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平面解析几何经典题含答案

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第 1 页 平面解析几何

一、直线的倾斜角及斜率

1、直线的倾斜角及斜率

（1）倾斜角的范围000180

（2）经过两点的直线的斜率公式是

（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率

2.两条直线平行及垂直的判定

〔1〕两条直线平行

对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，那么有1212//llkk。特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。

〔2〕两条直线垂直

如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，那么12121llkk

注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直。

二、直线的方程

1、直线方程的几种形式

名称 方程的形式 条件 局限性 第 2 页 点斜式 为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线

斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线

两点式

是直线上两定点 不包括垂直于x轴与y轴的直线

截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴与y轴或过原点的直线

一般式

A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线

三、直线的交点坐标及距离公式

三、直线的交点坐标及距离公式

设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，假设方程组有唯一解，那么这两条直线相交，此解就是交点的坐标；假设方程组无解，那么两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

〔1〕两点间的距离平面上的两点间的距离公式

〔2〕点到直线的距离 第 3 页 点到直线的距离；

〔3〕两条平行线间的距离

两条平行线间的距离

注：〔1〕求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数一样的一般形式后，才能套用公式计算

〔二〕直线的斜率及应用

利用斜率证明三点共线的方法：

112233(,),(,),(,),AxyBxyCxy假设123ABACxxxkk或，那么有A、B、C三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界限，遇到斜率要谨记，存在及否需讨论。

直线的参数方程

〖例1〗直线的斜率  (∈R).求直线的倾斜角的取值范围。

思路解析：的范围斜率k的范围的范围倾斜角的取值范围。

〖例2〗设,,abc是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)AaaBbbCcc、、在同一直线上，求证：0abc

思路解析：假设三点共线，那么由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。 第 4 页 〖例3〗点M〔2，2〕，N〔5，-2〕，点P在x轴上，分别求满足以下条件的P点坐标。

〔1〕∠∠〔O是坐标原点〕；

〔2〕∠是直角。

思路解析：∠∠，∠是直角，故而可利用两直线平行与垂直的条件求得。

注：〔1〕充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决此题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l与2l，。假设有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意

〖例4〗求过点P〔2，-1〕，在x轴与y轴上的截距分别为a、b,且满足3b的直线方程。

思路解析：对截距是否为0分类讨论设出直线方程代入条件求解得直线方程。

〔二〕用一般式方程判定直线的位置关系

两条直线位置关系的判定

直线1111:0lAxByC，2222:0lAxByC，那么

〔1〕

〔2〕121212//0.llAABB

〔3〕1l及2l重合01221BABA且01221CACA(或01221CBCB)或记为〔111CCBBAA 第 5 页 〔4〕

〖例5〗直线1:260laxy与直线22:(1)10lxaya，〔1〕试判断1l及2l是否平行；〔2〕1l⊥2l时，求a的值。

思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按2l的斜率是否存在为分类标准进展分类讨论。

〖例6〗点P〔2，-1〕。

〔1〕求过P点且及原点距离为2的直线l的方程；

〔2〕求过P点且及原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

〔3〕是否存在过P点且及原点距离为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由。

思路解析：设出直线方程由点到直线距离求参数判断何时取得最大值并求之。

(三〕轴对称

①点关于直线的对称 假设两点关于直线l：0对称，那么线段的中点在对称轴l上，而且连接的直线垂直于对称轴l上，由方程组

可得到点1P关于l对称的点2P的坐标22,xy〔其中120,Axx〕

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是直线及对称轴相交；二是直线及对称轴平行。 第 6 页 〖例7〗求直线1:23lyx关于直线:1lyx对称的直线2l的方程。

思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。

练习题

1．过点〔1，0〕且及直线22=0平行的直线方程是〔 〕

〔A〕21=0 (B)21=0 (C)22=0 〔D〕21=0

2．圆22:2440Cxyxy的圆心到直线3440xy的距离d

。

3．圆C过点〔1，0〕，且圆心在x轴上，直线:1lyx过圆C所截得的弦长为22，那么过圆心有及直线l垂直的直线的方程为

4．倾斜角为45°，在y轴上的截距为1的直线方程是〔 〕

A．01yx B．01yx C．01yx D．01yx

5．过点2,1M的直线l及x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且2MQMP，那么直线l的方程为〔 〕

24=0 20 1=0 3=0

6．过点(2,)Am与(,4)Bm的直线及直线012yx平行，那么m的值为〔 〕

A. 0 B. 8 C. 2 D. 10

7．0,0abbc，那么直线axbyc通过〔 〕

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

8．假设方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，那么实数m满足〔 〕 第 7 页 A. 0m B. 23m

C. 1m D. 1m，23m，0m

9．函数xey2图像上的点到直线042yx距离的最小值是 _

10． 假设直线1:10lmxy及2:250lxy垂直，那么m的值是 ．

11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．

12.写出以下直线的点斜式方程．

(1)经过点A(2,5)，且及直线y＝2x＋7平行；

(2)经过点C(－1，－1)，且及x轴平行．

13.三角形的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)求边与所在直线的方程；

(2)求边上的中线所在直线的方程；

(3)求边上的中垂线所在直线的方程．

14.直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1及l2平行

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注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、选择题

1．1 ．（2020年高考江西卷（文））如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为

2．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为（ ）

(A) 42 (B)32 (C) 422 (D)322 （2020全国1理11）

3．从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )

A．21 B．53 C．23 D．0（2020）

4．若直线x=1的倾斜角为α，则α（ ）

A．等于0 B．等于4 C．等于2 D．不存在（2020上海春14）

5．已知圆1C的方程为0),(yxf，且),(00yxP在圆1C外，圆2C的方程为

),(yxf=),(00yxf，则1C与圆2C一定

（ ）

A．相离 B．相切 C．同心圆 D．相交

6．直线02byx与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ｃ）

Ａ．2,2 Ｂ．,22, Ｃ．2,00,2 Ｄ．,

7．三条直线0155,02,0321kyxlyxlyxl：：：构成一个三角形，则k的范围是（ ）

高中数学平面解析几何初步经典例题

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直线和圆的方程

一、知识导学

1．两点间的距离公式:不论A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(yyxx，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2－x1|或|AB|=|y2-y1|.

2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是112121yyyxxx.当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是222121yyyxxx.

3．直线的倾斜角和斜率的关系

（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tanα.

4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.

名称 方程 说明 适用条件

斜截式 bkxy k为直线的斜率

b为直线的纵截距 倾斜角为90°的直线不能用此式

点斜式 )(00xxkyy (00,yx) 为直线上的已知点，k为直线的斜率 倾斜角为90°的直线不能用此式

两点式

121yyyy=121xxxx (11,yx)，(22,yx)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式

截距式 ax+by=1 a为直线的横截距

b为直线的纵截距 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式

一般式 0CByAx BA，AC，BC分别为斜率、横截距和纵截距 A、B不全为零

5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k,2k都存在且1k·2k≠ -1时，tanθ=21121kkkk，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的 区别.

解析几何经典例题及解析

解析几何经典例题及解析

- 1 - 解析几何经典例题及解析

题目：已知三点A（1,2）、B（3,4）、C（4,5），判断是否共线。

解析： 为了判断这三个点是否共线，我们可以算出它们的斜率是否相等。斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。我们先算出AB、AC两条线段的斜率，如果它们相等，则这三个点共线。

k_AB=(4-2)/(3-1)=1

k_AC=(5-2)/(4-1)=1

因为k_AB=k_AC，所以这三个点共线。

2. 点到直线距离问题：

题目： 已知直线L：2x-y+1=0，点P（3，4）到直线L的距离是多少？

解析： 点P到直线L的距离可以通过求点P到直线L的垂线的长度来计算。我们先求出直线L的斜率k，因为与L垂直的直线的斜率为-k的倒数。直线L的一般式表示为Ax+By+C=0，所以斜率k=-A/B。将直线L的一般式转化为斜截式y=kx+b的形式，可以得到直线L的斜率为k=2/1=2。所以与L垂直的直线的斜率为-1/2。

接下来我们求出与L垂直的直线的截距b。因为点P在这条直线上，所以直线的表达式可以写为y=-1/2x+b，将点P代入这个方程组中可得b=5。

因此与点P到直线L的垂线的方程为y=-1/2x+5，求出点P到这条直线的垂足Q的坐标为（2，3）。所以点P到直线L的距离为PQ的长度，即√((3-2)+(4-3))=1.41。 - 2 - 3. 直线交点问题：

题目： 已知直线L1：2x-y+1=0，直线L2：x+y-3=0，求出它们的交点。

解析： 求出两条直线的交点，可以将两条直线的方程联立起来解方程组。将L1的方程改写成x=(y-1)/2的形式，将其代入L2的方程中，得到：((y-1)/2)+y-3=0，即y=2，代入L1的方程中可以得到x=1。因此两条直线的交点为(1,2)。

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第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、选择题

1．1 ．（2020年高考天津卷（文））已知过点P(2,2) 的直线与圆225(1)xy相切, 且与直线10axy垂直, 则a （ ）

A．12 B．1 C．2 D．12

2．设m,nR,若直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切,则+mn的取值范围是（

）

A．[13,1+3] B．(,13][1+3,+)

C．[222,2+22]D．(,222][2+22,+)（2020天津理）

3．直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )

A．1133yx B．113yx C．33yx D．113yx(2020四川理)

4．圆5)2(22yx关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ） A．5)2(22yx B．5)2(22yx C．5)2()2(22yx

D．5)2(22yx(2020重庆理)

5．圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=33x的距离是（ ）

A．21 B．23 C．1 D．3（2020全国理）

6．设A．B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（ ）

A．x+y－5=0 B．2x－y－1=0C．2y－x－4=0 D．2x+y－7=0（2020天津理6）

7．已知圆O：222xyr，点Pab，（0ab）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为1l，直线2l的方程为20axbyr，那么