求下列函数中自变量的取值范围

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函数中自变量的取值范围的确定

作者：严小松

来源：《成才之路》2012年第24期

研究函数，确定自变量的取值范围是一个重要问题。在新课标中，这也是中考内容的一个重要知识点。然而，怎样确定自变量的取值范围呢？很多同学对此不很明确，常常因考虑不周而出现错误。为了使同学们学习这部分知识时不出错或少出错，现将自己多年积累的经验归纳说明如下，供大家参考。

一、整式型

例1 求函数y=2x-3的自变量的取值范围。

分析：因为不论x取任意实数，2x-3都有意义，所以自变量x的取值范围是全体实数。

例2 在函数y=x2+3x+1中，自变量x的取值范围是( )。

A.全体实数 B.x≤0 C.x≠-1 D.x≥0

分析：不论x取任意实数， x2+3x+1都有意义，所以自变量x的取值范围是全体实数。故正确答案应为A。

二、分式型

当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数。

例3 在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )。

A.X≠3 B.X≠0 C.X＞3 D.X≠-3

分析：当X=3时，没有意义，所以自变量X的取值范围是X≠3。故答案为A。

例4 判断函数y1＝与y2＝x是否相同？

分析：两个函数是否相同，必须具备两个条件：（1）函数解析式相同（化简后）；（2）自变量的取值范围相同。函数y1＝＝x中，自变量x的取值范围是x≠ 0 ；而函数y2＝x中，自变量x的取值范围是全体实数。两个函数的解析式虽然相同，但自变量x的取值范围不同，所以它们不同。

三、偶次根式型 龙源期刊网

当函数解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方式非负的实数。

1 如何求反比例函数自变量的取值范围？

难易度：★★★★

关键词：反比例函数

答案：

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义。当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零。当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零。对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义。

【举一反三】

典例：在函数 y=中，自变量x的取值范围是（ ）

A、x≠0 B、x＞0 C、x＜0 D、一切实数

思路导引：此题对函数y=中x的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0．x在分母上，不能为0．在函数 y=中，自变量x的取值范围是x≠0．故选A．

标准答案：A

函数中自变量取值范围的确定

一、整式型：取值范围是全体实数。

例1 求函数y=2x-8的自变量的取值范围。

分析：因为不论x取任意实数，2x-8都有意义，所以x的取值范围是全体实数。

例2

在函数y=x2+3x+9中，自变量x的取值范围是( a )。

a.全体实数 b.x≤0 c.x≠-1 d.x≥0

二、分式型：取值范围是使分母不为零的实数。

例3 y=；

分析： 为分式形式：分母2x+1≠0 ∴x≠－ ∴x的取值范围为x≠－；

三、偶次根式型：取值范围是使被开方式非负的实数。

例5 y=；

分析：含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥ ∴x的取值范围为x≥；

四、函数关系式含0指数和负整指数幂：底数≠0

例6 y=（x-3）0

分析：含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．

五、以上类的复合型：复合用上面的综合取值范围。

例7 y=

分析：既含分母、又含算术平方根，故 ∴x≥－2且x≠0

x的取值范围为：x≥－2且x≠0

六、实际问题型

在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：

⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．

⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．

当遇到实际问题或几何问题时，自变量的取值还必须符合实际意义或几何意义。

例6 甲到乙的铁路长为360千米，一列火车以90千米/时的速度从南京开往上海，h小时后火车距甲s千米，用解析式表示s与h之间的函数关系，并求自变量h的取值范围（不考虑停站时间）。

分析：火车速度为90千米/时，h小时所行的路程为90h千米，于是s=311-90h。只对函数解析式而言，自变量的取值范围是全体实数。但h表示火车行使的时间，所以自变量h的取值范围是0≤h≤4。

求函数自

变量

的取值范围方法总

结

函数自变量的取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体

,叫做自变量的取

值范围

求自变量的取值范围一

般从两个方面考虑

(1)使

函数关系式有意义

;

(2)符

合客观实际。

确定自变量的取值范围的方法

(1)如

果函数关系式的右边是关于自变量的整式

,则自变量的取值范围是全

体实

数

例如函数y=艿

-1,自

变量艿

的取值范围是全体实数。

(2)如

果函数关系式的右边是分式

,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所

有实数

例女口

函数

`=≠纡,自变量艿

的取值范围是艿≠

1。

(3)如

果函数关系式的右边包含二

次根号

,则自变量的取值范围是使被开方数为

非负数

例如函数y〓√万-2,自

变量丌

的取值范围是艿≥

2。

(4)如

果函数关系式是有具体问

题建立

的

,则自变量的取值范围不但要使函数关

系式有意

义

,还要符合实际意

义

例如函数y=艿2,自

变量万

的取值范围是全体

实数

,如果丌

表示正

方形的边

长

,y表示正

方形的面积

,则自变量艿

的取值范围就变成了艿)0(边

长不能为

负

数

)。

(5)有

些

函数自变量的取

值范围是以上

情况的综合

,需进行多方面的

考虑。

例如函数y=√

艿~2’自变量x应

满足两个条件

:一是满足分母不

等于

零

,二是

旦

里变

自得求0

y≠

0一

一艿

艿组式等不的量变

自于关到得以所数负非为数方

开被

证保

艿

的取值范围是豸>2.

第1页

例

1.求函数

y〓

∴+√艿

-1中的自

变量万

的取值范围

分析

:本题中

,自变量艿

的取值范围应同时满足分母

←-3l不等于零和被开方数

←-D为

非

负数。

解

:t二

:r:

解这个不等式组

得

:艿≥1且

艿≠

3.

∴

自变量丌

的取值范围是x≥1且

艿≠

3.

习题1.函

数y〓√万+2的

自变量r的

取值范围是

。

艿

习题

2。函数

`〓√男-3ˉ」工

中自变量艿

的取值范围是 .

习题

3。在函数

`=丁萤厅中,自变量艿

的取值范围是

。

习题

4。下列函数中

,白变量的取值范围是跖>2的

是

【 1

1(A) `〓

√x-2 (B) `〓

√艿-2

1(C) `〓

√2x-1 (D) y〓

√

2苈~1

习题5.函