八年级数学作轴对称图形1

作轴对称图形【学习目标】1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.3．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点关于x 轴或y 轴对称点的坐标的规律，进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形．4．能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】要点一、对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点二、 用坐标表示轴对称1.关于x 轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系已知P 点坐标，则它关于x 轴的对称点的坐标为，如下图所示：即关于x 轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．2.关于y 轴对称的两个点横（纵）坐标的关系已知P 点坐标为，则它关于y 轴对称点的坐标为，如上图所示． 即关于y 轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．3.关于与x 轴（y 轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系P 点坐标关于直线的对称点的坐标为． P 点坐标关于直线的对称点的坐标为．【典型例题】类型一、作轴对称图形1、如图，△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称.（1）画出直线EF ；（2）直线MN 与EF 相交于点O ，试探究∠''BOB 与直线MN 、EF 所夹锐角α之间的数量关系.【答案】（1）如图；（2）∠''BOB ＝2α；【解析】（2）∵△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称.∴∠BOM ＝∠'B OM ，∠'B OE ＝∠''B OE ，∵∠'B OM ＋∠'B OE ＝α∴∠''BOB ＝2α【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.举一反三：【变式】在下图中，画出△ABC 关于直线MN 的对称图形.【答案】△'''A B C 为所求.类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M'P，QN转化为Q N'，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指M'P＋PQ＋Q N'最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点M'，作点N关于OB的对称点N'，连接M N''交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．【答案】作点M 关于OA 的对称点M '，过M '作OB 的垂线交OA 于P 、交OB 于Q ，侧M →P→Q 为最短路线．如图：3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a ，沿河OB 排开(从点P 到点Q)；将军从马棚M 出发到达队头P ，从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场N ．请问：在什么位置列队(即选择点P 和Q)，可以使得将军走的总路程MP ＋PQ ＋QN 最短?【答案与解析】见下图作法：作N 关于OB 的对称点N '，再作N N '''∥BO 且N N '''＝a (N ''在N '的左侧)；连接MN ''交OB 于点P ，再在OB 上取点Q 使得PQ ＝a (Q 在P 的右侧)，此时，MP ＋PQ ＋QN 最小．【总结升华】MP ＋PQ ＋QN 最小，其中PQ 是定值a ，问题转化为MP ＋QN 最小.因为将军要沿河走一段线段a ，如果能把这段a 提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从'N 沿平行的方向走a 至''N ，连接''MN 即可.类型三、用坐标表示轴对称4、 若点M （2,a ）和点N （a b +，3）关于y 轴对称，则a ＝ ，b ＝ . 【思路点拨】已知P 点坐标，则它关于x 轴的对称点的坐标为，关于y 轴对称点的坐标为. 【答案】 3，－5 ；【解析】点M 和点N 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等.∴20a b ++=, 3a =，解得b ＝－5.【总结升华】要掌握点关于x 轴，y 轴，原点等对称的点的坐标变化规律.举一反三：【变式1】已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（ ）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 5【答案】B ；提示：2m ＝2，m ＋n ＝3, 解得n ＝2, m ＝1，选B.【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【答案】共3个满足条件的点：1D （4，－1），2D （－1，3），3D （－1，－1）。

作轴对称图形作轴对称图形（一）教学目标（一）教学知识点1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．（二）能力训练要求经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点1．轴对称变换的定义．2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．2．利用轴对称进行一些图案设计．教学方法讲练结合法．教具准备多媒体课件．教学过程Ⅰ．设置情境，引入新课在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．[生甲]将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．[生乙]准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．[师]大家回答得太好了，•这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．Ⅱ．导入新课[师]刚才同学们说出了几种得到轴对称图形的方法，•由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．（电脑演示下面图案的变化过程）大家看大屏幕．对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．[师]下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．（学生动手做）结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．[师]我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．动手做一做．（课件演示）取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E 挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．投影仪演示学生的作品．[生甲]相邻两个图案成轴对称图形，相间的两个图案之间大小和方向完全一样．[生乙]都成轴对称关系．[生丙]得到与上面类似的两层花边，它仍然是轴对称图形．[师]下面我们做练习．Ⅲ．随堂练习（课件演示）（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？（2）这个图形有几条对称轴？（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？答案：（1）轴对称图形．（2）这个图形至少有3条对称轴．（3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，•得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，•打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．（二）回顾本节课内容，然后小结．Ⅳ．课时小结本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．Ⅴ．课后作业（课件演示）（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，•展开后结果又会怎样？为什么？（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．（2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2条对称轴；因此（1）•中的图案一定有2条对称轴．（3）按题中的方式将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，•因此得到的图案一定有4条对称轴．（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，•剪出的图案至少有4条对称轴．（二）自己设计并制作一个花边．（三）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出它的对称轴吗？Ⅵ．活动与探究如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图．“十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．板书设计备课资料艺术作品中的对称许多著名画家在作品中运用简单的图形创造出了奇妙的韵意．•法国著名画家V．瓦萨雷利于1969年创作了名画《委加．派尔》，画中仅仅用了“圆”形图案，就形成了一幅动态的轴对称图形！在从古至今的艺术创作中，不仅画家大量运用了对称，许多别的艺术家也经常运用对称的手法．如雕刻家威廉斯．多佛1971年在加蓬《非洲人的设计》中创作的“木制卫兵雕像”就是典型的雕刻艺术中的对称．带状装饰图案的做法油漆工只需要不断移动镂花模板（可以直接移动，也可以将翻转与移动相结合），就可以完全一条美丽的镶边图案．感兴趣的话自己试一试．§12．2．1作轴对称图形（二）教学目标（一）教学知识点1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．轴对称的简单应用．（二）能力训练要求1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力．3．使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系．（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点应用轴对称解决实际问题．教学方法讲练结合法．教具准备多媒体课件，方格纸数张．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，•知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？这就是我们这节课要学习的．•下面同学们来仔细观察一个图案．（课件演示）以虚线为对称轴画出图的另一半：[生甲]这个图案（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸．[生乙]图案（2）画出另一半后应该是一座小房子．[师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗？[师]我们利用方格纸来试着画一画（教师发给每人一张方格纸，且纸上画有图）．……[师]画好了吧？我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形．Ⅱ．导入新课[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：•对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L•的对应点A′，可采取如下方法：（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．点A′就是点A关于直线L的对应点．好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性．……[师]画好了没有？[生]画好了．[师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？•大家请看大屏幕．（演示课件）[例1]如图（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．[师]同学们讨论一下．……[生甲]可以在已知图形上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连结这些点．这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了．[师]说说看，找几个什么样的点就行呢？[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了． [师]好，下面大家一起动手做．作法：如图（2）．（1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．[师]大家做完后，•我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．归纳：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另一半，哪些点可以作为特殊点？并画出图形的另一半．[师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题．[生]在图形（1）上找三个点，在图形（2）中找一个点就可以，如下图：[师]现在我们来做练习．Ⅲ．随堂练习课本P41练习 1、2．1．如图，把下列图形补成关于直线L对称的图形．提示：找特殊点．答案：图（略）2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，•看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．答案：本题答案不唯一，要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述．Ⅳ．课时小结本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．Ⅴ．课后作业（一）课本P45习题─1、5、8、9题．（二）预习内容P43～P46．Ⅵ．活动与探究[探究1]如图（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？过程：把管道L近似地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，•将问题转化为在L上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线L的交点C的位置即为所求．结果：作B关于直线L的对称点B′，连结AB′，交直线L于点C，C为所求．[探究2]为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．结果：如上图，在直线L上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，•而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB<AC′+C′B．由于C′点的任意性，所以C点的位置修建泵站，可以使所用输气管线最短．板书设计§12．2．1作轴对称图形（二）一、已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对称点A′，方法如下：（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B．（2）在垂线上截取BA′=AB．则点A′就是点A关于直线L的对应点，二、例1三、随堂练习四、课时小结五、课后作业备课资料参考练习1．已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′；（2）作点B关于直线L的对称点B′；（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合；（4）连结A′B′、B′C′、C′A′．则△A′B′C′就是所求作的三角形．2．已知a⊥b，a、b相交于点O，点P为a、b外一点．求作：点P关于a、b的对称点M、N，并证明OM=ON（不许用全等）．作法：（1）过点P作PC⊥a，并延长PC到M，使CM=PC．（2）过点P作PD⊥b，并延长PD到N，使得DN=PD．则点M、N就是点P关于a、b的对称点．证明：∵点P与点M关于直线a对称，∴直线a是线段PM的中垂线．∴OP=OM．同理可证：OP=ON．∴OM=ON．3．为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，•要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．答案：略。