2014高考数学一轮复习-三角函数

2014高考数学一轮复习：三角函数复习

第一讲 任意角的三角函数及诱导公式

第二讲 三角函数的恒等变化

第三讲 三角函数的图像和性质

第四讲 平面向量

第五讲 解三角形

本教程把三角函数图像和性质从三角函数诱导公式中分离出来，主要是因为大部分学生针对三角函数的图像和性质重视度不够高，造成在解三角函数题的时候只是能够解决前面的基础问题，不能够得满分。

本课程针对高三基础较差学生、艺体类成绩较好的学生进行设计，在课程中没有设计相关训练和课后练习，不过在例题的选择上都是相同知识点，两道相关例题，老师在使用的时候可以选择一道作为讲解，另一道作为学生训练使用。

第一讲 任意角的三角函数及诱导公式

一、知识要点

1．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。

2．正角和负角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

3．终边相同的角、区间角与象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

4．弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。圆的周长为RC2，圆周所对的圆心角为。360，所以。。，1803602，弧长公式：rl||（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：2||2121rrlS。

5．三角函数定义：

如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即casin斜边的对边AA

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA

④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即abcot的对边的邻边AAA

特殊角的三角函数：

0 6 4 3 2

sin 0 21 22 23 1

cos 1 23 22 21 0

tan 0 33 1 3 不存在

cot 不存在 3 1 33 0

记忆方法：正弦特殊角的值分别是20、21、22、23、24。 三角函数定义：

在的终边上任取一点）（yx,P,它与原点的距离22yxr.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为x,线段MP的长度为y.则ryOPMPsin； rxOPOMcos；xyOMMPtan；yxMPOPcot；

根据三角函数的定义可以得到：正弦在一、二象限为正，余弦在一、四象限为正、正切在一、三象限为正，记忆方法：常用三角函数分别为正弦、余弦、正切，小学学习书写比划分别是：横、竖、撇，特殊在第一象限都为正，所以分别以第一象限画横、竖、撇，所过象限为正。或者：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

6．同角三角函数关系式

1cossin22 ； cossintan

7．三角函数诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。把需要化简的角度改写成k2的形式，针对k的奇偶性进行化简。

（1）sin2sink，cos2cosk，tan2tankk.

（2）sinsin，coscos，tantan.

（3）sinsin，coscos，tantan.

（4）sinsin，coscos，tantan. （5）sincos2，cossin2.

（6）sincos2，cossin2.

二、典型例题：

题型1：象限角

例1．已知角45；（1）在区间]0,720[内找出所有与角有相同终边的角；

解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：)(36045Zkk，

则令 036045720k，

得 45360765k

解得 36045360765k

从而2k或1k

代回675或315

点评：从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；

例2．若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第一、四象限 D．第二、四象限

解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号。

当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B。

例3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案：B

解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B。

题型2：三角函数定义

例4．已知角的终边过点(,2)(0)aaa，求的四个三角函数值。

解析：因为过点(,2)(0)aaa，所以5||ra，,2xaya。

当22250sin55||5yaaaraa时，；

5cos55xaara，2tan。

当22250sin55||5yaaaraa时，，5cos55xaara；2tan。

例5．已知角的终边上一点(3,)Pm，且2sin4m，求cos,sin的值。

解析：由题设知3x，ym，所以2222||(3)rOPm，

得23rm，

从而2sin4m23mmrm，

解得0m或216625mm。

当0m时，3,3rx， cos1,tan0xyrx；

当5m时，22,3rx， 615cos,tan43xyrx； 当5m时，22,3rx， 615cos,tan43xyrx。

题型3：诱导公式

例6． tan300°+00405sin405cos的值是（ ）

A．1＋3 B．1－3 C．－1－3 D．－1＋3

解析：答案：B tan300°＋00405sin405cos＝tan(360°－60°)＋)45360sin()45360cos(0000＝－tan60°＋0045sin45cos＝1－3。

例7．化简：

（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)；

（2）sin()sin()()sin()cos()nnnZnn。

解析：（1）原式sinsintantan1tancoscostan；

（2）①当2,nkkZ时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)coskkkk。

②当21,nkkZ时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]coskkkk。

点评：关键抓住题中的整数n是表示的整数倍与公式一中的整数k有区别，所以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。

题型4：同角三角函数的基本关系式

例8．已知1sin1sin2tan1sin1sin，试确定使等式成立的角的集合。

解析：∵1sin1sin1sin1sin2222(1sin)(1sin)coscos，

=|1sin||1sin|cos||cos|=1sin1sin|cos|=2sin|cos|。

又∵1sin1sin2tan1sin1sin，

∴2sin|cos|2sin0cos，

即得sin0或|cos|cos0

所以，角的集合为：{|k或322,}22kkkZ。

例9．（1）证明：cos1sinsin1coscossin1sincos2；

（2）求证：cos1sin1sincosxxxx。

解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证DCBA，只要证A·D=B·C,从而将分式化为整式

证法一：右边=cos1sin1sinsincoscos22

=cossincossin1sincos1sincos

cossin2cos2sin2cossin1sincos1sincos2cossincossin12sincos1sincos222

=左边cossin1cossin1sincos2

证法二：要证等式，即为

cos1sin1cossin1sincoscossin1sincos2

只要证 2（sin1）（cos1）=2cossin1