四川省棠湖中学2019届高三二诊模拟数学(理)试题
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2019年春四川省棠湖中学高三二诊模拟试题数学（理）试题
第I卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合A=}72|{},63|{xxBxx，则)(BCAR=
A. （2，6） B. （2，7） C.（-3，2] D.（-3，2）
2.若复数immmz)1()1(是纯虚数，其中m是实数，则z1=
A. B. i C. i2 D. i2
3.右图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为
A.0 B.2 C.3
D.5
4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是
A.5 B.7
C.9 D.11
6.设nS为等差数列na的前项和,且3652aaa,则7S
A.28 B.14 C.7 D.2
7．右图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三
视图，这个几何体的体积为
A．4 B．2 C．43 D．
8．扇形OAB的半径为1，圆心角为90º，P是弧AB上的动点，则()OPOAOB的最小值是
A．－1 B．0 C．－2 D．12
9.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 A．51 B. 52 C. 53 D. 54
10.若实数k满足90k，则曲线192522kyx与曲线192522ykx的
A．焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等
11.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点，，C，在
球O的同一个大圆上，且球的表面积为16，点在球面上，则四棱锥PABCD
体积的最大值为
A.8 B.38 C.16 D.316
12.已知函数xxaxf2ln)(，若不等式xeaxxf21在,0x上恒成立，则实数的取值范围是
A 2a B 2a C 0a D 20a
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题:（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知3,2,1,21,21,1,2，若幂函数xxf)(为奇函数，且在0（，）上递减，则
α=__________．
14．若,xy满足约束条件 25023050xyxyx，，， 则 zxy 的最小值为__________．
15．已知椭圆222122xyaa的左、右焦点分别为12,FF，过左焦点1F作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为14，则a的值是___________.
16．在,10,6,3ABCAABACOABC中，为所在平面上一点，且满
足,OAOBOCAOmABnAC设，则3mn的值为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第22. 23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（本大题满分12分） 设数列｛na｝的前n项和为Sn，已知3Sn=4na－4，*nN．
I求数列｛na｝的通项公式；Ⅱ令2211loglognnnbaa，求数列｛nb｝的前n项和Tn.
18.（本大题满分12分） DCAB P为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
I现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(II)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
下面临界值表供参考：
(参考公式：K2＝－2＋＋＋＋)
19.(本小题满分12分) 如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，CFBE// ，90BCF,3AD,3BE，4CF，2EF. I求证：AE//平面 DCF；
Ⅱ当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点
距离的最大值为3，最小值为1.
I求椭圆C的标准方程； 甲 乙
0 9 0 1 5 6 8
7 7 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 9
8 4 2 2 1 0 7 1 3 5
9 8 7 7 6 6 5 7 8 9
8 8 7 7 5 甲班 乙班 合计
优秀
不优秀
合计
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
DFECBAⅡ若直线mkxyl：与椭圆C相交于,AB两点（,AB不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
21.（本小题满分12分）已知函数2lnfxxaxbx（其中,ab常数且0a）在1x处取得极值．
I当1a时，求fx的单调区间；
Ⅱ若fx在0,e上的最大值为，求的值．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数）.以原点O为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4sin.
I求曲线1C的普通方程和2C的直角坐标方程；
Ⅱ已知曲线3C的极坐标方程为(0)，点是曲线3C与1C的交点，点是曲线3C与2C的交点，且，均异于原点O，42AB，求的值.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21|2|1|fxxx.
I若存在0xR，使得205fxmm，求实数的取值范围；
Ⅱ若是I中的最大值，且33abm，证明：02ab.
一．选择题
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A 9.C 10.A 11.D 12.A
二．填空题
13．1 ; 14．3 ; 15.2； 16.54
三．解答题
17．解：（1）∵ 3Sn=4an-4， ①
∴ 当n≥2时，11344nnSa．② ………………………………………2分
由①②得1344nnnaaa，即14nnaa(n≥2)． ………………………3分
当n=1时，得11344aa，即14a．
∴ 数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列．……………………………5分
∴ 数列{an}的通项公式为4nna． …………………………………………6分
（2）∵
2211loglognnnbaa=1221log4log4nn
=1111()2(22)41nnnn． …………………………………8分
∴ 数列{bn}的前n项和123nnTbbbb
11111111[(1)()()()]4223341nn
11(1)414(1)nnn． ………………………12分
18. (1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C25＝10个，
“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C13C12＋C22＝7个，所以P＝710.
(2)
－20×20×20×20＝6.4>5.024，因此，我们有97.5%K2＝的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
19.解析：面ABCD面BEFC，DC面ABCD，且BCDCDC面BEFC.
由此可得，以点为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系Cxyz． 甲班 乙班 合计
优秀 6 14 20
不优秀 14 6 20
合计 20 20 40 设aAB,则(000)C，，，aA,0,3，(300)B，，，)0,3,3(E，)0,4,0(F，),0,0(aD． —————2分
（1）证明：aAE,3,0， 0,0,3CB，0,3,0BE，
所以0CDCB，0CFCB， 又CDCFC
所以CB平面CDF．即CB为平面CDF的法向量.————4分
又0AECB，CBAE，又AE平面CDF
所以//AE平面DCF．—————————6分
（2）设,,nxyz与平面AEF垂直，则aAE,3,0，0,1,3EF，
由00nEFnAE，得0303-azyyx
解得331,3,na. ———————————8分
又因为BA平面BEFC，0,0,BAa，
所以2331cos,2274BAnnBABAnaa， ———————————10分
得到92a．所以当92AB时，二面角AEFC的大小为60．———————12分
20. (12分) (1)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，则有
3,1acac，22,1,3acb，∴椭圆C的标准方程为22143xy．…4分
(2)设1122(,),(,)AxyBxy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，
22226416(34)(3)0mkkm，22340km
