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函数的最大值和最小值PPT优秀课件

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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.

高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件

高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件

几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成 立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点． 题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小 值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．

新教材人教B版必修第一册 3.1.2.2 函数的最大值、最小值 课件(57张)

新教材人教B版必修第一册 3.1.2.2 函数的最大值、最小值 课件(57张)
5 4a,a 2.
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均

函数的最大值与最小值PPT优秀课件1

函数的最大值与最小值PPT优秀课件1
举例说明
函数 f ( x )
1 x
在 (0,∞)内连续。
4
2
-5
5
-2
-4
2.求可导f ( x ) 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 f(x)x42x25在区间[-2，2]
上的最大值与最小值。
解：y' 4x3 4x
令 y ' 0 有 4x34x0 解得：x 1,0,1
当x变化时，y ' ，y的变化情况如下表：
x -2 (-2,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
y'
-
+ 0 - 0+
y 13
4
5
4
13
从上表可看出，最大值是13，最小值是4。
2.求可导f ( x ) 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 f(x)x42x25在区间[-2，2]
函数的最大值与最小值 高三数学选修（Ⅱ）章导数与微分
Maximumvalue&MinimumvalueofFunction
教出：廖维猛
Teachingout:Lwmeng
Lwmeng@ WangchencontryLeiFeiSchoolHunan
• 函数的最大值与最小值
最小值f(x3)
再见! 感谢各位评委莅临指导！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2.函数 yx 4xx2在上的最大值为（ B ）

函数的极值-最大值与最小值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

函数的极值-最大值与最小值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 鉴定每个驻点和导数不存在旳点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小旳邻域内)
f (x)旳符号, 依定理鉴定xi 是否为f(x)旳 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题旳实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 所以他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
特殊情况下旳最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且
有且只有一种驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上旳
可导 且
(2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )
f (x) 不可导 0
f(x) ↗
0
↘
↗
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0, 则
(1)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极大值点，
例4. 求 y 2x3 3x2 12x 14 在 [3,4] 上旳最大值与最小值. 解: y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1),
令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1.
因为
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
所以
M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
极小值, 称 x0为f(x)旳极小值点；

《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT

《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT
有几个?举例说明.
1
提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也
没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最
小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],
最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.
提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成
立.
(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对
∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.
其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
第2课时
函数的最大(小)值
-1-
首页
课标阐释
1.理解函数的最大值和最小值的
概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求
一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的
实际应用问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、函数的最大(小)值的定义
1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图
(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.
提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.

函数的最大值和最小值的求解方法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件


综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二 复合函数旳单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数旳区间是
(D )
A.(3,6)
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪 先求得函数旳定义域,然后再结合二次 函数、对数函数旳单调性进行考虑.
f '(x)
( x2 1)2
a( x2 1) ax 2x
( x2 1)2
ax2 a 2ax2 (x2 1)2
a(1 x2 (x2 1)2
)
.
当a>0时，∵-1<x<1,
a(1 x2 ) (x2 1)2 0, 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提升 对于给出详细解析式旳函数，判断或证明 其在某区间上旳单调性问题，能够结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则能够利用导数解之.
知能迁移1
试讨论函数
f
(x)
ax x2 1,
x∈(-1,1)旳单
调性（其中a≠0）.
解 措施一 根据单调性旳定义求解.
设-1<x1<x2<1,
则f
( x1 )
f
(x2 )
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x2 x1)(x1x2 1) . (x12 1)(x22 1)
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,

高中数学选择性必修二 课件 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值与导数课件(共58张)


[跟进训练] 1．已知函数 f (x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f (x)＝excos x－x，所以 f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0. 又因为 f (0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为 y＝1.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函 数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多 个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点 取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若 在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得 最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
4．函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是( ) A．1 B．2 C．0 D．－1 A [设 f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当 x＝12时，f ′(x)＝0. 又 f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26， ∴函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是 1.]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值与导数
学习目标
核心素养
1.理解函数的最值的概念．(难点) 1.通过函数最大(小)值存在性的
2．了解函数的最值与极值的区别 学习，体现直观想象核心素养．

高中数学 1.3.1函数的最大值、最小值课件 新人教版必修1

第2课时 函数的最大值、最小值
ppt精选
1
1.通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特 征。 2.会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小 值的概念。 3.了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最 值。
ppt精选
2
观察下列函数的图象，如找何出使函用数函图数象的上解的析最式高和点数或学者语言 刻画函数图象的最低点和最高点？
8
探究点3 例题解析
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制地面的高度h m与时 间t s之间的关系为 h(t)4.9t214.7t18，那么烟花 冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多 少（精确到1 m）？
分析：烟花的高度是时间的二次函 数，根据题意就是求出这个二次函 数在什么时刻达到最大值，以及这 个最大值是多少。
值。
【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一 次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答。 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
ppt精选
15
4.求函数 f(x)x2 2ax在区间[0,4]上的最小值。
ppt精选
9
解：画出这个函数 h(t)4.9t214.7t18
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点 的纵坐标就是距地面的高度。
根据二次函数的知识，对于函数
h(t)4.9t21 我4们.7t有 ：18
当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2(4.9)
2[(x2 1)(x1 1)] 2(x2 x1) .

函数的最大(小)值课件

次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
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-1函 (-1,0) 数 0 (0最 ,2) 2小 1(2,a 46) 值 b 4 3 为 29
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
（2）函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,
是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小 值的充分条件而非必要条件.
离散点时可能有最大或最小值!
二、分析最值情况:
+
增函数
（4）利用从+ 、0、- 判断函数极大值；
利用从- 、0、+ 判断函数极小值；
二、分析最值情况:
函数在什么条件下—定具有最大值和 最小值？最值与极值的关系如何？怎样求 函数的最值？
观察下图定义在闭区间上的函数的图
象,找出极大y值,极小值,最大值,最小值.
x1
a
O x2
x3
x b
二、分析最值情况:
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的 一个为最小值． 注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大 值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数 f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．
四、典型例题:
y 13
例1 求函数y=x4-2x2+5在区间
函 -2 (数 -2,-1) 最 -1 (大 -1,22) 2值 2a(2为 ,3)203
+ f/(xa) 可-2,0最小f可值 (1)07
f(x) 能
小
能
大
大
六、课时小结：
⑴函数在闭区间上的最值点必在 下列各种点之中:导数等于零的点,导 数不存在的点,区间端点；
⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续 是f(x)在[a,b]上存在最大值与最小值 的充分条件而非必要条件；
当x1时，函数有最小 4. 值
练习
函数 y1x41x31x2 ，在 432
［－1，1］上的最小值为( A )
A.0 B.－2 C.－1 D.13/12
五、练习题:
• 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值：
(1 )yx 3 1x 2 1,x 6 [ 3 ,3 ]
先求函数的y导 / 数 3(x2 4)
x 3 4 x
0 0
得
f (x) 的定义域为
3,4
因为
y f ( x ) ( 5 x ) ( 2 x 3 ) (4 x ) 5 11 0 x 32 4 x
所以 f (x) 在 3,4上单调递增，
故当 x3时，y最 小 1 57,x4 y最大 20 27
驻x 点 1 2 、 为 x 22 .
-3 (-3,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3
+ + f/(x)
0-0
f(x) 25
32
0
7
当x 2时，函数有最大32； 值 当x 2时，函数有最小 0。值
(3)求函数 f(x ) 5 x 2x 34 x的值
域．
解：由
如何求函数的最值? (1)利用函数的单调性; 如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
(2)利用函数的图象; 如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.
(3)利用函数的导数;
y
3、利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值 的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值)
[-2,2]上的最大值与最小值。 5
先求函数的y导 / 4数x(x2 1)
4
x1 1 、 x20,x31.
x -2 0 2
-2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
+ + f/(x)
-0
0- 0
f(x) 13
4
5
4
13
当x 2时，函数有最大 13； 值
函数的最大值 和最小值(01)
一、复习提问:
用导数来确定函数的极值步骤：
（1）先求函数的导数 f / (x);（注意定义域）
（2）再求方程 f /(x) = 0 的根；
（3）列出导函数值符号变化规律表；
f’(x)
符号
f (x)
(-∞,a)
+
增函数
a （a,b） b
0-0
极大值 减函数 极小值
(b, +∞)
⑶本节课介绍的求函数最值的方 法和步骤是指对于在[a,b]上连续,在 (a,b)内可导的函数。
七、布置作业:
• 课本P46---(习题2.5) • 1(1)(2)(3)(4)
五、练习题:
• 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值：