行程问题的九个公式
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行程问题（TravellingSalesmanProblem，简称TSP）在理解和解决许多实际问题（例如路由规划、车辆调度与最优路径搜索）方面都发挥着重要作用。其主要研究内容是：在一定网络结构中，以某一源点为起点，按指定的顺序依次访问该网络中的其他结点，并且最终到达源点，构成一个闭环路径，该闭环路径的路径权值最小。TSP的数学模型被称为旅行商问题，它的解表示最优路线以及最小距离，是人们研究图论一大难题。研究行程问题需要使用一些特定的公式，下文将介绍求解TSP过程中使用到的九个公式。
第一个公式是显示型，即给定一个旅行商路径，可以算出它的路径权值：
d(Pi, Pj)= d(i,j)+d(j,k)+... d(pk-1,pk)。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序。
第二个公式是移动型，即某一结点被插入到一条路径中时，其权值的增加量：
d(i, j)+d(j, k)-d(i, k) 。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，d(i,k)表示从结点i到结点k的距离。
第三个公式是换位型，即某一结点在路径上两个相邻位置之间“移动”时，其权值变化：
d(i, j)+d(k, l)-d(i, k)-d(j, l) 。 - 2 - 其中，d(i,j)和d(k,l)分别表示权值变化前的两条路径的长度，d(i,k)和d(j,l)表示权值变化后的两条路径的长度。
第四个公式是回头路检查型，即确定某结点是否能被加入某个方案的路径时：
D(i,j)= d(i,j)+d(j, k)+... d(pk-1,pk)+d(pk,i)。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序，d(pk,i)表示最后一次访问结点k时从k回到i的距离。
第五个公式是分支限界型，即确定当前搜索节点的最小路径权值时：
D(i,j)= C(i,j)+f(i,j) 。
其中，C(i,j)表示当前搜索节点已经遍历的路径权值，f(i,j)表示从节点i到节点j可能的最短路径权值。
第六个公式是拆分型，即对于某一结点时，可以将其路径拆分为两段：
D(i,j)=d(i,j)+d(j,k)+d(k,i) 。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，d(k,i)表示从结点k到结点i的距离。
第七个公式是分支定界加速计算型，即在分支定界法中，可以把当前搜索节点的约束条件和最小路径权值表示为：
D(i,j)= C(i,j)+D(i,j) 。
其中，C(i,j)表示当前搜索节点的约束条件，D(i,j)表示当前搜 - 3 - 索节点的最小路径权值，即在该搜索节点下所能获得的最优路径权值。
第八个公式是节点优先级调整型，即针对某一节点在搜索时，可以使用其权值调整节点的优先级：
D(i,j)= d(i,j)+d(j, k)+... d(pk-1, pk)+d(pk,i)。
其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk表示结点k-1和结点k的路径顺序，d(pk,i)表示最后一次访问结点k时从k回到i的距离。
第九个公式是遗传算法求解型，即在遗传算法中，可以使用遗传编码表示一个染色体，从而计算该染色体与给定目标路径之间的拟合度：
Fitness = 1/D(i,j) 。
其中，d(i,j)表示给定目标路径的路径权值，即从源点i出发，到达目标结点j，最短路径的总距离。
以上只是求解TSP的九个公式，也是很多人研究TSP的基础，有了这些公式的指导，又有各种最优化技术的帮助，才使旅行商问题的求解获得了很大的改进和进展。
行程问题的九个公式既提供了理论依据，也提供了实用方法，它改善了我们求解行程问题的有效性和效率，正因如此，它才受到了如此多的研究和应用。由于它不仅仅改善了行程问题的解法，而且可以用于解决很多有关的问题，因此它的普遍性得到了很大的发展。
