2017-2018学年高中数学必修一(北师大版) 二次函数性质的再研究课时作业Word版含答案

§4 二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像
●三维目标 1．知识与技能 (1)能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像， 并能理解它与y＝ax2的图像的关系． (2)掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的开口方向、对称 轴和顶点坐标及a，h，k对二次函数图像的影响．
2．过程与方法 经历二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的形成过程，提高作 图能力，学会观察比较，体验数形结合的数学思想． 3．情感、态度与价值观 (1)经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情 推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐 述自己的观点． (2)让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程 和结果．
此时，a决定了图像的 开口方向 和在同一直角坐标系 中的 开口大小 ．
函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的变换
【问题导思】 1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的 关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？ 【提示】 它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图 像向右平移1个单位就可得到y＝(x－1)2的图像． 2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？ 【提示】 把y＝x2的图像向下平移1个单位．
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移 |h| 个单位长度(h<0)，再向 下 平移|k| 个单位长度(k<0)得到．
在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图
像的开口大小及方向．
3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x
＋h)2＋k (a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左
函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为 直线x＝1.

跟踪训练 2 求函数 y＝3－2x－x2，x∈－52，23的最大值和最小 值．
【解析】 二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为 x＝－2ba，即 x＝－ 1.
画出函数的图像， 由图可知，当 x＝－1 时，ymax＝4； 当 x＝32时，ymin＝－94. 所以函数 y＝3－2x－x2，
【答案】 C
2．若函数 y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别 是( )
A．9，－15 B．12，－15 C．9，－16 D．9，－12
【解析】 函数的对称轴为 x＝3， 所以当 x＝3 时，函数取得最小值为－16， 当 x＝－2 时，函数取得最大值为 9，故选 C. 【答案】 C
(3)若二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x 都有 f(x＋2a)＝f(x)，那么 函数 y＝f(x)图像的对称轴方程为 x＝a(a 为常数)．
(4)利用配方法求二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴方程为 x
＝－2ba. (5)利用方程根法求对称轴方程：若二次函数 y＝f(x)对应方程 f(x)
＝0 的两根为 x1，x2，那么函数 y＝f(x)的图像的对称轴方程为 x＝x1＋2 x2.
跟踪训练 1 如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间[0,1]上是 增加的，那么 f(2)的取值范围是________．
【解析】 由题意知，f(2)＝22－(a－1)×2＋5＝－2a＋11，因为 二次函数 f(x)在区间[0,1]上是增加的，其图像开口向上，故其对称轴 x ＝a－2 1与直线 x＝0 重合或位于直线 x＝0 的左侧，于是a－2 1≤0，解得 a≤1，故 f(2)＝－2a＋11≥－2×1＋11＝9，
其图像的对称轴为 x＝12. ∴f(0)<f(2)<f(－2)． 【答案】 C

a>0
向上
(0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。x源自0时,y最小=ca<0
向下
(0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
二次函数的图象的平移
例题3
画出函数 y＝12x2－6x＋21 的图象，并指出由函数 y＝x2 如何平
移得到 y＝12x2－6x＋21？
在作二次函数图象时，通过配方直接选出关键点，即顶点.再依 据对称性选点，减少了选点的盲目性，二次函数图象的开口方向、对称轴 与坐标轴的交点在作图时起关键作用.
二次函数图象平移规律：
§4 二次函数性质的再研究
第一课时： §4.1二次函数的图像
一、复习引入
1.函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点为 (0,1) ，其单调性 为 在(－∞，＋∞)上是增函数 .
2.函数y＝x2－2x＋1的开口方向向 上 ，顶点坐标为 (1,0) ， 对称轴为 x＝1 ，单调增区间为 ［1，＋∞) ，单调减区间 为 (－∞，1］ .
y=x2+1 … 5 2 1
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到.
y=x2+1
y
8
6
1 4…
2 5…
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
相同
-10
-5
4
y=x2
2
函数y=x2+1的图

§4二次函数性质的再研究预习课本P41～47，思考并完成以下问题1．二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a ，h ，k 分别对该函数的图像起了什么作用？2．如何确定二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间和最值？[新知初探]1．二次函数的图像变换二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．[点睛] 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到． 2．二次函数的性质 函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图 像a >0a <0性 质抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴是x ＝－b2a ；顶点坐标是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a 在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数，在区间⎝⎛⎦⎤－b 2a +∞上是增函数在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是增函数，在区间⎝⎛⎦⎤－b 2a +∞上是减函数抛物线有最低点，当x ＝－b2a抛物线有最高点，当x ＝－b 2a称轴后，其图像的对称性及单调性就会直观反应在大脑中了．[小试身手]1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)二次函数f (x )＝2x 2与g (x )＝－2x 2的图像开口大小相同，开口方向相反．( )(2)函数f (x )＝2(x －1)2＋1的图像可由函数y ＝2x 2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．( )(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞.( ) (4)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x ＝－b2a 处取得最大值．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若函数f (x )＝x 2＋2(2a －1)x ＋2在区间(－∞，7]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．{－3} B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)解析：选C 由f (x )在(－∞，7]上递减， 结合图像知－(2a －1)≥7，所以a ≤－3. 3．函数y ＝x 2－1的值域是________．解析：y ＝x 2－1≥－1，故值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)4．函数y ＝x 2＋2x ＋3的图像可由y ＝x 2＋x 的图像左移________单位，再上移________个单位而得到．解析：y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，y ＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12－14，将y ＝x 2＋x 的左移12个单位，再上移94个单位即得到y ＝x 2＋2x ＋3的图像． 答案：12 94[典例] 在同一坐标系中作出下列函数的图像． (1)y ＝x 2；(2)y ＝x 2－2；(3)y ＝2x 2－4x .并分析如何把y ＝x 2的图像变换成y ＝2x 2－4x 的图像． [解] 列表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 y ＝x 2 9 4 1 0 1 4 9 y ＝x 2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y ＝2x 2－4x30166－26由图像可知由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．法一：先把y ＝x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图像，然后把y ＝(x －1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2(x －1)2的图像，最后把y ＝2(x －1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2x 2－4x 的图像．法二：先把y ＝x 2的图像向下平移1个单位长度得到y ＝x 2－1的图像，然后再把y ＝x 2－1的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2－1的图像，最后把y ＝(x －1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．任意二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)都可转化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，都可由y ＝ax 2图像经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：上述平移规律为：“h 值正、负，左、右移”，即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．[活学活用]画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图像，并说明它是如何由y ＝12x 2平移得到的．解：∵y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x －6)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为(6,3)，对称轴为x ＝6.令x ＝0，求得y ＝21，它与y 轴交点为(0,21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上；令y ＝0，12x 2－6x ＋21＝0， ∵Δ<0，方程无实数解， ∴抛物线与x 轴没有交点．因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．(1)利用二次函数的对称性列表：(2)描点、连线即得函数y ＝12x 2－6x ＋21的图像，如图所示．把y ＝12x 2y ＝12x 2的图像向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度，就可得到－6x ＋21的图像.[(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；(2)求此函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积； (3)x 为何值时，y >0，y ＝0，y <0? [解] (1)配方，得y ＝2(x －1)2－8. ∵a ＝2>0，∴函数图像开口向上，对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－8)． 列表：描点并画图，得函数y ＝2x 2－4x －6的图像，如图所示：(2)由图像得，函数图像与x 轴的交点坐标为A (－1,0)，B (3,0)，与y 轴的交点坐标为C (0，－6)． S △ABC ＝12|AB |·|OC |＝12×4×6＝12.(3)由函数图像知，当x <－1或x >3时，y >0；当x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；当－1<x <3时，y <0.观察图像主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a的符号，另外还要注意与x 轴的交点、函数的单调性等，从而解决其他问题．[活学活用]如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的一部分，图像过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1； ③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B 因为图像与x 轴交于两点， 所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图像，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图像开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．二次函数解析式的求法[典例]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意知函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解． (1)若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0的形式．(2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k (其中顶点(h ，k )，a 为常数，a ≠0)．(3)若已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a 为常数，且a ≠0)．[活学活用]根据下列条件，求二次函数y ＝f (x )的解析式． (1)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)． 解：(1)设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2.∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.(2)设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2. ∴解析式为y＝2x2－4x＋4.(3)设二次函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)，整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝3 8.∴解析式为y＝38(x－2)(x－4).1．求二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0,3]上的最大值和最小值．解：函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0,3]上的二次函数，其对称轴方程是x ＝2，顶点坐标为(2,2)，且其图像开口向下，显然其顶点横坐标在[0,3]上，如图所示．函数的最大值为f(2)＝2，最小值为f(0)＝－2.题点二：轴定区间变2．如果函数f(x)＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求f(x)的最小值．解：函数f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1,1)，图像开口向上．如图1所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t＞1，此时，当x＝t时，函数取得最小值f(x)min＝f(t)＝(t－1)2＋1.如图2所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值f(x)min＝f(1)＝1.如图3所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1＜1，即t＜0.当x＝t＋1时，函数取得最小值f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋1图1图2图3综上讨论，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧(t －1)2＋1，t ＞1，1，0≤t ≤1，t 2＋1，t ＜0.题点三：轴变区间定3．求函数y ＝－x (x －a )在[－1,1]上的最大值．解：函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24图像的对称轴方程为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2这三种情形讨论．①当a ＜－2时，函数大致图像如图1所示，由图可知f (x )max ＝f (－1)＝－a －1；②当－2≤a ≤2时，函数大致图像如图2所示，由图可知f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24； ③当a ＞2时，函数大致图像如图3所示，由图可知f (x )max ＝f (1)＝a －1.∴y 最大＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值．若对称轴在区间外，则f (x )在[m ，n ]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m ，n ]端点处取得．层级一 学业水平达标1．将函数y ＝x 2的图像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为( )A ．y ＝(x ＋2)2＋1B ．y ＝(x －2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－1D ．y ＝(x ＋2)2－1解析：选C 由图像的平移规则可知C 正确．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )解析：选C 选项A ，y ＝ax ＋b 中，a >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，矛盾；选项B ，y ＝ax ＋b 中，a >0，b >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴x ＝－b2a >0，矛盾；选项D ，y ＝ax ＋b中，a <0，b <0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，矛盾．3．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0， 可得t ＝－4.4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图像与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f (x )( ) A ．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B ．在(－∞，3)上递增 C ．在[1,3]上递增 D ．单调性不能确定解析：选A 由已知可得该函数的图像的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，∴f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B 二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2.∴m ＝－8.6．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位长度，得函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝________. 解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位长度，得函数y ＝x 2＋1的图像，即m －2＝－1，则m ＝1.答案：17．设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________________. 解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝x 2＋4x ＋2. 答案：x 2＋4x ＋28.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________________．解析：由图知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1,0)．所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.答案：－1,39．已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)．(1)求抛物线的解析式；(2)请问：(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图像？解：(1)点A(1，m)在直线y＝－3x上，∴m＝－3×1＝－3.把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，得a＋6－8＝－3，求得a＝－1.∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8；(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，∴顶点坐标为(3,1)．∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位后得到y＝－x2＋1的图像，再把y＝－x2＋1的图像向下平移1个单位得到y＝－x2的图像．10．已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图像被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图像过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.层级二应试能力达标1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是( )解析：选D∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.2．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( )A．[0,1]B．[0,2]C．[－2,0]D．[－1,0]解析：选D y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.∵函数在[0,1]上的最大值是a2，∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.3．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( )A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)C ．f (0)＜f (2)＜f (－2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析：选C ∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c ，∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c＝x 2－bx ＋c ，∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图像的对称轴为x ＝12.∴f (0)＜f (2)＜f (－2)．4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．－b 2aB ．－b aC ．c D.4ac －b 24a解析：选C 由题意得：a ≠0，x 1，x 2关于x ＝－b 2a 对称， 所以x 1＋x 22＝－b 2a ，x 1＋x 2＝－b a .得f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b 2a＋c ＝c . 5．当x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12， 令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，∴t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 其在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：346．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－17.某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R )与销售量(t )的关系用抛物线段表示如图．(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出如图的销售收入(k )与销售量(t )之间的函数关系R ＝f (t )；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年生产量的函数关系式，并求年生产量是多少时纯收益最大？解：(1)由图可知：R ＝a (t －5)2＋252， 由t ＝0时，R ＝0得a ＝－12. ∴R ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤5)． (2)年纯收益y ＝－12t 2＋5t －0.5－14t ＝－12t 2＋194t －0.5，当t ＝194＝4.75时，y 取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．8．是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解：存在，理由如下，f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2.当a ＜－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1； 当0＜a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2，a 不存在； 当a ＞1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝2，a 不存在； 综上可知存在实数a ，且a ＝－1满足题意．。