初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案

初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案

一、圆的综合

1．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23 ，点 P为优弧»AB上一点（点 P 不与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′．

发现：

（1）点 O 到弦 AB 的距离是 ，当 BP 经过点 O 时，∠ABA′＝ ；

（2）当 BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．

拓展：把上图中的优弧纸片沿直径 MN 剪裁，得到半圆形纸片，点 P（不与点 M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿 NP 折叠，分别得到点 M，O 的对称点 A′， O′，设∠MNP＝α．

（1）当α＝15°时，过点 A′作 A′C∥MN，如图 3，判断 A′C 与半圆 O

的位置关系，并说明理由；

（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆 O 相切，当α＝ °时，点 O′落在»NP上．

（3）当线段 NO′与半圆 O 只有一个公共点 N 时，直接写出β的取值范围．

【答案】发现：（1）1，60°；（2）23；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°．

【解析】

【分析】

发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．

（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；

（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；

（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【详解】

发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,

∵⊙O的半径为2，AB=23，

∴OH=22OBHB=222(3)1

在△BOH中，OH=1，BO=2

∴∠ABO=30°

∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

∴∠OBA′=∠ABO=30°

∴∠ABA′=60°

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．

∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．

∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴BG=3．

∵OG⊥BP，∴BG=PG=3．

∴BP=23．∴折痕的长为23

拓展：（1）相切．

分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，

∵A'C∥MN ∴四边形A'HOD是矩形

∴A'H=O

∵α=15°∴∠A'NH=30

∴OD=A'H=12A'N=12MN=2

∴A'C与半圆

（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，

∴∠ONA′=2α=90°，

∴α=45

当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12MN，

∴∠O′MN=0°

∴∠MNO′=60°，

∴α=30°，

故答案为：45°；30°．

（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，

由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，

∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；

当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．

当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，

∴α＜90°，

∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．

综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【点睛】

本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．

2．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．

（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AG2=AF·AB；

（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.

【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.

【解析】

试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．

（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.

（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：

如答图1，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.

∴∠D+∠CAD=90°.

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.

∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.

∵点A在圆上，

∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG，

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴»»ACAD.∴∠AGF=∠ABG.

∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.

∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AF•AB.

（3）如答图3，连接BD，

∵AD是直径，∴∠ABD=90°.

∵AG2=AF•AB，AG=AC=25，AB=45，∴AF=5.

∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90°.

∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD. ∴AEAFABAD，即51045AE，解得：AE=2.

∴221EFAFAE.

∵224EGAGAE，∴413FGEGEF.

∴1132322AFGSFGAE．

考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.

3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .

（1）求证：直线PD是⊙A的切线； （2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．

【答案】（1）见解析；（2）20-4π.

【解析】

分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.

（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.

详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，

∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又PD=BC，∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线.

（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，PC=25 ，

令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2，

解得：x=2，∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，

扇形ABE的面积为12π×42=4π，

∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.

点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.

4．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：

①t的值；

②∠MBD的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．

【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=6﹣3或6+33．

【解析】

分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；

（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t的值；

②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+3=2t+6，解出即可；

第二种情况：如图6，同理可得t的值．

详解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．

∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=3，BE=3﹣2=1，∴AB=22AEBE=2231（）=2．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；

（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E．

∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．

∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；

②由（1）可知：BE=1，AE=3，

∴tan∠EBA=AEBE=31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．