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平面解析几何经典题(含答案)

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1 / 13 平面解析几何

一、直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角与斜率

（1）倾斜角的围000180

（2）经过两点的直线的斜率公式是

（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率

2.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，则有1212//llkk。特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则12121llkk

注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直。

二、直线的方程

1、直线方程的几种形式

名称 方程的形式 已知条件 局限性

点斜式

为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线

斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线

两点式

是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线

截距式

a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线 .

2 / 13 一般式

A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线

三、直线的交点坐标与距离公式

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式

（2）点到直线的距离

点到直线的距离；

（3）两条平行线间的距离

两条平行线间的距离

注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算

（二）直线的斜率及应用

利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),AxyBxyCxy若123ABACxxxkk或，则有A、B、C三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 .

3 / 13 直线的参数方程

〖例1〗已知直线的斜率k=-cos  (∈R).求直线的倾斜角的取值围。

思路解析：cos的围斜率k的围tan的围倾斜角的取值围。

〖例2〗设,,abc是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)AaaBbbCcc、、在同一直线上，求证：0abc

思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

〖例3〗已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。

（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；

（2）∠MPN是直角。

思路解析：∠MOP=∠OPNOM//PN，∠MPN是直角MPNP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。

注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l和2l，。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意 .

4 / 13 〖例4〗求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。

思路解析：对截距是否为0分类讨论设出直线方程代入已知条件求解得直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系

两条直线位置关系的判定

已知直线1111:0lAxByC，2222:0lAxByC，则

（1）

12122112211221111222222//00(0)(0).llABABACACBCBCABCABCABC且或或记为：、、不为

（2）121212//0.llAABB

（3）1l与2l重合01221BABA且01221CACA(或01221CBCB)或记为（111CCBBAA

（4）

〖例5〗已知直线1:260laxy和直线22:(1)10lxaya，（1）试判断1l与2l是否平行；（2）1l⊥2l时，求a的值。

思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按2l的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。

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5 / 13 〖例6〗已知点P（2，-1）。

（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

思路解析：设出直线方程由点到直线距离求参数判断何时取得最大值并求之。

(三）轴对称

①点关于直线的对称

若两点关于直线l：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴l上，而且连接的直线垂直于对称轴l上，由方程组

可得到点1P关于l对称的点2P的坐标22,xy（其中120,Axx）

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。 .

6 / 13 〖例7〗求直线1:23lyx关于直线:1lyx对称的直线2l的方程。

思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。

练习题

1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）

（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0

2．圆22:2440Cxyxy的圆心到直线3440xy的距离d。

3．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴上，直线:1lyx过圆C所截得的弦长为22，则过圆心有与直线l垂直的直线的方程为

4．倾斜角为45，在y轴上的截距为1的直线方程是（）

A．01yxB．01yx C．01yx D．01yx

5．过点2,1M的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且2MQMP，则直线l的方程为（）

A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0

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7 / 13 6．已知过点(2,)Am和(,4)Bm的直线与直线012yx平行，则m的值为（ ）

A. 0B. 8 C. 2 D. 10

7．已知0,0abbc，则直线axbyc通过（ ）

A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限

8．若方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，则实数m满足（ ）

A. 0mB. 23m

C. 1mD.1m，23m，0m

9．函数xey2图像上的点到直线042yx距离的最小值是_

10． 若直线1:10lmxy与2:250lxy垂直，则m的值是．

11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．

12.写出下列直线的点斜式方程．

(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；

(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．

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13.三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．

14.已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行

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9 / 13 .

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平面解析几何-经典题(含答案)

平面解析几何-经典题(含答案)

平面解析几何

一、直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角与斜率

（1）倾斜角的范围000180

（2）经过两点的直线的斜率公式是

（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率

2.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，则有1212//llkk。特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则12121llkk

注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直。

二、直线的方程

1、直线方程的几种形式

名称 方程的形式 已知条件 局限性

点斜式

为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线

斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线

两点式

是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线

截距式

a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线 一般式

A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线

三、直线的交点坐标与距离公式

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式

（2）点到直线的距离

点到直线的距离；

（3）两条平行线间的距离

两条平行线间的距离

注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算

初三经典几何证明练习题(含答案)

初三经典几何证明练习题(含答案)

初三几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．

2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。 求证：△PBC是正三角形．（初二）

3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.

求证：AP＝AQ．

3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC

求证：BC=2OP

证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N

∵OF=OD，DN∥OP∥FL

∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线

∴DN+FL=2OP

∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90°

又∠BFL+∠FBL=90°

∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB

∴△BFL≌△ABM

∴FL=BM

同理△AMC≌△CND

∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN

∴BC=FL+DN=2OP

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．

证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

∴EG=OD=21BD=21AC=21AE

平面解析几何初步直线圆的方程等一轮复习专题练习(四)含答案高中数学

平面解析几何初步直线圆的方程等一轮复习专题练习(四)含答案高中数学

高中数学专题复习

《平面解析几何初步直线圆的方程等》单元过关检测

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注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、选择题

1．1 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））使得13nxnNnxx的展开式中含有常数项的最小的为 （ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

2．在平面直角坐标系xOy中,直线3450xy与圆224xy相交于A、B两点,则弦AB的长等于（ ）

A．33 B．23 C．3 D．1（2020广东文）(解析几何)

3．已知直线x=a（a>0）和圆（x－1）2+y2=4相切，那么a的值是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2（2020全国文3）

4．设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则m+n的取值范围是

（A）]31,31[ （B）),31[]31,( （C）]222,222[ （D）),222[]222,(

5．下列说法正确的是 ． [答]( )

(1)若直线l的倾斜角为，则0；

(2)若直线l的一个方向向量为(,)duv，则直线l的斜率vku；

(3)若直线l的方程为220(0)axbycab，则直线l的一个法向量为(,)nab．

A .(1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)

6．直线1:2lykx与圆22:1Cxy的位置关系为（ ）．

高中物理力学经典的题[含答案解析]

高中物理力学经典的题[含答案解析]

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专业技术参考资料 高中物理力学计算题汇总经典 精解（49题）

1．如图1-73所示，质量Ｍ＝10ｋｇ的木楔ＡＢＣ静止置于粗糙水平地面上，摩擦因素μ＝0．02．在木楔的倾角θ为30°的斜面上，有一质量ｍ＝1．0ｋｇ的物块由静止开始沿斜面下滑．当滑行路程ｓ＝1．4ｍ时，其速度ｖ＝1．4ｍ／ｓ．在这过程中木楔没有动．求地面对木楔的摩擦力的大小和方向．（重力加速度取ｇ＝10／ｍ·ｓ２）

图1-73

2．某航空公司的一架客机，在正常航线上作水平飞行时，由于突然受到强大垂直气流的作用，使飞机在10ｓ内高度下降1700ｍ造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究飞机在竖直方向上的运动，且假定这一运动是匀变速直线运动．试计算：

（1）飞机在竖直方向上产生的加速度多大?方向怎样?

（2）乘客所系安全带必须提供相当于乘客体重多少倍的竖直拉力，才能使乘客不脱离座椅？（ｇ取10ｍ／ｓ２）

（3）未系安全带的乘客，相对于机舱将向什么方向运动?最可能受到伤害的是人体的什么部位?

（注：飞机上乘客所系的安全带是固定连结在飞机座椅和乘客腰部的较宽的带子，它使乘客与飞机座椅连为一体）

3．宇航员在月球上自高ｈ处以初速度ｖ０水平抛出一小球，测出水平射程为Ｌ（地面平坦），已知月球半径为Ｒ，若在月球上发射一颗月球的卫星，它在月球表面附近环绕月球运行的周期是多少?

4．把一个质量是2ｋｇ的物块放在水平面上，用12Ｎ的水平拉力使物体从静止开始运动，物块与水平面的动摩擦因数为0．2，物块运动2秒末撤去拉力，ｇ取10ｍ／ｓ２．求 WORD格式整理

专业技术参考资料 （1）2秒末物块的即时速度．

（2）此后物块在水平面上还能滑行的最大距离．

5．如图1-74所示，一个人用与水平方向成θ＝30°角的斜向下的推力Ｆ推一个重Ｇ＝200Ｎ的箱子匀速前进，箱子与地面间的动摩擦因数为μ＝0．40（ｇ＝10ｍ／ｓ２）．求