八年级数学下册教学课件-16.3 可化为一元一次方程的分式方程4-华东师大版

公式：船在顺水中的速度＝船在静水中的速度+水流速度 船在逆水中的速度＝船在静水中的速度－水流速度
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根 据题意，得 80 60 x 3 x3
这个方程有何特点？如何解？
二、分式方程的概念
方程中含有分式，并且分母中含有未知数， 像这样的方程叫做分式方程.
80 60 x 3 x3
2( x 1) 3( x 1) 6
解这个整式方程得
x1
x=1究竟是不是原方程的根 把x=1代入原方程检验 x=1使某些分式的分母的值为零
?
6 3 也就是使分式 和 没有意义 2 x 1 x 1
∴ x=1不是原方程的根，原分式方程无解。
增根
⑴在原方程变形时，有时可能产生不适合原方
•分式方程的主要特征：
（1）含有分式 （2）分母中含有未知数
练习:
1.判断下列哪些是分式方程？(考查定义)
1 (1) 2x 4 x x -1 1 （3） 2 5 6 2 x 1 1 (5) x 1 2
√
x 1 （2） 2 5 1 1 （4） x 1 x 1
√
80 60 x3 x 3
解
2( x 1) 3(
检验 x=21是原方程的根
x1
检验 x=1不是原方程的根
解 分 式 方 程 的 一 般 步 骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母， 约去分母，化成整式方程 ；
2、解这个整式方程 ；
3、把整式方程的根代入最简公分母，看结 果是不是零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。
程的根，这种根叫做原方程的增根。
⑵增根是如何产生的？
x 3 2 x 3 x 3

x x－4
x＋2 x－6
解：方程两边都乘以(x－4)(x－6)，
得x ( x－6)= ( x+2) ( x－4)，解得x=2.
当x=2 时， ( x－4) ( x－6)≠ 0.
∴原分式方程的解为x=2.
知2－练
感悟新知
(2)
2－x x－3
1 3－x
－2
知2－练
解：方程两边都乘以(x－3)， 得2－x=－1－2(x－3)， 解得x=3. 当x=3时，x－3=0， ∴ x=3 不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解.
∴原分式方程的解为 x＝－32.
感悟新知
(2)
2 3
＋
3x
x －
1=
9x
1 －
3.
知2－练
解：方程两边都乘以 3(3x－1)，
得 2(3x－1)＋3x＝1.解得 x＝13.
当 x＝13时，3(3x－1)＝0，∴原分式方程无解．
感悟新知
知2－练
2-4.是否存在实数
x，使得式子xx
－ ＋
2－ 2
16 x2 －
感悟新知
4. 检验方程根的方法： 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程知的2－讲
解有可能使原方程中分母为0，因此应进行如下检验： (1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解. (2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法 不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验 所得的解是否正确 .
的速度行驶了12 的路程时遇到了暴雨，立即将车速 减少了20 km/h，到达奶奶家时共用了 5 h，求小 强家到他奶奶家的距离是多少千米 .

(5)甲、乙两个码头相距s km，一艘轮船从甲到乙顺水航行的
速度为v1，返回时速度为v2，则轮船往返于甲、乙两个码头的 平均速度为 v 1 v 2 .( × )
2
(6)一项工作甲单独干8天完成，乙单独干10天完成，则甲、
乙合干需 8 1 0 =9天完成.( × )
2
知识点 1 解分式方程 【例1】(2013·珠海中考)解方程： xx2x2141. 【思路点拨】确定最简公分母→去分母→解整式方程→检验.
x5 x
解这个方程，得x=45， 经检验，x=45是所列方程的解.所以x+5=50. 答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字.
5.(2013·玉溪中考)某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派 王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李 老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.
两边都乘x(x+2)，得x+2=2x，
1 2 . x x2
解这个方程，得x=2，
经检验，x=2是原方程的根.
题组二：分式方程的应用 1.(2013·河北中考)甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数 相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路x m.依 题意，下面所列方程正确的是( )
地间的距离为100 km，甲骑自行车的平均速度比乙快2 km/h，
结果两人同时到达C地，求两人的平均速度.为解决此问题，设
乙骑自行车的平均速度为x km/h，由题意列出方程，其中正确
的是( )
A. 110 100 x2 x
C. 110 100 x2 x
B.110 100 x x2
D.110 100 x x2
【归纳】解分式方程的过程，实质上是将方程的两边都乘以 同一个_整__式__，约去_分__母__，把分式方程转化为_整__式__方__程__来 解.所乘的__整_式__通常取方程中出现的各分式的__最__简__公__分__母_.

视察这个方程与我们学过的一 元一次方程有什么不同？
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.

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16.3.1 可化为一元一次方程的分式方程
练习与回顾
一、计算下列各式：
1） 5 3 x2 x
解：原式 5x 3( x 2) x(x 2) x(x 2)
1
4
2)
x 2 x2 4
2
2
因此原方程的一个解（或根）
因为我们在去分母时，方程的两边都乘 以公分母时，我们并没有考虑公分母是否 是为0，所以使方程有了产生了增根的可 能。
所以我们检验时不一定代入方程的左右 两边，只要代入最简公分母检验就可，值 为0时为增根，不为0时则是方程的解。
解分式方程的步骤
①去分母：先确定最简公分母，它是指方程两边所有分母的 最简公分母，确定方法与通分时确定最简公分母的方法一致；
1) 5 3 x2 x
1
4
2) x 2 x2 4
3) 7 3 x x 1 x 1
分式方程：如同上面和方程，分母中含有未知数 的方程叫分式方程
那我们该如何解这 样的方程呢？
新知讲解
解分式方程
1) 5 3
x2
x
解：方程两边都乘以最简公分母x(x-2)得
5x 3(x 2)
解这个整式方程，得
解得x=c
3、检验
把x=c代入最简公分母检 验
4、下结论
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课后练习
一、解下列的分式方程：
1） x
3 5
x
1
3
２） x

能装配机器多少台？
想一想，该怎么计算？
导入新课
设原来每天能装配机器x台，可列出方程：
6 30 6

3
x
2x
观察这个方程与我们学过的
一元一次方程有什么不同？
讲授新课
知识点一 分式方程的概念
问题1 一艘轮船在顺水时航行80千米和在逆水时航行60千米用的时
间相同，已知水流的速度是3千米/时，问轮船在静水中的速度x千米/
解：方程两边同时乘(30+x)(30-x)，得
90(30-x) =60(30-x)
解这个方程,得 x=6
经检验，x=6是原方程的解
当堂检测
6. 解方程：
x
x 1

2.
x 1
x
2
x
( x 1)( x 1) 2 x( x 1).
解：去分母，得
解得
1
x
2.
1
1
x x 1) 0.
1
3
=
x-2 x
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式
子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
“去分母”
讲授新课
归纳总结
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法
是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般
方法.
讲授新课
2x
x x
; (4) 1
2 3
（是）
（否）
讲授新课
2．下面说法中，正确的是( C )
A.分母中含有未知数的式子就是分式方程
B.含有字母的方程叫做分式方程

的单价各是多少元？
实际问题
总价
篮球
3200
实际问题
排球
2000
单价
篮球单价 排球单价
数量
篮球数量 排球数量
已知量
未知量
总价
单价
数量
篮球
3200
+60
3200
+ 60
排球
2000

2000

已知量
未知量
等量关系
总价=单价×数量
问题：求篮球和排球的单价各是多少元？ 设排球的单价为x元
用2000元购买的排球和用3200元购买的篮球个数相等
则x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
练习3： 农机厂职工到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了
40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两
车的速度.
行程问题
汽车
自行车
15
路程
15
速度
V汽车
V自行车
时间
t汽车
t自行车
（3）销售问题：总价=单价×数量
P 16
第3、4题
自测练习
16.3,2
分式方程无解；最简公分母值不为0，整式方程的根即为原分式方程的解。
4、列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
三量构建数学模型
数学建模
数学符号
代数式
解决
实际问题
数量关系
条件——已知量（数字）
问题——未知量（未知数）
列
构建
代数式
（整式、分式）
方程
（等量关系）
例3: 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输

（ 4 1 5） 6 1 x 4x x
解之得，X＝15 经检验知，X＝15是原分式方程的根 所以，乙单独完成需要15小时
探究点二:工作量问题 例 在争创全国卫生城市的活动中，某市一“青年突击队”决定义务 清运一堆重达100吨的垃圾，开工后附近居民主动参加到义务劳动 中，使清运垃圾的速度比原计划提高了一倍，结果提前4小时完成， “青年突击队”原计划每小时清运垃圾多少吨？
总结梳理 内化目标
1.自主学习时，你的疑问是否得到解决？
2.知识小结---(1) 列方程解决实际问题的关键是:分析题意找 出等量关系 (2).列出分式方程解决有关工作量的问题. 3.思想方法小结——方程建模思想解决实际问题。
达标检测 反思目标
1.一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个 B 数为x，列方程得( ) A．
20a+40b=110
⑵设甲单独做1天要a元。
解得：a=4.5 b=0.5 30a=30×4.5=135 各需多少天？ 120b=120×0.5=60 (2)甲.乙两队单独完成此项工程，各 所以，甲完成要135万元，乙完成要60万元
需多少万元？
4.赵强同学借了一本书，共 280页，要在两周内读完，当他读了 解：100套
一半时，发现平均每天要多21页才能按时读完，他在读前一半 时，平均每天读x页，则下列方 x x 21 10 10 1 x x 21
） D
B.
280 280 14 D. x x 21 140 140 14 x x 21
学习目标： 1.会根据实际问题，分析题意找出等量关系 2.列出分式方程解决有关工作量的问题
合作探究 达成目标
（一）探究点一:工程问题 阅读课本P152页例3，思考下列问题： (1)工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总 量看作多少？ (2)由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成， 则乙队的工作效率是多少？ (3）此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式 来表示吗？

2. 解分式方程的基本思想：
分式方程
去分母
整式方程
3. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤： （1）去分母，把分式方程转化为整式方程； （2）解整式方程； （3）检验.
第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程 （第2课时）
自学检测 1、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 m 的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一任务。已 知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20m，且甲工程队 铺设350m所用的天数与乙工程队铺设250m所用的天数 相同。问：甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
当堂训练
1、一个分数的分母比分子大7，如果此分数的分子加17，
分母减4，所得新分数是原分数的倒数，则原分数为多少
Hale Waihona Puke 解？：设原分数的分子为x，则分母为 x+7.
根据题意,得
x x3 x 7 x 17
解得x=3.
经检验,x=3是所列方程的根。
∴当x=3时，x+7=10，
答：原分数为
3 10
2、甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个
x²-m²+x²-n²=2x²-2(m+n)x+2mn.
整理，得2(m+n)x=m²+n²+2mn，
即2(m+n)x=(m+n)².
∵m ≠ 经检验
n，∴m+n x mn
≠0 ，∴ x m 是原方程的解.
2
n
2 所以原方程的解为
x
m
n
.
2
课堂小结
1.分式方程的概念
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

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做一做
2.解下列分式方程：
1 4 1 0
x x 1
2
1 x x 1
x x2 1
3 2x 5 5x 4 1
3x 6 2x 4 2
4
x
2
3
x
2 x2
x
6 x2 1
5
1
1
(x 2)( x 3) (x 4)( x 5)
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做一做
3.解下列分式方程：
得x2-4=0。
∴x=-2是增根，从而原方程无解。.
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例3.当a为何值时,方程
x x
2 3
2
有3增a x根?
解:去分母,方程两边同乘以 (x 3),
得 x 2 2(x 3) a
解这个整式方程,得 x 4 a
因为方程有增根,所以 x 3 0,即x 3. 所以 3 4 a, a 1. 所以当 a 1时,原方程产生增根.
x 2 16 x 2 (2) x 2 x2 4 x 2
解：方程两边同乘以(x 2)(x 2),
得，(x 2)2 16 (x 2)2,
x2 4x 4 16 x2 4x 4,
x 2. 检验：把x=-2代入 x2-4，
注意：分 式方程的 求根过程 不一定是 同解变形， 所以分式 方程一定 要验根！
1 3 1 2
2x 5 x 2
1 x 1
2 x 1
4 x2 1
3
x
x
2
2x 3 x
1 x2 x2 5x
6
4 x3 1 x3 1 2
x 1 x 1
(5) 1 1 1 1 . x8 x9 x5 x6