函数变量取值范围问题
- 格式：pdf
- 大小：725.73 KB
- 文档页数：11
变量取值范围问题
变量取值范围问题是代数学的核心内容之一，是各类考试的热点，也是学生学习中的难
点之一；本文试图以中学数学各章节所涉及到的各种类型的变量取值范围问题为线索，勾画
出这类问题的总体轮廓，并阐述分析问题的思路、解决问题的方法。
一、函数中的变量取值范围问题
1．函数的定义域
具体函数的定义域即使函数在实数集内有意义的自变量的取值范围，通过解不等式（组）
求得，这里不作更多阐释。对于抽象的复合函数定义域，首先要清楚复合函数y
=))((xgf
的定义域是指“x
”的取值范围，而不是“)(xg
”的取值范围，“外层”函数)(xf
的定义
域才是“)(xg
”的取值范围。
例1：已知函数f(x2-3)=lg
622
xx
,
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x
]=lgx,求)3(
的值。 分析：不等式0
622
xx
的解集是复合函数y
=f(x2
-3)的定义域，而不是函数y
=f(x)的定义
域。令)(xg
= x2
-3， 则)(xg
≥-3 ①，
又))((xgf=
3)(3)(
lg
xgxg
， 得)(xg
＞3或)(xg
＜-3 ②
由①②可得)(xg
的取值范围，即函数y
=f(x)的定义域。
解：（1）∵f(x2-3)=lg
3)3(3)3(
22
xx
,∴f(x)=lg
33
xx
,又由0
622
xx
得x2
-3>3,∴ f(x)的定义
域为（3，+
）。 （2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。
（3）由y=lg,
33
xx
得x=
110)110(3
yy
,
x>3,解得y>0, ∴f-1(x)=)0(
110)110(3
x
xx
(4) ∵f[)3(]=lg3lg
3)3(3)3(
,∴3
3)3(3)3(
，解得
(3)=6。
例2：对函数f(x)=ax2
+bx+c(a≠0),作x=h(t)的代换，总不改变函数f(x)的值域的代换是（ ）
A.h(t)=10t
B.h(t)=t2
C.h(t)=sint D.h(t)=log
2t
分析：作x=h(t)的代换后得复合函数y
= f( h(t))，要使复合函数y
= f( h(t))的值域与函数y
=f(x)
的值域“总”相同，实际上是要求h(t)的取值范围与函数y
=f(x)的定义域R相同，故选D。
[高考试题] （重庆04）1
．函数
1
2log(32)yx
的定义域是 （D ）
A．[1,)
B．2
3(,)
C．2
3[,1]
D．2
3(,1]
（上海04）19．(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
记函数f(x)
=
13
2
xx
的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B.
(1) 求A； (2) 若B
A, 求实数a的取值范围.
【解】(1)2－
13
xx
≥0, 得
11
xx
≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵B
A, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥
21
或a≤－2, 而a <1, ∴
21
≤a <1或a≤－2, 故当B
A时, 实数a的取值范围是 (－∞,－2)∪[
21
,1]
2、函数的值域
函数的值域即函数值的集合，也可以理解为是函数y
=f(x)中变量y
的取值范围。求函
数值域的方法林林总总、包罗万象，限于篇幅，这里不作深入细致的探讨，仅就几种常见的
函数值域问题举例说明。
⑴二次函数
例3．函数f(x)=x2
+2x+5在[t,t+1]上的最小值为
(t),求
(t)的表达式。
分析：求二次函数的值域一般先配方，然后结合图象的开口方向、对称轴、单调性等确定。
解：f(x)=x2
+2x+5=(x+1)2
+4.当t>-1时，f(x)的最小值为t2
+2t+5;当-21t
时，f(x)
的最小值为4；当t<-2时，f(x)的最小值为t2
+4t+8。
∴
84452
)(
22
tttt
t
2121
ttt
例4．若函数y=x2
(x∈[a,b])的值域为[0，4]，则点(a,b)
的
轨迹是右图中的 B C 2
A.点A(-2,0)和C(0,2) B.线段AB和OC
C.线段BC和OA D.线段AB和BC 2 a
A
分析：给定函数的值域，函数的定义域未必是确定的，本题中若定义域
的左端点a=-2，则右端点只需在[0，2]内即可；同理，若右端点b=2,则
左端点只需在[-2，0]内即可。
（2）分式函数的值域
例5．已知函数)1(
1222
x
xxx
y
，则其图象的最低点的坐标是 （ ）
A、（1，2） B、)2,1(
C、（0，2） D、不存在
分析：求图象的最低点的坐标即求“x
取何值时函数取得最小值，最小值是多少”，求分式
函数的值域常用“逆求法”即用y
表示x
，使x
存在的y
的取值范围就是函数值域，若分式
的分子或分母是二次函数即为“判别式法”，但如果自变量x
的取值范围受到限制，这个办
法就不好用了，本题就是；此时一般用“基本不等式”求最值。
（3）用“基本不等式”求最值
[高考试题] （重庆04） 14．已知)0,0(,232
yx
yx,则xy
的最小值是____________
分析：用“基本不等式”求最值的条件是：“一正、二定、三相等”。
（上海04）18．(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分
别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2
. 问x、y
分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
【解】由题意得xy+
41
x2
=8, ∴y=
xx
482
=
48x
x
(0
<42
).
框架用料长度为 l=2x+2y+2(x
22)=(
23
+2
)x+
x16
)2
23
(162
=
4246
. 当(
23
+2
)x=
x16
,即x=8－
42
时等号成立.
此时, x≈
2.343,y=22
≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.
（天津01）（18）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2
，画面的宽与高的比为)1(
，
画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣
传画所用纸张的面积最小？
解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则.48402
x
设纸张面积为S，有,160)1016()10)(16(
2xxxxS
将
1022
x代入上式得
).5
8(10445000
S 当
,5
8
即
)1
85
(
85
时，S取得最小值．
此时，高：
,884840
cmx
宽：
.5588
85
cmx
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小． 说明：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数)0(,a
xa
xy
的单调
