2015-2016-1《高等数学A1》期末总练习

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

一、填空题（4'⨯6=24'）：1、已知直线过点(1,3,2)P -,且与平面427x y z ++=垂直,则直线方程为 ．2、曲线20z x y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的曲面方程为 ．3、反常积分11pdx x +∞⎰当 p 时收敛． 4、设二次积分10(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后得I= ．5、已知级数12n n u ∞==∑，则级数11()2n n n u ∞=+=∑ ． 6、微分方程22x y y y e '''+-=的特解可设为 ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1.设a 和b 是向量，则()(2)a b a b +⨯+=（ ）（A ）a b ⨯ ；（B ）3a b ⨯ ；（C ）b a ⨯ ； （D ）223a a b b +⨯+ ．2、微分方程34"'(")30y y y y x ++-=的阶数是 （ ）． （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．3、已知2ln(),z x y =+则2z x y∂=∂∂ （ ）． （A ）222()x x y -+； （B ）22()x x y -+； （C ）22()x x y +； （D ）221()x y +．4、设'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =，则在点00(,)x y 处函数(,)f x y （ ）．（A ）连续；（B ）一定取得极值；（C ）可能取得极值； （D ）全微分为零．5、设积分区域22:3D x y +≤，则二重积分(3)Ddxdy -⎰⎰ （ ）．（A ）9π-； （B ）3π-；（C ）3π；（D ）9π．三、计算题（6'4⨯=24'）： 1、已知(1)x yz xy +=+，求函数z 在点(1,1)P 处的偏导数zx∂∂； 2、设ln 0x z z y -=，求z zz y x y∂∂-∂∂；3、求幂级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域；4、将函数()ln(4)f x x =-在1x =处展开成幂级数． 四、（7'） 求微分方程'23xy y x +=的通解． 五、计算二重积分：（7'214'⨯=）1、计算2Dy d σ⎰⎰，其中D 是由直线,y x =2y x =2y =及所围成的闭区域．2、计算arctan Dyd x σ⎰⎰，其中D 是由圆22221,4x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限部分．六、应用题：（8'216'⨯=）1、某厂要用铁板作成一个体积为32m 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？2、求由曲线22,8,y x y x == 所围成的图形x 绕轴旋转一周所得旋转体的体积．一、选择题（'35⨯＝15'）：1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是 （ ）．（A ）22149x y -+=；（B ）22223x y z +=；（C ）22z x y =-；（D ）22224x y z -+=．2、二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处满足关系 （ ）．（A ）可微（指全微分存在）⇔可导（指偏导数存在）；（B ）可微⇒可导⇒连续； （C ）可微⇒可导，且可微⇒连续，但可导不一定连续；（D ）可导⇒连续，但可导不一定可微．3、若函数(,)y y x z =由方程x y xyz e +=所确定，则yx∂=∂ （ ）．（A ）(1)(1)y x x y --； （B ）(1)y x y -； （C ）1yz y -； （D ）(1)(1)y xz x y --．4、微分方程2"2'35x y y y e -+=的一个特解为 （ ）．（A ）259x e ； （B ）253x e ； （C ）22x e ； （D ）252x e ．5、设无穷级数311p n n ∞-=∑收敛，则（ ）．（A ）1p >； （B ）3p <； （C ）2p >； （D ）2p <．二、填空题（4'⨯7=28'）： 1、,,,a b c →→→为单位向量，且满足0a b c →→→++=则a b b c c a →→→→→→++= . 2、函数22(,)f x y =的定义域是 ．3、设函数22x y z e +=,则全微分dz = ．4、(,)(0,3)sin limx y xyx→= ． 5、若(,)f x y 在区域22:14D x y ≤+≤上恒等于1，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰ ．6、幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛半径R = ． 7、微分方程"8'160y y y -+=的通解为 ． 三、计算题（6'4⨯=24'）：1、求直线234:112x y z L ---==与平面:260x y z π++-=的交点坐标； 2、设函数(,,)u f x y z =可微，22z x y =-，求u x ∂∂，uy∂∂；3、判断级数21(1)1nn n ∞=-+∑的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛；4、将函数2()ln(1)f x x =+展开为x 的幂级数． 四、（6'）求函数22(,)4()2f x y x y x y =---的极值．五、（7'）求微分方程()230x y dx xdy -+=的通解．六、计算下列积分： 1、（7'）计算(2)Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =和直线2y x =+所围成的闭区域．2、（7'）求旋转抛物面224z x y =--和平面0z =围成的立体的体积．3、（6'）求由曲线1y x=，直线4y x =，2x =，0y =所围成的平面图形的面积．3一、填空题（4'⨯6='24）：1、经过z 轴和点(3,1,2)--的平面方程为____________ ．2、设22(,)4()f x y x y x y =---，则其驻点为 ．3、设(,)z f x y =而sin ,t x t t y e =+=，则全导数dzdt= . 4、微分方程'sin 0y y e x -=的通解为 ． 5、设二次积分ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后得I = .6、级数13nn q∞=∑收敛，则q 的取值为 ．二、选择题（'35⨯＝15'）：1、下列三元数组中，哪组可作为向量的方向余弦 （ ）． （A ）212{,,}333-； （B ）11{1,,}22-；（C ）11{,,1}23； （D ）11{,,3}32．2、二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数 '00(,)x f x y 和'00(,)y f x y 存在是函数在该点全微分存在的（ ）．（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件． 3、下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为 （ ）．（A ）()()0x y x y x y e e dx e e dy ++-+-=； （B ）)(ln xy dxdy=； （C ）3()0xdy y x dx -+=； （D ）422dy x y dx xy+=． 4、级数11121(1)2n n n k ∞--=--∑（k 为常数） （ ）． （A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）敛散性与k 有关． 5、设:01,0D x y x ≤≤≤≤，则4Dd σ=⎰⎰（ ）．（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）4．三、计算题（6'⨯4=24'）：1、已知方程22243x y y z +-+=确定函数(,)z z x y =,求z zx y∂∂∂∂和； 2、设(cos sin )xz e y x y =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂；3、求二元函数3322339z x y x y x =-++-的极值.4、将函数()ln(3)f x x x =-展开为x 的幂级数. 四、（7'）求微分方程2"'2xy y y e +-=的通解． 五、计算二重积分：（7'214'⨯=） 1．计算22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域． 2．计算二重积分22x y DI e dxdy +=⎰⎰，D 为圆221x y +=所包围的第一象限中的闭区域．六、应用题：1、（8'）在所有对角线为2、（7'）求椭圆22221x y a b+= (0,0)a b >>围成的平面图形分别绕x 轴、绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.4一、填空题（4'⨯7=28'）：1、设有平面:210x y z π-+-=和直线116:112x y z L -+-==-,则π与L 的夹角为 ． 2、曲面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线在xoy 面上的投影曲线为-----------3、设函数(1)x z y =+，则(1,1)|dz = ．4、设222()u f x y z =+-，其中f 为可微函数，则uz∂=∂ ． 5、交换积分次序：2220(,)yydy f x y dx =⎰⎰ ．6、设a 为常数，若级数1()nn ua ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= ．7、微分方程"5'60y y y -+=的通解为y = ． 二、选择题（'36⨯＝18'）：1、设向量2a i j k =-+ ，49b i j k =++ ，则 （ ）．（A ）//a b （B ）||||a b > （C ）||||a b = ； （D ）a b ⊥2、在(1,1)-内，幂级数2461x x x -+-++ 的和函数为（ ）．（A ）211x -；（B ）211x --；（C ）211x +； （D ）211x -+．3设D 是由222x y x +=围成的闭区域，则(,)Df x y d σ⎰⎰化成极坐标系下的累次积分为 （ ）（A ）2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； （B ）2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰；（C ）2sin 22(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； （D ）2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．4、微分方程'cot 0y y x -=的通解是 （ ）．（A ）cot y x =； （B ）sin y C x =； （C ）tan y C x =； （D ）csc y C x =．5、函数22(6)(4)z x x y y =--驻点个数为（ ）．（A ）6； （B ）5； （C ）4； （D ）3．6、下列无穷级数中，绝对收敛的是 （ ）．（A ）21sin n n n ∞=∑； （B）11n n -∞=； （C ）11(1)n n n -∞=-∑； （D ）2211n n n ∞=+∑． 三、计算题（6'3⨯=18'）：1、设ln()yz x x y =-，求z x ∂∂，z y∂∂；2、设222234x y z -++=，求(1,1,1)z x ∂∂，(1,1,1)zy∂∂；3、讨论级数()11121nn n ∞=--∑的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛. 四、（7'）求微分方程'tan y yy x x=+的通解．五、（8'）设某工厂生产某产品的数量S ()吨与所用的两种原料A ，B 的数量,x y （吨）之间的关系式2(,)0.005S x y x y =。

浙江水利水电学院2015－2016学年第一学期期 末 考试 试题 A 卷考试科目：高等数学A 考试时间: 120 分钟试卷总分： 100 分 考试方式： 闭卷 考生学院：一、 单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分,共18分） 1．设函数)(x f y =在点0x x =处可导,则000(3)()limh f x h f x h h→+--= ( ）（A ）'0()f x （B)'04()f x （C ）'0()f x - (D ） '03()f x2. 若()f u 可导，且()3ln y f x =，则d d yx= ( ) (A) ()3ln f x '； (B ） ()233ln ln x f x '；(C ）()233ln ln x f x x '⎡⎤⎣⎦； （D) ()233ln ln x f x x'。

3。

2cos d limx x t t t x→=⎰ ( ）(A) 0 （ B ）1 （C)12(D) 134。

曲线 322313y x x x =--+ 的凸区间是 ( ) (A） 1(,)2-∞ （B ）1(,)2-∞- (C ）1(,)2+∞ （D) 11(,)22-5。

下列反常积分收收敛的是 （ ） (A)31d xe x +∞-⎰（B ）4x +∞⎰(C) 11d 1x x+∞+⎰（D） 11d ln x x x+∞⎰（A)ln (ln )d (ln )x f x x F x C ⋅=+⎰ （B ）(2)d (2)x f x x F x C ⋅=+⎰(C ）f x F C =+⎰ (D) sin (cos )d (cos )x f x x F x C ⋅=+⎰二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分，共18分）1．x =⎰；2．320y y y '''-+=的通解为 ； 3。

设()2cos xy x =+，则d d yx= ;4．定积分(211d =x x -⎰；5．由方程 21=0ye x y x +-- 所确定的隐函数()y y x =的导数值dyx dx == ____; 6。

河南工程学院 2015 至 2016 学年第 1 学期 高等数学A1 试卷 A 卷（答案与评分标准）考试方式： 闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 70%一、单选题（本题18分，每小题3分）1. C2. B3. A4. C5. C6. B二、填空题（本题18分，每小题3分）1. 1x =，2x = 或1，22. 2e3. 14. -15. cos x6. 12x x C e C e -+三、计算题（本题48分，每小题6分）1.2222220011sin lim()lim sin sin x x x x x xx x →→--= ....................................2分 224300sin 2sin 2lim lim 4x x x x x x x x →→--==....................................2分 222001(2)1cos 212lim lim 663x x x x x x →→-===....................................2分2.00x x →→=...........2分 0x →=....................................2分 1=......................................................2分3.y''=........................................2分2)x'=-..................................2分=.......................................2分4.2ln ln ln ln()x x x xf x x e e=== ..........................................2分2ln1()2lnxf x e xx'∴=⋅⋅ ........................................2分ln2lnxx xx⋅= ..............................2分或者ln()ln()ln lnxf x x f x x x=⇒= .....................2分两者都对x求导12()ln()f x xf x x'= .......................................2分lnln()2xxf x xx'∴=⋅ ..........................................2分5.2()2sin22cos2f x x x x x'=+ ................................2分22()2(sin22cos2)2(2cos22sin2)(24)sin28cos2f x x x x x x x xx x x x''=++-=-+....................2分()4f x''=-π ...........................2分6.11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ................3分lnln x C=+ .....................................................3分或11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ...........................................2分令ln x t =11ln ln d x dt x t =⎰⎰ln t C =+ ..........................................2分lnln x C =+ ..................................................2分 7.111000arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ .......2分 12041x dx xπ=-+⎰ 122011(1)421d x x π=-++⎰ ......................................2分 1201ln(1)42x π=-+ 1ln 242π=-………………………………………………2分 8.法1 常数变量法 设齐次方程为0dy y dx += ...................2分 求解得x y Ce -=设非齐次方程的解为()x y C x e -= .........................................2分 代入原方程求得()C x x C =+∴原方程的通解为()x y x C e -=+ ..........................................2分 法2 公式法()1P x = ()x Q x e -= ...............................2分求()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ ..................................2分 ()x e C x -=+ .......................................2分四、讨论题（本题8分）...............................................................................2分 101p dx x =⎰11011p x p --ln x1p ≠0p =①当10p ->即1p <时10111p dx x p=-⎰ 收敛...............................................2分 ②当10p -= 即1p =时11001ln pdx x x ==∞⎰发散.........................................2分 ③当10p -<即1p >时101p dx x =∞⎰ 发散..........................................2分五、综合题（本题8分） 。

2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。

西南财经大学2008——2009学年第一学期 《高等数学》期末闭卷考试题参考解答一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：1．设已知12(log )1,a f x x -=+则()f x ＝1log (1)(1)2a x x ->.2．0limx +→=3．若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.4．.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点是x 0 = 0 , 补充定义f (x 0) = – 2 ,则函数f (x )在x 0处连续.5．设函数)sin 1ln()(2x x f -=，则=)4('πf – 2 .6．设五次方程54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根，则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=最多有 4 个实根. 7．设函数()() ()1n xf x f x x=+、则＝1(1)(1)!(1)n n n x +-+-+ . 8．已知f (x )的一个原函数为ln 2 x ，则()xf x dx '=⎰ 2ln x - ln 2 x + C .9．300()(),10,()aaf x x f x dx a f x dx =-+≠=⎰⎰设 则44(1)a a +. 10．2lim ().a xt x x a te dt a x a-∞→+∞+==-⎰若,则常数52.二、单项选择题（每小题2分，共10分）：1．设函数y =的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则()g x =（ ① ）.① sin x ② cos x ③ tan x ④cot x2．“0()x x f x A →当时，－为无穷小量”是“0lim ()x x f x A →=”的( ③ ) .① 充分但非必要 ② 必要但非充分③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3．设()x y f e -=, 则dy = ( ④ ) .① '()x x f e de --- ② '()()x f e d x --③'()x x f e e dx -- ④'()x x f e de -- 4．1()()()(01).1n f x n R x xθ==<<-的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项 ①111(1)(1)n n x n x θ+++- ② 11(1)(1)(1)n n n x n x θ++-+- ③ 121(1)n n x x θ++- ④ 12(1)(1)n n n x x θ++-- 5．在开区间),(b a 内，)(x f 和)(x g 满足)()(''x g x f =，则一定有（ ④ ）① )()(x g x f =； ② 1)()(+=x g x f ； ③ ⎰⎰='')]([])([x g dx x f ； ④ ⎰⎰=)()(x dg x df .三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：1．求极限01lim sin x x x e xe x x→-+.解：2001(1)lim lim sin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='3分 0l i m 2x x xx e e x e x→-++= 6分 1.2= 7分2. 已知arccos ,0(),0x x f x ax b x ≥⎧⎪=⎨+>⎪⎩在x = 0处可导，求常数b a ,.解：因为f (x )在x = 0处可导必连续，所以00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 2分 2b π=得 3分又因为f (x )在x = 0处可导，所以0()(0)limx f x f x→-存在 4分000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=＋＋－7分3.arctan'"y xe y x y y =确定是的函数,求与.解：arctan221'1()y xy x yey x x-=⋅⋅+ 2分arctan((')'y xx yy e y x y x yy x y+=-+∴=-化简得 4分22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--==--+=-又将代入上式化简得 7分4. dx t A dy t A t f y ex t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解：22()()sin ()2()'()2()sin ()()'() f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e--==＝ 5分 2()2()sin ()f t f t f t dy dx e-∴= 7分5. 求⎰+dx x xx 2ln . 解： 22ln ln ln x x xdx x dx x x+=+⎰⎰ 2分 1ln ln x xd x -⎰＝ 4分2ln 1ln x x dx x x -+⎰＝ 6分 l n 1ln x x x x--＝＋C 7分 6. 22(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求：的极值曲线的拐点的横坐标22444(1)'()[]'200"()2(14),"(0)200()()(0)0.x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解： 令是的极小值点,的极小值为 3分4412 (2)"()2(14)0 "()0,"()0,"()0,() x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒==∞<<<<<><<+∞<∴==又令当-时, 当时, 当时,曲线拐点的横坐标为 7分7．计算2121sin ()1x xf x dx x -+=+⎰. 解：22112211sin 11()11x xx f x dx dx x x --++-==++⎰⎰ 3分 1211(1)1dx x-=-+⎰ 5分 1022arctan 22x π=-=-7分 四、应用题（每小题8分，共16分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知22xl x y π=++ 1分截面的面积为2()522x xy π+=,即 58xy x π=- 3分故10,()4x l x x xπ=++∈ 4分因为221020'1,"4l l x x π=+-=， 令'0l =得驻点x = 6分又因为"0l >，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解：03'(42)4,'2 x x x y x y ====-==- 2分所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43,26y x y x =-=-+ 2分且这两条切线的交点为3(,3)2，则所求图形的面积为332223029(4343)(2643)4S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=⎰⎰ 8分五、证明题（5分）：证明：当x > 0时，xxx x +>+1ln )1ln(. 证明 令()ln f t t t =， 1分()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理，于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ，使得 xx xx x x f -+-++=+=1ln )1ln()1(1ln )(ξξ即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分 而x x +<<<11ξ，又因为01ln >+ξ，所以x x x x ln )1ln()1(>++， 即 xxx x +>+1ln )1ln(.（ x > 0） 2分。

武汉大学2015-2016第一学期高等数学A1期末试题A 解答一、计算题（每小题7分，共63分）1、若()f x 在点1x =可导，且(1)1f '=，计算 20151()(1)lim1x f x f x →-- 解 20152014201311()(1)()(1)limlim 1(1)(1)x x f x f f x f x x x x x →→--==--++++120157分 或 201520152014111()(1)()(1)111limlim (1)lim 1(1)120152015x x x f x f f x f x f x x x x →→→---'===--- 2、计算极限 11lim().nn n n e →∞+解：7分或 x 0x 011ln()limlim 21x 0lim()xxxe x e x e x x x x e eee →→+++→+=== 所以121lim()nn nn e e →∞+=3、已知()F x 是()f x 的一个原函数，满足()()xF x f x xe =，()0,(0)1F x F >=，求()f x ． 解：对()()xF x f x xe =两边积分得()()x F x f x dx xe dx =⎰⎰，即()()x xF x dF x xe e c =-+⎰，()21()2xx F x xe e c =-+，又(0)1F =代入上式得32c = 注意到()0F x >，解得()F x =，所以()()x x xe f x F x ==或()()xf x F x '==分4、设函数(x y y =是由方程2e 22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.解 ()22e e0xyxyx yy y y y xy '''+--+=将点()2,0代入得()403y '=423y x =+ (4360)x y -+=或7分5、计算定积分1dx -⎰解：原式=102⎰12016ln(2016ln(1x ⎡⎤==⎣⎦ 7分 6、设2, 01(), 120, ther x x f x x x o ⎧≤<⎪=≤<⎨⎪⎩，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式。

2020-2021学年第一学期高等数学期末考试山东大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim 2x xx →=。

2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是。

3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy =。

4．不定积分23x x dx -⎰=。

5．反常积分60xe dx +∞-⎰=。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点得分得分C.是该函数的一个极大值点D.不是该函数的一个极值点2.若函数有一个原函数，则不定积分（）.A.B.C.D.3.若定积分（）.A.B.C.D.4.定积分A.B.C.D.5.曲线的凸区间是（）．A.2020-2021学年第一学期高等数学期末考试 B. C. D.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.计算极限10(1)lim xx x ex →+-.2.dx t A dy t A t f y e x t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设.3.设)(x f 在[a ，b ]上连续，且],[)()()(b a x dtt f t x x F x a ∈-=⎰，试求出)(x F ''。

4．求极限011lim 1x x x e x →+⎛⎫- ⎪-⎝⎭.5．求3cos .sin x x dx x⎰6．计算定积分1ln ex xdx ⎰。

7．设dt tt x f x ⎰=21sin )(，计算dx x xf ⎰10)(四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）.1．设函数f (x )在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)4f f π==，证明：方程1)()1(2='+x f x 在(0,1)内至少有一个实根。

2015～2016学年第 二 学期 课程代码 1400021B 课程名称 高等数学A(2) 学分 6 课程性质:必修☑、选修☐、限修☐ 考试形式:开卷☐、闭卷☑
专业班级（教学班） 考试日期 2016-07-08 08:00-10:00 命题教师 朱士信 系（所或教研室）主任审批签名
设∑为半圆柱面22x y ⎧+()22
1L x y -+
2015～2016学年第 二 学期 课程代码 1400021B 课程名称 高等数学A(2) 学分 6 课程性质:必修☑、选修☐、限修☐ 考试形式:开卷☐、闭卷☑
专业班级（教学班） 考试日期 2016-07-08 08:00-10:00 命题教师 朱士信 系（所或教研室）主任审批签名
的上侧.
八、（本题满分10分）求幂级数20121n
n x n ∞
=+∑的收敛域及和函数()s x ，并求01(21)3
n
n n ∞
=+∑的和. 九、（本题满分5分）
证明级数
1
)n n k ∞=+∑（k 为常数）绝对收敛.。