高考数学函数与方程思想练习题及答案

高考数学函数与方程思想练习题

函数与方程的思想就是用函数、方程的观点和方法来处理问题，从而可利用函数的性质、图象或解方程来获得问题的解的一种思维策略。

函数与方程的思想是中学数学中最重要的数学思想之一，许多问题一旦转化为函数或方程来研究，思考的方向就会非常明确，从而有效解决。

1．已知x y x 62322=+，则122-+=y x μ的最大值是( )

(A)

25

(B ) 3 (D) 4 2．方程033

=--a x x 有三个相异实根,则实数a 的取值范围是( ) (A) 0>a (B) 0a

3.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e -=，则有（ ） (A) (2)(3)(0)f f g << (B) (0)(3)(2)g f f << (C) (2)(0)(3)f g f << (D ) (0)(2)(3)g f f <<

4．已知155=-a

c

b ，

（a 、b 、R c ∈），则有（ ） (A)ac b 42> (B )ac b 42≥ (C)ac b 42< (D)ac b 42≤ 5．若关于x 的方程02cos sin 2=-+a x a x 有实数解，则实数a 的取值范围是_____________ 6．已知t t f 2log )(=，]8,2[∈t ，对于)(t f 值域内的所有实数m ，不等式

x m mx x 4242+>++恒成立，则x 的取值范围为_________________

7．关于x 的不等式0333222>--+-⋅a a x x ，当10≤≤x 时恒成立,则实数a 的取值范围为____

8.设1>a ，若有且仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有2

,y a a ⎡⎤∈⎣⎦

满足方程c y x a a =+log log ，这时a 的取值的集合为

9.已知数列}{n a 是由正数组成的等差数列，n S 是其前n 项的和，并且32=a ，8135=S a （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求不等式12)1

1()11)(11(21+≥+++n a a a a n

对一切*N n ∈均成立最大实数a

10.已知函数c bx ax x f ++=2)((c b a >>)图象上有两点))(,(11m f m A ,))(,(22m f m B 满足

0)1(=f 且0)()())()((21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a 。

（1）求证0≥b ；

（2）能否保证)3(1+m f 和)3(2+m f 中至少有一个为正数？请证明你的结论。

基础大题自测（九）

1．已知在ABC ∆中,3=a ,向量(sin cos )2A m A =，，(32cos )2

A

n =，，n m //

(1) 求角A 的大小； (2) 求b c +的取值范围

2．甲乙两个人进行射击，甲射击一次中靶概率是1p ，乙射击一次中靶概率是2p ，已知

1

1

p 、21p 是方程2

560x x -+=的根，若两人各射击5次，甲中靶次数的方差是54。 （1）求 1p 、2p 的值；

（2）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？ （3）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

3．如图所示，等腰ABC

∆的底边AB =3CD =，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF AB ⊥。现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使

PE AE ⊥。记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACEF -的体积。

（1）求()V x 的表达式；

（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？

（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF

函数与方程思想参考答案

1.B

2.C

3.D 因为()()x

f x

g x e -=，用x -替换x 得： ()(),x

f x

g x e ----=

因为函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，

所以()()x

f x

g x e -+=-，又()()x

f x

g x e -=

解得：(),()22

x x x x

e e e e

f x

g x ---+==-

，而)(x f 单调递增且()00f =， ∴()()320f f >>大于等于0，而1)0(-=g ，故选D 。

4.B 法一：依题设有055=+⋅-⋅c b a

∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴042≥-=∆ac b ∴ac b 42≥ 故选(B) 法二：去分母，移项，两边平方得：

ac c a ac c ac a b 2052110255222=⋅⋅+≥++= ∴ac b 42≥ 故选(B) 点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为2b 是a 、c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。 5．}3240|{-≤≤a a

原方程可化为x x a cos 2sin 2-= ∵x x a cos 2sin 2-=是函数x

x

x f cos 2sin )(2-=的函数值.

∴问题等价于求函数x x

x f cos 2sin )(2-=的值域. 记x t cos =

∴问题又化为求函数t

t y --=212

（]1,1[-∈t ）的值域.

∵423)2(212+----=--=t

t t t y 记t m -=2

∴43

+--=m

m y （]3,1[∈m ）

∴3240-≤≤y 即a 的取值范围为3240-≤≤a 6．2|{>x x 或}1-

解析 ∵]8,2[∈t ，∴]3,2

1

[)(∈t f

原题转化为：0)2()2(2>-+-x x m 恒成立，为m 的一次函数（这里思维的转化很重要） 当2=x 时，不等式不成立。

∴2≠x ，令2)2()2()(-+-=x x m m g ，]3,2

1

[∈m

问题转化为2

)2()2()(-+-=x x m m g 在]3,21[∈m 上恒大于0，则：⎪⎩⎪⎨⎧>>0

)3(0)21

(g g ；

解得：2>x 或1-

评析 首先明确本题是求x 的取值范围，这里注意另一个变量m ，不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。 7．1|{-a

分析:不等式恒成立问题,如果能分离系数,就可以转化为函数的最值来处理.

解: 设x t 3=,10≤≤x ，则]3,1[∈t

原不等式可化为t t a a +->--2223,]3,1[∈t

原问题等价于32--a a 大于函数t t t f +-=22)(,]3,1[∈t 的最大值

∴132->--a a ,得1-a 即实数a 的取值范围为1|{-a . 8. {2}

解：由已知c y x a a =+log log ，得c a

y x

=（其中[,2]x a a ∈），函数为反比例函数，

c

a y x =

在[],2a a （1>a ）上为单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，11[,]2c c a y a --∈