1、2、3、…、9中选取若干互不相同的数字（至少一个），使得其和是3的倍数，共有_____种选法．6.+=+=□□□□□□□□□□，把数字0~9填入左边的方框中，使等式成立．每个数字只能填1次，一共有________种不同的填法．7.一段楼梯有10级台阶，依次编号1到10．某个人上台阶的规则是在第几级台阶上就可以上这级台阶的约数个台阶（约数有几个时随便选一个，如：在第6级台阶上时你可以选择往上走1、2、3或6级台阶），那么此人从第一级台阶走到第10级台阶共有________种不同的方法．68.满足下面性质的数称为好数，它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字差不超过2．例如1346为好数，3579为好数，但1456就不是好数．那么有________个四位好数．9.把20个相同的球放进4个不同的箱子，要求第一个箱子不少1个球，第2个箱子不少于2个球，第3个箱子不少于3个球，第4个箱子的球数不少于4个，一共有________种放球法．10.有时候人们习惯用一个八位数表示日期(年月日)，比如用八位数“20020805”表示日期“2002年8月5日”．如果某个日期对应的八位数满足：将其各位数字顺序完全反过来形成的八位数与原数相同，那么就称这个日期为“回文日期”．例如“1250年5月21日”就是一个回文日期(与其相对应的八位数为12500521)．（1）从2000年1月1日到今天，一共有________个回文日期；（2）从1000年1月1日到2000年1月1日，一共有________个回文日期；（3）到3000年1月1日为止，最后一个回文日期是______年____月____日．11.一只蚂蚁从右图中数字塔顶端标有“3”的方格出发往下走，每步可走到该方格下层的两个方格中的一格，到达最底层为止．假如这只蚂蚁所走过的七格中7个数字都不相同．小蚂蚁所走的最后一格中所标的数字是______．36 12 435 74 23 26 6 41 57 1 37 49 6 561 7612. 北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台．现在决定给汉口6台，重庆8台，深圳6台．若每台计算机的运费如右表，表中运费单位是“万元”．上海、北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省，最省运费是________万元．13. 在圆周上任意写上4个1和5个0，我们把下面的过程称之为一次操作；在两个相同的数之间写上0，在两个不同的数之间写上1，写完后擦掉原有的数字．那么能否经过有限次操作，使得圆周上所有的数字都变为0？并说明你的理由．14. 能否将1，2，3，……，10排成一行，使得任意相邻三个数之和不大于15？要是16呢？15. 甲、乙两人做一个游戏：每次从1、3、5、7、9中挑选一个数字，填入到“□□□□”中的某个空格中，两人交替填写，形成一个没有重复数字的四位数．甲先填，他希望这个四位数是一个质数，而乙希望这个数是一个合数．那么谁有必胜策略？请你说明这个策略．终点起点汉口 重庆 深圳 北京 4 8 11 上海 3 5 9 杭州467。

沈进老师专用资料名校七年级数学分班考试真题一、计算题1. 计算：10 2 19 1211 7 1 2213225 135 63 2.计算： 1994 19931994 1993 199419941211111150%4533. 计算：1111 131 150%135150%213 34 54. 计算：1 1 1 3 1 132 3 94 5 111 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 20015. 计算：2 23 2 34 2 3 20016. 计算： 8.01 ×1.25+8.02 1×.24+8.03 1×1×.22+8.05 1×.21 的整数部分．二、填空题7. 小李计算从 1 开始的若干个连续自然数的和，结果不当心把 1 当作 10 来计算，获得错误的结果恰巧是 100。

那么小李计算的这些数中，最大的一个是多少？8.从 1 开始，按 1， 2， 3，4，5 ，，的次序在黑板上写到某数为止，把此中一个数擦掉后，剩下的数的均匀数是590，擦掉的数是多少？179. 一个各位数字互不同样的四位数，它的百位数字最大，比十位数字大 2 ，比个位数字大 1。

还知道这个四位数的 4 个数字和为27，那么这个四位数十多少？10.有一个等差数列，此中3项a, b, c能构成一个等比数列；还有3项d, e, f也能构成一个等比数列，假如这 6 个数互不同样，那么这个等差数列起码有几项？11.在乘法算式 ABCBD× ABCBD=CCCBCCBBCB 中，同样的字母代表同样的数字，不一样的字母代表不一样的数字，假如 D=9 ，那么 A+B+C 的值是多少？12.以下列图，在方框里填数，使得算式建立，那么所有方框内数的和是多少？19 8 8×口口——————————口7口口口口5口口口口———————————口口口口口口13. 假如 66能整除 22 2 ，那么自然数 n 的最小值是多少？100个6n 个 214. 已知： 999999999 能整除 2221，那么自然数 n 的最小值是多少？n 个 215. 12 22 3292 除以 3 的余数是多少？16. 50 个互不同样的非零自然数的和为101101，那么它们的最大条约数的最大值是多少？17.自然数 n 是 48 的倍数，但不是 28 的倍数，而且 n 恰巧有 48 个约数（包含 1 和它自己），那么n 的最小值是多少？18.某正整数被 63 除商为 31，余数为 42，那么这个正整数所有质因数的和是多少？19.我们能够找到n 个自然数，用它们的和乘以它们的积，结果恰巧等于2001，那么 n 的最小值是多少？20. 算式 1× 4× 7× 10× ×的计100算结果，末端有多少个连续的0？21.一群林场工人与学生一同在昨年冬季挖好的坑中植树，均匀1名林场工人 1 小时可植树15 棵， 1 名学生 1 小时可植树11 颗。

人大附中分班考试部分数学试题及答案【例1】有些四位数能够被3和5整除，但不是2的倍数，也不是25的倍数，那么这样的四位数中最大的一个是___．【例2】是否存在一个各位数字互不相同的数，使得它是999999的倍数？如果存在，请构造，如果不存在，请说明理由。

答案：不存在。

因为各位数字互不相同，至多是10位数。

根据999999的整除性，将该多位数从右往左六位断开后求和，这个和一定是999999。

通过分析这个加法竖式，可知其无进位。

所以一定会有两个数字9，出现重复。

【例3】有一个四位数是18的倍数，任意交换它两个数字的位置得到还是四位数且仍然是18的倍数，（例如4068就不满足题意，因为交换4和0之后就不再是四位数了．）则这样的四位数一共有多少个？答案：一定是由2，4，6，8组成的，所以数字之和一定为18，考虑到18＝8＋6＋2＋2＝8＋4＋4＋2＝6＋6＋4＋2＝6＋4＋4＋4，可以形成12＋12＋12＋4＝40个满足要求的四位数。

二。

质数与合数【例4】是否存在一个两位数，使得它与3、5、7、11的乘积的各位数字之和都是质数？答案：存在。

67；67×3＝201，67×5＝335，67×7＝469，67×11＝737。

考虑它与3的乘积的数字和一定是3，从而这个数为34，37，67之一，经验算只有67满足要求。

【例5】能否将1～50分成25组，使得每组两个数之和为质数。

要是可以，怎么分，要是不行，说明理由。

答案：可以：（1，2），（3，50），（4，49），（5，48），…，（26，27）【例6】三。

约数和倍数【例7】【例8】一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有_____________个约数；答案：16【例9】驯兽员带着甲、乙、丙三只训练犬同时到300米长的圆形跑道的某点，让它们按同方向同时出发进行赛跑。

已知甲、乙、丙的速度分别为225米/分，441米/分，625米/分，且同时出发，那么最早在多少分钟后三只犬再一次跑到了一起？答案：37。

板块一数列的基本概念1.数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．2.数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项．数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．3.数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．4.数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，()11122n n a a a n -==-，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．5.数列的前n 项和数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++ ．数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．板块二等差数列与等比数列一、等差数列1.等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥．2.等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．3.等差数列的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．二、等比数列1.等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2.等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．知识点睛第3讲数列3.等比数列的前n 项和公式111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．板块一数列的基本概念【例1】⑴根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．①1，1-，1，1-，…；②12，2，92，8，252，…．⑵设数列，…，则数列的第几项；若不是说明理由．⑶写出下面数列{}n a 的前5项，114a =-，111(2)n n a n a -=-≥，你能写出这个数列的第100项吗？【例2】设数列}{n a 的前n 项的和为2111122n S n n =++，求数列的通项公式n a ．板块二等差数列与等比数列【例3】已知等差数列{}n a 中，38a =，74a =-，求它的前n 项和n S ，并指出前多少项的和最大?经典精讲【例4】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，⑴已知61420a a +=，则19S =_____．⑵若n T 是等差数列{}n b 的前n 项和，且对所有的正整数n 有7223n n S n T n +=+成立，则55ab =_____．【例5】⑴在等比数列{}n a 中，有1a q a ==（0a ≠为常数），则n S =______．⑵已知等比数列{}n a 满足1611a a +=，且34329a a =，求数列{}n a 的通项n a ．板块三递推公式求通项【例6】⑴在数列}{n a 中，11a =，()12n n a a n n --=≥．求数列的通项公式n a ．⑵在数列{}n a 中，11111(1)2n n n n a a a n ++==++，，设n n ab n=，求数列{}n b 的通项公式．【例7】⑴数列}{n a 中，13a =，121n n a a +=+．求数列{}n a 的通项公式．⑵已知数列{}n a 满足112,431,n n a a a n +==-+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式．⑶已知数列{}n a 满足11111,2,(2)22n n n a a a n --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式．。

北京市人大附中数学新初一分班试卷含答案一、选择题1．在一幅地图上，用20厘米表示实际距离80千米．这幅地图的比例尺为（）A．1：4 B．1：400000 C．1：4000 D．无答案2．丁丁参加团体操表演，他所在方阵队伍（正方形或长方形）的位置用数对表示是（8，9），参加团体操表演的同学至少有（）人。

A．64 B．68 C．72 D．813．学校有排球32个，比篮球多，篮球有多少个？正确的算式是（）A．32×（1+） B．32×（1﹣） C．32÷（1+） D．32÷（1﹣）4．一个三角形中，三个内角的度数比是2:3:5，这个三角形是（）。

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．一个正方形的棱长和一个圆柱体的底面直径、高均相等，比较它们的体积，结果是（）A．圆柱体大B．正方体大C．一样大D．无法判断6．()滚得快，而且它的两个相对的面是平平的．A．球体B．长方体C．圆柱体D．正方体7．松树有78棵，杨树是松树的13，梧桐树是杨树的12，梧桐树有多少棵？下面列式错误的是（）。

A．117832⨯⨯B．117832⎛⎫⨯⨯⎪⎝⎭C．117832⎛⎫⨯+⎪⎝⎭8．下列说法不正确的是（）。

A．圆锥的体积一定等于圆柱体积的13。

B．圆柱的体积一定，底面积和高成反比例。

C．车轮周长一定，车轮行驶的路程和转数成正比例。

9．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元。

小明在该快递公司寄一件10千克的物品，需要付费（）。

A．19元B．21元C．23元D．25元10．将正方形纸片对折三次（如图所示），再沿AB剪去一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）。

A．B．C．二、填空题11．8.4立方分米=（________）升=（________）毫升25分=（________）时35平方分米=（________）平方米十12．67的分数单位是（______）；再添（______）个这样的分数单位就是2。

人大附中篇1.165+312-284=______；2.1999+498-2008=______；3.10.16×15-21.5×4.6=______；4.12.5×45-36×101+86.5×45=______；5.(56÷60+0.5) ×(1-9/2÷43/3)=______；6.(2.5+1/3÷1/2)÷(75%×2/3+1/6)=______；7.(7×1-3×1)+(7×3-3×2)+(7×5-3×3)+……+(7×49-3×25)=______；8.131×17+51×123=______；9.a△b表示a、b的差（大减小）的一半。

例如：12△24=（24-12）÷2=6。

那么（1）1△（35/8△23/5）=______；（2）20△（7△x）=1,x的所有可能性____________；10.2.737373……用四舍五入法保留两位小数是______；11.陈老师花了600元买了48个本和72支笔。

已知每个本8元，那么每支笔______元（数忘了，瞎编的）；12.一个长方形，周长24厘米，宽4厘米。

如果长增加2厘米，那么面积是______平方厘米；13.解比例：x:3.5=4(28/5)；14.圆锥的体积是圆柱的体积的2倍，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的高的比是______；15.（忘了）；16.（图形题，不好画）；17.一本书，小明看了9天，每天看12页。

如果他想15天看完，平均每天看16页，那么现在他该每天看______页；18.小红每天睡眠9小时，比小刚多1/9。

小刚每天睡眠______小时；19.一项工程，甲队15天干完，乙队30天干完。

两队合干4天后，由甲队单独干，还要______天干完；20.一个三角形，一个内角的度数是另两个内角度数和的2/3。

小学阶段的数论知识包括数的整除、奇偶性、质数合数、约数倍数、同余问题、完全平方数等，这些知识也是初中数论的重点，分班考试的命题则在于考查这些知识的基本性质及其应用。

1.两个整数相加时，和是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，积是一个三位数，且三个数字相同。

请写出所有满足上述条件的两个整数。

2. 一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为0。

删去它的一位数字后所得的四位数仍是54的倍数.再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数，再删去该三位数的一位数字后所得的两位数还是54的倍数，试求原五位数。

3.已知2006120062111222N =⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个，试将N 表示为4个大于1的自然数之积。

4.一队少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏．每个儿童的左右相邻都恰是一个男孩子和一个女孩子。

问：这队少年儿童最多有多少人?为什么?5. 将12345678910111213…依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，此数除以9的余数是几？第三讲数论6. 求同时满足下列三个条件的自然数a 、b ：①a b >；②169ab a b=+；③a b +是平方数。

7. 在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数.请证明这两个11位数的和的十进制表达式中至少有一位数字是偶数。

【例1】 已知p 、q 均为质数，且满足25359p p +=，则以3p +，1p q -+，24p q +-为边长的三角形是（ ）。

A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形【例2】 π的前24位数值为 3.14159265358979323846264在这24个数字中，任意逐个抽取1个数字，并依次记作1a ，2a ，3a ，…24a ，则12342324()()()a a a a a a ---为（ ）。

2019年人大附中新高一分班考试数学试题真题一､选择题(本大题共17小题，共34分)1. 小雨利用几何画板探究函数()a y x b x c =--图象，在他输λ一组,,a b c 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）A. 0,0,0a b c >>= B. 0,0,0a b c <>=C. 0,0,0a b c >== D. 0,0,0a b c <=>【答案】B 2. 大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如33235,37911=+=++，3413151719,=+++⋯若3m 分裂后，其中有一个奇数是103，则m 的值是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B3. 如图，AB 是半圆O 直径，按以下步骤作图：（1）分别以,A B 为圆心，大于AO 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接OP 与半圆交于点C ；（2）分别以,A C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点Q ，连接OQ 与半圆交于点D ；（3）连接,,,AD BD BC BD 与OC 交于点E .根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD 平分ABC ∠；②//BC OD ；③CE OE =；④2AD OD CE =⋅；所有正确结论的序号是（ ）的A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④【答案】D 4. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，9号车厢才会运行到最高点？（ ）A. 10B. 20C. 152D. 452【答案】B 5. 某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘览车，回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？（ ）参观方式缆车费用去程及回程均搭乘缆车300元单程搭乘缆车，单程步行200元A. 16B. 19C. 22D. 25【答案】A 6. 如图，坐标平面上有一顶点为A 的抛物线，此拋物线与方程式2y 的图形交于B C ､两点，ABC 为正三角形.若A 点坐标为()3,0-，则此拋物线与y 轴的交点坐标为何?（ ）A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 270,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,9 D. ()0,19【答案】B7. 如图的七边形ABCDEFG 中，,AB ED 的延长线相交于O 点.若图中1,2,3,4∠∠∠∠的外角的角度和为220 ，则BOD ∠的度数为何？（ ）A. 40B. 45C. 50D. 60【答案】A 8. 如图，菱形ABCD 的边长为10，圆O 分别与AB AD ､相切于､E F 两点，且与BG 相切于G 点.若5AO =，且圆O 的半径为3，则BG 的长度为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C9. 桌面上有甲､乙､丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲､乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）A. 80B. 110C. 140D. 220【答案】B10. 如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于､A B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >.若ABC 与ABD △的面积比为1:4，则k 值为何？（ ）A. 1B. 12C. 43D. 45【答案】D 11. 如图的ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，､E F 在AB 上，直线AG 分别交DE BC ､于M N ､两点.若90,4,3,1B AB BC EF ∠==== ，则BN 的长度为何?（ ）A. 43 B. 32 C. 85 D. 127【答案】D12. 图(一)､图(二)分别为甲､乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图.若甲､乙两班学生的投进球数的众数分别为a b ､；中位数分别为c d ､，则下列关于a b c d ､､､的大小关系，何者正确？（ ）A. ,a b c d>> B. ,a b c d ><C. ,a b c d<> D. ,a b c d<<【答案】A 13. 如图的六边形是由甲､乙两个长方形和丙､丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲､乙的面积和等于丙､丁的面积和.若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. 12 B. 35 C. 2 D. 4-【答案】D14. 如图的矩形ABCD 中，E 点在CD 上，且AE AC <.若P Q ､两点分别在AD AE ､上，:4:1AP PD =，:4:1AQ QE =，直线PQ 交AC 于R 点，且Q R ､两点到CD 的距离分别为q r ､，则下列关系何者正确？（ ）A. ,q r QE RC <=B. ,q r QE RC<<C. ,q r QE RC== D. ,q r QE RC=<【答案】D 15. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案.此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费，若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（ ）甲方案乙方案号码的月租费(元)400600MAT 手机价格(元)1500013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600【答案】C 16. 如图的矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，有一圆过,,C D E 三点，且此圆分别与,AD BC 相交于,P Q 两点.甲､乙两人想找到此圆的圆心O ，其作法如下：(甲)作DEC ∠的角平分线L ，作DE 的中垂线，交L 于O 点，则O 即为所求；(乙)连接,PC QD ，两线段交于一点O ，则O 即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列判䉼何者正确？（ ）A. 两人皆正确B. 两人皆错误C 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【答案】A17. 如图，正六边形ABCDEF 中，P Q ､两点分别为,ACF CEF △△的内心.若2AF =，则PQ 的长度为何？（ ）.A. 1B. 2C. 2- D. 4-【答案】C 二､填空题(本大题共3小题，共9分)18. 如图，正方形ABCD 的边长是3,,P Q 分别在,AB BC 的延长线上，BP CQ =，连接,AQ DP 交于点O ，并分别与,CD BC 交于点,F E ，连接AE .下列结论：①AQ DP⊥②2OA OE OP=⋅③AOD OECFS S = 四边形④当1BP =时，1an 136t OAE ∠=其中正确结论的序号是__________.【答案】①③④19. 在等边ABC 中，M N P ､､分别是边AB BC CA ､､上的点(不与端点重合)，对于任意等边ABC ，下面四个结论中：①存在无数个MNP △是等腰三角形；②存在无数个MNP △是等边三角形；③存在无数个MNP △是等腰直角三角形；④存在一个MNP △在所有MNP △中面积最小.所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③20. 如图，在Rt ABC 中，90C = ∠，记,x AC y BC AC ==-，在平面直角坐标系xOy 中，定义(),x y 为这个直角三角形的坐标，Rt ABC 为点(),x y 对应的直角三角形.有下列结论：①在x 轴正半轴上的任意点(),x y对应的直角三角形均满足AB =；②在函数2019(0)y x x=>的图象上存在两点边,P Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函2(2020)1(0)y x x =-->图象上的任意一点P ，都存在该函数图象上的另一点Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数22020(0)y x x =-+>的图象上存在无数对点,(P Q P 与Q 不重合)，使得它们对应的直角三角形全等.所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④三､解答题(本大题共9小题，第21-26题每题6分，第27-29题，每题7分，共57分)21. 如图，AM 是ABC 的中线，D 是线段AM 上一点(不与点A 重合)//DE AB 交AC 于点,//F CE AM ，连结AE.的（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且BH AM =.①求CAM ∠的度数；②当4FH DM ==时，求DH 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）①30°；②22. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M ，给出如下定义：若M 上存在两个点,A B ，使AB =2PM ，则称点P 为 的“美好点”.（1）当 M 半径为2，点M 和点O 重合时.①点()()()1232,0,1,1,2,2P P P -中， O 的“美好点"是__________.②若直线2y x b =+上存在点P 为 O 的“美好点”，求b 的取值范围；（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为 M 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）①P 1和P 2；②b （2）2≤m ≤6.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过T e 外一点P 引它的两条切线，切点分别为,M N ，若60≤ 180MPN ∠< ，则称P 为T e 的环绕点.（1）当 O 半径为1时，①在()()()1231,0,1,1,0,2P P P 中，O 的环绕点是__________.②直线2y x b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若线段AB 上存在 的环绕点，求b 的取值范围；（2）T e 的半径为1，圆心为()0,t ，以(0)m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在T e 的环绕点，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）①P 1，P 3；②1b ≤＜或1b ≤-＜；（2）-2<t ≤4.24. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横从坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(),A p q 、()(),B m n m n ≤满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点.例如()3,2A 、()1,2B 满足()()23212x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点.（1）在点()15,6A 、()20,3A 、()32,0A -中，请找出不存在分解点的点__________；（2）点P 、Q 在纵轴上（P 在Q 的上方），点R 在横轴上，且点P 、Q 、R 都存在分解点，若PQR 面积为6，请直接写出满足条件的PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D 在第一象限内，D 是C 的分解点，请探究OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由.【答案】（1）2A ；（2）答案见解析；（3）OCD 不可能为等腰三角形，理由见解析.25. 已知关于x 的一元二次方程2104x bx c ++=（1）21c b =-时，求证：方程一定有两个实数根.（2）有甲､乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b ，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c ，利用列表法或者树状图，求b c ､的值使方程2104x bx c ++=两个相等的实数根的概率.【答案】（1）证明见解析；（2）16.26. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线():10l y kx k =-≠与函数(0)m y x x=>的图象交于点()3,2A .（1）求,k m 的值；（2）将直线l 沿y 轴向上平移(0)t t >个单位后，所得直线与x 轴，y 轴分别交于点,P Q ，与函数y =(0)m x x>的图象交于点C .①当2t =时，求线段QC 的长.②若23QC PQ<<，结合函数图象，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）1,6k m ==；（2）①；②12t <<.27. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2224y x ax a a =-+-+顶点为A ，点,B C 为直线3y =上的两个动点(点B 在点C 的左侧)，且3BC =.（1）求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）若ABC 是以BC 为直角边的等腰直角三角形，求拋物线的解析式；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线3y =于点D ，点D 恰好是线段BC 三等分点且满足3BC BD =，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围.【答案】（1）(),4A a a -；（2）2(2)6y x =++或2(4)y x =-；（3）1a =或25a <≤.28. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，点C 关于直线AB 的对称点为D ，连接,BD CD ，过点B 作//BE AC 交直线AD 于点E .（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与CDB △相似的三角形，并证明；（3）延长BD 交直线AC 于点F ，过点F 作FH //AE 交直线BE 于点H ，请补全图形，猜想,,BC CF BH 之间的数量关系并证明.【答案】（1）答案见解析；（2）与CDB △相似的三角形是ABE △，证明见解析；（3）作图见解析；22BH FC BC CF ⋅=+，证明见解析.29. 新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与A 有公共点，则称几何图形G 的叫A 的关联图形，特别地，若A 的关联图形G 为直线，则称该直线为A 的关联直线.如图，M ∠为A 的关联图形，的直线l 为A 的关联直线.（1）已知 O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线22y x =+；②直线3y x =-+；③双曲线2y x=，是O 关联图形的是__________（请直接写出正确的序号）；（2）如图1，T e 的圆心为()1,0T ，半径为1，直线:l y x b =-+与x 轴交于点N ，若直线l 是T e 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围；（3）如图2，已知点()0,2B 、()2,0C 、()0,2D -，I 经过点C ，I 的关联直线HB 经过点B ，与I 的一个交点为P ；I 的关联直线HD 经过点D ，与I 的一个交点为Q ；直线HB 、HD 交于点H ，若线段PQ 在直线6x =上且恰为I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围.【答案】（1）①③；（2）11b +≤≤；（3）60h -≤<或02h <≤.的。

共 12 题，120 分数论综合问题答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 整除 > 整除特征 > 整除特征综合（10分）小红为班里买了个笔记本．班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过元，她实际用了元．1元是个本的总金额，那一定是的倍数．因为，所以一定是和的倍数，即的倍数，也就是的倍数；同时，也就是；总上可知，所以她实际用了元．．．（），答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 整除 > 整除特征 > 差系整除特征（10分）多位数能被整除，满足条件的最小是多少？2根据差系的整除特征，必须是的倍数，最小是．（10分）在六位数中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被和整除．方框中的两位数是多少？3答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 整除 > 整除特征 > 整除特征综合方法一：要使这个数能被和整除，只需它能被整除．因此需要找到一个数，使得它乘后得到的六位数末两位为，前两位也为，显然这是一个三位数．可以列出如下的竖式：这是典型的数字谜问题，其中省略号表示不确定的地方．由末位分析可知乘数个位为，利用大小估计容易算出乘数百位为，代入算式后可得再看十位，可知乘数十位为，于是算得原六位数为，即方框中的两位数为．方法二：采用试除法．设六位数为，如果一个数能同时被和整除，那么一定能被整除．，余也可以看成不足．所以当时，即是的倍数时，六位数才是的倍数．所以有的末位只能是，所以只能是，，，验证有时，，所以原题的方框中填入，得到的满足题意．答案解析标注【拓展思维】几何模块 > 立体图形 > 长方体与正方体 > 长方体与正方体基本概念运用 > 长方体的表面积与体积综合（10分）长方体的左面和上面的面积之和是平方厘米．它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是立方厘米．4，不能分解成两个质数得和,体积为：答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公因数与最大公因数 > 多数的最大公因数（10分）有甲、乙、丙三种溶液，分别重、和，现要将它们分别装入小瓶中，使每个小瓶液体重量相同，则至少装几瓶？每瓶最多装几千克？5瓶，千克要使每个小瓶装入液体的重量相同，并且无剩余，那么每个小瓶的容量必须是，，的最大公因数．求最大公因数：，即每瓶最多装千克．（瓶），至少装瓶．答案解析（10分）一个大于的数，除以余，除以余，除以余，问满足条件的最小自然数是多少？6方法一：仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被、、除余，标注【拓展思维】数论模块 > 余数问题 > 中国剩余定理 > 同余类韩信点兵由于、、最小公倍数是，所以这个数最小是．方法二：事实上，如果没有“大于”这个条件，即可符合条件，所以只需要在的基础上加上、、的最小公倍数，得到即为所求的数．答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公因数与最大公因数 > 两数的最大公因数（10分），（是自然数且），如果和的最大公因数是，则是，，最小公倍数是．71．2．，，均有，但无，所以；最小公倍数：．答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 分解质因数 > 分解质因数的应用 > 已知乘积求因数（10分）已知个人都属牛，它们年龄的乘积是，那么他们年龄的和为．8，，因为个人都属牛，年龄相差为的倍数，故可知他们的年龄为，，，，，年龄和为．（10分）数的约数有个，这些约数的和是．9答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 因数个数定理 > 因数个数定理正应用 > 总个数1．2．32；3600答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 位值原理与进制 > 位值原理运用 > 位值原理的综合应用（10分）已知是一个三位数（是三个不同的数字），且由三个不同数字组成的另外五个三位数之和为，那么这六个三位数中最大与最小的差为．10、、、、由b 三个数字组成的六个三位数之和，而由b 三个数字组成的另外五个三位数之和为，余，再加，就是的倍数（此时的就是 ) ，这三位数组成的数是197719791917971那么要求的差是．、、（、、、、、、、答案解析（10分）如图，冥王星有三颗卫星，卫星绕冥王星一周需要天，卫星需要天，卫星需要天，从图中所示位置开始，至少需要天才能恢复到原来位置．11若都恢复到原位置，经过的天数应为的公倍数，最少为天．、、标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公倍数与最小公倍数 > 多数的最小公倍数答案解析标注【拓展思维】数论模块 > 因数与倍数 > 公因数与公倍数 > 公倍数与最小公倍数 > 两数的最小公倍数【拓展思维】应用题模块 > 周期问题 > 时间中的周期问题 > 日期中的周期（10分）小明从某一天起每天进行登山、游泳、长跑三项活动．登山连续三天后休息两天．游泳连续四天后休息一天，长跑连续五天后休息一天．那么从开始之日起的一百天中．小明连续三天每天至少有一项休息会出现几次？12登山三天休息两天，可以以天为一周期分析；游泳四天休息一天，可以以天为一周期分析；长跑五天休息一天，可以以天为一周分析，综上可知：可以以（天）为一周期来计算．天中：代表进行，代表休息，登山：游泳：长跑：可知：每天中有次符合题意的休息，列式：（组）（天），共计：（次）．。

北京市海淀区人大附中分班考试卷数 学1.165+312−284=_______.2.1999+498−2008=_______.3.10.16×15−21.5×4.6=_______. 4.12.5×45−36×101+86.5×45=_______.5.(56÷60+0.5)×(1−92÷433)= _______.6.(2.5+13÷12)÷(75%×23+16)= _______.7.(7×1−3×1)+(7×3−3×2)+(7×5−3×3)+…+(7×49−3×25)= _______. 8.131×17+51×123=_______.9.a △b 表示a 、b 的差(大减小)的一半.例如：12△24=(24−12)÷2=6.那么： (1)1△(358△235)= _______.(2)20△(7△x )=1,x 的所有可能性_______.10.2.737373…用四舍五入法保留两位小数是_______.11.陈老师花了600元买了48个本和72支笔.已知每个本8元，那么每支笔_______元.12.一个长方形，周长24厘米，宽4厘米.如果长增加2厘米，那么面积是_______平方厘米.13.解比例：x ︰3.5=4︰28514.圆锥的体积是圆柱的体积的2倍，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的高的比是_______.15.一本书，小明看了9天，每天看12页.如果他想15天看完，平均每天看16页，那么现在他该每天看_______页.16.小红每天睡眠9小时，比小刚多19.小刚每天睡眠_______小时.17.一项工程，甲队15天干完，乙队30天干完.两队合干4天后，由甲队单独干，还要_______天干完.18.一个三角形，一个内角的度数是另两个内角度数和的23.另两个内角的度数相差18°.这个三角形的最小的内角的度数是_______.19.一个圆柱体的表面积是336平方厘米.把它从中间切开，得到两个一样的圆柱体，它们的表面积和是432平方厘米.那么原米圆柱体的高是_______厘米(π=3). 20.一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除.这个四位数最大是_______,最小是_______.21.规定※n 表示不大于n 的所有偶数的积，□n 表示不能整除n 的最小的数.例如：※6=6×4×2=48，□10=3.那么□(※x )=13, x 最小是_______.22.一堆货物，第一天运走了总数的23，第二天运走了总数的25%，剩下的按3︰4分配给甲车和乙车.已知甲车运了900吨，那么这堆货物共有_______吨.23.快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，4小时相遇.相遇后，快车继续行驶了3小时到达乙地，慢车继续行了240千米到达甲地.慢车的速度是_______千米/小时. 24.解方程组：{999x −1002y =29911001x −997y =3011，{x =y =25.在下图的方格中填入合适的数，使每一行都为完全平方数，则最后结果为_______.26.在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有“仁”×与“人”代表的数字相同，那么“仁华学校”代表的四位数字最小可能是_______.27.请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公约数或最小公倍数.28.找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和(不一定是刚才的两个数)等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子. 29.7295、2435、48143、3285、1655这5个分数中有两个可以写成一个分数与其倒数之差的形式(如：56=32−23)，那么这两个分数为_______.30.小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数，”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数.”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方.”那么小明今年_______岁.(小明今年年龄小于31岁，年龄均为整数岁)31.用A 、B 、C 、D 、E 、F 六种颜料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色任两个调色盘里不能重复，那么共有_______种不同的染色方案(旋转算不同方法).人人 大中附学 步 进 更仁 华 校 1 +32.在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱(如图)，那么表面积减少_______.33.一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，那么小明这次竞赛做对了_______道题.34.妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃2天；若每天比计划少吃一个，则计划的时间过去后，还剩12个，那么这一箱桔子共多少个？ 35.学校组织老师进行智力竞赛，共20道题，答对一题得5分，不答不给分，答错扣2分，已知所有老师的总分为600多分，且男老师总分为女老师总分的2倍多1分，答对总题数为答错总数的3倍少1题.又知每人恰好有1道或2道题未答，求男老师的总分为多少？36.甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，他们计划在距A 地35处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为_______米/秒.北京市海淀区人大附中分班考试卷数 学1.165+312−284=_______. 1.解：原式=477−284=193。