六年级奥数专题-4几何五大模型-鸟头模型

大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。

拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。

2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍；两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。

DAE D EADD AE EAB C B C B CB如图,S:S (AB AC):(AD AE)△ABC△ADEC【例1】(★★)【例2】(★★★)如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。

如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3,那么三角形BEF的面积为___________。

1如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于。

等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。

【例5】（★★★）【例6】(★★★★)已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。

E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。

求阴影部分的面积。

2已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

1如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE BC,2 F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？大海点睛大海点睛一、本讲重点知识回顾等积变形边比＝面积比二、本讲经典例题例2，例3，例5，例7，例8共角模型(鸟头模型)如图, △ABC△ADE3。

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC的面积.【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4),S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份，则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形等高模型与鸟头模型【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方图⑵【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形么三角形ABC的面积是多少？•/ EC =3AE--S A BC = 3S ABE又••• AB =5AD--S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,••• S ABC如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？•/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE又T BD =DC =4 ,--S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE ,【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积.【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S AABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】,所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ADE的面积等于1，那= 15S ADE =15 .【巩固】【解析】连接AD .【解析】【解析】 连接FB•三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的(3 2)= 6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 =48(平方厘米).【例4】已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE =CE, AD =2BD,CF =3AF ，求△ ABC 的面积.【解析】BDE ：S S BC =(BDBE) ：(BA BC)=(1 1):(2 3) =1:6 , S ^CEF : S ^ABC =(CECF) : (CB CA)=(13): (2 4) =3:8S ^ADF : S ^ABC = (AD AF ): (AB AC) = (2 1) : (3 4) =1:6设 S A ABC =24 份，则 S A BDE = 4 份，S ^ ADF =4 份，S ^ CEF = 9 份，S ^ DEF = 24 - 4- 4 - 9 = 7 份，恰好是 7 平方厘米，所以 S A ABC =24平方厘米如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE=2:5 , BC:CD=3:2，三角形BDE 的面积 是多少？由于.ABC • . DBE =180，所以可以用共角定理，设 AB = 2份，BC =3份，贝U BE = 5份，BD =3 2=5 份，由共角定理 S A ABC ： S A BDE =(AB BC):(BE BD)=(2 3):(5 5^ 6:25，设S A ABC =6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5=12.5平方厘米，三角 形BDE 的面积是12.5平方厘米【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE 」AC ,CF 」BC .33角形DEF 的面积为 ________ 平方厘米.【例5】 【解析】 DFA 'B【解析】由题意知AE =1 AC、CF =1BC，可得CE二？AC •根据”共角定理”可得，3 3 3S A CEF : S A ABC = (CF x CE): (CB x AC) =(1x2》(3x3) =2:9 ;而S A ABC =6沃6壬2 丄8 ;所以S A CEF =4 ;同理得，S A CDE : S A ACD = 2 ：3 ；, S A CDE =18-：-3 2 =12 , S A CDF =6故S A DEF=S A CEF■S A DEC-S A DFC = 4 1^6 =10(平方厘米)•ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB ;延长BC至E，使CE =2BC ;延长= 3AC，求三角形DEF的面积.(法1)本题是性质的反复使用.连接AE、CD •SABC1- ,S ABC - I ,S LDBC 1--S DBC =1•同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18 •(法2)用共角定理•••在ABC和LCFE中，.ACB与.FCE互补,.S JABC AC BC 1 汇1 1…S FCE FC CE _4 2 _8 •又S ABC =1，所以S FCE -8•同理可得ADF - 6 , §BDE =3•所以S LDE F = S_ABC ' S_FCE ' S ADF S BDE -1 8 6 '3=18 •【例8】如图，平行四边形ABCD , BE =AB , CF =2CB , GD =3DC , 面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】连接AC、BD •根据共角定理•••在△ABC和A BFE中，• ABC与・FBE互补, .S A ABC _ AB BC 二1 勺二1"S A FBE一BE BF 1 3 3 •又S A ABC ~1，所以S A FBE =3 • 冋理可得S A GCF =8 , S A DHG =15 , S A AEH =8 •【例7】如图，已知三角形CA至F，使AF【解析】HA二4AD，平行四边形ABCD的□=S A AEH S^ CFG S^ DHG S A BEF S ABCD =8 8 15+3+2 =36 .【解析】连接BD •由共角定理得S A BCD：S A CGF =(CD CB)： (CG CF) =1： 2，即S A CGF=2S A CDB冋理S A ABD : S A AHE =1： 2，即S A AHE =2 S A ABD所以S A AHE+S A CGF =2(S A CBD +S A人。

如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上如图2)， 则 ABC : ADE =(AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC 的面积.【解析】 连接 BE , S A ADE ：S A ABE 二 AD ： AB =2:5 =(2 4):(5 4),SA ABE : S A ABC 二 AE: AC = 4： 7 = (4 5) : (7 5)，所以 S A ADE : S A ABC = (2 4) : (7 5),设 S A ADE = 8 份， 则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的 面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理， 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？••• EC =3AE--S ABC=3S_ABE又••• AB =5AD「•S LADE = S_ABE ' 5 = S_ABC 15 , — S ABC =15S ADE =15 .【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,鸟头模型角形中有一个 补，这两个三 角三角形.共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比.【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB =2:5 , AE:AC=4:7 ,S A ADE *6平方BD =DC =4 , BE =3 , AE =6，乙部分面图⑵【解析】积是甲部分面积的几倍?【解析】连接AD •••• BE =3 , AE =6AB = 3BE , S ABD =3S BDE 又••• BD 二DC =4 ,…S ABC -2S ABD，…S ABC - 6S BDE ,【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2 , AE：EC=3：2，S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积•【解析】连接BE , S M DE：S A ABE二AD ： AB =2:5 =(2 3): (5 3)S A ABE S ABC=AE: AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5 ],所以S A ADE : S A ABC - (3 2):5 (3 * 2) 1 = 6 ： 25，设S^ADE = 6 份，贝U S^ ABC = 25 份，S AADE -12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB•三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2 倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的(3 2)6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 =48(平方厘米).【例4】已知△ DEF的面积为7平方厘米，BE =CE, AD =2BD,CF =3AF，求△ ABC的面积.【解析】S A BDE : S A ABC =(BD BE) ：(BA BC)=(1 1):(2 3) =1:6 ,S MEF ： S ^ABC =(CE CF):(CB CA) =(1 3):(2 4) =3:8S*DF： S*BC =(AD AF): (AB AC) =(2 1):(3 4) =1:6设 S A ABC =24 份，则 S ^ BDE = 4 份，S ^ ADF =4 份，S ^ CEF = 9 份，S ^ DEF = 24 - 4- 4 - 9 = 7 份，恰好是 7 平方厘米，所以S A ABC =24平方厘米【例5】如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE=2:5 , BC:CD=3:2，三角形BDE 的面积 是多少？=180，所以可以用共角定理，设 AB = 2份，BC =3份，贝U BE =5份，BD =3 2 =5 份，由共角定理 S A ABC : S A BDE =(AB BC):(BE BD)=(2 3):(5 5)=6:25，设S A ABC =6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 = 12.5平方厘米，三角 形BDE 的面积是12.5平方厘米1 1 【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE=」AC , CF 二1234 BC .33连接AE 、CD .S ABC =1 ,-• S DBC =1 .同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积=18 .(法2)用共角定理•••在L ABC 和LCFE 中，.ACB 与.FCE 互补,11 2【解析】 由题意知AE = - AC 、CF =-BC ，可得CE =—AC .根据”共角定理”可得，3 3 3S A CEF : S A ABC = (CF ^CE): (CB 汉 AC2 J (^<3^2: 9 ； 而 S A ABC =6 ^6 弓2 =18 ;所以 S A CEF =4 ;同理得，S A CDE : 2 ACD = 2 ：3 ； , S A CDE =18^32 =12 , S A CDF- 6故 S A DEF - S A CEF S A DEC - S A DFC =4，12-6=10 (平方厘米).【例7】如图，已知三角形 ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD 二AB ;延长BC 至E ，使CE =2BC ;延长【解析】 由于.ABC .DBE 角形DEF 的面积为 _______ 平方厘米.【解析】(法1)本题是性质的反复使用.S ABC AC BC 11 1 S FCE - FC CE "^"2 "8 ■又 S ABC =1，所以 S FCE =8- 同理可得 S ADF -6 , §BDE =3 .所以 S DEF = S ABC ' S FCE ' S ADF ' S BDE =1 ' 8 ' 6 ：：3=18 .【例8】如图，平行四边形 ABCD , BE =AB , CF = 2CB , GD =3DC , HA = 4AD ，平行四边形 ABCD 的 面积是2 ,求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比.【解析】连接AC 、BD •根据共角定理•••在△ ABC 和 △BFE 中，乙ABC 与乙FBE 互补, .S ^ ABC AB BC 11 1 S ^ FBE BE BF1 ：： 3 3又 S ^ ABC =1，所以 S ^FBE -3 .冋理可得 S AGCF =8 , S ^DHG =15 , S A AEH =8 .所以 S E FGH 二 S A AEH ' S A CFG ' S A DHG + S A BEF +S ABCD =8+8+15+3+2 =36 .冋理 S A ABD : S A AHE -1： 2，即 S A AHE - 2 S A ABD 所以S A AHES A CGF = 2(S △CBDS A ADB )=2窃边形 ABCD连接AC ，冋理可以得到S A DHG ' SA BEF =2绻边形ABCDS四边形EFGH二 AHE S A CGF S A HDGS A BEF *S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD所以S 四边形ABCD =66 "5 =13.2平方米AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若 EFGH 的面积是 .所以二D SEFGH2 _ 136【例9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米,的面积. EA = AB , CB =BF , DC =CG , HD =DA ,求四边形 ABCD【解析】【例10】 如图，将四边形ABCD 的四条边四边形ABCD 的面积为5，则四边形E连接BD •由共角定理得S A BCDCF) =1：2，即 S A CGF =2S A CDB【解析】连接AC 、BD •由于 BE =2 AB , BF =2BC ，于是 S BEF = 4S ；ABC ，冋理 S HDG -4S ADC • 于是 S BEF ■ SHDG = 4S ABC ' 4S ADC =4S ABCD •再由于 AE — 3AB , AH — 3AD ，于是 S AEH —9S ABD ，冋理 S CFG — 9S CBD • 于是 S AEH ' S CFG-9S ABD ' 9S ^BD =9S ABCD •那么 S EF GH = S BEF ■ S H DG +S 建EH *S 应FG —S AB CD =4S AB CD *9S AB CD —S AB CD=12S AB CD =60•1【例11】 如图，在△ ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使CE =丄BC , F 是AC 的2中点，若 △ ABC 的面积是2，则A DEF 的面积是多少？S ^ ABC _ AC BC _2 2 4 S A FCE 一 FC CE 一 1 1 ~1又 S ABC = 2，所以 S FCE =0.5 • 同理可得S A ADF =2 ,S A BDE =3 • 所以S A DEF = S A ABC S CEFDEB—S A ADF =2 0.5 3 -2 =3.5【例 12】 如图，S A ABC =1 , BC=5BD , AC=4EC , DG=GS 二SE , AF = FG •求 S FGS【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种情况•4 3 2 1 1 1 最后求得S A FGS 的面积为S A FGS ：5 4 3 2 2 10【例13】 如图所示，正方形 ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【解析】ZACB 与乙FCE 互补, •••在厶ABC 和A CFE 中,1 2因为S A BCF亠CDE82 =16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积4比等于夹这个角的两边长度的乘积比”S AEF =8，S EFG =8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到S BFC =16，S ABFE =32，S J ABF =24，所以S ABG =12平方厘米.【例14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则 AGF 与CEH 都是正三角形.假设正六边形的边长为为 a ，则■ AGF 与 CEH 的边长都是4a ，所以大正三角形 DEF 的边长为4 2-1=7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍•而一个正六边形是由 形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1,三角形DEF 的面积为畫. 6 66个单位小正三角4 3 12由于FA =4a , FB =3a ，所以「AFB 与三角形 DEF 的面积之比为 一—=一.7 7 49【解析】G C【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线 AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边1 1 11 2形面积的丄，所以虚线外图形的面积等于 1 3 •丄2 =31，所以五边形的面积是 10-3」.6 6 33 3【解析】CA 至F ，使AF =3AC ，求三角形 DEF 的面积.同理可知 BDC 、 AEC 与三角形DEF 的面积之比都为 応，所以「ABC的面积占三角形DEF 面积的1 -12 3 =迢，所以 ABC 的面积的面积为49 4949 13 136 49 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 _________。

小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型与沙漏模型),共边（含燕尾模型与风筝模型), 掌握五大面积模型得各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高得两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;如右图③夹在一组平行线之间得等积变形,如右图; 反之，如果,则可知直线平行于、④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半；⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比、 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形、 共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比、 如图在中,分别就就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上), 则EDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中得比例关系(“蝶形定理”):①或者②蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径、通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应得对角线得比例关系、 梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”):DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA A BC DO ba S 3S 2S 1S 4① ②；③得对应份数为、 四、相似模型(一）金字塔模型 (二） 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①; ②、所谓得相似三角形，就就就是形状相同,大小不同得三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关得常用得性质及定理如下:⑴相似三角形得一切对应线段得长度成比例，并且这个比例等于它们得相似比；⑵相似三角形得面积比等于它们相似比得平方；⑶连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线、三角形中位线定理:三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半、 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具、在小学奥数里，出现最多得情况就就是因为两条平行线而出现得相似三角形、五、共边定理(燕尾模型与风筝模型） 在三角形中,,，相交于同一点,那么、 上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段,因为与得形状很象燕子得尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理、该定理在许多几何题目中都有着广泛得运用,它得特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中得O FEDCBA三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、 典型例题【例 1】如图,正方形ABCD 得边长为６，１、5,2、长方形ＥFGH 得面积为 、【解析】 连接DE ，ＤF,则长方形EFGH 得面积就就是三角形ＤEF 面积得二倍、三角形DEF 得面积等于正方形得面积减去三个三角形得面积, ,所以长方形E ＦＧH 面积为33、【巩固】如图所示,正方形得边长为厘米，长方形得长为厘米,那么长方形得宽为几厘米？【解析】 本题主要就就是让学生会运用等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形)、三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半、 证明:连接、（我们通过把这两个长方形与正方形联系在一起)、 ∵在正方形中,边上得高,∴（三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半) 同理,、∴正方形与长方形面积相等、 长方形得宽(厘米）、【例 2】 长方形得面积为３6,、、为各边中点,为边上任意一点，问阴影部分面积就就是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用得条件,连接、,如下图：_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C _ E_ F_ DE可得:、、,而 即; 而，、所以阴影部分得面积就就是:解法二：特殊点法、找得特殊点，把点与点重合,那么图形就可变成右图:GE (H )这样阴影部分得面积就就就是得面积,根据鸟头定理,则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影、【巩固】在边长为6厘米得正方形内任取一点,将正方形得一组对边二等分,另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积、【解析】 （法1）特殊点法、由于就就是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示，图中得两个阴影三角形得面积分别占正方形面积得与,所以阴影部分得面积为平方厘米、(法２）连接、、由于与得面积之与等于正方形面积得一半，所以上、下两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得，同理可知左、右两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,所以阴影部分得面积为平方厘米、 【例 3】 如图所示,长方形内得阴影部分得面积之与为7０,,,四边形得面积为 、B【解析】 利用图形中得包含关系可以先求出三角形、与四边形得面积之与,以及三角形与得面积之与,进而求出四边形得面积、由于长方形得面积为,所以三角形得面积为,所以三角形与得面积之与为;又三角形、与四边形得面积之与为,所以四边形得面积为、另解：从整体上来瞧，四边形得面积三角形面积三角形面积白色部分得面积,而三角形面积三角形面积为长方形面积得一半,即6０,白色部分得面积等于长方形面积减去阴影部分得面积,即,所以四边形得面积为、【巩固】如图，长方形得面积就就是36,就就是得三等分点,,则阴影部分得面积为 、ABAB【解析】 如图，连接、根据蝶形定理，,所以;,所以、又，,所以阴影部分面积为:、 【例 4】 已知为等边三角形,面积为400,、、分别为三边得中点，已知甲、乙、丙面积与为143，求阴影五边形得面积、(丙就就是三角形)B【解析】 因为、、分别为三边得中点,所以、、就就是三角形得中位线,也就与对应得边平行，根据面积比例模型,三角形与三角形得面积都等于三角形得一半,即为200、根据图形得容斥关系,有，即,所以、又,所以、【例 5】如图,已知,,,,线段将图形分成两部分，左边部分面积就就是38,右边部分面积就就是６5,那么三角形得面积就就是、【解析】连接，、根据题意可知,；;所以,，，,,于就就是:;;可得、故三角形得面积就就是40、【例 6】如图在中,分别就就是上得点,且,,平方厘米,求得面积、【解析】连接,,,所以,设份,则份,平方厘米,所以份就就是平方厘米,份就就就是平方厘米,得面积就就是平方厘米、由此我们得到一个重要得定理，共角定理:共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边得乘积之比、【巩固】如图,三角形中,就就是得5倍，就就是得3倍,如果三角形得面积等于1，那么三角形得面积就就是多少?【解析】连接、∵∴又∵∴,∴、【巩固】如图,三角形ＡBＣ被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,,,,乙部分面积就就是甲部分面积得几倍？【解析】连接、∵,∴,又∵,∴,∴,、【例 7】如图在中,在得延长线上，在上,且,,平方厘米,求得面积、EDCBAEDCB A【解析】 连接,,所以,设份,则份,平方厘米,所以份就就是平方厘米，份就就就是平方厘米,得面积就就是平方厘米、由此我们得到一个重要得定理,共角定理：共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边得乘积之比【例 8】 如图,平行四边形,，,,，平行四边形得面积就就是, 求平行四边形与四边形得面积比、HGAB CD EFHGAB CDEF【解析】 连接、、根据共角定理 ∵在与中，与互补，∴、又,所以、 同理可得,,、所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△、 所以、【例 9】 如图所示得四边形得面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求得四边形既不就就是正方形也不就就是长方形,难以运用公式直接求面积、我们可以利用旋转得方法对图形实施变换:把三角形绕顶点逆时针旋转,使长为得两条边重合,此时三角形将旋转到三角形得位置、这样,通过旋转后所得到得新图形就就是一个边长为得正方形,且这个正方形得面积就就就是原来四边形得面积、因此,原来四边形得面积为、(也可以用勾股定理)【例 10】如图所示，中,，，,以为一边向外作正方形,中心为，求得面积、【解析】如图,将沿着点顺时针旋转,到达得位置、由于,,所以、而,所以,那么、、三点在一条直线上、由于，,所以就就是等腰直角三角形,且斜边为,所以它得面积为、根据面积比例模型,得面积为、【例 11】如图，以正方形得边为斜边在正方形内作直角三角形，,、交于、已知、得长分别为、,求三角形得面积、F【解析】如图,连接,以点为中心，将顺时针旋转到得位置、那么,而也就就是，所以四边形就就是直角梯形，且,所以梯形得面积为:(）、又因为就就是直角三角形,根据勾股定理,，所以（）、那么(）,所以（)、【例 12】如下图,六边形中,,,,且有平行于，平行于,平行于,对角线垂直于,已知厘米,厘米,请问六边形得面积就就是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将平移使得与重合,将平移使得与重合,这样、都重合到图中得了、这样就组成了一个长方形,它得面积与原六边形得面积相等,显然长方形得面积为平方厘米,所以六边形得面积为平方厘米、【例 13】 如图,三角形得面积就就是,就就是得中点,点在上,且,与交于点、则四边形得面积等于 、ABCDEF【解析】 方法一：连接,根据燕尾定理,，,设份，则份,份,份，如图所标 所以方法二:连接，由题目条件可得到， ，所以, ，而、所以则四边形得面积等于、【巩固】如图,长方形得面积就就是平方厘米,，就就是得中点、阴影部分得面积就就是多少平方厘米？x yyx ABC D EFG E D CBA【解析】 设份,则根据燕尾定理其她面积如图所示平方厘米、【例 14】 四边形得对角线与交于点(如图所示)、如果三角形得面积等于三角形得面积得,且,,那么得长度就就是得长度得_＿_＿_____倍、ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中,四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形、瞧到题目中给出条件,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于就就是得出一种解法、又观察题目中给出得已知条件就就是面积得关系，转化为边得关系,可以得到第二种解法，但就就是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于就就是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比、再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果、请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理得优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题、解法一：∵，∴,∴、 解法二:作于,于、 ∵,∴,∴, ∴,∴,∴、【巩固】如图,四边形被两条对角线分成４个三角形,其中三个三角形得面积已知, 求:⑴三角形得面积；⑵？B【解析】 ⑴根据蝶形定理,,那么；⑵根据蝶形定理，、【例 15】 如图,平行四边形得对角线交于点,、、、得面积依次就就是2、4、４与6、求：⑴求得面积;⑵求得面积、OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，得面积为,那么与得面积都就就是,所以得面积为;⑵由于得面积为８,得面积为6,所以得面积为, 根据蝶形定理,,所以, 那么、【例 16】 如图,长方形中，,,三角形得面积为平方厘米，求长方形得面积、ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接,、因为,，所以、因为,,所以平方厘米,所以平方厘米、因为，所以长方形得面积就就是平方厘米、【例 17】 如图,正方形面积为平方厘米,就就是边上得中点、求图中阴影部分得面积、CBA【解析】 因为就就是边上得中点，所以,根据梯形蝶形定理可以知道,设份，则 份,所以正方形得面积为份,份，所以,所以平方厘米、 【巩固】在下图得正方形中，就就是边得中点，与相交于点,三角形得面积为1平方厘米,那么正方形面积就就是 平方厘米、ABCDEF【解析】 连接,根据题意可知,根据蝶形定理得（平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米)、【例 18】 已知就就是平行四边形,,三角形得面积为6平方厘米、则阴影部分得面积就就是 平方厘米、BB【解析】连接、由于就就是平行四边形,,所以,根据梯形蝶形定理,,所以（平方厘米），(平方厘米)，又（平方厘米）,阴影部分面积为(平方厘米）、【巩固】右图中就就是梯形,就就是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分得面积就就是平方厘米、BB【分析】连接、由于与就就是平行得,所以也就就是梯形,那么、根据蝶形定理,，故，所以（平方厘米)、【巩固】右图中就就是梯形,就就是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米）,阴影部分得面积就就是平方厘米、BB【解析】连接、由于与就就是平行得,所以也就就是梯形，那么、根据蝶形定理,,故,所以(平方厘米)、另解:在平行四边形中,(平方厘米）,所以(平方厘米）,根据蝶形定理,阴影部分得面积为(平方厘米）、【例 19】如图，长方形被、分成四块,已知其中3块得面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下得四边形得面积为_＿_____＿__＿平方厘米、?852O A B C DEF?852O A BCD EF【解析】 连接、、四边形为梯形,所以,又根据蝶形定理，,所以，所以(平方厘米),(平方厘米)、那么长方形得面积为平方厘米，四边形得面积为(平方厘米)、【例 20】 如图,就就是等腰直角三角形，就就是正方形,线段与相交于点、已知正方形得面积４８,,则得面积就就是多少？BB【解析】 由于就就是正方形,所以与平行,那么四边形就就是梯形、在梯形中,与得面积就就是相等得、而,所以得面积就就是面积得，那么得面积也就就是面积得、由于就就是等腰直角三角形,如果过作得垂线,为垂足,那么就就是得中点，而且，可见与得面积都等于正方形面积得一半,所以得面积与正方形得面积相等,为4８、 那么得面积为、【例 21】 下图中,四边形都就就是边长为１得正方形,、、、分别就就是，,,得中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分得面积之比就就是最简分数,那么,得值等于 、BEE【解析】 左、右两个图中得阴影部分都就就是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中得空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分得面积,再求阴影部分得面积、如下图所示，在左图中连接、设与得交点为、左图中为长方形,可知得面积为长方形面积得,所以三角形得面积为、又左图中四个空白三角形得面积就就是相等得,所以左图中阴影部分得面积为、BEE如上图所示，在右图中连接、、设、得交点为、可知∥且、那么三角形得面积为三角形面积得，所以三角形 得面积为,梯形得面积为、在梯形中,由于,根据梯形蝶形定理,其四部分得面积比为：,所以三角形得面积为,那么四边形得面积为、而右图中四个空白四边形得面积就就是相等得,所以右图中阴影部分得面积为、那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即, 那么、【例 22】 如图， 中，,,互相平行,,则 、【解析】 设份，根据面积比等于相似比得平方，所以,,因此份，份,进而有份,份,所以【巩固】如图,平行,且,,,求得长、【解析】 由金字塔模型得，所以【巩固】如图, 中，,，,,互相平行,,则、 【解析】 设份,,因此份,进而有份，同理有份,份,份、 所以有 【例 23】 如图,已知正方形得边长为,就就是边得中点,就就是边上得点,且,与相交于点,求Q EGNM F PAD CBGFAEDC BM GFAEDCB GFAEDCB【解析】 方法一:连接,延长,两条线交于点,构造出两个沙漏,所以有,因此,根据题意有，再根据另一个沙漏有,所以、方法二:连接，分别求,,根据蝶形定理,所以、 【例 24】 如图所示,已知平行四边形得面积就就是1，、就就是、得中点, 交于，求得面积、A【解析】 解法一：由题意可得,、就就是、得中点,得，而，所以,并得、就就是得三等分点，所以，所以 ,所以,;又因为,所以、解法二:延长交于,如右图,可得，,从而可以确定得点得位置, ，,(鸟头定理), 可得【例 25】 如图，为正方形,且,请问四边形得面积为多少?CACA【解析】 (法)由，有,所以，又,所以,所以,所以占得， 所以、(法)如图，连结,则(， 而,所以,（）、而(),因为,所以,则（）,阴影部分面积等于 ()、【例 26】 如右图,三角形中,,,求、【解析】 根据燕尾定理得(都有得面积要统一,所以找最小公倍数) 所以【点评】本题关键就就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量！【巩固】如右图,三角形中,,,求、【解析】 根据燕尾定理得(都有得面积要统一,所以找最小公倍数) 所以【巩固】如右图,三角形中,,,求、【解析】 根据燕尾定理得(都有得面积要统一，所以找最小公倍数) 所以【点评】本题关键就就是把得面积统一，这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量!【例 27】 如右图，三角形中,,且三角形得面积就就是,则三角形得面积为_____＿,三角形得面积为_____＿＿_,三角形得面积为__＿___、I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接、、、由于,所以，故;根据燕尾定理，,,所以，则,;那么;同样分析可得，则,,所以,同样分析可得，所以,、【巩固】如右图，三角形中，，且三角形得面积就就是,求三角形得面积、【解析】连接BG,份根据燕尾定理，,得(份),（份)，则(份),因此,同理连接ＡI、CH得，,所以三角形GHＩ得面积就就是1，所以三角形ABC得面积就就是1９【巩固】如图,中,,，那么得面积就就是阴影三角形面积得倍、B CB【分析】如图，连接、根据燕尾定理,,，所以,,那么,、同理可知与得面积也都等于面积得,所以阴影三角形得面积等于面积得,所以得面积就就是阴影三角形面积得7倍、【巩固】如图在中，,求得值、【解析】连接BG,设１份，根据燕尾定理,，得(份),(份),则(份）,因此，同理连接ＡI、CH得,,所以【点评】如果任意一个三角形各边被分成得比就就是相同得，那么在同样得位置上得图形,虽然形状千变万化,但面积就就是相等得,这在这讲里面很多题目都就就是用“同理得到”得,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线、【例 28】如图,三角形得面积就就是,，，三角形被分成部分,请写出这部分得面积各就就是多少?NMQ P G FEDC BA【解析】 设BG 与AD 交于点Ｐ,BG 与AE 交于点Q ,ＢＦ与AD 交于点M ,BF 与AE交于点N 、连接CP ,CQ ,CM ,C Ｎ、 根据燕尾定理，，,设(份)，则（份）,所以 同理可得,,,而,所以，、 同理,，所以,,,【巩固】如图,得面积为１，点、就就是边得三等分点,点、就就是边得三等分点,那么四边形得面积就就是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接、、、根据燕尾定理，,,所以,那么,、 类似分析可得、 又,,可得、 那么，、根据对称性,可知四边形得面积也为,那么四边形周围得图形得面积之与为,所以四边形得面积为、 【例 29】 右图,中,就就是得中点，、、就就是边上得四等分点,与交于,与交于,已知得面积比四边形得面积大平方厘米,则得面积就就是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接、、根据燕尾定理，,，所以;再根据燕尾定理,,所以,所以,那么,所以、 根据题意,有,可得(平方厘米)【例 30】 如图,面积为l 得三角形AB Ｃ中,Ｄ、E 、Ｆ、G 、H 、Ｉ分别就就是AB 、ＢC 、C Ａ 得三等分点,求阴影部分面积、GC BAGCBA【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用得比例与燕尾定理吧!令BI 与ＣＤ得交点为M ，AF 与CD 得交点为N ,BI 与A Ｆ得交点为Ｐ,BI 与CE 得交点为Q ,连接AM 、BN 、ＣＰ ⑴求：在中,根据燕尾定理， 设(份)，则(份)，(份)，(份), 所以，所以,, 所以,同理可得另外两个顶点得四边形面积也分别就就是面积得 ⑵求:在中,根据燕尾定理, 所以,同理在中,根据燕尾定理，所以,所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积就就是面积得，所以【例 31】 如图,面积为l 得三角形ABC 中,D 、Ｅ、F 、Ｇ、H 、I 分别就就是AB 、B Ｃ、ＣA 得三等分点,求中心六边形面积、CBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形得顶点分别为N 、R 、Ｐ、Ｓ、M 、Ｑ，连接C Ｒ在中根据燕尾定理,,所以,同理， 所以,同理根据容斥原理，与上题结果 课后练习: 练习1. 已知得面积为平方厘米，，求得面积、【解析】 ,设份,则份,份,份,份,恰好就就是平方厘米,所以平方厘米 练习2. 如图,四边形得面积就就是平方米,,,,,求四边形得面积、H GFED CB AAB CDEFGH【解析】 连接、由共角定理得,即同理,即所以连接，同理可以得到5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以平方米练习3. 正方形得面积就就是１20平方厘米,就就是得中点,就就是得中点，四边形得面积就就是 平方厘米、H GFEDCBAMH GFEDCBA【解析】 欲求四边形得面积须求出与得面积、由题意可得到:,所以可得： 将、延长交于点,可得: ,而,得, 而，所以、,连接,确定得位置(也就就就是),同样也能解出、练习4. 如图，已知,,，,则 、DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形绕点与点分别顺时针与逆时针旋转,构成三角形与，再连接,显然,，，所以就就是正方形、三角形与三角形关于正方形得中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系: ;;、所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=、练习5. 如图,正方形得面积就就是平方厘米,就就是得中点,就就是得中点，四边形 得面积就就是___＿_平方厘米、EDC B EDCB【解析】 连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份,份,因此份,，所以(平方厘米）、练习6. 如图,中,点就就是边得中点，点、就就是边得三等分点，若得面积为1,那么四边形得面积就就是___＿＿＿＿__、F ABCDEM NFABCDEMN【解析】 由于点就就是边得中点，点、就就是边得三等分点,如果能求出、、三段得比，那么所分成得六小块得面积都可以求出来,其中当然也包括四边形得面积、 连接、、根据燕尾定理，，而,所以，那么,即、 那么,、另解:得出后,可得,则、练习7. 如右图,三角形中，,且三角形得面积就就是,求角形 得面积、【解析】 连接BG ,12份根据燕尾定理，,得(份),(份),则(份)，因此, 同理连接ＡI 、CH 得，,所以三角形ABC 得面积就就是,所以三角形G ＨI 得面积就就是月测备选【备选1】按照图中得样子,在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形、已知甲三角形两条直角边分别为与,乙三角形两条直角边分别为与,求图中阴影部分得面积、【解析】 如右图,我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之与、所以阴影部分面积为:【备选2】如图所示，矩形得面积为３６平方厘米，四边形得面积就就是3平方厘米,则阴影部分得面积就就是平方厘米、【解析】因为三角形面积为矩形得面积得一半,即1８平方厘米，三角形面积为矩形得面积得,即9平方厘米,又四边形得面积为3平方厘米,所以三角形与三角形得面积之与就就是平方厘米、又三角形与三角形得面积之与就就是矩形得面积得一半,即18平方厘米,所以阴影部分面积为(平方厘米)、【备选3】如图,已知,,与相交于点,则被分成得部分面积各占面积得几分之几?【解析】连接,设份,则其她部分得面积如图所示,所以份，所以四部分按从小到大各占面积得【备选4】如图,在中，延长至,使,延长至，使,就就是得中点,若得面积就就是,则得面积就就是多少？AB C D EF 【解析】∵在与中,与互补,∴、又,所以、同理可得，、所以【备选5】如图，,，则【解析】根据燕尾定理有,,所以。

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等． 长方形的宽88106.=⨯÷=(厘米)． _H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OE N O EDS S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(7A D E A B C S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBES AB BC S BE BF⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1O C O D ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1G C E G C F S S E G F G ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2B E EC=，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1A G M S =△份，则123M C D S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C D S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5F G N M S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::G B G E A B EM==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::AB F A EFS S BG G E ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==， ::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4A C G AC HE GE H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:1E G G H H B =，同样分析可得::10:5A G G I I D =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15A BPA BCS S =△△，所以1111152121A B P ADNBED N P QE S S S SS ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2C G F CD B S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。

模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？E F D CB A【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．F ED C BA【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AA B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．HGFEDCB A【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

小学奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似（含金字塔模型和沙漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型）, 掌握五大面积模型地各种变形知识点拨一，等积模型①等底等高地两个三角形面积相等。

②两个三角形高相等,面积比等于它们地底之比。

两个三角形底相等,面积比等于它们地高之比。

如右图12::S S a b=③夹在一组平行线之间地等积变形,如右图A C D B C D S S =△△。

反之,假如ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高地两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊地平行四边形)。

⑤三角形面积等于与它等底等高地平行四边形面积地一半。

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们地底之比。

两个平行四边形底相等,面积比等于它们地高之比．二，鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形地面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边地乘积之比．如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上地点如图 ⑴(或D 在BA 地延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△ 图⑴ 图⑵三，蝶形定理任意四边形中地比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形地面积问题地一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形地面积关系与四边形内地三角形相联系。

EDCBAEDCB Ab a S 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面,也可以得到与面积对应地对角线地比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =。

模型二 鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDES S=，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

模型二 鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．三角形等高模型与鸟头模型【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABCADESS==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDES S=又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =，∴6ABCBDESS=，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S1DBC=．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCB【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．BDCA【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。

小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。

AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。

模型二 鸟头模型如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形等高模型与鸟头模型三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△． 又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．B DCEA【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

2.核心：比例模型有：S/1ABC ABx ACSAADE ADxAE、鸟头模型的原理剖析证明：在三角形ABC 中，连接BE,S/XABE _ AE S/\ABC~Hc r利用等式的性质，左右两边分别相乘得:S 厶 ADE SAABE AD AE______ X ______ = ___ x ___SHABE SiXABC - AB AC5 SHADE ADxAES/\ABC ~ ABx AC三、鸟头模型的方法运用 鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积 第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1:如图，已知 AD:BD=2:3 ，AE:EC=3:1，三角形ADE 的面积是6平方厘米，求三角形 ABC 的面积？则有SAADE _ AD S/XABE 一AB第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边AD X AE（小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边）大夹边AB X AC第三步：利用鸟头模型结论SA\DE: S A ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2 X3):(5 X4)=6:20=3:10 3:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6 +3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2 X 10=20平方厘米。

例2 :如图，已知BC: CD=5:2 , AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形的面积？第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD X CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA X CBSMDE:SA\BC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2 X1)：(2 X5)=2:10=1:5CDE第三步：利用鸟头模型结论1:5的意思是：三角形 CDE 的面积是1份，三角形ABC 的面积是5份。