初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附详细答案

初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附详细答案

一、圆的综合

1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．

（1）求⊙M的半径；

（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．

（3）在（2）的条件下求AF的长．

【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．

【解析】

【分析】

（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；

（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；

（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．

【详解】

（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，

∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，

∴BT=TC=12BC=23，

∴BM=124=4；

（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，

∵CE⊥AB，

∴∠HBC+∠BCH=90°

在△COF中，

∵∠OFC+∠OCF=90°，

∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，

在△AEH和△AFH中， ∵AFHAEHAHFAHEAHAH，

∴△AEH≌△AFH（AAS），

∴EH=FH；

（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，

作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，

∵⊙O的半径为4，

∴CG=4，

连AG，

∵∠BCG=90°，

∴CG⊥x轴，

∴CG∥AF，

∵∠BAG=90°，

∴AG⊥AB，

∵CE⊥AB，

∴AG∥CE，

∴四边形AFCG为平行四边形，

∴AF=CG=4．

【点睛】

本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

2．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

【答案】（1）直线DE与⊙O相切（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴EADOAD＝，∵OAOD＝，∴ODAOAD＝，∴ODAEAD＝，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切

（2）

如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴DFADEA90＝＝，∵EADFAD＝，ADAD＝，∴△EAD≌△FAD，∴AFAE8＝＝，DFDE＝，∵OAOD5＝＝，∴OF3＝，在Rt△DOF中，22DF4ODOF＝＝，∴AFAE8＝＝

考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系

点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．

3．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.

【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3

，35-3.

【解析】

分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.

（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.

（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.

详解：（1）如图：连接OD、OB.

在△ODB和△OCB中：

OD=OC,OB=OB,BC=BD;

∴△ODB≌△OCB（SSS）.

∴∠ODB=∠C=90°.

∴AB为⊙O的切线.

（2）如图：

∵sinA=35，∴CB3AB5,

∵BC=6，∴AB=10, ∵BD=BC=6,

∴AD=AB-BD=4,

∵sinA=35，∴cosA=45，

∴OA=5，∴OD=3，

即⊙O的半径为：3.

（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，

由三角形的三边关系可知：

当P点与E点重合时，PB取最小值.

由（2）可知：OD=3，DB=6,

∴OB=223635.

∴PB=OB-OE=353.

当P点与F点重合时，PB去最大值，

PB=OP+OB=3+35.

点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.

4．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC垂足为H，∠ABC＝2∠CAD．

（1）如图1，求证：AB＝BC；

（2）如图2，过点B作BM⊥CD垂足为M，BM交⊙O于E,连接AE、HM，求证：AE∥HM;

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交AE于N，AE与BC交于点F，若NH＝25，AD＝11，求线段AB的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB的长为10. 【解析】

分析：（1）根据题意，设∠CAD=a，然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出∠BAC=∠ACB，再根据等角对等边得证结论；

（2）延长AD、BM交于点N，连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN，进而根据等角对等边，得到DE=DN,BA=BN，再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH∥AE；

（3）连接CE，根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC，然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2，解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根据锐角三角函数的性质得到AB.

详解：（1）证明：设∠CAD=a,

则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,

∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a

∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC

(2）证明：延长AD、BM交于点N，连接ED.

∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN

∴∠N=∠DEN=∠BAN

∴DE=DN,BA=BN

又∵BH⊥AN,DM⊥EN

∴EM=NM,HN=HA,∴MH∥AE

（3）连接CE.

∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由（1）知∠BCA=∠BAC

∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM≌△BDH,

∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD⊥MH

又∵MH∥AE,∴BD⊥EF,∴△FNB≌△ENB,

同理可证△AFH≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE

∴NH∥EC,EC=2NH,又∵NH=25,∴EC=45

∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可证弧AC=弧EC,

∴AC=EC=45

设HD=x，AH=11-x，

∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD至△CHG,可证CG=CD=AG

AH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x

又∵AC2-AH2=CD2-DH2,∴(45)2-(11-x)2=(11-2x)2-x2

∴x1=3,x2=272(舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8.

又∵tan2AHCHaBHDH,∴BH=6 ∴AB=22226810BMAH

点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键.

5．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.

（1）求证：AE=BF；

（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；

（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.

【答案】（1）（2）见解析；（3）9

【解析】

分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=12AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；

（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．

详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．

∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=12AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD．

∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．

∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，AFBDADBDEDAFDB，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；

（2）连接EF，BG．

∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．

∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．

∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．

∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；

（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2．

∵EB=4，BF=2，∴EF=2242=25．

∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=DEEF．

∵EF=25，∴DE=25×22=10．

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，∴GEAE=EBED，即GE•ED=AE•EB，∴10•GE=8，即GE=4105，则GD=GE+ED=9105．

∴1191011092252SGDDFGDDE．