江苏省高一数学苏教版必修4教学案：第2章11平面向量小结复习

二、重难点提示重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。

难点：向量的概念和共线向量的概念。

知识梳理一、向量及相关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。

注意：向量与数量的区别向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。

故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小，只能说相等还是不相等。

（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

规定零向量与任一向量平行。

【要点诠释】两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等，则一定共线。

向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。

平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。

二、向量的表示（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB用AB表示。

（2）整体法：用一个小写英文字母来表示，如a,b,c等，注意此时手写（a）与书写体a不一样。

（3）坐标法：用坐标来表示向量（以后学习）。

【易错点】注意：1.零向量的手写体为0，书写体用黑体字0表示。

2. 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。

3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。

示例：四边形ABCD满足＝且＝，则四边形ABCD的形状是________。

【重要提示】本题是考查图形的形状的问题，把向量关系转化为图形的边的关系来解决。

第46课时 向量小结与复习（2）●教学目标（一）知识目标1.本身知识网络结构；2.向量概念；3.向量的运算律；4.重要的定理、公式.（二）能力目标1.了解本章知识网络结构；2.进一步熟悉基本概念及运算律；3.理解重要定理、公式并能熟练应用；4.加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力. （三）德育目标1.认识事物之间的相互转化；2.培养学生的数学应用意识.●教学重点突出本章重、难点内容.●教学难点通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别.●教学方法 自学辅导法在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度.●教学过程如图所示，已知OP =（2，1），OA=（1，7），OB =（5，1），设M 是直线OP 上的一点（其中O 点为坐标原点）.（1）求使MA MB 取最小值的OM ；（2）对（1）中求出的点M ，求∠AMB 的余弦值.解析：（1）∵M 为直线OP 上的点，∴OM 与OP 共线.设OM =t OP ， ∴OM=t （2，1）=（2t ，t ）. 则MA OA OM =-=（1，7）－（2t ，t ）=（1－2t ，7－t ）， MB OB OM =-=（5，1）－（2t ，t ）=（5－2t ，1－t ）. ∴MA MB ⋅=（1－2t ）（5－2t ）+（7－t ）（1－t ）=5t 2－20t +12=5(t －2)2－8.∴当t =2时，MA =（－3，5），MB =（1，－1）， MA ·MB 取最小值－8，此时，OM=（2t ，t ）=（4，2）.（2）当t =2时，MA =（－3，5），MB=（1，－1）， ∴|MA |=34，|MB |=2，且MA ·MB=－8.于是，cos ∠AMB=817||||MA MB MA MB ⋅--== .题型一、向量的概念判断问题: (课时训练P69例1)答案: ①④答案:D(课时训练P69例1)答案:A题型二、向量坐标运算问题:已知平面上有三点A(1，1)，B(－2，4），C（－1，2），P在直线AB上，使1||||3AP AB =，连结PC ，Q 是PC 的中点，则点Q 的坐标是( )A.（21-，2）B. （21，1）C.（21-，2）或 （21，1） D. （21-，2）或（－1，2）答案:C与向量a =的夹角为o 30的单位向量是A.（1,22） B.（1,22）C. （0，1）D. （0，1）或（1,22）解析: 可以找到与a = 垂直且模等于||3a的向量(3b = 或1)3b '=- ,而a b += , a b '+=∴与向量a 成o 30的单位向量是（0，1）或(122）.答案:D已知A,B,C,D 四点的坐标分别为A （－1，0），B （1，0），C （0，1），D （2，0），P 是线段CD 上的任意一点，则⋅的最小值是 ．解析:设P(,x y ),([0,2]x ∈) , 则//CP CD ,即得(,1)//(2,1)x y -- ∴2(1)y x -=- ,即得22xy -=([0,2]x ∈). ∴22(1,)(1,)1AP BP x y x y x y ⋅=+⋅-=-+222255211(1)()24455x x x x x =-+-=-=--当25x =时, 15AP BP ⋅=- 最小值.答案:51-练习:已知A,B,C,D 四点的坐标分别为A （－1，0），B （1，0），C （0，1），D （2，0），P 是线段CB 上的任意一点，则AP DP ⋅的最小值是 ．AB 1 B 2C题型三、向量应用问题: (课本P89第13题)解析:如图, 11,AB B C分别表示开始时人对地的速度和风对人的速度, 22,AB B C 分别表示后来人对地的速度和风对人的速度, AC表示风对地的速度.∵v v v =+风对地风对人人对地,12||||AB BB a ==, 又12B C AB ⊥ , 01245B B C ∠=,∴011||,45B C a B AC =∠=, ||AC =., 从西北方向吹来.(课本P89第12题)提示:利用三角形的中线公式证明!。

江苏省泰兴中学高一数学教学案()
必修平面向量小结复习
班级姓名
知识要点
1、向量的概念及表示、平面向量的基本定理与共线定理
3、向量的运算（加法、减法、数乘、数量积）、向量的应用.
5、注意：向量既有数的特性，又有形的特征，要善于从“数”和“形”两种不同角度分析
解决向量问题.
课前预习
、有下列命题：①；②；③；④是一个向量.
⑤若,则;⑥若,则三点共线,且是线段的一个三等分点.其中真命题的序号是.
、已知点,点在直线上,且,则点的坐标为.
、在中是边上一点,且,则以为基底表示;
以为基底表示
、向量，且与的方向相同，则的取值范围是.
、已知向量，且的夹角大于°，则实数的取值范围是. 典例剖析
例、如图，设为内一点，且，则的面积与的面积之比为多少？
例、已知向量,点为坐标原点.
(1)当为何值时,的夹角为;
(2)试问四点能否构成平行四边形?若能求出点的坐标,若不能,请说明理由.
例、已知平面上三个向量的模均为，它们相互之间的夹角均为.
(1)求证：；（）若，求的取值范围.
例、设是两个非零向量，如果，且，求的夹角.。

江苏省高一数学教学案必修4_02 向量的概念及表示班级姓名目标要求1．了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念．重点难点重点：向量、相等向量、共线向量及向量的几何表示；难点：向量、共线向量的概念．教学过程：一、问题情境二、数学建构1.向量的概念：2.向量的表示方法：3.零向量、单位向量概念：4.平行向量定义：5.相等向量定义：6.共线向量与平行向量关系：三、典例剖析例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图2-1-6所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC相等吗？C例2 在图2-1-7中的45⨯方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个（AB 除外）？图2-例3 判断下列各题是否正确：（1） 向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； （2） 若a b =，则a b =或a b =-； （3） 若a 与b 是平行向量，则a b =； （4） 若//,//a b b c ，则//a c ．（5） 已知四边形ABCD ，当且仅当AB DC =时，该四边形是平行四边形．例4 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后向西偏北走了450m 到达C 点，最后向东走了200m 到达D 点（1）作出向量,,AB BC CD （2）求A 到D 的位移例5 下列各种情况中，向量终点各构成什么图形： （1） 把所有单位向量起点平移到原点；（2） 把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点； （3） 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点．A四、课堂练习1、 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？2、在下列结论中，哪些是正确的？（1） 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a b =；（4）两个相等向量的模相等．3、关于零向量的说法正确的是____________ ①零向量没有方向 ②零向量长度为０ ③零向量与任一向量平行 ④零向量的方向任意4、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 （1） 写出与向量相等的向量__________________ （2） 写出与向量共线的向量__________________ （3）23=，则向量EC 的长度______________ 高一数学作业(52)班级 姓名 得分1、下列说法中正确的是___________．①若||||a b >，则a b >； ②若||||a b =，则a b =；③若a b =，则//a b ； ④若a b ≠，则a 与b 不是共线向量．2、下面给出的五个命题：（１）单位向量都相等；（２）若DC AB =则=且//AB CD ；（３）若=且=，则=；（４）若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r；（５）若四边形ABCD 是平行四边形，则=． 其中真命题有 3、如图，ABC ∆和111C B A ∆是在各边的31处相交的两个全等正三角形，设正ABC ∆的边长是a ，图中列出了长度均为3a的若干个向量，则 （1）与向量CH 相等的向量是_____________（2）与向量GH 共线且模相等的向量有_________个 CDBCB1A1（3）与向量EA 平行且模相等的向量有________个4、若e 是a 方向上的单位向量，则||aa 与e 的方向 长度 ．5、在直角坐标系中，已知||2OA =，那么点A 构成的图形是_____________．6、给出以下5个条件：①b a =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④||0a =或||0b =；⑤与都是单位向量，其中能使与共线成立的是 ．7、如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：（１） 分别写出与,AO BO 相等的向量；（２） 写出与AO 共线的向量； （３） 写出与AO 的模相等的向量； （４） 向量AO 与CO 是否相等？8、已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？FE方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有9、如图，以13多少种不同的方向？必修4_02 向量的加法班级姓名目标要求1．理解向量加法的含义，能熟练运用平行四边形法则、三角形法则作两个向量的和2．掌握向量加法的交换律、结合律，并能熟练运用3．通过向量的加法运算，让学生感受数形结合的思想重点难点重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则教学过程：一、问题情境二、建构数学1. 向量加法的定义：2. 向量加法的三角形法则：3. 向量加法的平行四边形法则：4. 向量加法所满足的运算律：三、典例剖析例 1 如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +； （2）BC FE +； （3）OA FE +例2 在长江南岸某渡口处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？例3如图，在正六边形OABCDE 中，若,OA a OE b ==试用,a b 将,,OB OC OD 表示出来例4 点D ，E ，F 分别是⊿ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：（1）1()2AE AB AC =+； （2）0EA FB DC ++=例5 点M 是ABC ∆的重心，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，则++=_________课堂练习1、以下四个命题中不正确的是_____________①若是任意非零向量，则a ∥0 ② +=+③≠⇔≠或，方向不同 ④任一非零向量的方向都是唯一的 2、在四边形ABCD 中，+=，则四边形ABCD 的形状是______________ 3、下列各等式或不等式中，可以成立的个数是______________（1+<+<- （2+=+=-（3+<+=- （4+=+< 4、化简：AB DF CD BC FA ++++=____________5、一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为_______，两次位移的和的方向为_____________，大小为_______高一数学作业(53)班级 姓名 得分1、,a b 是两向量，不等式a b a b +<+成立仅当 （ ） A 、a 与b 共线时成立 B 、a 与b 不共线时成立C 、a 与b 反向共线时成立D 、a 与b 不共线，或a 与b 均非零且反向共线时成立2、已知O 是ABCD 对角线的交点，则以下结论正确的序号是_____________ ． ①AB AC BC += ②AB CB AC +=③AO OB AB += ④ CB CD CA += ⑤ A O C OD O B O+=+ 3、在四边形ABCD 中，AB CA BD ++等于______________．4、若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的__________心．5、正方形ABCD 的边长为1， =，=，=++= ．6、当不共线向量a ，b 满足条件________________时，使得b a +平分a ，b 间的夹角．7、若向量AB 与BC 反向共线，且2006AB =，2007BC =，则AB BC +=___________ ．8、设表示“向东走10km ”，表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，试说明下列向量的意义：（1）a b +________________________________________________． （2）a c +________________________________________________． 9、根据图形填空：b c +=______________；a d +=______________ b c d ++=______________；f e +=______________；eg +=______________．abc def gh10、设A ，B ，C 是平面内任意三点，求证：0AB BC CA ++=．11、如图在矩形ABCD 中，||43AD =设A B a =，BC b =，BD c =，求||a b c ++．12、一架飞机从甲地按北偏东20的方向飞行1500km 到达乙地，再从乙地按南偏西80的 方向飞行1500km 到达丙地。

高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造， 另一方面要擅长与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。

第2课时§2.2 向量的加法【教学目标】一、知识与技能（1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算二、过程与方法从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律三、情感、态度与价值观感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量；2．向量加法定义的理解。

【教学过程】一、复习：1．向量的概念、表示法。

2．平行向量、相等向量的概念。

3．已知O点是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（）（A）OB、CD、FE、CB（B）AB、CD、FA、DE（C）FE、AB、CB、OF（D）AF、AB、OC、OD二、创设情景利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为OA ，从景点A 到景点B 的位移为AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB ，向量OA ，AB ，OB 三者之间有何关系？OBA三、讲解新课： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1） （2）2．向量加法的法则：（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：AB BC AC +=．（2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

b a O B A3．向量的运算律：交换律：a b b a +=+．结合律：()()a b c a b c ++=++．说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行： 例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．四、例题分析：例1、 如图，一艘船从A 点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

第11课时 §2.5 向量的应用
【教学目标】
一、知识与技能
体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.
二、过程与方法
.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.
三、情感、态度与价值观
使学生通过对问题的分析，转化，从深层次上认识学科之间的内在联系，并深刻认识数学的工具性作用，学会转化矛盾的方法，增强解决矛盾的能力，培养学生的创新精神
【教学重点难点】向量知识的应用
【教学过程】
一、复习：
①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;
②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁; ③向量也是解决许多物理问题的有力工具
二、新课讲解：
三、例题分析：
例1、如图所示,无弹性的细绳OB OA ,的一端分别固定在B A ,处,同质量的细绳OC 下端系着一个称盘,且使得OC OB ⊥试分析OC OB OA ,,三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)
例2、.已知:BC OA ⊥,AC OB ⊥，求证:AB OC ⊥
思考:你能否画一个几何图形来解释例2
例3、已知直线l 经过点),(111y x P 和),(222y x P ,用向量方法求l 的方程.
四、课时小结：本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题.
五、反馈练习：。

一、平面向量的概念 1．向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量． 2．表示方法用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示．3．模向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 4．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的． 5．单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝±a|a |.6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量．[说明] 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．二、平面向量的线性运算1．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则．[说明] 要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．3．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.三、两个定理1．向量共线定理(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．[说明] 零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．四、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．[说明] b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．平面向量数量积的性质设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，或|a|＝a·a.(3)a⊥b⇔a·b＝0.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.[说明](1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[说明] 数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．4．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝x21＋y21；(3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[说明] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的条件，后者是它们垂直的条件．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________． 解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC ) ＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB . 答案：AB2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________． 解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3. 答案：－33．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________ 解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3. 答案：－34．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________． 解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点， ∴MN BC ＝13，即MN ＝13BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ， ∴λ＝13.答案：136．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________． 解析：∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34， ∴|a ＋b |＝34. 答案：347．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)， 则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2，∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB | OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π4.答案：π48．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝13AC ，又AC ＝AD ＋DC ＝b＋12a ， 因此OC ＝13b ＋16a .答案：13b ＋16a9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：1810．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52.又a·b ＝0， ∴2k －52＝0，∴k ＝54.答案：5411．下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a ·b )c ＝a (b ·c )； ⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 其中正确的是________．解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．答案：③⑤12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12. ∴|a ×b |＝2×2×12＝2.答案：213．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为____________；DE ·DC 的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量， 设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ，CB ＝－AD ， 所以DE ·CB ＝λAB －AD·－AD )＝－λAB ·AD ＋AD 2,＝－λ×0＋1＝1. 又DC ＝AB ，所以DE ·DC ＝λAB －AD ·AB＝λAB 2－AD ·AB ,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE ·DC 的最大值为1. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为t ，00≤t ≤1可得DE ·CB＝t ，－1·0，－1＝1，, DE ·DC ＝t ，－1·1，0＝t ≤1，,∴DE ·CB＝1，DE ·DC 最大值为1.答案：1 114．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()a i ＋a j ·()c k ＋c l 的最小值是________．解析：根据对称性，当向量()a i ＋a j 与()c k ＋c l 互为相反向量，且它们的模最大时，()a i ＋a j ·()c k ＋c l 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，()a i ＋a j ·()c k ＋c l ＝－||a i ＋a j 2＝－5.答案：－5二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A 、B 、C 、D 顺时针排列)中，AB ＝(6,1)，CD ＝(－2，－3)，若有BC ∥DA ，又有AC ⊥BD ，求BC 的坐标．解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)，DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )， BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．又BC ∥DA 及AC ⊥BD ， ∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，① (6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 的内部，且∠AOC ＝30°，若OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，求mn的值．解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°， 又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部， ∴∠BOC ＝60°.∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m ＝|OA ||OC |·cos ∠AOC ＝32|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n ＝|OB ||OC |·cos ∠BOC ＝32|OC |. ∴m ＝3n ，即m n＝3.17．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， 即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .② 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0,2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.③ ∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入③式，得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x⊥y ， 则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立， 其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)． (1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角； (2)若AC ⊥BC ，求tan α的值．解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)， |OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，∴cos α＝12.又α∈(0，π)，∴α＝π3，即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π6.(2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)， 由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝12.①∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，∵α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin α cos α＝74，cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，从而tan α＝－4＋73.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k，当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k；由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)， 所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

第二章平面向量学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的_______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝________________.②基底：把____________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．(2)向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________________．3．向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，类型一 向量的线性运算例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．跟踪训练1 在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由．类型二 向量的数量积运算例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小．反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3 已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小．反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． 跟踪训练3 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.1．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →＝________.2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为________． 4．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.5．平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )．1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．答案精析知识梳理1．(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) 相同 相反 (λx 1，λy 1) x 1x 2＋y 1y 2 2．(1)①不共线 任意 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 ②不共线 所有 (2)b ＝λa 3．b ＝λa (a ≠0) a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 题型探究 例1311跟踪训练1 解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝ ⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.例2 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k)．由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k )在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.跟踪训练2 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))， ∴AB →＝(3,1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.例3 解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c,0)． 因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′―→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′―→⊥CC ′―→，所以BB ′―→·CC ′―→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.跟踪训练3 3当堂训练1．－2 2.9 3.－2 4．2 5 5.14(t 3－3t )。