2020-2021学年高二下学期第一次月考数学复习卷(含答案解析)

2020-2021学年高二下学期第一次月考数学复习卷

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 所有的金属都能够导电，金是金属，所以金可以导电，所采用的推理方法是( )

A. 归纳推理 B. 演绎推理 C. 类比推理 D. 合情推理

2. 用反证法证明“方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)至多有两个解”的假设中，正确的是( )

A. 至少有两个解 B. 有且只有两个解

C. 至少有三个解 D. 至多有一个解

3. 若函数𝑓(𝑥)=12𝑥2+2𝑓′(0)cos𝑥+𝑥，则𝑓′(𝜋6)的值为( )

A. 0 B. 𝜋6 C. 𝜋3 D. 𝜋

4. 设𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥，那么𝑓′(𝑥)=( )

A. −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 B. cos2x C. 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥 D. 𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥

5. 设函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑥−1，则𝑓′(0)=( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 函数𝑦=2𝑥2+1𝑥−2𝑥的导数是( )

A. 2−1𝑥2 B. −1𝑥2 C. 𝑥−1𝑥2 D. 1𝑥2

7. 计算∫|40𝑥−2|𝑑𝑥的值为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 14

8. 函数𝑓(𝑥)=𝑥4+2𝑥的导数𝑓′(𝑥)=( )

A. B. C. 4𝑥3+2 D. 4𝑥3+2𝑥

9. 若函数𝑓(𝑥)在R上可导，其导函数为𝑓′(𝑥)，且函数𝑦=(1−𝑥)𝑓′(𝑥)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A. 函数𝑓(𝑥)有极大值𝑓(3)，极小值𝑓(−1)

B. 函数𝑓(𝑥)有极大值𝑓(−1)，极小值𝑓(3)

C. 函数𝑓(𝑥)有极大值𝑓(−1)，极小值𝑓(1)

D. 函数𝑓(𝑥)有极大值𝑓(3)，极小值𝑓(1)

10. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥的图象上一点(2,6)及邻近一点(2+𝛥𝑥,6+𝛥𝑦)，则( )

A. 5 B. 𝛥𝑥 C. 5+𝛥𝑥 D. 5𝛥𝑥+(𝛥𝑥)2

11. 已知曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(6,𝑓(6))处的切线方程为𝑦=−2𝑥+3，则𝑓(6)+𝑓′(6)=( )

A. −11 B. −18 C. 17 D. 30

12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+4，若△𝑥→0𝑙𝑖𝑚𝑓(1+△𝑥)−𝑓(1)△𝑥=2，则实数a的值为( )

A. 2 B. −2 C. 3 D. −3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知𝑓(𝑥)=𝑥𝑥−1，则𝑓′(𝑥)=______．

14. ∫𝑥210𝑑𝑥= ______ ．

15. 函数的单调减区间为_________．

16. 若函数𝑓(𝑥)=𝑥+1−𝑎(𝑥−1𝑥+1)在𝑥=1处取得极值，则实数a的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 求下列函数的导数

(1)𝑦=𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥

(2)𝑦=𝑡𝑎𝑛𝑥．

18. 求函数𝑓(𝑥)=−𝑥4+2𝑥2+3，𝑥∈[−3,2]上的最值．

19. 设函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)，求函数𝑓(𝑥)的单调区间与极值点．

20. 求函数𝑓(𝑥)=𝑥(1−𝑥2)在[0,1]上的最大值．

21. 求由曲线𝑦=√𝑥，直线𝑦=2−𝑥，𝑦=−13𝑥所围成图形的面积S．

22. 求下列直线的方程：

(1)曲线𝑦=𝑥3+𝑥2+1在𝑃(−1,1)处的切线；

(2)曲线𝑦=𝑥2过点𝑃(3,5)的切线．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查了演绎推理的应用问题，判断一个推理过程是否为演绎推理，关键是看是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分，属基础题．

根据演绎推理的定义，推理过程满足“三段论”，判断即可．

解：本题的推理方法是演绎推理，

大前提：金属都能够导电，

小前提：金是金属，

结论：金可以导电．

故选B．

2.答案：C

解析：解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，

命题：“方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，

故选：C．

把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．

本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．

3.答案：B

解析：

本题考查导数的运算，属于基础题．

先求导，令𝑥=0，得𝑓′(0)，再令𝑥=𝜋6即可．

解：𝑓(𝑥)=12𝑥2+2𝑓′(0)cos 𝑥+𝑥，

∴𝑓′(𝑥)=𝑥−2𝑓′(0)sin 𝑥+1，

令𝑥=0，𝑓′(0)=0−2𝑓′(0)sin0+1=1，

∴𝑓′(𝑥)=𝑥−2sin 𝑥+1， ∴𝑓′(𝜋6)=𝜋6−2sin𝜋6+1=𝜋6．

故选B．

4.答案：B

解析：解：∵𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥，∴𝑓′(𝑥)=cos2𝑥−sin2𝑥=𝑐𝑜𝑠2𝑥．

故选B．

利用乘积的导数运算法则(𝑢𝑣)′=𝑢′𝑣+𝑢𝑣′即可求出．

熟练掌握乘积的导数运算法则是解题的关键．

5.答案：D

解析：

本题考查导数的运算，属于基础题．

解：因为𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑥−1，

所以𝑓′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥+3，

所以𝑓′(0)=𝑐𝑜𝑠0+3=1+3=4．

故选D．

6.答案：B

解析：解：𝑦=2𝑥2+1𝑥−2𝑥=2𝑥+1𝑥−2𝑥=1𝑥，

则函数的𝑓(𝑥)的导数𝑓′(𝑥)=−1𝑥2，

故选：B

根据导数的公式进行计算即可．

本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握导数的运算公式．

7.答案：B

解析：

本题考查了求函数的定积分问题，考查转化思想，是一道基础题．

求出原函数，求出函数的定积分即可． 解：∫|𝑥−2|40𝑑𝑥=∫(202−𝑥)𝑑𝑥+∫(42𝑥−2)𝑑𝑥

 =(2𝑥−12𝑥2)|02+(12𝑥2−2𝑥)|24

=4，

故选B．

8.答案：C

解析：∵𝑓(𝑥)=𝑥4+2𝑥，∴𝑓′(𝑥)=4𝑥3+2，故选C.

9.答案：B

解析：

本题考查了利用导数研究函数单调性、极值，属于中档题．

由已知函数𝑦=(1−𝑥)𝑓′(𝑥)的图象如图所示，列出表格可得单调性，进而判断出极值．

解：由已知函数𝑦=(1−𝑥)𝑓′(𝑥)的图象如图所示，

可得：

x (−∞,−1) −1 (−1,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)

𝑓′(𝑥) + 0 − 0 − 0 +

𝑓(𝑥) 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增

由表格可得：函数𝑓(𝑥)有极大值𝑓(−1)，极小值𝑓(3)．

故选：B．

10.答案：C

解析：

本题考查导数的定义，以及导数的几何意义，属于基础题．

通过函数关系式直接计算出的结果即可． 解：𝛥𝑦𝛥𝑥=𝑓(2+𝛥𝑥)−𝑓(2)𝛥𝑥=5+𝛥𝑥．

故选C ．

11.答案：A

解析：

本题考查导数的几何意义，属基础题．

利用导数的几何意义即可求解．

解：由曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(6,𝑓(6))处的切线方程为𝑦=−2𝑥+3，

则𝑓(6)=−2×6+3=−9，𝑓′(6)=−2，

所以𝑓(6)+𝑓′(6)=−9−2=−11，

故选A．

12.答案：A

解析：解：△𝑥→0𝑙𝑖𝑚𝑓(1+△𝑥)−𝑓(1)△𝑥=2，即𝑓′(1)=2，

而𝑓′(𝑥)=𝑎，所以𝑎=2，

故选：A．

由导数定义可得𝑓′(1)=2，从而得到方程，解出即可．

本题考查导数的定义及其运算，属基础题．

13.答案：−1(𝑥−1)2

解析：解：𝑓(𝑥)=𝑥𝑥−1=1+1𝑥−1

∴𝑓′(𝑥)=(1+1𝑥−1)′=−1(𝑥−1)2

故答案为：−1(𝑥−1)2．

先化简𝑓(𝑥)，再根据导数的运算法则计算即可．

本题考查了导数的运算法则，属于基础题．

14.答案：13