北航数学分析期中考题答案
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北京航空航天大学
2010－2011 学年第一学期期中
《 工科数学分析(I) 》
试卷
班号 学号 姓名 成绩
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
成 绩
阅卷人
校对人
20XX年11月25日
一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）
1) 计算极限 201sin1lim1xxxxe
解：22001sin1sinlimlim11sin1xxxxxxxexxx ………….. （3分）
=12
……………
（2分）
2) 求下面无穷小的阶
1tan1sin0xxx.
解：
tansin1tan1sin1tan1sin1sin1cos1tan1sinxxxxxxxxxx………………………（3分）
01sin1coslim2xxxx 为1阶 (2分)
3) 假设cossin0xfxx 求'fx.
解：coscoslnsinsinxxxfxe ……………….. (2分)
2''coslnsincoslnsin2coscossinlnsinsincossinsinlnsinsinxxxxxxfeexxxxxxxx ……….(3分)
4) 假设sin,cos.xttytt求dydx.
解: dydydxdxdtdt
(2分)
cossincossintttttt (3分)
5) 假设223,xfxxxe求.nfx
解:
2'10212''22223232323nnxnnxxnnnxnfxxxeCxxeCxxeCxxe(3分)
212221231221112133nxnnxxnxxxenxenneexnxnn
(2分)
6) 求lnfxx在2x的n阶Taylor展开,并写出peano余项.
解:
2lnln22ln2122ln2ln12xfxxxx (2分)
1122ln2ln1ln21222knknkxxox (3分)
7) 假设函数xfxe,
判断函数的凹凸性.
解 ''''xxfxee (4分)
凸函数 (1分) 8) 已知1sin,0,0,0.mxxfxmxx为正整数.
求: m满足什么条件，函数在0x连续，
m满足什么条件，函数在0x可导.
解: 1m，函数在0x连续
(2分)
2m，函数在0x可导数
(3分)
二 证明下面问题（10分）
假设1110,0,,2nnnxxxx
证明数列nx单调有界，且极限为.
证明: 1)
数列单调递减有下界(5分)
1111,21110222nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx
2)
下面说明极限为(5分)
11lim2nnxbbbb,b
三. 证明下面问题（10分）
假设数列nx满足112nnnxx,
用Cauchy收敛定理证明nx收敛.
证明
1) (5分)
112112121,.......111........22211111112........1.1222222nPnnPnPnPnPnnnPnPnpnPPnnpNxxxxxxxx
2) 柯西定理写正确5分 10,ln/ln21,,,npnNnNpNxx
四. 证明下面不等式
(10 分)
2sin1,0,2xxexx.
证明: 1) 下面每个式子2分,共6分
2'''1sin,0,2cos,0,1sin,0,xxxxFxexxFxxexxFxexx
2) (2分)
''0,0,,Fxx'00F因此'0,0,Fxx
3) (2分)
00F,21sin0,0,2xxFxexx
五. （10分）假设函数fx和gx在,ab存在二阶导数，并且''0gx,且
0fafbgagb，证明下面问题:
1）在,ab内0gx；
2） 在,ab内至少存在一点在,满足''''ffgg.
证明: 1) 下面每个式子2分,共6分
用反证法证明,假设,,0abg. 则
''111''222''''''12312331200,,00,,00,gaggxagxxagbggxbgxxbgxgxgxxxgxxxx
矛盾,结论得证.
2) 令''Fxfxgxfxgx ……..
( 2分)
'''''Fxfxgxfxgx………………(2分) 0FaFb
'''''0Ffgfg…………(1分)
六 (10分) 假设函数fx在0,1存在二阶导数,00,11,ff并''010,ff求解和证明下面问题.
1) 写出fx在0,1xx的Lagrange 余项的Taylor公式;
2) 证明在0,1至少存在一点0,1满足''4f.
证明 1) 下面每个式子2分
'''211100,2fxffxfx介于0,x之间.
2'''1211111,2fxffxfx介于,1x之间.
2)
'''2''2112''11100221112fxffxfxfxfxfx
2分
2''2''112''2''112''''2111111221111221max,12fxfxfxfxffxx 2分
而
221xx在0,1区间上的最大值12, (2分)
因此 ''''11max,4.ff
七 （10分）证明下面问题 假设fx定义在,ab上. 如果对,ab内任何收敛的点列nx都有limnnfx存在, 则f在,ab上一致连续.
证明: 1) 写出不一致连续定义3分
如果f在,ab上不一致连续, 则
0010,,,,,nnnnnnstabstfsftn
2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列)
,,,nnstab则存在,,,limlimkkkknnnnkkstabst
3)
下面结论4分
构造11,,.......,,..........kknnnnnststz数列收敛且极限为, (2分)
则有已知条件limnnfz存在, 因此limlimkknnkkfsft (2分)
与1)矛盾.
八 （10分）附加题 (下面两个题目任选其一)
1)
假设函数11cosnnfxx,
证明下面问题
a) 对于任意的自然数n, 方程12nfx在0,2中仅有一根.
b) 设0,,2nx满足12nnfx,
则lim.2nnx
证明: 1) 5分
01,02nnff,由介值定理10,,22nnnxfx. (3分)
1'sin1cos0,0,2nnfxnxxx
(2分)
因此根唯一.
2) 5分
由于1111arccos11,limarccos1,nnnnffennn（2分） 由极限的保号性
11,,arccos211arccos2nnnnNnNfnffxn
（2分）
单调性1arccos2nxn和夹逼定理lim.2nnx
（1分）
2) 用有限覆盖定理证明下面问题
假设函数fx定义在,ab, 对于0,xab,
0limxxfx都存在, 则fx在,ab上有界.
证明： 1）4分
0limxxfx存在，根据函数局部有界性
,,,,,,xxxxxabUxtUxftM
2）3分
根据有限覆盖定理
,,,xxabUxab，存在有限个1,,ikxiiUxab
3）3分
取1maxixikMM，则,xab，1,ikxiixUx，则
fxM。
