九年级上数学复习纲要测试题

（第4题）九年级数学上册期末复习综合测试题（含答案）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1．一元二次方程 x 2＝x 的根是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝－1C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝x 2＝12．一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（ ）A ．12B ．23C ．15D ．253．若一组数据 2，3，4，5，x 的方差比另一组数据 5，6，7，8，9 的方差大，则 x 的值可能是（ ） A ．1B ．4C ．6D ．84．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点．若∠OAC ＝16°，∠OBC ＝54°，则 ∠AOB 的度数是（ ）A ．70°B ．72°C ．74°D ．76°5．若关于x 的一元二次方程ax 2＋k ＝0的一个根为2，则二次函数y ＝a (x ＋1)2＋k 与x 轴的交点坐标为（ ） A ．(－3，0)、(1，0) B ．(－2，0)、(2，0) C ．(－1，0)、(1，0)D ．(－1，0)、(3，0)6．如图，在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连接DE ，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分∠EFB ，则AD 的长为（ ） A ． 157B ．207C ．258D ．259二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7（第12题）l 1 l 2l 3A BCEFD （第11题）8．若a b ＝43，则a －b b＝ ．9．设x 1、x 2是方程x 2＋mx －m ＋3＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1x 2＝ ．10．把抛物线y ＝－x 2向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为 ．11．如图，l 1∥l 2∥l 3，若AD ＝1，BE ＝3，CF ＝6，则ABBC的值为 ．12．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，⊙O 的半径为3，∠AOC ＝的长为 ． 13．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 ．14．如图，弦AB 是⊙O 的内接正六边形的一边，弦AC 是⊙O 的内接正方形的一边，若 BC ＝2＋23，则⊙O 的半径为 ．15．如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 在DC 上，点F 在AC 上，∠BFE ＝90°，若 CE ＝116．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，且EF 的长为2，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则P A ＋PG 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x 2－4x －5＝0； （2）x 2－4＝2x (x －2)．18．（8分）甲乙两人在相同条件下完成了5次射击训练，两人的成绩（单位：环）如下（1）甲射击成绩的中位数为 环，乙射击成绩的众数为 环；（2）计算两人射击成绩的方差；（3）根据训练成绩，你认为选派哪一名队员参赛更好，为什么？19．（8分）某校开展秋季运动会，需运动员代表进行发言，从甲、乙、丙、丁四名运动员中随机抽取．（1）若随机抽取1名，甲被抽中的概率为 ； （2）若随机抽取2名，求甲在其中的概率．20．（7分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且∠BCE ＋∠BDE ＝180°． （1）求证：△ADE ∽△ACB ；（2）连接BE 、CD ，求证：△AEB ∽△ADC ．21．（8分）如图是二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像． （1）求该二次函数的关系式及顶点坐标； （2）当y ＞0时 x 的取值范围是 ；（3）当m ＜x ＜m ＋4时，－5＜y ≤4，则m 的值为 ．22．（7分）在Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 、E、F 分别为BC 、AB 、AC 边上的点，且∠EDF ＝45°．（1）求证：△EBD ∽△DCF ；（2）当D 是BC 的中点时，连接EF ，若CF ＝5，DF ＝4，则EF 的长为 ．23．（8分）某超市销售一种商品，成本为每千克50元．当每千克售价60元时，每天的销售量为60千克，经市场调查，当每千克售价增加1元，每天的销售量减少2千克． （1）为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？24．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，连接BC ，过点D 作DE ⊥CD ，交⊙O 于点E ，连接AE ，F 是DE 延长线上一点，且∠BCD ＝∠F AE ． （1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝2，EF ＝1，求⊙O 的半径．25．（8分）已知二次函数y ＝(x －2)(x －m )（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点；（2）若M （－1，0）， N （3，0），该函数图像与线段MN 只有1个公共点，直接写出 m 的取值范围；（3）若点A （－1，a ），B （1，b ），C （3，c ）在该函数的图像上，当abc ＜0时，结合函数图像，直接写出m 的取值范围.26．（8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ． （1）求证：∠BAC ＝2∠DAC ； （2）若AB ＝10，CD ＝5，求BC 的长．27．（10分）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．（1） 如图①，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，则BC 边上的伴随圆的半径为 ． （2）如图②，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，直接写出它的所有伴随圆的半径． （3）如图③，△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在边AB 上，AE ＝2BE ，D 为AC 的中点，且∠CED ＝90°．①求证：△CED 的外接圆是△ABC 的AC 边上的伴随圆； ②DE的值为 ．参考答案说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．9 8．13 9．－3 10．y ＝－(x ＋2)2＋3 11．2312．2π 13．m ≥－1 14． 2 2 15．322 16．4 2 －1三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（8分）（1）解：x 2－4x －5＝0 x 2－4x ＋4＝5＋4(x －2)2＝9 ········································································································ 1分x －2＝±3 ········································································································ 2分 ∴ x 1＝5，x 2＝－1． ··························································································· 4分 （2）解：x 2－4＝2x (x －2) x 2－4＝2x 2－4xx 2－4x ＋4＝0 ··································································································· 5分 (x －2)2＝0 ········································································································ 6分 ∴ x 1＝x 2＝2． ··································································································· 8分 18．（8分）（1）7；8 ········································································································ 2分 （2）s 2甲＝(7－8)2＋(7－8) 2＋(10－8)2＋(9－8)2＋(7－8)25＝1.6环2． ······························ 4分s 2乙＝(8－8)2＋(8－8) 2＋ (7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)25＝0.4环2． ······································ 6分（3）选择乙．因为甲乙两人平均数相同均为8，说明两人实力相当，但s 2乙＜s 2甲，乙的成绩更加稳定，所以选乙． ······················································································· 8分19．（8分）（1）14． ·········································································································· 2分（2）解：随机抽取两名运动员，共有6种等可能性结果：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）．其中满足“有甲运动员”(记为事件A )的结果只有3种，所以P (A )＝12． ·································································································· 8分20．（7分）（1）证明：∵ ∠BCE ＋∠BDE ＝180°， ∠EDA ＋∠BDE ＝180°，∴ ∠EDA ＝∠BCE ． ·························································································· 1分 又 ∠A ＝∠A ， ································································································· 2分 ∴ △ADE ∽△ACB ． ·························································································· 3分 （2）∵ △ADE ∽△ACB ， ∴ AD AC ＝AE AB， ·········································· 4分 ∴AD AE ＝ACAB， ······································· 5分 又 ∠A ＝∠A ， ········································ 6分 ∴ △AEB ∽△ADC ． ································· 7分21．（8分）（1）将(0，3)、 (3，0)代入，得⎩⎨⎧3＝c ，0＝－9＋3b ＋c································································································· 1分解得⎩⎨⎧c ＝3，b ＝2····································································································· 2分∴ y ＝－x 2＋2x ＋3 ····························································································· 3分 ∴ 顶点坐标为(1，4) ························································································ 4分 （2）－1＜x ＜3. ······························································································ 6分 （3）－2或0 ···································································································· 8分 22．（7分）（1）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ＝45°． ··························································································· 1分 ∴ 在△BDE 中，∠BED ＋∠BDE ＝180°－∠B ＝135°， ∵ ∠EDF ＝45°，∴ ∠BDE ＋∠CDF ＝135°，∴ ∠BED ＝∠CDF ． ·························································································· 3分 ∵ ∠B ＝∠C ，∴ △EBD ∽△DCF ． ·························································································· 5分 （2 ········································································································ 7分23．（8分）（1）解：设每千克的销售价增加x 元，根据题意，得(60＋x －50) (60－2x )＝750 ··················································································· 2分 ∴ x 1＝5，x 2＝15． ····························································································· 3分 60＋5＝65或60＋15＝75 ···················································································· 4分 答：销售单价为65或75元时获得利润750元． （2）解：每千克的销售价增加x 元，利润为w 元．w ＝(60＋x －50) (60－2x ) ···················································································· 6分 ＝－2(x －10)2＋800 ···························································································· 7分 ∵ a ＝－2＜0，∴ 当x ＝10时，w 有最大值800． ········································································ 8分 60＋10＝70答：当销售单价为70元时获得最大利润，为800元． 24．（8分） （1）连接BD ．∵ AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴ ⌒BC ＝ ⌒BD ， ························································· 1分 ∴ ∠BDC ＝∠BCD ．∵ 四边形ABDE 为⊙O 的内接四边形，∴ ∠BDE ＋∠BAE ＝180°，即∠BDC ＋∠CDF ＋∠BAE ····· 2分∵ DE ⊥CD ， ∴ ∠CDF ＝90°， ∴ ∠BDC ＋∠BAE ＝90°．∵ ∠BCD ＝∠F AE ， ·························································································· 3分 ∴ ∠BAE ＋∠F AE ＝90°，即∠F AB ＝90°， ∴ AF ⊥AB ． 又 点A 在⊙O 上，∴ AF 与⊙O 相切． ·························································································· 4分 （2）过点O 作OG ⊥DF 垂足为G ． ∵ ∠F AB ＝∠D ＝∠APD ＝90°， ∴ 四边形APDF 是矩形， ∴ ∠F ＝90°．∵ ∠F AB ＝∠F ＝∠OGF ＝90°， ∴ 四边形AOGF 是矩形，∴ AF ＝OG ，AO ＝GF ． ···················································· 5分 设OE ＝OA ＝r ，则GE ＝r －1．在Rt △OGE 中，由勾股定理得OG 2＋GE 2＝OE 2， ···················································· 6分 即4＋(r －1)2＝r 2， ···························································································· 7分 解得r ＝5 2 ． ····································································································· 8分25．（8分）（1）令y ＝0，即(x －2)(x －m )＝0 ········································································· 1分 ∴ x 1＝2，x 2＝m ． ····························································································· 2分 当m ＝2时，x 1＝x 2，方程有两个相等的实数根； 当m ≠2时，x 1≠x 2，方程有两个不等的实数根． ∴ 不论m 为何值，方程总有实数根；∴ 不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点． ·············································· 3分 （2）m ＝2或m ＞3或m ＜－1． ··········································································· 6分 （3）－1＜m ＜1或m ＞3． ·················································································· 8分 26．（8分）。

第二十四章圆一、选择题1. 已知⊙O的半径为3 cm，OP=4 cm，则点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定2. 已知圆锥的底面半径为3 cm，母线长为4 cm，则圆锥的全面积是( )A．15π cm2B．21π cm2C．20π cm2D．24π cm23. 下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等．其中不正确的有( )个．A．1B．2C．3D．44. 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35∘，则∠CAB的度数为( )A．35∘B．45∘C．55∘D．65∘5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，连接AD，若∠C=22∘，则∠CDA的大小为( )A．112∘B．124∘C．129∘D．136∘6. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32∘，则∠OBA的度数是( )A．64∘B．58∘C．32∘D．26∘7. 在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图，水面宽AB为6分米，如果再注入一些水后，水面上升1分米，此时水面宽变为8分米，则该水槽面半径为( )A．3分米B．4分米C．5分米D．10分米8. 设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为( )A．3B．2C．4或10D．2或59. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若的值为( )QP=QO，则QCQAA．23−1B．23C．3+2D．3+210. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长度的最小值为( )A．5B．7C．23D．32二、填空题11. 如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=．12. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n∘，则∠DCE=．13. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若AB=6，CE:ED=1:9，则⊙O的半径是．14. 如图，菱形OABC的边长为2，且点A，B，C在⊙O上，则劣弧BC的长度为．15. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CE∥AB交⊙O于点D，E，CD=2，AB=8．则AD=．16. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积是．17. 如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为．18. 在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8 cm，AC=CD=BD，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．三、解答题19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．(1) 请画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘后的△A1B1C1；并写出A1，B1，C1三点的坐标．(2) 求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．20. 已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F，若AC=2，求OF的长．21. 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．(1) 求证：AD平分∠BAC．(2) 若∠BAC=60∘，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．22. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．(1) 求证：AE=ED；(2) 若AB=10，∠CBD=36∘，求AC的长．23. 如图，半圆O的直径DE=12 cm，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=12 cm，半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动的过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0 s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8 cm．(1) 当t=8(s)时，试判断点A与半圆O的位置关系；(2) 当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切．24. 如图，点A是半径为12cm的⊙O上的一点，动点P从点A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A点立即停止运动．(1) 在点P运动过程中，当∠POA=90∘时，求点P的运动时间．(2) 如图，点B是OA延长线上一点，AB=OA，当点P运动的时间为2s时，试判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．25. 已知四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，连接AC，BD．(1) 如图①，若∠CBD=36∘，求∠BAD的大小．(2) 如图②，若点E在对角线AC上，且EC=BC，∠EBD=24∘，求∠ABE的大小．答案一、选择题1. C2. B3. D4. C5. B6. D7. C8. B9. D10. B二、填空题11. 90∘12. n13. 514. 23π15. 416. 22−1−π217. 2π318. 8三、解答题19.(1) 如图，△A1B1C1为所作，A1，B1，C1三点的坐标分别为(−4,2)，(−1,1)，(−3,4)；(2) OC=32+42=5，所以C点旋转到C1点所经过的路径长=90×π×5180=52π．20. ∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90∘，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90∘，∴∠DAO+∠DOA=90∘，∠DOA+∠EOF=90∘，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，{∠DAO=∠EFO,∠DAO=∠FOE,OA=OE,∴△ADO≌△OFE(AAS)，∴OF=AD=1．21.(1) ∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB．(2) 设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60∘，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60∘，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD，即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60∘，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD=60π×22360=2π3．22.(1) ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90∘，即OC⊥AD，∴AE=ED．(2) ∵OC⊥AD，∴AC=CD，∴∠ABC=∠CBD=36∘，∴∠AOC=2∠ABC=2×36∘=72∘，∴AC=72π×5180=2π．23.(1) ∵△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=12 cm，∴AC=tan30∘BC=43，当t=8时，如图，此时OC=8，在Rt△ACO中，AC=43，∴AO=AC2+OC2=47，∵半圆O的直径DE=12 cm，47>6，∴点A在半圆外；(2) ①如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；∵∠ABC=30∘，BC=12 cm，∴FO=6 cm；当半圆O与△ABC的边AB相切时，又∵圆心O到AB的距离等于6 cm，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；此时点O运动了8 cm，所求运动时间为t=82=4(s)，②当点O运动到B点的右侧，且OB=12 cm时，如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30，则OQ=6 cm，即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32 cm．所求运动时间为：t=32÷2=16 s，综上可知当t=4 s或16 s时，AB与半圆O所在的圆相切．24.(1) 当∠POA=90∘时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的14或34，设点P运动的时间为t s，当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π⋅t=14⋅2π⋅12，解得t=3，当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π⋅t=34⋅2π⋅12，解得t=9，∴当∠POA=90∘时，点P运动的时间为3s或9s．(2) 如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切．理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA，∵半径AO=12cm，∴⊙O的周长为24πcm，∴AP的长为⊙O周长的16，∴∠POA=60∘，∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，∴OP=OA=AP，∠OAP=60∘，∵AB=OA，∴AP=AB，∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30∘，∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90∘，∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．25.(1) ∵BC=CD，∴∠BDC=∠CBD=36∘，∴∠BAC=∠BDC=36∘，∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠CAD=∠CBD=36∘，∠BAD=∠BAC+∠CAD=36∘+36∘=72∘．(2) ∠CEB=∠EAB+∠ABE（外角的应用），∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE=∠CBD+∠EBD，∴∠EAB+∠ABE=∠CBD+∠EBD，∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠EAB=∠CBD，∴∠ABE=∠EBD=24∘．。

人教版 九年级数学上册 第22章复习测试题带答案22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是22. 二次函数y ＝x 2－2x ＋4化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，下列正确的是( ) A. y ＝(x －1)2＋2 B. y ＝(x －1)2＋3 C. y ＝(x －2)2＋2 D. y ＝(x －2)2＋43. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c <b ；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或345. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到6. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )A ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3B ．y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1C ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3D ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋37. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx 的图象可能是( )8. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (b ＞a ＞0)与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a ＋b ＋cb －a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. (2019•泸州)已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤D ．12a -≤<10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二、填空题11.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．12. 如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3；③a ＋b ＋c>0；④当x>1时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法有________．(请写出所有正确说法的序号)13. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．16. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．17. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．三、解答题18. 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设抛物线与x轴的另一交点为B，在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．19. 2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？20. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．21. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．22. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．人教版九年级22.1 二次函数的图象和性质培优训练-答案一、选择题1. 【答案】B 【解析】由二次函数y ＝－(x －1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1排除C ，D ，函数开口向下，有最大值，最大值为当x ＝1时y ＝2，故排除A 选B .2. 【答案】B 【解析】将二次函数的一般式经过配方转化成顶点式，可以加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．y ＝x 2－2x ＋4＝x 2－2x ＋1＋3＝(x －1)2＋3.3. 【答案】C 【解析】∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0，故①错误；∵图象与y 轴交于x 轴上方，∴c ＞0，故②正确；当x ＝－1时，a －b ＋c <0，则a ＋c <b ，故③正确；图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故④正确．4. 【答案】A 【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a ＋b ＝2，把x ＝1代入y ＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.5. 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律，2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+， 故选项D 的说法正确， 故选C ．6. 【答案】C7. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.8. 【答案】D 【解析】 序号 逐项分析 正误① ∵b >a >0，∴对称轴－b2a <0，即对称轴在y 轴左侧√ ② ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，∴y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0即ax 2＋bx ＋c ＝－2无实数根√③ 由②得y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴当x ＝－1时，a －b ＋c ≥0 √④∵当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ≥0，∴a ＋b ＋c ≥3b －3a ，a ＋b ＋c ≥3(b －a )，∵b ＞a ，∴a ＋b ＋cb －a≥3 √9. 【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+， ∵抛物线与x 轴没有公共点，∴22(2)4(36)0a a a ∆=---+<，解得2a <， ∵抛物线的对称轴为直线22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴1a ≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<， 故选D ．10. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．二、填空题11. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】①②④【解析】由于二次函数开口向上，且与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，即①正确；又由于二次函数与x 轴交点的横坐标为－1，3.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3即②正确；当x ＝1时，二次函数上的点在第四象限，即a ＋b ＋c ＜0即③错误；由于(－1，0)，(3，0)两点关于二次函数的对称轴为轴对称，∴此二次函数的对称轴方程为：x ＝1，因为二次函数开口向上，所以当x ＞1时y 随x 的增大而增大，即④正确. 故①②④正确．13. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．14. 【答案】21(4)2y x =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．16. 【答案】0 [解析]依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.17. 【答案】x<1或x>3 【解析】∵直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜1或x ＞3.三、解答题18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－3.∴此二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点P 的坐标为(m ，n)． ∵△ABP 的面积为10， ∴12AB·|n|＝10，解得n ＝±5. 当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得m ＝－4或m ＝2，∴P(－4，5)或P(2，5)； 当n ＝－5时，m 2＋2m －3＝－5，此方程无解．故点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)．19. 【答案】解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根． 综上，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．20. 【答案】解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．(2分)如图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)， ∴CE ＝OQ ＝1. ∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ， ∴CP CD ＝CE CF .又∵CP ∶PD ＝2∶3， ∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25，∴CF ＝2.5，(4分) ∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5， ∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5， ∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)(2)∵tan ∠PDB ＝54，∴CFDF＝5 4，∴DF＝45CF＝45×2.5＝2，(6分)∵△CFD∽△CEP，∴PEDF＝CE CF，∴PE＝DF·CECF＝2×12.5＝0.8.∵P(1，c－a)，C(0，c)，∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，∴a＝0.8，(8分)∴y＝0.8x2－1.6x＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，解得c＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1.(10分)21. 【答案】【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，∴y1＝x2＋x－2；(4分)(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＝b；(6分)②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＋a＝－b；(8分)(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝－a＋a＋12＝12，m<n，∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，∵m<n，∴点Q离对称轴x＝12的距离比P离对称轴x＝12的距离大，(10分)∴|x0－12|<1－12，∴0<x0<1.(12分) 22. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ， 所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278， 所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．22.2 二次函数与一元一次方程一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32. 根据下列表格中的数值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b 为常数)根的情况是( )A.B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是( )A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－24. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s5. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是()A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥36. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是()A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜27. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝18. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的取值范围是()A.1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.239. 如图，抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－458＜m ＜－52B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－1210. 已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3 B ．－254<m<2 C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2二、填空题（本大题共7道小题）11. 飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后2 s 滑行的距离是________m.12. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的两个交点分别是A ，B (点A 在点B的左侧)．(1)点A 的坐标为__________，点B 的坐标为________； (2)利用函数图象，求得当y <5时x 的取值范围为________．13. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为____________．14. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．15. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b ＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x ＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)17. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.(1)求m，n的值；(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？19. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．20. 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．21. 利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请你再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(精确到0.1)．人教版九年级数学22.2 二次函数与一元一次方程同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选 C.2. 【答案】A【解析】当x＝2时，方程ax2＋bx＋c＝0，因此方程有一个实数根为2.当x 由－1增大到0时，ax 2＋bx ＋c 的值由－3增大到2，因此可以推断当x 在－1与0之间取某一值时，必有ax 2＋bx ＋c ＝0，说明方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有一个根在－1与0之间．3. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1.故选A.4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.7. 【答案】C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a ＋c ＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a ＋c ＝0(与3a ＋c ＝0不相符)，∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.8. 【答案】B9. 【答案】C【解析】 如图．∵抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，∴B (5，0)，A (9，0)．∴抛物线C 1向左平移4个单位长度得到C 2，∴平移后抛物线的解析式为y ＝12(x －3)2－2.当直线y ＝12x ＋m 过点B 时，有2个交点， ∴0＝52＋m ，解得m ＝－52；当直线y ＝12x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点时，令12x ＋m ＝12(x －3)2－2，∴x 2－7x ＋5－2m ＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m ＝0，∴m ＝－298，此时直线的解析式为y ＝12x －298，它与x 轴的交点为(294，0)，在点A 左侧，∴此时直线与C 1，C 2有2个交点，如图所示．∴当直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点时，－298＜m ＜－52.10. 【答案】D【解析】 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)．将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)，即y ＝x 2－x －6(－2≤x ≤3)．当直线y ＝－x ＋m 经过点A (－2，0)时，2＋m ＝0，解得m ＝－2；当直线y ＝－x ＋m 与抛物线y ＝x 2－x －6有唯一公共点时，方程x 2－x －6＝－x ＋m 有两个相等的实数根，解得m ＝－6.所以当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为－6＜m ＜－2.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】6 【解析】 当y 取得最大值时，飞机停下来， 则y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，此时t ＝20，飞机着陆后滑行600米停下来， 因此t 的取值范围是0≤t ≤20. 当t ＝18时，y ＝594， 所以600－594＝6(米)． 故答案是：6.12. 【答案】(1)(－3，0)(1，0) (2)－4<x <2【解析】(1)当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．(2)当y＝5时，x2＋2x－3＝5，x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.由函数图象可得，当－4<x<2时，y<5.13. 【答案】k＞－1且k≠014. 【答案】15[解析] 当x＝0时，y＝－5，∴点A的坐标为(0，－5)；当y＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，不妨设点B在点C的左侧，∴点B的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(5，0)，则BC＝6，∴△ABC的面积为12×6×5＝15.15. 【答案】x1＝－2，x2＝1[解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.16. 【答案】②③④[解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．17. 【答案】4[解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是直线x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝9－3m ＋n ，－m 2＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－2. (2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －2.∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．19. 【答案】解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个公共点，∴Δ＝b 2－4ac ＝22＋4m ＞0，∴m ＞－1.(2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m ，∴m ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.令x ＝0，则y ＝3，∴B(0，3)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2，∴P(1，2)．(3)根据函数图象可知：使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞3.20. 【答案】解：(1)m ＝0.(2分)(2)如解图所示：(4分)(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0(y轴)．(6分)③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大．④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)(4)①3，3；②2; ③－1＜a＜0.(10分)【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，∴方程x2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；②把抛物线y＝x2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y＝x2－2||x－2，则抛物线y＝x2－2|x|－2与x轴只有2个交点，∴方程x2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；③把抛物线y＝x2－2|x|向上平移0＜h＜1时，抛物线与x轴有4个交点，∴抛物线解析式y＝x2－2|x|－a中，0＜－a＜1，∴－1＜a＜0.21. 【答案】解：(1)答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．(2)在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，∴方程的解为x≈1.5.22.3【实际问题与二次函数】一．选择题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣6（t﹣2）2+7，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．7米2．正方形的边长为3，如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是（）A．y＝3x B．y＝（3+x）2C．y＝9+6x D．y＝x2+6x3．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（）A．当x＝﹣2时，y的最大值是﹣3B．当x＝2时，y的最小值是﹣3C．当x＝2时，y的最大值是﹣3D．当x＝﹣2时，y的最小值是﹣34．一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y 与x的函数关系式为（）A．y＝50（1﹣x）2B．y＝50（1﹣2x）C．y＝50﹣x2D．y＝50（1+x）2 5．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2B．最小值﹣3C．最大值2D．最大值﹣36．若抛物线y＝x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值，则a，b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定8．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值最大值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对9．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，则a、b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定10．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 二．填空题11．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为．12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．13．如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．14．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．三．解答题16．龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？17．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？18．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？19．用长12m的一根铁丝围成长方形．（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？20．生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x （吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲＝﹣x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙＝﹣x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？参考答案一．选择题1．解：∵h＝﹣6（t﹣2）2+7，∴a＝﹣6＜0，∴抛物线的开口向下，函数由最大值，∴t＝2时，h最大＝7．故选：D．2．解：∵新正方形的边长为x+3，原正方形的边长为3，∴新正方形的面积为（x+3）2，原正方形的面积为9，∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x，故选：D．3．解：对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，由于﹣1＜0，所以，当x＝2时，y取得最大值，最大值为﹣3，故选：C．4．解：二年后的价格是为：50×（1﹣x）×（1﹣x）＝50（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝50（1﹣x）2．故选：A．5．解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值是﹣3．故选：D．6．解：∵y＝x2﹣2x+m，∴＝＝n，即m﹣1＝n，∴m﹣n＝1．故选：C．7．解：∵y＝a（x﹣1）2+b有最大值，∴抛物线开口向下a＜0，b＝，∴a＜b．故选：B．8．解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max＝f（3）＝2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，∴a＜0，b＝2，则a、b的大小比较为：a＜b．故选：B．10．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．二．填空题11．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，∴y＝﹣x2+3x+5，∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴y﹣x的最大值为6，故答案为6．12．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．13．解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，由题意可知：y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，∵墙长为15m，∴16﹣2x≤15，∴0.5≤x＜8，∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；故答案为：32m2．14．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．15．解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．三．解答题16．解：设每箱龙眼应涨价x元，总利润为y，根据题意可得：y＝（10+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+30x+500＝﹣2（x﹣）2+612.5，答：每箱龙眼应涨价元才能获利最高．17．解：（1）∵y＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9∴对称轴是：直线x＝13即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；（2）当x＝10时，y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．18．解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）设每月销售水果的利润为w，则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500＝﹣5x2+100x+1420＝﹣5（x﹣10）2+1920，当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．19．解：设长方形的宽为xm，则长为（12﹣2x）m，即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3，（1）根据题意，得x（6﹣x）＝5，即x2﹣6x+5＝0，x1＝5，x2＝1（舍去），∴此时长方形较长的边为5m．（2）当面积为10m2时，x（6﹣x）＝10，即x2﹣6x+10＝0，此时b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，故此方程无实数根．所以这样的长方形不存在．（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）＝k．即x2﹣6x+k＝0，要使该方程有解，必须（﹣6）2﹣4k≥0，即k≤9，∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6﹣x＝3m，这时所围成的图形是正方形．20．解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣x+14）•x＝（﹣x2+14x）万元；w＝（﹣x2+14x）﹣（x2+5x+90）＝﹣x2+9x﹣90．甲＝﹣×202+9×20﹣90＝30，当x＝20时，w甲所以在甲地生成并销售20吨时利润为30万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润：w＝﹣x2+15x﹣（x2+5x+90）乙＝﹣x2+10x﹣90＝﹣（x﹣25）2+35．∴当x＝25时，w有最大值35万元，乙∴在乙地当年的最大年利润应为35万元．。

2023-2024学年第一学期九年级数学上册第21章【一元二次方程】复习测试卷第二十一章一元二次方程一、选择题1．已知一元二次方程2−B=0的一个根是1，则b的值是（）A．3B．2C．1D．02．九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（）A．o−1)=1560B．o+1)=1560C．2o+1)=1560D．2o−1)=15603．把方程2−4−5=0化成(+p2=的形式，则、的值分别是（）A．2，9B．2，7C．-2，9D．-2，7 4．若关于x的一元二次方程(−2)2+2−1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．≤1B．≤1且≠2C．≥1且≠2D．≥25．方程(−3)(+2)=0的根是（）A．1=3，2=2B．1=3，2=−2C．1=−3，2=−2D．1=−3，2=26．已知、是方程2−2−2022=0的两个实数根，则2−4−2−2的值是（）A．2016B．2018C．2022D．2024 7．已知1，2是一元二次方程2+(2+1)+2−1=0的两不相等的实数根，且12+22+12−17=0，则的值是（）A．53或-3B．-3C．53D．−538．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（）A．6B．5C．4D．3二、填空题9．一元二次方程22+3−1=0的根的判别式的值为．10．关于的一元二次方程2−23=0的根为11．关于的一元二次方程2−4+=0有实数根，则的取值范围为.12．若m是方程2+−2022=1的一个根，则代数式o+1)的值等于.13．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有名同学．三、解答题14．解方程（1）(2−1)2=(2−3p2（2）22−−3=015．已知1、2是一元二次方程2−3−2=0的两个根，求212−1−2的值. 16．已知关于x的方程2−2+−2=0有两个实数根1，2，求的取值范围.17．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？18．滨江某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：（1）若某单位员工正好有25人，应支付给旅行社旅游费用多少元？（2）某单位组织员工去凤凰古城旅游，共支付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去凤凰古城旅游？1．C2．A3．C4．C5．B6．A7．C8．C9．1710．1=0，2=2311．k≤412．202313．1414．（1）解：(2−1)2=(2−3p2，∴(2−1)2−(2−3p2=0，∴(2−1+2−3p(2−1−2+3p=0，即(1−p(5−3)=0，∴1−=0或5−3=0，解得：1=1，2=35（2）解：22−−3=0，∴(2−3)(+1)=0，∴2−3=0或+1=0，解得：1=32，2=−115．解：∵是一元二次方程2−3−2=0的两个根，∴1+2=3，12=−2，∴212−1−2=212−(1+2)=2×(−2)−3=−7. 16．解：∵关于的方程2−2+−2=0有两个实数根1、2，∴△=(−2)2−4(−2)=12−4≥0，故的取值范围是≤3.17．（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%（2）解：36300（1＋10%）＝39930（个）.答：预计4月份平均日产量为39930个.18．（1）解：1000×25＝25000（元）．答：应支付给旅行社旅游费用25000元．（2）解：设该单位这次共有x 名员工去凤凰古城旅游，27000÷1000＝27＞25，27000÷700＝3847不为整数，25+1000−70020＝40，∴25<≤40，依题意，得：[1000﹣20（x﹣25）]x＝27000，整理，得：x 2﹣75x+1350＝0，解得：x 1＝30，x 2＝45（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去凤凰古城旅游．。

2023-2024学年第一学期九年级数学上册第24章【圆】复习测试卷一、选择题：1．一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的是（）A．①B．②C．③D．④2．如图，⊙O 的半径长为10cm，弦AB＝16cm，则圆心O 到弦AB 的距离为（）A．4cm B．5cm C．6cmD．7cm 3．如图所示，已知四边形ABDC 是圆内接四边形，∠1=112°，则∠CDE=（）A．56°B．68°C．66°D．58°4．如图，AB 与⊙O 相切于点A，BO 与⊙O 相交于点C，点D 是优弧AC 上一点，∠CDA=27°，则∠B 的大小是（）A．27°B．34°C．36°D．54°5．如图，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，，，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若 6.5DE DF ABC += ，的周长为21，则EF 的长为（）A．8B．4C．3.5D．36．如图，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆，切点依次是E、F、G、H，下列结论一定正确的有（）个①AF=BG ②CG=CH ③AB+CD=AD+BC ④BG＜CG．A．1B．2C．3D．47．一个长为4cm，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板左上角一点A 位置的变化为A→A 1→A 2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A 滚到A 2位置时共走过的路径长为（）A．7π2cm B．23π6cm C．4π3cm D．5π2cm 8．如图，O 是ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E，AE DE =，BC CE =，过点O 作OF AC ⊥于点F，延长FO 交BE 于点G，若3DE =，2EG =，则AB 的长为（）A．43B．7C．8D．459．如图，AB 是O 的直径，弦CD 与AB 垂直，垂足为点E，连接OC 并延长交O 于点F ，30CDB ∠=︒，3CD =，则图中阴影部分的面积为（）A．π332-B．2π33C．4π33-D．2π23-二、填空题：10．已知正六边形的边心距为32，则这个正六边形的周长为．11．点P 到O 上一点A 的距离PA 的最大值是18cm ，PA 的最小值为8cm ，则O的半径为．12．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，从A 到B 只有路AB ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB .通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：1.732π≈，取3.142）13．如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 2E AC BD=，．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．14．如图，Rt ABC 中，60C ∠=︒，斜边4BC =，以边AB 为直径在ABC 另一侧作半圆，点P 为半圆上一点，将半圆沿AP 所在直线翻折，翻折后的AP 与BC 边相切于点D ，与AB 边相交于点E ，则BE 的长为．15．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于．三、解答题：16．如图，在⊙O 中，弦AB、CD 的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP．17．如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 点在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．18．已知O 的直径为10，四边形ABDC 内接于O ，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若BC 为O 的直径，求BD 的长；（2）如图2，若120BDC ∠=︒，求BD 的长．19．如图，已知AC 是⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，D 为 BC的中点，过D 作EF∥BC 交AB 的延长线于点E，交AC 的延长线于点F．（Ⅰ）求证：EF 为⊙O 的切线；（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求 BC 的长．20．如图，等边三角形ABC 内接于O ，D 是 BC上一动点，连接AD ，BD ，CD ，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE .（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）填空：①若1BD =，2CD =，则AD 的长为；②当BAD ∠的度数为时，四边形OBDC 为菱形.参考答案：1．C 2．C 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．B 10．611．5cm 或13cm12．1513．6614．3-15．5π16．证明：∵DA＝DP，∴∠P＝∠A．又∵∠C＝∠A，∴∠P＝∠C．∴BC＝BP．17．解：设AF=x，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=90°，∴DA⊥AB，∴AD 是圆的切线，∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点，∴EF=AF=x，∴FD=1﹣x，∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x．∴在Rt△CDF 中由勾股定理得到：CF 2=CD 2+DF 2，即（1+x）2=1+（1﹣x）2，解得x=14，∴DF=1﹣x=34，∴S △CDF =12×1×34=38．18．（1）解：∵AD 平分CAB ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∴ CD BD =，∴CD BD =，∵BC 为O 的直径，O 的直径为10，∴1090BC BDC ∠==︒，，∴BDC 为等腰直角三角形，∴2BD BC ==；（2）解：如图所示，连接OB OD ，，∵四边形ABDC 内接于O ，120BDC ∠=︒，∴18060BAC BDC ∠=︒-∠=︒，∵AD 平分CAB ∠，∴1302CAD BAD BAC ∠=∠=∠=︒，∴260BOD BAD ∠=∠=︒，又∵OB OD =，∴BOD 是等边三角形，∴11052BD OB ==⨯=．19．解：（1）连接OD，OB，∵D 为BC 的中点，∴∠BOD＝∠COD，∵OB＝OC，∴OD⊥BC，∴∠OGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠ODF＝∠OGC＝90°，即OD⊥EF，∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）∵四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，又∵∠BDC＝2∠A，∴∠A＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB 等边三角形，∵OB＝AB＝2，又∵∠BOC＝2∠A＝120°，∴EC＝12024=1803ππ⨯⨯20．（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠CBD 与∠CAD 是 CD 所对的圆周角，∴∠CBD=∠CAD，同理可得：∠ABC=∠ADC=60°，∵∠ACE=∠CAD+∠ADC，∴∠ACE=∠ABC+∠CBD=∠ABD，在△ABD 和△ACE 中，AB ACABD ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴△ADE 是等边三角形（2）8；30°①∵BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，∴DE=3，∵△ADE 是等边三角形，∴AD=DE=3.故答案为：3；②如图，连接OB、OC，∵∠BAC 和∠BOC 分别是 BC 所对的圆周角和圆心角，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∵四边形OBDC 为菱形，∵∠BAD和∠BCD都是 BD所对的圆周角，∴∠BAD=∠BCD=30°，的度数为30°时，四边形OBDC为菱形.∴当BAD故答案为：30°。

A第I 卷（选择题 共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长为32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42．在⊙O 中, AB ︵＝2CD ︵, 则弦AB 与弦CD 的关系是（ ）A. AB=2CDB. AB>2CDC. CD<AB<2CDD. 不确定3．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙O 与x 轴相切于点B ，与y 点，则点A 的坐标是（ ）A. (23,25) B .( 23,2) C.(2，25) D.( 25,23)4．下列四个命题中正确的是（ ）①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线A.①②B.②③C.③④D.①④5．半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为（ ）A.4－πB.8－πC. 24π- D .4－2π6．圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )A.180°B.200°C.225°D.216°7．△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，弧为CD ︵、DE ︵、EF ︵， 圆心依次按A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π8．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC,BC 交⊙O 于点D,AC 交⊙O 于点E,O 1O2A B CDE F∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°，②BD=CD,③AE=2EC ，④∠AOE=2∠DOE,⑤AE=BC. 其中正确结论的序号是（ ）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ① ② ⑤D.① ② ③ ④9．AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,则tan ∠BPD 等于( )B.34C.43D.5310． 如图,正△ABC 内接于⊙O,P 是劣弧BC 上任意一点，PA 与BC 交于点E ，有如下结论：① PA =PB +PC ，②111PA PB PC=+;③ PA ·PE =PB ·PC .其中，正确结论的个数为（ ）。

2023-2024学年九年级数学上册第4章单元复习检测卷《图形的相似》（满分100分）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中1a =，3b =，4c =，则线段d 的长是（）A．14B．2C．8D．122．如图，DE ∥BC ，且EC ：2BD =：3，6AD =，则AE 的长为（）A．1B．2C．3D．43.如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A．3米B．4米C．5米D．6米4．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论中正确的是（）A．AB 2＝AC 2+BC 2B．BC 2＝AC •BAC．BCAC =D．AC BC =5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C 和D 的坐标分别为（）A．(2，2)，(3，2)B．(2，4)，(3，1)C．(2，2)，(3，1)D．(3，1)，(2，2)6.如图，小明在A 时测得某树的影长为8m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）A．2m B．4m C．6m D．8m7.如图，在ABC 中，78,6,9A AB AC ∠=︒==．将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．现有一张Rt△ABC 纸片，直角边BC 长为12cm，另一直角边AB 长为24cm．现沿BC 边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张9．如图，在直角三角形ABC 中（∠C =90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（）A．5B．6C．7D．1210.如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边BC 上，BE=EC，将△DCE 沿DE 对折至△DFE，延长EF 交边AB 于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S △BEF =725.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）11．若23y x =，则x yx +=．12．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，这时CD ＝2，则AB ＝．13.如图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《物理学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）9米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.8米，则树（AB ）的高度为米．14.复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A 3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A 4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A 3纸与A 4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为．15.如图，在ABC 中，120BC =，高60AD =，正方形EFGH 一边在BC 上，点,E F 分别在,AB AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为__________16.如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF 的周长是cm．三、解答题（本大题共有10个小题，共86分）17．若235abc==，且322a b c -=＋，求a b c -＋的值是多少？18.如图，BD 、AC 相交于点P ，连接BC 、AD ，且∠1＝∠2，若PB ＝3，PC ＝1，PD ＝2，求PA 的长度．19．如图，在△ABC 中，点P 在AB 边上，∠ABC ＝∠ACP ．若AP ＝4，AB ＝9，求AC 的长．20.如图，ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为()3,0A ，()4,2B ，()2,4C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1）．(1)以点O 为位似中心，在第一象限画出ABC 的位似图形111A B C △，使111A B C △与ABC 的位似比为2:1；(2)求111A B C △的面积．21．如图，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点O ，若OA ＝2，OD ＝4，AB ＝3．（1）求证：△AOB ∽△DOC ；（2）求CD 的长度．22．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE =60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB=3，EC=23，求DC的长．23.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．24.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝2：1，则这个矩形的长、宽各是多少？25．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．26．（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90︒角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．第四章《图形的相似》单元复习与检测答案1．D2．D3.D4．C5.C6.B7.A8.C9．C10.C 11．5312.613.614.2215.2016.8三、解答题（本大题共有10个小题，共86分）17．解：设0235abck k ===≠（），则235a k b k c k＝，＝，＝∵322a b c -=＋∴233252k k k ⨯-⨯=＋，解得：k ＝2，∴4610a b c ＝，＝，＝，∴46108a b c -+-+＝＝．18.解:∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB，∴△ADP ∽△BCP，∴PA PDPB PC =，∵PB ＝3，PC ＝1，PD ＝2．∴PA ＝6．19．解：∵∠ABC ＝∠ACP ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACP ，∴ACABAP AC =，即94AC AC =，∴AC ＝6（负值舍去）．20.解：（1）如图，111A B C △即为所求；（2）111A B C 的面积1114828244412222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．21．解：（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，∴△AOB ∽△DOC ；（2）∵△AOB ∽△DOC ，∴OAABOD CD =，∵OA ＝2，OD ＝4，AB ＝3，∴234CD =，解得：CD ＝6．22．解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，AB =AC ，∵∠B +∠BAD =∠ADE +∠CDE ，∠B =∠ADE =60°，∴∠BAD =∠CDE∴△ABD ∽△DCE ；（2）解：由（1）证得△ABD ∽△DCE ，∴BD CE AB DC=，设CD=x，则BD=3﹣x，∴33x-=23x∴x=1或x=2，∴DC=1或DC=2．23.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM=13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=12AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴BM AM AF AE=，即513 6.5AE=，∴AE=16.9，∴DE=AE－AD=4.9．24.解：（1）证明：∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，（2）设边PQ为x mm，则PN为2x mm，∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵AD是高，∴PN∥AD，∴△PBN∽△ABD，∴PN BPAD AB=、PQ APBC AB=，即280x BPAB=，120x APAB=，∵AP+BP＝AB，∴280120x x BP APAB AB+=+＝1，解得x＝30，2x＝60．即长为60mm，宽为30mm．答：矩形的长为60mm，宽是30mm．25．（1）证明：∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB．∴AD AC AC AB=即AC2=AB•AD．（2）证明：∵E为AB的中点∴CE=12AB=AE∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB∴∠DAC=∠ECA∴CE∥AD．（3）解：∵CE∥AD ∴△AFD∽△CFE∴AD AF CE CF=．∵CE=12 AB∴CE=12×6=3．∵AD=4∴4AF 3CF =∴AC 7AF 4=．26．解：（1）证明：如图1，90DPC ∠=︒90BPC APD ∴∠+∠=︒，90A ∠=︒ ，90ADP APD ∴∠+∠=︒APD BPC ∴∠=∠，又90A B ∠=∠=︒ADP BPC ∴∽△△，::AD BP AP BC∴=AD BC AP BP ∴⋅=⋅；（2）结论AD BC AP BP ⋅=⋅仍成立；理由：如图2，BPD DPC BPC ∠=∠+∠ ，又BPD A APD ∠=∠+∠ ，DPC BPC A APD ∴∠+∠=∠+∠，DPC A α∠=∠= ，BPC APD ∴∠=∠，又A B α∠=∠= ，ADP BPC ∴∽△△，::AD BP AP BC∴=AD BC AP BP ∴⋅=⋅；（3）45EFD ∠=︒ ,45B ADE ∴∠=∠=︒,BAD EDF ∴∠=∠,ABD DFE∴ ∽::AB DF AD DE∴=Rt ADE △是等腰直角三角形:AD DE ∴=:AB DF ∴=AB =4DF ∴=Rt ADE △是等腰直角三角形45AED ∴∠=︒45EFD ∠=︒18045135DEC EFC ∴∠=∠=︒-︒=︒又C C∠=∠ DEC EFC∴ ∽::DC EC EC CF ∴=即2(4)EC FC FC =⋅+EC = ∴54()FC FC =+1FC ∴=解得5CD =．。

2023-2024学年第一学期九年级数学上册第3章【概率的进一步认识】复习测试卷一．选择题1．某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（）种．A．8B．9C．10D．122．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，当三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆汽车向左转的概率是（）A．B．C．D．3．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）A．B．C．D．4．现有4根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能够组成三角形的概率是（）A．B．C．D．5．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A．B．C．D．6．从﹣4，﹣1，2，3四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的方程ax2+4x+c＝0有两个不相等的实数根的概率是（）A．B．C．D．7．从1，2，3三个数中取出一个数作为点P的横坐标，从4，5，6，7四个数中取出一个数作为点P的纵坐标，则点P落在直线y＝﹣x+6上的概率是（）A．B．C．D．8．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是（）A．B．C．D．9．将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c＝0有实数解的概率为（）A．B．C．D．10．在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共36个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．9C．15D．2411．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率二．填空题12．如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是．13．如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为．14．将如图所示的两个转盘（A转盘被分成三等份，B转盘被分成四等份）各转动一次，当转盘停止后，指针所在区域（指针指向区域分界线时，需重新转动转盘）的数字之和为偶数概率是．15．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明捕捞了100尾鱼，发现鲫鱼有35尾，估计水库里有尾鲫鱼．16．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有条鱼．三．解答题17．三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球．（1）用列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？（2）由（1）进一步探索：经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？18．某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级平均数众数中位数优秀率大一a b43m大二39.544c n请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a＝，b＝，c＝，m＝，n；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．19．如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．20．“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：接种地点疫苗种类医院A新冠病毒灭活疫苗B重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）社区卫生服务中心C新冠病毒灭活疫苗D重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．21．现有分别标有1，2，3，4的四张扑克：（1）同时从中任取两张，猜测两数和为奇数的机会；（2）先从中任取一张，放回后搅匀再取一张，猜测两数和为奇数的机会．小明说（1）（2）中和为奇数的机会均等；小刚说（1）（2）中和为奇数的机会不均等，你认为他们俩谁的判断正确？请用画树状图或列表的方法说理．22．小杰和小明玩扑克牌游戏，各出一张牌比输赢．游戏的规则是：谁的牌数字大谁赢，同样大就平：A 遇2就输，遇其他牌（除A外）都赢．目前小杰手中A、K、J，小明手中有2、Q、J．（1）求出小明抽到的牌恰好是“2”的概率；（2）小杰、小明两人谁获胜的机会大？画出树状图，通过计算说明理由．23．将5个完全相同的小球分别装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2、3、4；乙袋中有2个球，分别标有2、4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．24．在一个不透明的箱子中装有2个红球、n个白球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）若每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么估计箱子里白球的个数n为；（2）如果箱子里白球的个数n为1，小亮随机从箱子里摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，请用画树状图或列表法求两次均摸到红球的概率．25．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000…摸到白球的次数m5896116295484601…摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601…（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？26．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．（1）请你估计箱子里白色小球的个数；（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．参考答案一．选择题1．解：设4个班级分别为A、B、C、D，相对应的4个老师分别为a，b，c，d．由图中可以看出，共有9种情况．故选：B．2．解：根据题意画图如下：一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种，则至少有两辆车向左转的概率为：．故选：D．3．解：画树状图如图：，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，故选：C．4．解：从中任取三根木棒所有可能的情况为（4、6、8），（4、6、10），（6、8、10），（4、8、10）4种情况，其中（4、6、8），（6、8、10），（4、8、10）这3种能构成三角形，所以能够构成三角形的概率是，故选：C．5．解：根据题意画图如下：∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P＝＝．故选：C．6．解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，关于x的方程ax2+4x+c＝0有两个不相等的实数根（16﹣4ac＞0，即ac＜4）的结果有8个，∴关于x的方程ax2+4x+c＝0有两个不相等的实数根的概率为＝，故选：D．7．解：根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中点P落在直线y＝﹣x+6上的有2种，则点P落在直线y＝﹣x+6上的概率是＝．故选：D．8．解：画树状图得：∵x2+px+q＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0，∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的有（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1）共3种情况，∴满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是：＝．故选：A．9．解：列表得：∴一共有36种情况，∵b＝﹣6，当b2﹣4ac≥0时，有实根，即36﹣4ac≥0有实根，∴ac≤9，∴方程有实数根的有17种情况，∴方程有实数根的概率＝，故选：D．10．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：＝0.25，解得x＝9，∴袋子中红球的个数最有可能是9个，故选：B．11．解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项符合题意；D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率，故此选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下：甲乙、甲丙、乙丙，∵a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，∴能拼成一个正方形的概率为，故答案为：．13．解：设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，∴能够让灯泡发光的概率为：＝，故答案为：．14．解：根据题意画图如下：共有12个等可能的结果，指针所在区域（指针指向区域分界线时，需重新转动转盘）的数字之和为3的倍数偶数的结果有6个，则指针所在区域（指针指向区域分界线时，需重新转动转盘）的数字之和为偶数的概率为＝．故答案为：．15．解：由题意可得，2000×＝700（尾），即估计水库里有700尾鲫鱼，故答案为：700．16．解：∵100条鱼，带记号的鱼有10条，∴估计鱼塘中带记号的鱼的概率＝＝，而鱼塘中带记号的鱼有100条，∴估计该鱼塘里约有鱼的条数＝100÷＝1000．故答案为1000．三．解答题17．解：（1）画树状图得：∵共有8种等可能的结果，经过3次传球后，球仍回到甲手中的有2种情况，∴经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是：＝；（2）画树状图得：则经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有6种．18．解：（1）将一年级20名同学成绩整理如下表：成绩25303739434950人数1242542∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，故答案为：41.1，43，42.5，55%，＝65%；从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，因此估计二年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好．（2）∵样本合格率为：＝92.5%，∴估计总体的合格率大约为92.5%，∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：1240×92.5%＝1147（人），∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过1000人；（3）一年级满分有2人，记为A，B，二年级满分有3人，记为C，D，E，画树状图如图：共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，∴两人在同一年级的概率为＝．19．解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为．20．解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝；（2）画树状图如图：共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．21．解：小刚的判断正确．（1）列表如下：第一张第二张12341（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）由上表可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两数和为奇数的结果有8种．∴P（和为奇数）＝；（2）列表如下：第一次第二次12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）由上表可知，其16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两数和为奇数的结果共有8种．∴P（和为奇数）＝，∵，∴小刚的判断正确．22．解：（1）小明抽到的牌恰好是“2”的概率＝；（2）他们获胜的机会一样大．理由如下：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中小杰获胜的结果数为4，小明获胜的结果数为4，所以小杰获胜的概率＝；小明获胜的概率＝，而＝，所以小杰、小明两人获胜的机会一样大．23．解：画图如下：共有6种等可能的结果数，其中摸出的两个球上数字之和为5的有1种，则摸出的两个球上数字之和为5的概率为．故答案为：．24．解：（1）根据题意知，＝0.25，解得：n＝5，经检验n＝5是分式方程的解，即估计箱子里白球的个数n为5，故答案为：5；（2）列表得红1红2白黄红1（红2，红1）（白，红1）（黄，红1）红2（红1，红2）（白，红2）（黄，红2）白（红1，白）（红2，白）（黄，白）黄（红1，黄）（红2，黄）（白，黄）摸球的结果共有12种等可能结果，其中两次均摸到红球的有2种结果，∴P（两次均摸到红球）＝＝．25．答：（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；（2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；所以摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是0.4；（3）因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是30×0.6＝18个，黑球是30×0.4＝12个；故答案为：（1）0.60；（2）0.6，0.4；26．解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，∴估计摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，根据题意，得：＝0.75，解得x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，∴估计箱子里白色小球的个数为1；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．。

九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．38．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．129．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=．12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=度．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．14．若tanα=5，则=．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为m．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为米．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos25422．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵cosA=，∴设AC=7x，AB=25x，则BC=24x，则tanB=．故选：C．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义可得cosB=，然后根据题目所给3a=4b 可求解．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 对边，如果3a=4b，令b=3x，则a=4x，所以c=5x，所以cosB=故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握cosB=，3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cos B B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA=，tanB=，cosB=，stnB=；因而b=c•sinB=a•tanB，a=b•tanA，错误的是b=c•cosB．故选：A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】坡度=坡角的正切值，依此求出坡角的度数．【解答】解：设坡角为α，由题意知：tanα==，∴∠α=30°．即斜坡的坡角为30°．故选：B．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵∠A为锐角，cosA=，∴∠A=60°．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，BC=8，∴在Rt△ABC中，sinA===，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：sinA===，∴tanA==，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．12【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵tanA=，∴sinA=，∴=，∴AB=10，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，∴BC=AB•cos∠B=5cos25°．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，牢记直角三角形中边角之间的关系是解题的关键．10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x，结合BC=10（1+）即可求出x的值，进而即可得出A和C之间的距离．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x．∵BC=BD+CD=（+1）x=10（1+），∴x=10，∴AC=10．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解一元一次方程求出AD的长度是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=45°．【分析】根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答．【解答】解：∵sinα=cos（90°﹣α），∴α=90°﹣α，解得，α=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=65度．【分析】依据α是锐角，且cotα=tan25°，即可得出α=65°．【解答】解：∵α是锐角，且cotα=tan25°，∴α=65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【分析】由斜坡的坡度i=1：=，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得．【解答】解：∵斜坡的坡度i=1：=，∴坡角α=60°，∴斜坡的正弦值sinα=，∴小明上升的高度是100×sinα=50（米）．故答案为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．14．若tanα=5，则=．【分析】根据同角的三角函数的关系即可求出答案．【解答】解：原式=∵tanα=5，∴原式=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题的关键熟练运用同角三角函数的关系，本题属于基础题型．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为2m．【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，可求出坡面的铅直高度，此题得解．【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，∴AC=6m，∴BC=×6=2m．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，牢记坡度的定义是解题的关键．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为150米．【分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解．【解答】解：∵坡度tanα==1：=，∴α=30°．∴上升的垂直高度=坡长×sin30°=300×=150（米）．故答案为150．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．掌握坡度、坡角的定义是解答本题的关键．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）【分析】判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．【解答】解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D．由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．设AD=x海里．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD=AD=x海里．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CD=AD=x海里．∵BD+DC=30，∴x+x=30，解得x=15（﹣1），17（﹣1）≈10.5＞8，即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）【分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG=EF﹣GE=100，构造关系式求解．【解答】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF=90°．设CE=x米，∵在Rt△CEF中，tan∠CFE=，∴EF===x，∵在Rt△CEG中，tan∠CGE=，∴GE===x．∵FG=EF﹣GE=100，∴x﹣x=100，解得x=50．∴CD=CE+ED=50+1.5（米）．答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，此类题目要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC，再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长，然后求出AB的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A==，∴AC=12，∴AB===6，∴sin∠B===．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用BC表示出AC是解题的关键．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【解答】解：原式=﹣（﹣）=﹣==【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）原式=（）2﹣×+1=﹣+1=，（2）原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）=1+1=2【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．22．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）【分析】（1）作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=15°，∠BCH=22°，然后计算它们的和即可得到∠BCD的度数；（2）利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan15°=8.04，在Rt△BCH 中计算出BH=30tan22°=12.12，然后计算BH+DH即可得到教工宿舍楼的高BD．【解答】解：（1）作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；（2）易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，在Rt△DCH中，tan∠DCH=，∴DH=30tan15°=30×0.268=8.04，在Rt△BCH中，tan∠BCH=，∴BH=30tan22°=30×0.404=12.12，∴BD=12.12+8.04=20.16≈20.1（m）．答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．计算：sin45°+cos45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=+=．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．【分析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4，在Rt△ABC中求得AB=4，再根据三角函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD=3、BD=5，∴BC===4，又AC=AD+CD=8，∴AB===4，则sinA===，cosA===，tanA===．【点评】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．【分析】（1）根据正弦函数的定义解答；（2）设AC=x，则BC=x，利用方程解答；（3）由锐角三角函数定义求得AB=4，然后由勾股定理解答．【解答】解：（1）sinA=；（2）在Rt△ABC中，∠A=45°，设AC=x，则BC=x，AB=，则sinB=；（3）sinB=，则AB=4，由勾股定理得：BC2=AB2﹣AC2=16﹣12=4，∴BC=2．【点评】考查了锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）【分析】（1）作CH⊥AB于H，如图，利用坡度的定义得到tan∠CAH===，然后根据特殊角的三角函数值求出∠CAH即；（2）另一条坡度定义得到tan∠CBH==，所以BH=CH=6，再利用=得到AH=6，接着计算出AB≈4.392，然后根据3+4.392＞7可判断文化墙需要拆除．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH===，∴∠CAH=30°，即新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH==，∴BH=CH=6，∵=，∴AH=CH=6≈10.392，∴AB=AH﹣BH=6﹣6=4.392，∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．【分析】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．【解答】解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=，故答案为：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°==∴BC=AB×=4×=∵∠B=90﹣∠A∴∠B=15°∵sin∠B=sin15°==∴AC=AB×=【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．。

人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。