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chapter1_偏微分方程定解问题

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（1）
其中，最高阶导数的阶数m m m
1
2
mn 为方程的阶。我们把从物理问题中导出的偏微分
方程、常微分方程、积分方程称为数学物理方程。如果 （1）式中与u ( x ) 有关的部分是 u 及 u
的偏导数的线性组合，则称方程（1）是线性偏微分方程。 偏微分方程的解：如果多元函数u ( x , x , , x ) 在空间区域V
其中，a 0 为常数。 解： 特征方程为 dt dx ，特征线族为x at h 。令 x at ， x ，有J 0 ，则方程化
1 a
为
u 0。
于是泛定方程的通解为u g ( ) g ( x at ) ，其中g ( ) 是任意C 1 函数。由初始条件
.
(2)
若取 为齐次一阶线性偏微分方程
a ( x, y )
b ( x, y ) 0 x y
(3)
的解，则新方程 (2) 成为 (1) 型的方程
(a u b ) cu f x y
，
(*”)
对 积分便可求出通解。 由于对 只要求它是 a( x, y)
对原方程 (*) 则是要求其通解） ， 相应的方程(*”)为
数。故原方程(*)的通解为g ( ( x, y )) 。常微分方程(3)成为一阶线性偏微分方程 (*) 的特征方程，
其积分曲线称为特征曲线。 例 1.3.1 求解右行单波方程的初值问题
u u 0 , t 0, x a x t u t 0 ( x)
r
u x 2 y 2 等。
1.2.2 定解条件
方程的解中可以出现任意函数， 不能确定一个真实的运动， 这是因为在建立方程的过程中， 仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的 物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。通常把反映 系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定 方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。 常见的定解条件有： 1. 初始条件：如果方程中关于时间自变量 t 的最高阶导数是 m 阶的，则
2u 2u 2 2 0, 0 x , y 0, y x u x 0 u x 0, u 1 u sin nx, n为整数 y 0 0, y y 0 n
有唯一解：
u ( x, y )
1 sin nx sinh ny. n2
u
t 0
g ( x) ( x)
得该初值问题的解为u (t , x) ( x at ) 。
#
1.3.2 n 个自变量的一阶线性偏微分方程(n 2）
通解法求 n 个自变量的一阶线性偏微分方程： n 个自变量的一阶线性偏微分方程的一般形式为
n
b
j 1
j
u cu f x j
和 代换原变量x, y ，则一阶线性偏微分方程(*)可化为可以积分求通解的方程(*”)。如果再给
定定解条件，则可以求出通解中的任意函数。 特殊：当c( x, y )
f ( x, y ) 0 时，方程(*)即为方程
(3) （我们对于方程(3)只想求其一个特解，但
u 其通解为u g ( ) 。g ( ) 为任意C 函 0，
m1u t 0 为泛定方程的初始条件。 t m 1 2.边界条件：( u u ) V (t ) n u
t 0 ,
u t
t 0 ,...,
第Ⅰ类边界条件： =0。例如：u x x , y y , z z
1 1
1
(t )
第Ⅱ类边界条件： =0。例如： u
a ( x, y ) b ( x, y ) 0 的特解就行了（引入 x y
的目的仅仅是为了让
，因此可以用一种比较方便的方法求一个符合要求的 。 b ( x, y ) 0 成立） x y 以下求解a( x, y) b( x, y ) 0 ，它的解与相应的常微分方程 x y dx dy 特征方程： a ( x, y )dy b( x, y )dy 0 或 a ( x, y ) b( x, y )
#
称 m 阶偏微分方程的含有 m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数 为常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。
对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。但我们可以根据方程的物理背景或数学特点， 找出某些特定形式的特解来满足实际需要。例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即 可得到二维 Laplace 方程 2 u 0 的中心对称解u ln 1 (r 0) ，周期解u e x sin y ，多项式解
(4)
的解的关系为：
定理 1： 若 ( x, y) h（常数） 是一阶常微分方程(4)在区域 D 内的隐式通解（积分曲线族） ， 则 ( x, y ) 是一阶线性偏微分方程(3)在区域 D 上的一个特解。 证：若 满足
对于 h
b 0， x y 两边微分 dx 0 x y a
1 2 n
R n 内具有方程中出现的各阶连
续偏导数，并使（1）式成为恒等式，则称此函数为方程（1）在区域 V 内的解或称古典解。
1.1 数理方程中的三个典型方程
1.1.1 数理方程中的三个典型方程 ：
2u a 2 u f (t , x ) （波动方程） 2 发展方程 t u a 2 u f (t , x ) （热传导方程） t 稳态方程 : u f ( x ) （场位方程） x ( x1, x 2,, xn ), n 1,2,3
，
(9)
其中， b j b j ( x1 , x2 , , xn ), j 1,2, , n ; 的连续函数。
c c ( x1 , x2 , , xn ), f f ( x1 , x2 , , xn ) 是已知的区域D R n 上
与 n=2 时一样，先求解相应的齐次方程
以保证新变量 ， 与旧变量 x，y 之间的双向映射。利用链式法则
u u u u u u , x x x y y y
u u ( x, y ) 的方程变为u u ( , ) 的新方程
，
(a
u u b ) (a b ) cu f x y x y
j ( x1 , x2 , , xn ) h j
x
x x1
f (t )
第Ⅲ类边界条件：
0, 0 。例如：(
u 2u ) x
x 3
(t )Leabharlann 1.2.3 定解问题及其适定性
常见的定解问题类型： 初值问题：泛定方程 + 初始条件； 边值问题：泛定方程 + 边界条件； 混合问题：泛定方程 + 初始条件 + 边界条件。 如果泛定方程在区域 V 内的解及其在定解条件中出现的偏导数都连续到 V 的边界，并且在 边界上满足定解条件， 则称此解为定解问题的解 （古典解） 。 当定解条件的偏差在一定的小范 围时，相应的定解问题的古典解的偏差可以控制在任意事先给定的小范围内，则称该解是稳 定的。古典解的稳定性很重要，因为实际测量得到的定解条件存在一定的误差。如果一个定 解问题的古典解存在、唯一和稳定，则称此定解问题是适定的。 调和方程的混合问题是不适定的。1917 年阿达玛（Hadamard）曾给出著名例子：定解问题
u c( x, y ) f ( x, y ) ， u y b( x, y ) b ( x, y )
(1)
利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解：
y c ( x , ) c( x,s ) y0 b ( x , ) d ) y y 0 b ( x , s ) ds f ( x, ) u ( x, y ) e y e d g ( x) 0 b( x, ) ，
1.2 定解问题及其适定性：
1.2.1 通解和特解
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如： 例 1.2.1：求解二阶偏微分方程
2u 0 ，u u ( , ) 。
解：两边依次对 ， 积分，得
u f ( ) g ( ) ，
对于任意C 1 ( R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
a ( x, y ) u u b ( x, y ) c( x, y )u f ( x, y ) x y
2
(*)
其中，系数a ( x, y ),
b( x, y ), c ( x, y ) 是平面区域D R
上的连续函数，且a ( x, y ), b( x, y ) 不同时为
0。 f ( x, y ) 在D 上连续，称为方程的非齐次项。若 f ( x, y ) 0, 则方程是齐次的。 情况 1：如果在D 上，a ( x, y ) 0 ，b( x, y ) 0 ，方程 (*) 改写为
(
其中g ( x) 是任意的C 函数。
1
情况 2：如果在D 上，a ( x, y )b( x, y ) 0 ，方程(*)不能直接积分求解，试作待定的自变量代换
( x, y ) ( x, y )
，
要求其雅可比（Jacobi）行列式
( , ) x J ( , ) ( x, y ) x y 0， y
第一章． 偏微分方程定解问题
偏微分方程：是指含有多元的未知函数u u ( x ), x ( x1, x 2, , xn ) 及其若干阶偏导数的关式
u mu u u F ( x , u, , ,..., ,..., m1 m2 ) 0。 x1 x 2 xn x1 x 2 xn mn

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偏微分方程的数值解

偏微分方程的数值解

第二十章 偏微分方程的数值解自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。

这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。

我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。

方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。

如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。

初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。

对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。

定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。

§1 偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。

其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程),(2222y x f y ux u u =∂∂+∂∂=∆ （1）特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程02222=∂∂+∂∂=∆yux u u （2）带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。

Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(|),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y uxu y x ϕ （3）其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ 称为定解区域，),(),,(y x y x f ϕ分别为ΓΩ,上的已知连续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示成),(),(y x u n u y x ϕα=⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂Γ∈ （4）其中n 为边界Γ的外法线方向。

当0=α时为第二类边界条件，0≠α时为第三类边界条件。

在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。

其最简单的形式为一维热传导方程)0(022>=∂∂-∂∂a xu a t u （5）方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<∞->=∂∂-∂∂x x x u x t x u a t u )()0,(,0022ϕ （6）初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤===<<<<=∂∂-∂∂Tt t g t l u t g t u x x u l x T t x ua t u 0),(),(),(),0()()0,(0,002122ϕ （7） 其中)(),(),(21t g t g x ϕ为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ问题（7）中的边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。

偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题

偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题

偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。

这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。

我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。

方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。

如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。

初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。

对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。

定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。

偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。

其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程特别地，当f (x, y) ≡0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。

Poisson 方程的第一边值问题为其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΩU Γ称为定解区域， f (x, y),?(x, y) 分别为Ω,Γ上的已知连续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示成其中n 为边界Γ的外法线方向。

当α= 0 时为第二类边界条件，α≠0时为第三类边界条件。

在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。

其最简单的形式为一维热传导方程。

方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）其中?(x), g1 (t), g2 (t)为已知函数，且满足连接条件问题（7）中的边界条件称为第一类边界条件。

第二类和第三类边界条件为其中为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。

双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程描述，它是双曲型方程的典型形式。

偏微分方程答案

偏微分方程答案

第一章． 波动方程§1 方程的导出。

定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。

由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。

由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。

同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。

利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。

第一章--偏微分方程定解问题

第一章--偏微分方程定解问题

第一章 偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。

如牛顿定律22d x dtm g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂------(2)热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ------(3) 静电场位方程 2222222(,,)f x y z u u u a x y z ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭∂∂∂++∂∂∂ ------(4) 激波方程 0u uu t x∂∂+=∂∂ ------(5) 等等。

其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。

这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。

数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。

从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。

本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。

为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。

1. 常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。

含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。

2. 阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式220d x m g dt-= ------(1’) 22230u t a u f -∂∂∆-= -------(2’) 230u ta u f -∂∂∆-= ------(3’)230a u f ∆+= ------(4’)0u u t xu +∂∂∂∂= ------(5’)其中 2223222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。