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第七章 平稳时间序列预测法

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平稳时间序列ARMA预测法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

平稳时间序列预测法概述

平稳时间序列预测法概述

平稳时间序列预测法概述平稳时间序列预测法是一种常用的时间序列分析方法，用于对平稳时间序列数据进行预测和建模。

这种方法基于时间序列的统计特性和历史模式，通过对过去时间点的观察和分析，来推断未来的趋势和模式。

平稳时间序列是指在统计意义下具有相同的均值、方差和自协方差的时间序列。

平稳时间序列的特点是其统计特性不会随时间而变化，即没有趋势、季节性和周期性。

由于平稳时间序列没有这些变化，因此通过对其进行建模和预测会更容易和准确。

平稳时间序列预测法通常分为两种主要方法：直观法和数学统计法。

直观法是一种基于观察和直觉的预测方法。

它主要是通过对时间序列的图形和趋势进行分析和观察，来预测未来的值。

直观法的优点是简单易懂，适用于简单的时间序列预测问题。

然而，直观法的缺点是主观性较强，可能受到个人经验和认知的影响。

数学统计法是一种基于数学模型和统计方法的预测方法。

它通过对时间序列数据进行分析和建模，来预测未来的趋势和模式。

常用的数学统计方法包括平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。

平均法是最简单的数学统计方法之一，它通过计算时间序列的平均值来预测未来的值。

指数平滑法是一种以指数加权平均值为基础的预测方法，适用于序列有较强的趋势性时。

ARMA 模型是一种常用的时间序列模型，它对序列的自相关性和移动平均性进行建模，用于预测未来的值。

SARIMA模型是对ARMA模型进行扩展，考虑了序列的季节性变化，适用于有季节性趋势的时间序列。

平稳时间序列预测法的主要目的是为了预测未来的值，以便辅助决策和规划。

它在经济学、金融学、管理学等领域都有广泛的应用，例如股票预测、销售预测、经济增长预测等。

需要注意的是，平稳时间序列预测法仅适用于平稳时间序列。

对于非平稳时间序列，需要先进行平稳性检验和转换，然后再进行预测建模。

此外，时间序列预测还需要考虑模型的选择和参数的确定，以及模型的评估和验证等问题。

13.4平稳序列的预测

13.4平稳序列的预测

8
9 10 11 12 13
1996
1997 1998 1999 2000 2001
108.3
102.8 99.2 98.6 100.4 100.7
118.6
116.5 109.4 103.4 100.2 99.4
-10.3
-13.7 -10.2 -4.8 0.2 1.3
106.8
187.7 104.0 23.4 0.0 1.7
4. 预测误差用均方误差(MSE)来衡量
误差平方和 MSE 误差个数
n
简单移动平均法(特点)
1. 将每个观察值都给予相同的权数
2. 只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移 动的间隔都为k 3. 主要适合对较为平稳的序列进行预测 4. 对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准 确性是不同的
6.9 28.0 —— 642.5
20 21 22 23
2008 2009 2010
105.9 99.3 ——
102.7 104.1 103.3 102.6
3.2 -4.8 —— ——
10.2 22.7 —— 843.4
102.6 103.6 102.7 102.9
3.3 -4.3 —— ——
10.6 18.3 —— 619.3
13.4.3 指数平滑法(exponential smoothing)
13.4
平稳序列的预测
平稳时间序列通常只含有随机成分，其预测方法主要有 简单平均法、移动平均法和指数平滑法等，这些方法主要 是通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动，因而也称 为平滑法。平滑法既可用于对平稳时间序列进行短期预测， 也可用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势。

平稳时间序列模型预测培训课件

平稳时间序列模型预测培训课件

2021/7/5
14
§7.3 MA模型的预测
对于MA(q)模型 Xt t 1t1 qtq 我们有X tl tl 1tl1 qtlq
当预测步长 l q ，X tl 可以分解为
X tl tl 1tl1 l1t1 lt qtlq
xˆt l E X tl X t , X t1, lt qtlq
并未利用xt
G02 G12
G2 l 1
2
由当件此前最，样小我本方们差Xt可预和以测历看 值史到。样在其本预预X测测t , 方方Xt差差1, 最只小与已的预知原测条则步件下长下，lxˆ得t有l到关是的，X条tl
而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测 值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预 测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间 序列分析只适合做短期预测。
xˆt 1 E Xt1 Xt , Xt1, E 1Xt p Xt1p tl Xt , Xt1,
1xt pxt p1
当 l p，当前时刻为t的 l 步预测
xˆt l E Xtl Xt , Xt1, E 1Xtl1 p Xtlp tl Xt , Xt1,
1xˆt l 1 p xˆt l p
2021/7/5
23
计算预测方差
var e100 1 G02 0.0025
var e100 2 2 G02 G12 0.0026
var e100 3 2 G02 G12 G22 0.002664
计算 xˆ100 l 1.96 var e100 l , xˆ100 l 1.96 var e100 l
16
例7.3
已知某地区每年常住人口数量近似的服从 MA(3)模型（单位：万人）

平稳序列的预测方法

平稳序列的预测方法

平稳序列的预测方法平稳序列是时间序列分析中非常重要的一种序列类型，它具有一定的稳定性和规律性，因此对于平稳序列的预测方法也是非常值得研究的。

在本文中，我们将介绍一些常用的平稳序列预测方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这些方法。

首先，我们需要了解什么是平稳序列。

平稳序列是指在时间序列中，序列的均值和方差是常数，并且序列中任意时刻的协方差只与时间间隔有关，而与具体的时刻无关。

平稳序列的预测可以帮助我们分析序列的趋势和周期性，对未来的发展趋势进行预测。

一种常用的平稳序列预测方法是时间序列分解法。

这种方法将时间序列分解为趋势、季节性和随机成分三部分，然后分别对这三部分进行预测，最后将它们合并起来得到最终的预测结果。

时间序列分解法能够很好地反映序列的长期趋势和季节性变化，对于周期性比较强的序列有较好的预测效果。

另一种常用的平稳序列预测方法是移动平均法。

移动平均法是通过对时间序列的数据进行平均处理，得到一组平均值序列，然后利用这组平均值序列进行预测。

移动平均法能够有效地平滑序列的波动，对于周期性不强的序列有较好的预测效果。

除了上述两种方法外，还有一种常用的平稳序列预测方法是指数平滑法。

指数平滑法是通过对序列的加权平均处理，得到一组指数加权平均序列，然后利用这组指数加权平均序列进行预测。

指数平滑法能够较好地反映序列的趋势变化，对于趋势性比较强的序列有较好的预测效果。

在实际应用中，我们可以根据序列的特点和预测的要求选择合适的方法进行预测。

有时候也可以将多种方法进行组合，得到更加准确的预测结果。

同时，我们还需要注意对预测结果进行评估，选择合适的评估指标来评价预测的准确性，从而不断改进和优化预测方法。

总之，平稳序列的预测是时间序列分析中的重要内容，我们可以通过时间序列分解法、移动平均法、指数平滑法等多种方法来进行预测。

在实际应用中，我们需要根据序列的特点和预测的要求选择合适的方法，并不断改进和优化预测方法，以获得更加准确的预测结果。

平稳时间序列ARMA预测法共58页文档

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平稳时间序列ARMA预测法
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 ห้องสมุดไป่ตู้ 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭

平稳序列的预测方法

平稳序列的预测方法

平稳序列的预测方法平稳序列是指在一定时间范围内，其统计特性如均值、方差、自相关系数等都保持不变的时间序列。

对于平稳序列的预测方法，我们可以采用几种常见的统计学方法来进行分析和预测，以帮助我们更好地理解和预测未来的趋势。

首先，我们可以使用移动平均法来进行平稳序列的预测。

移动平均法是一种常见的时间序列分析方法，通过计算一定时间段内的平均值来预测未来的趋势。

这种方法适用于数据波动较大，且存在一定周期性的情况，通过不断调整时间段的长度，我们可以得到不同的预测结果，从而更好地理解未来的走势。

其次，指数平滑法也是一种常用的平稳序列预测方法。

指数平滑法通过对历史数据赋予不同的权重来进行预测，对于近期数据赋予较大的权重，而对于远期数据赋予较小的权重，从而更好地反映出近期的变化趋势。

这种方法适用于数据波动较大且存在较强趋势性的情况，通过不断调整平滑系数，我们可以得到不同的预测结果，从而更好地理解未来的走势。

另外，自回归移动平均模型（ARMA）也是一种常见的平稳序列预测方法。

ARMA模型结合了自回归模型和移动平均模型的特点，通过对历史数据进行自回归和移动平均的拟合，来预测未来的趋势。

这种方法适用于数据存在一定的自相关性和季节性的情况，通过对模型的参数进行调整，我们可以得到更准确的预测结果，从而更好地理解未来的走势。

最后，我们还可以使用时间序列分解方法来进行平稳序列的预测。

时间序列分解方法将序列分解为趋势、季节和随机成分，通过对这些成分进行建模和预测，来更好地理解未来的走势。

这种方法适用于数据存在一定的趋势和季节性的情况，通过对分解模型的调整，我们可以得到更准确的预测结果，从而更好地理解未来的走势。

综上所述，平稳序列的预测方法有多种多样，我们可以根据具体的数据特点和预测需求来选择合适的方法。

通过对历史数据的分析和建模，我们可以更好地理解未来的走势，从而做出更准确的预测。

希望本文所介绍的方法能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。

平稳时间序列预测法

平稳时间序列预测法

第七章 平稳时间序列预测法一、单项选择题3、移动平均模型MA(q)的平稳条件是（）A 、滞后算子多项式()p pB B B φφφ++-=...11的根均在单位圆外B 、任何条件下都平稳C 、视具体情况而定D 、()0=B φ的根小于1答：B二、选择题3、Box-Jenkins 方法（）A 、是一种理论较为完善的统计预测方法B 、 为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA 模型识别、估计和诊断的系统方法C 、 使ARMA 模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，D 、 具有统计上的完善性和牢固的理论基础。

E 、 其应用前提是时间序列是平稳的答：ABCDE三、名词解释1、宽平稳答：宽平稳时间序列的定义：设时间序列{}t y ，对于任意的t ,k 和m ，满足：()()m t t y E y E +=()()k m t m t k t t y y y y ++++=,cov ,cov则称{}t y 宽平稳.四、简答题4、协整检验的目的是什么？答：如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。

如果我们直接对有协整关系的变量之间进行回归分析等操作，尽管拟合的效果很好，但实际上变量之间可能根本不存在任何关系，即产生了谬误回归，这会影响分析的结果。

所以在进行分析之前，应该进行协整检验。

五、计算题a) 判断下列时间序列{}t y 是否为宽平稳，为什么？①x y t =，其中()1,0~N x ；②12-+=t t t y εε，其中{}()2,0~σεW N t ；③t t t t y y y ε+-=--215.0，其中{}()2,0~σεW N t ； ④()()ct ct y t t t sin cos 1-+=εε，其中{}()2,0~σεW N t ，c 为一非零常数； ⑤{}t y 独立同分布，服从柯西分布；答：①宽平稳；②宽平稳；③宽平稳；④不平稳；⑤不平稳；。

平稳序列的预测方法

平稳序列的预测方法

平稳序列的预测方法平稳序列是时间序列分析中非常重要的概念，它在很多实际应用中都有着广泛的应用。

对于平稳序列的预测方法，我们可以采用多种统计学和机器学习的技术来进行预测。

在本文中，我们将介绍一些常用的平稳序列预测方法，并对它们的原理和应用进行简要的介绍。

首先，我们可以使用时间序列分解的方法来进行平稳序列的预测。

时间序列分解是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分的过程。

通过对这些分量进行建模和预测，我们可以得到对未来时间序列值的预测。

时间序列分解方法在很多领域都有着广泛的应用，比如经济学、气象学和环境科学等。

其次，我们可以使用自回归移动平均模型（ARMA）来进行平稳序列的预测。

ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它可以很好地捕捉时间序列数据的自相关性和移动平均性质。

通过对ARMA模型的参数进行估计和拟合，我们可以得到对未来时间序列值的预测。

ARMA模型在金融领域和工程领域都有着广泛的应用。

另外，我们还可以使用季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）来进行平稳序列的预测。

SARIMA模型是ARIMA模型的一种扩展，它可以很好地处理具有季节性的时间序列数据。

通过对SARIMA模型的参数进行估计和拟合，我们可以得到对未来时间序列值的预测。

SARIMA模型在销售预测和库存管理等领域有着重要的应用。

此外，我们还可以使用神经网络模型来进行平稳序列的预测。

神经网络模型是一种强大的非线性建模工具，它可以很好地捕捉时间序列数据中的复杂关系和非线性特性。

通过对神经网络模型的训练和优化，我们可以得到对未来时间序列值的预测。

神经网络模型在股票价格预测和天气预报等领域有着广泛的应用。

综上所述，平稳序列的预测方法包括时间序列分解、ARMA模型、SARIMA模型和神经网络模型等多种技术。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择合适的预测方法，并通过不断地优化和调整模型参数来提高预测的准确性和稳定性。

希望本文介绍的内容能够对大家在实际工作中的时间序列分析和预测工作有所帮助。

平稳时间序列模型预测

平稳时间序列模型预测
ˆt l E X t l X t , X t 1 , x
当 l 1 ，当前时刻为t的 l 步预测
E X t l 1 t l X t , X t 1,
l ˆ x l 1 t xt
1 时，当前时刻为t的一步预测为 ˆ 1 E X X , X , E x X X X , X , x x 当 l p ，当前时刻为t的 l 步预测
条件无偏均方误差最小预测
，满足EX t , EX ，则 • 如果随机变量 f X1 , , X n 使得 设随机序列 X1 , X 2 ,
2 t
达到最小值，则 f X 1 , , X n E X n1 X 1 , , X n • 如果随机变量 f X1 , , X n 使得 2 E X n 1 f X 1 , , X n
Gl21 2
var X t l X t , X t 1 ,
E X t l E X t l X t , X t 1 ,
2


ˆt l E X t l x var et l
2
2 G0 G12 Gl21 2 ˆt l x • 由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下， 是 X t l 当前样本 X t和历史样本 X t , X t 1 , 已知条件下得到的条 件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 l 有关， 而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测 值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预 测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间 序列分析只适合做短期预测。

平稳时间序列模型预测

平稳时间序列模型预测

解: (2)预测方差旳计算
计算Green函数: 根据递推公式
方差
G0 1
G1 1G0 0.6 G2 1G1 2G0 0.36 0.3 0.66
var[e3 (1)] G02 2 36 var[e3 (2)] (G02 G12 ) 2 48.96 var[e3 (3)] (G02 G12 G22 ) 2 64.6416
设目前时刻为t，已知时刻t和此前时刻旳观察值xt-1,
xt-2, …，对观察值xt+l进行预测，用 xˆt l 表达时间序
列Xt旳第l步预测值(l>0)。
最小均方误差预测
用et(l)衡量预测误差： et l Xtl xˆt l
显然，预测误差越小，预测精度就越高。
最小均方误差预测原则：
var[e4 (1)] var[e3(1)] G02 2 36 var[e4 (2)] var[e3(2)] (G02 G12 ) 2 48.96
l步预测销售额旳95%置信区间为：
xˆ4 l 1.96 var e4 l , xˆ4 l 1.96 var e4 l
修正预测
预测时期 修正前置信区间 修正后置信区间 四月份 （85.36，108.88） 五月份 （83.72，111.15） （87.40，110.92） 六月份 （81.84，113.35） （85.79，113.21）
修正预测
定义
所谓旳修正预测就是研究怎样利用新旳信息去取得 精度更高旳预测值
措施
在新旳信息量比较大时——把新信息加入到旧旳信 息中，重新拟合模型；
在新旳信息量很小时——不重新拟合模型，只是将 新旳信息加入以修正预测值，提升预测精度。
修正预测原理
在旧信息旳基础上，Xt+l旳预测值为

时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解(七)

时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解(七)

时序预测中的时间序列平稳性检验方法详解时间序列分析是指对一定时间间隔内的数据进行观察、分析和建模的一种统计分析方法。

其中，时序预测是时间序列分析的一个重要应用方向，通过对历史数据的分析和模型构建，来预测未来一段时间内的数据走势。

而时间序列的平稳性是时序预测中的重要前提条件，下面将详细讨论时间序列平稳性的检验方法。

一、平稳性概念及其重要性所谓平稳性，是指时间序列在不同时间点上的统计特性不发生显著的变化。

具体来说，时间序列的均值、方差和自相关性不随时间变化而发生显著变化。

平稳性对于时序预测至关重要，因为只有在时间序列平稳的情况下，我们才能够基于历史数据进行有效的预测。

二、时间序列平稳性的检验方法1. 直观法直观法是一种最简单直接的方法，即通过观察时间序列图来初步判断序列是否平稳。

如果时间序列的均值和方差在不同时间段内基本保持不变，那么可以初步认定序列具有平稳性。

然而，直观法并不够严谨，往往需要结合其他方法进行验证。

2. 统计检验法统计检验法是通过一些统计指标来检验时间序列的平稳性。

常用的方法包括ADF检验、单位根检验、KPSS检验等。

ADF检验是一种通过单位根检验来判断时间序列是否平稳的方法，其基本原理是对原始时间序列进行单位根检验，若序列平稳则对应的p值应当小于显著性水平。

而KPSS检验则是一种基于单位根检验的方法，其原理是对原始序列进行单位根检验，若序列显著偏离平稳则对应的p值应当大于显著性水平。

通过这些统计检验方法，我们可以更加客观准确地判断时间序列的平稳性。

3. 时间序列差分法时间序列差分法是一种通过对时间序列进行差分运算来消除非平稳性的方法。

具体来说，我们可以对原始时间序列进行一阶差分或二阶差分运算，然后对差分后的序列进行平稳性检验。

若差分后的序列满足平稳性条件，则可以认定原始序列具有平稳性。

4. 线性回归法线性回归法是一种利用线性回归模型来检验时间序列平稳性的方法。

具体来说，我们可以建立一个线性回归模型，将时间序列的观测值作为因变量，时间作为自变量，然后对回归系数进行显著性检验。

第七章平稳时间序列预测法

第七章平稳时间序列预测法

2、判断时间序列是否平稳，是一项很重要 的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性 的准则是：
若时间序列的自相关函数在k>3 时都落入置
信区间（-
2 n
、2 n
），且逐渐趋于零，则该时间序
列具有平稳性；
若时间序列的自相关函数更多地落在置信区 间外面，则该时间序列不具有平稳性。
注：在B-J方法中，只有平稳的时间序列才 能建立ARMA模型，否则必须经过适当的处理使序 列满足平稳性要求。例对某种趋势的时间序列进 行差分处理。但很多序列不能通过差分达到平稳， 而且差分虽然消除了序列的趋势易于建模，但也 消除了序列的长期特征，实际的经济序列差分一 般不超过两次。
-0.6
PAC F 5
-0.8
-1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
7.4 ARMA模型的建模
一、模型阶数的确定 （1）基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法
对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的 自相关函数和样本偏自相关函数的截尾性判
定模型的阶数。
如果样本的偏自相关函数是以p步截尾的，模型为AR(p) ； 如果样本的自相关函数具有q步截尾性，模型为MA(q)； 如果样本的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，模型 为ARMA(p,q) 。
之间未被
所解释的相关度量。
在AR(1)中， 从ｙt中去掉ｙt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它 与ｙt-2无关，因此我们说ｙt与ｙt-2的偏自相关系数为零。 同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Ｙt与Ｙt-k间 的偏自相关系数为零。
样本的偏自相关函数的计算
其中：
时间序列特性分析 1、时间序列的随机性，是指时间序列各项
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三、移动平均模型MA(q) 如果时间序列 满足
，
则称时间序列
或者记为
服从q阶移动平均模型。
。
平稳条件：任何条件下都平稳。
MA(q)模型的平稳性
对于移动平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一个白噪声，于是
E ( X t ) E ( t ) 1 E ( t 1 ) q E ( q ) 0
AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根大于1。 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是： 1+2++p<1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型 稳定的充分条件是： |1|+|2|++|p|<1
所使用的工具主要是时间序列的自相关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自相关 函 数 （ partial autocorrelation function ， PACF ）。
一、自相关分析 自相关分析法是进行时间序列分析的有效方
法，它简单易行, 较为直观，根据绘制的自
当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。 因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。
可逆条件：
的根均在单位圆外
通常希望AR过程与ＭＡ过程能相互表出，即过程 可逆。 如移动平均模型MA(１)：
可逆条件：
四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足
则称时间序列
平均模型。
服从(p,q)阶自回归移动
或者记为：
平稳条件： 可逆条件： 的根均在单位圆外 的根均在单位圆外
将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动 平均（autoregressive moving average）过程ARMA（
该式表明： （1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均 过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及 随机扰动项来解释。 （2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。 这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
据之间的相关程度，其取值范围在－1到 1之间，值越接近于1，说明时间序列的 自相关程度越高。
（3）样本的偏自相关函数 在给定了 换句话说：偏自相关是对 的条件下， 之间未被
与滞后k期时间序列之间的条件相关。
所解释的相关度量。
在AR(1)中， 从ｙt中去掉ｙt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它 与ｙt-2无关，因此我们说ｙt与ｙt-2的偏自相关系数为零。 同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Ｙt与Ｙt-k间 的偏自相关系数为零。
0 var X t (1 12 q2 ) 2 1 cov( X t , X t 1 ) ( 1 1 2 2 3 q 1 q ) 2

q 1 cov( X t , X t q 1 ) ( q 1 1 q ) 2 q cov( X t , X t q ) q 2
一、模型阶数的确定 （1）基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法 对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的 自相关函数和样本偏自相关函数的截尾性判
定模型的阶数。
如果样本的偏自相关函数是以p步截尾的，模型为AR(p) ； 如果样本的自相关函数具有q步截尾性，模型为MA(q)； 如果样本的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，模型 为ARMA(p,q) 。
-0.3
-0.4
-0.4
-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8
-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8
模型 4： X t 0.7 X t 1 0.49 X t 2 t
0.6 ACF 4 0.6 PACF 4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
-0.2
-0.2
-0.4 1 2 3 4 5 6 7 8
PACF
模型 1：
X t 0.7 X t 1 t
0.8 ACF1 0.6 PACF1
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
模型 2：
0.6 0.4 0.2 0.0
X t 0.7 X t 1 t
7 平稳时间序列预测法
7.1 概述
7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模
7.1 概 述
一、平稳时间序列
时间序列 取自某一个随机过程，则称：
过程是平稳的——随机过程的随机特征不随时间变化而变化
过程是非平稳的——随机过程的随机特征随时间变化而变化
严平稳时间序列的定义： 所有的统计特性不随时间的平移而变化 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足：
样本的偏自相关函数的计算
其中：
时间序列特性分析 1、时间序列的随机性，是指时间序列各项 之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图 判断时间序列的随机性，一般给出如下准则： 若时间序列的自相关函数基本上都落入 （ 置信区间 - 2 、2 ），则该时间序列具有随机性；
n n
若较多自相关函数落在置信区间之外， 则认为该时间序列不具有随机性。
三、ARMA模型的自相关分析 AR(p)模型的偏自相关函数是以p步截尾的，自 相关函数拖尾； MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏 自相关函数拖尾；
（可用以上两个性质来识别AR和MA模型的阶数）
ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都 是拖尾的。
图 ACF
ARMA(p,q)模型的 ACF 与 PACF 理论模式
-0.4 1 2 3 4 5 6 7 8
模型 5：
0.8
X t 0 .7 X t 1 t 0.7 t 1
0.0 ACF5
0.4
-0.2
0.0
-0.4
-0.4
-0.6
PACF5
-0.8
-0.8
-1.2 1 2 3 4 5 6 7 8
-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8
7.4 ARMA模型的建模
判定准则：
月度数据，考察k=12,24,36, …时的自相关系数 是否与0有显著差异；
季度数据，考察k=4,8,12, …时的自相关系数是 否与0有显著差异 。
注1：实际问题中常遇到季节性和趋势性同时存在 的情况，应先剔除序列趋势性，在识别季节性。 注2：包含季节性的时间序列也不能直接建模，应 先进行季节差分消除，季节差分一般不超过一阶。
n 其中m 取 10 或m n 左右。 则当
H 0 成立时，Q 服从
2 分布。 的
对给定的显著性水平

Q 2 ( ) ，则拒绝 ，若
H 0 ，即模型与原随机序列之间拟合得不好，需重新考虑
建模；若 Q 2 ( ) ，则认为模型与原随机序列之间拟合 得较好，模型检验被通过。 注：上机操作时，一般看Q统计检验的相伴概率
ARMA模型的三种基本形式：
自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）；
混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。
二、自回归模型 如果时间序列 其中 满足
是独立同分布的随机变量序列,且满足：
ˆ (j ) 令
1 n j ˆ ˆ t j t n t 1
j 0,1,, m
ˆ (j )
ˆ (j )
ˆ
( ) 0
j 1,, m
Q
j 1
m

ˆ n (j )

2
ˆ n (j )
m j 1
2
自由度为 m p q
如果对于序列
和
来说，均不 和 ，则可以
截尾，即不存在上述的
判定平稳时间序列
为ARMA模型。
（3）残差项的白噪声检验：（Q统计量检验）
一般地，对ARMA ( p, q) 模型
ˆ ˆ t yt i yt i j t j
i 1 j 1
p
q
它们均值为0，可递推得到残量估计1 , 2 ,, t ˆ ˆ ˆ 现作假设检验： ˆ ˆ ˆ H0 : 1 , 2 ,, t 是来自白噪声的样本
则称
宽平稳。
ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型。 Box-Jenkins方法提供了对时间序列进行分析、预测， 以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。 Box-Jenkins基本思想：用数学模型描述时间序列自身 的相关性，并假定这种自相关性一直延续，用该模型预 测未来的值。
相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初 步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。 利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性 和平稳性，以及时间序列的季节性。
（1）自相关函数的定义
滞后期为k的自协方差函数为：
则自相关函数为：
其中：
当序列平稳时，自相关函数可写为：
（2）样本自相关函数
其中：
样本自相关函数可以说明不同时期的数
由于Xt 仅与 t 相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳 定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：
2 2 0 X 1 2
在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 ||<1。