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诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
湖南湖南大学课程考试试卷
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4。
当时,与是同阶无穷小， 则【】
(A) (B) (C ） （D ）
5. 设且，记则下列不等式成立的是 【】
三、计算题（每小题5分，共20分）
四、（11分)设试问为何值时，在处二阶导数存在？
五、(7分）若记（即在上的最大值）,求。
六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水。
假设冰山为巨大
的立方体，其表面积成正比。
如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点
后一位，不能使用计算器）
七、（10分）过点作曲线的切线. 试求（1)切线的方程;（2）与所围平面图形的面积；（3）图形的的部分绕
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此结论推广到满足在上连续且关于为偶函数 (即对中的任何有)的任意函数的情形， 请叙述并证明你的结论.
九、(6分）设在上连续， 在内可导,且,试证： 至少存在一点, 使得.。
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10211dx x 2π . (5) =⎰∞+121dx x1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)21. (2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d . 两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y所以得; yy ln 21+=' yy ln 21+='四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) ⎰10arctan xdx . 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x x x x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) ⎰10dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=10102dt te dx e t x 22][22101010=-==⎰⎰dt e te tde t t t 五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=⎰22031t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dxdy ，得0=t ，代入得：1=x 。
高等数学a1期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，那么在点x=a处的切线斜率是多少？A. f(a)B. f'(a)C. f'(a)+1D. f(a)+f'(a)答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个选项是连续函数？A. 函数y=x^2在x=0处B. 函数y=1/x在x=0处C. 函数y=|x|在x=0处D. 函数y=x^3在x=1处答案：D4. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+1的导数是______。
答案：3x^2-32. 函数y=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C3. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)4. 如果函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=-3，则c的值为______。
答案：0三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数y'=3x^2-12x+11，令y'=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0 to 2) (2x+3) dx。
答案：首先求原函数F(x)=x^2+3x，然后计算F(2)-F(0)=4+6-0=10。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上一定有最大值和最小值。
答案：根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值。
可以通过构造f(x)在[a,b]上的上界和下界，然后利用连续性证明存在最大值和最小值。
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南湖南大学课程考试试卷；课程编码：试卷编号：A；考试时间：120分钟,则2.2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰【】(A)222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221(1)2x C --+3.设函数()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()f x 的图形可能是【】4.当0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记110()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】(A)I I I <<(B)2I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<5分，共20分）.1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)0,10y t t y +-=++=确定，求0d t y =.四、（11分）设2sin ,0,()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处二阶导数存在？五、（7分）若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]的最大值),求lim n n M →∞.六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)七、（10分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L .试求（1）切线L 的方程；（2）Γ与L 所超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学湖南大学课程考试试卷围平面图形D 的面积；（3）图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明:若()f u 是连续函数，则有(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰.现要求将此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2a bx +=为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a bf x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.九、（6分）设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()0()f f a ξξξ'+=-.。
2014级本科高等数学A （二）期末试题解答与评分标准A （理工类多学时）一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 1. （A ，B ）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数(,)x f x y 和(,)y f x y 存在是函数在点00(,)x y 的全微分存在的（ B ）.A. 充分条件；B. 必要条件；C. 充要条件；D. 无关条件.2. （A ，B ）设级数1(2)nn n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则级数在5x =处（ C ）.A. 发散；B. 条件收敛；C. 绝对收敛；D. 无法确定敛散性.3. （A ，B ）二阶微分方程224468e xy y y x '''-+=+的特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A. 22+e xax bx C +； B. 22+e xax bx C E ++； C. 222+e xax bx C Ex ++； D. 22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设闭区域D ：229x y +≤，221:9,0D x y y +≤≥，则下列等式中错误的是（ D ）. A.22221e d 2e d x y xy DD σσ++=⎰⎰⎰⎰；B.2222122e d 2e d x y xy DD y y σσ++=⎰⎰⎰⎰；C. 22e d 0xy Dx σ+=⎰⎰；D. 1e d 2e d x y x y DD σσ++=⎰⎰⎰⎰.6. （A ）Ω由不等式2221,x y z z ++≤≥确定，则zdxdydz Ω⎰⎰⎰求解过程错误的是（ B ）.A.2212x y dxdy +≤⎰⎰；B.22210x y z dzzdxdy +≤⎰⎰⎰；C.20rd πθ⎰⎰⎰；D.2134001sin 22d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰.二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 7.（A ，B ）直线234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点为 (1,2,2).8.（A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为 230y y y '''--=.9. （A ，B ）设函数4sin y z x xy xy =++，则(1,0)zy ∂=∂ 5.10. （A ，B ）交换二次积分的积分次序：2220(,)y ydy f x y dx =⎰⎰402(,)x dx f x y dy ⎰⎰.11. （A ）L 为圆周229x y +=，则对弧长的曲线积分=⎰18π.12. （A ）计算曲线积分(3)(2)LI x y dx y x dy =++-⎰Ñ，其中L 是沿椭圆2214y x +=正向的边界，则I ＝4p -.三、解答题（本大题6小题，每小题8分，共计48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：00x y →→0x y →→= （4分）0x y →→= （2分）14=-. （2分）14. （A ，B ）设函数),()(y x y g y x f z -++=，其中f 二阶可导，),(v u g 有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2zf g x∂''=+∂， (4分) 221222122(1)z f g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂. (4分)(或写为221221222(1)zf g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂ )15. （A ，B ）设函数(,)z f x y =由方程e 0z y xz x y x ----+=所确定，在点(0,1,1)处，求d z .解：令(,,)ez y xF x y z z x y x --=--+， （2分）1e e 1e z y x z y x x z y x z F zx x F x ------∂-+=-=∂+， （2分） 1e 1ez y x y z y xz F zx y F x ----∂+=-=∂+， （2分） (0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)d d d zz z x y dy xy∂∂=+=∂∂. （2分）16. （A ，B ）求幂级数2121n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值. 解：收敛域(1,1)-， （注：在端点处发散） （2分）2121220001(),(0)0,()21211n n n n n n x x S x S S x x n n x ++∞∞∞==='⎛⎫'===== ⎪++-⎝⎭∑∑∑ （2分）所以200111()(0)()d d ln ||121x xxS x S S x x x x x+'-====--⎰⎰，故11()ln ||21xS x x+=-，(11)x -<< （2分） 2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）1206()1x x d x =-=⎰. （2分）18. （A ） 计算2(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰，其中∑为上半球面z =.解：取1∑为xoy 面上的圆盘22:4xy D x y +≤，取下侧，记∑与1∑围成的闭区域为Ω，从而由高斯公式，得 （2分）12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+∑+++⎰⎰6dv Ω=⎰⎰⎰3262323ππ=⋅⋅=， （2分）而12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰1(31)4xyD z dxdy dxdy π∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰， （2分）故 原式=32(4)36πππ--=. （2分）四、解答题（本题10分） 19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：（1） 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰， （2分）求导，得2()22()t f t te tf t πππ'=+,即2()2()2t f t tf t te πππ'-=， （2分） （2）此为一阶线性微分方程，其通解为：22()()tf t e t Cππ=+（C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C =， （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ . （1分）五、证明题（本题6分）20. （A ，B ）证明：二次曲面222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为000Ax x By y Cz z D ++=.证：令222(,,)F x y z Ax By Cz D =++-，则0000(,,)2x F x y z Ax =，0000(,,)2y F x y z By =，0000(,,)2z F x y z Cz =， （2分） 故曲面(,,)0F x y z =上点000(,,)x y z 处的切平面方程为：0000002()2()2()0Ax x x By y y Cz z z -+-+-=，（2分） 又222000Ax By Cz D ++=，从而222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为：000Ax x By y Cz z D ++=. （2分）2014级本科高等数学（二）期末试题解答与评分标准A（理工类少学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. （B ）由曲线2cos a ρθ=所围图形的面积为（ B ）. A. 22a π； B.2a π； C. 24a π； D. 22a π.2. （A ，B ）下列级数收敛的是（ C ）.A.112n n∞=∑； B.21ln n n∞=∑； C. 112nn ∞=∑；D. 1n ∞=3. （A ，B ）微分方程224468e x y y y x '''-+=+的一个特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A.22+e xax bx C +； B.22+e xax bx C E ++； C.222+e xax bx C Ex ++； D.22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设二元函数(,)f x y 在2R 上有(,)0,(,)0x y f x y f x y ><，设1212,x x y y ><，则下列结论正确的是（ B ）.A. 1122(,)(,)f x y f x y <；B. 1122(,)(,)f x y f x y >；C.1112(,)(,)f x y f x y <；D.1121(,)(,)f x y f x y <.6. （A ，B ）设()f x 为连续函数，1()()t tyF t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '=（ D ）.A.2(2)f ；B.(2)f -；C.0；D.(2)f .二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （B ）由曲线x y e =,直线0,1x x ==和x 轴所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所形成旋转体的体积为2π.8. （A ，B ）设(,)z f x y =由方程e 0z y x z x y x ----+=所确定，则zx∂∂在点(0,1,1)处的值为 0 .9. （A ，B ）2211(2),lim()nn n n x y aa d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．10. （A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为230y y y '''--=.11. （A ，B ）曲线2z y =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为22z x y =+.12. （A ，B ）函数2yz xe =在点A (1,0)处沿点A 指向点B (2,1)-的方向导数为2- .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：(法一)原式= 0x y →→ （4分）00x y →→= （2分）=14-（2分） (法二) 原式=00x y →→ （4分） 001224limx y xy xy →→-⋅⋅= （2分） =14-（2分）14. （A ，B ）计算函数yz x =在(2,1)的全微分． 解： 1,ln y y x y z yx z x x -== （4分）(2,1)1,(2,1)2x yz z == （2分） (2,1)d 2l n 2z d x d y =+ （2分）15. （A ，B ）设函数()f u 可微, ()ln xx z f x y =+,求222,z z x x y∂∂∂∂∂.解：()ln xz f x x y =+ ，1()ln 1z xf x x y y∂'=++∂ （2分） 22211()z x f x y y x ∂''=+∂ （3分） 2231()()z x x x f f x y y y y y∂'''=--∂∂ （3分）16. （A ，B ）求幂级数21021n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值． 解： 收敛域为(1,1)- （2分）令210()21n n x S x n +∞==+∑，(0)0S =2122001()211n n n n x S x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑， （2分） 所以200111()(0)()d d ln ||121x x xS x S S x x x x x+'-===--⎰⎰， 故11()ln ||21xS x x+=-， （11x -<<） （2分）2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）126()1x xd x =-=⎰ （2分）18. （A ，B ）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体的长宽高为,,x y z ，则问题转化为在条件2(,,)2220x y z x y y z x za ϕ=++-= 下求函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值. （3分） 设拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-，解方程组22()02()02()0222yz y z xz x z xy y x xy yz xz aλλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩得x y z ===， （4分） 这是唯一的可能极值点，也是所求问题的最大值点.故表面积为2a3（1分）四、解答题（本题10分）19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：(1) 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰ （2分）求导得 2()22()t f t te tf t πππ'=+即 2()2()2t f t tf t te πππ'-= （2分） (2) 此为一阶线性微分方程，其通解为22()()tf t et Cππ=+ （C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C = （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ （1分）五、解答题（本题6分）20. （A ，B ）设2,(,)(,)0,(,)x y Df x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩，[0,1][0,1]D =⨯，求函数()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰的表达式.解：0t ≤时，()0F t = （1分）01t ≤≤时，221()22F t t t =⋅= （2分）12t <≤时，221()21(2)422F t t t t ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦（2分）2t >时，()2F t = （1分）2013级高等数学(二)期末试卷解答A理工类 多、少学时1. （A ，B ）下列函数中有且仅有一个间断点的函数为（ B ）． （A ）x x y +； （B ）22e ln()x x y -+； （C ）xy； （D ）||1xy +．2. （A ，B ）曲线：23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ B ）．（A ） 有一条； （B ）有两条； （C ）有三条； （D ）不存在．3. （A ，B ）设222{(,)|()}D x y x a y a =-+≤，则二重积分22e d x y Dσ--=⎰⎰（ C ）（A ）22cos 0d d a re r r πθθ-⋅⎰⎰； （B ）22cos 0d d a re r πθθ-⎰⎰；（C ）22cos 22d d a r er r πθπθ--⋅⎰⎰；（D ）22cos 202d d a re r πθπθ--⎰⎰4. （A ，B ）微分方程x y y cos =+''的特解具有形式（ B ）（A ）cos sin A x B x + （B ）sin cos Ax x Bx x + （C ）cos A x （D ）cos Ax x5. （A ，B ）已知函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在，则( D )．（A ）(,)f x y 在00(,)x y 可微；（B ）(,)f x y 在00(,)x y 沿任意方向方向导数存在； （C ）(,)f x y 在00(,)x y 连续； （D ）0(,)f x y 在00(,)x y 连续．6. 多（A ）设221:1l x y +=，222:2l x y +=，223:12y l x +=， 224:12x l y +=为四条逆时针封闭曲线，记曲线积分33()d (2)d 63ii l y x I y x x y =++-⎰，1,2,3,4I =，则max{}i I =（ C ）（A ） 1I ； （B ）2I ； （C ）3I ； （D ）4I6. 少（A ，B ）下列各选项正确的是（ C ） A ． 若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥； B ． 若级数∑∞=1n nu收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑∞=1n nv收敛．C ． 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛，则∑∞=+12)(n n nv u收敛；D ． 若||1nn n vu ∑∞=收敛， 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛；二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （A ，B ）幂级数1(3)3n nn x n ∞=-⋅∑的收敛域为[0,6)．8. （A ，B ）已知级数1nn us ∞==∑，则11()n n n u u ∞+=+=∑12s u -．9.（A ，B ）设函数()f u 可微，且(2)1f '=，则函数()z f x y =+在点(1,1)处的全微分(1,1)d |z =d d x y +．10.（A ，B ）微分方程yy x'=-满足初始条件24x y =-=的特解为8xy =-．11.多（A ）设L 为上半圆周：222x y R +=，（0,0R y >>），则曲线积分22()d Lx y s +=⎰3R π．11. 少（A ，B ）设(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤，则二重积分()cos 1d d Dy xy x y +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 2 ．12.多（A ）设∑是球面2222()x y z R R ++-=的外侧，则曲面积分d d x y ∑=⎰⎰ 0 ．12.少（B ）2d 11A x x +∞-∞=+⎰，则 A = 1π.三、 解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）13.（A ，B ）设函数2(,)sin()z f x y xy ==，求(,1)2xx f π，(,1)2xy f π．解：22(,)cos()x f x y y xy =，42(,)sin()xx f x y y xy =-， 232(,)2cos()2sin()xy f x y y xy xy xy =- （6分）(,1)12xx f π=-，(,1)2xy f ππ=- （2分）14.（A ，B ）设函数()y x z z ,=由方程23z e xy z +-=所确定，求(2,1,0)x z 及(2,1,0)y z ．解：令(,,)23z F x y z e xy z =+--， （1分） y F x =，x F y =，2z z F e =- （3分）所以2z z y x e ∂=∂-，2zz xy e ∂=∂- （2分） (2,1,0)1x z =，(2,1,0)2y z =． （2分）15.（A ，B ）求幂级数0(1)1nnn x n ∞=-+∑的收敛域与和函数．解：收敛半径为1R =，收敛域为(1,1]- （2分）令0()(1)1nnn x S x n ∞==-+∑，0x =时，(0)1S =， （1分）0x ≠时，1000()(1)(1)d 1n x nn n n n x xS x x x n +∞∞===-=-+∑∑⎰001()d d ln(1)1x xnn x x x x x∞==-==++∑⎰⎰所以ln(1),0()1,0x x S x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ （5分）16.（A ，B ）计算二重积分2e d d y DI x y -=⎰⎰，其中D 是以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形所围的闭区域．解：21e d d yy I y x -=⎰⎰ （4分）21101e d (1e )2y y y --==-⎰ （4分）17. 多（A ）验证曲线积分(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰在XOY 平面内积分与路径无关，并计算该曲线积分． 解：324Q x y x ∂=-∂，324Px y y∂=-∂，且连续，所以积分与路径无关 （4分）(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰(2,0)(2,1)423(1,0)(2,0)(23)d (4)d xy y x x xy y =-++-⎰⎰21313d (48)d x y y =+-⎰⎰ （2分） 325=+= （2分）17. 少（A ，B ）计算二重极限22222001cos()lim sin ()x y x y x y →→-++．解：222222222220000()1cos()2lim lim sin ()()x x y y x y x y x y x y →→→→+-+=++ （4分） 12=（4分）18. 多（A ）计算曲面积分3d d 2d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =介于平面0z =与平面2z =之间部分的下侧．解：补充曲面221:2,4z x y ∑=+≤，取上侧， （2分） 由高斯公式13d d 2d d d d x y z y z x z x y '∑∑∑+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6d V Ω=⎰⎰⎰ （2分）16π= ． （2分） 其中，113d d 2d d d d d d 2d d 8Dx y z y z x z x y z x y x y π∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以3d d 2d d d d 8x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰ （2分）18. 少（A ，B ）判断级数1!n n n a n n∞=∑的敛散性，其中0,e a a >≠．解：111(1)!lim lim lim (1)!(1)e n n n n n n n n n n nu a n n a n au n a n n +++→∞→∞→∞+⋅=⋅==++ （4分） 所以0e a <<时，级数收敛；e a >时，级数发散。
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！考试中心填写：(A)若lim ,lim ,,n n n n a A b B A B →∞→∞==<则对于充分大的自然数n ,有n n a b ≤(B)设(1,2,...)n n a b n <=,并且lim ,lim ,n n n n a A b B →∞→∞==则A B <(C)若lim n n a A →∞=,则1lim 1n n na a +→∞=(D)若lim n n a A →∞=,则对充分大的自然数n ,有n a A =2.2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰【】(A)222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221(1)2x C --+3.设函数()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()f x 的图形可能是【】4.当0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记110()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】(A)123I I I <<(B)312I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<三、计算题（每小题5分，共20分）.1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)0,10 y t t y +-=++=确定，求0d t y =.四、（11分）设2sin ,0,()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处二阶导数存在？五、（7分）若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]上的最大值),求lim n n M →∞.六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)七、（10分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L .试求（1）切线L 的方程；（2）Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明:若()f u 是连续函数，则有0(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰.现要求将 过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心装订线（答湖南大学课程考试试卷此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2a bx +=为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a b f x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.九、（6分）设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()0()f f a ξξξ'+=-.。
