微专题81 排列组合——寻找合适的模型
在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题
一、典型例题：
例1：设集合A由n个元素构成，即12,,,nAaaaL，则A所有子集的个数为_______
思路：可将组成子集的过程视为A中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a开始，有两种选择，同样后面的23,,,naaaL都有两种选择，所以总数2222nnNL1442443个个
答案：2n
例2：已知1,2,3,,40SL，AS且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（ ）个
A. 460 B. 760 C. 380 D. 190
思路：设A中构成等差数列的元素为,,abc，则有2bac，由此可得,ac应该同奇同偶，而当,ac同奇同偶时，则必存在中间项b，所以问题转变为只需在140中寻找同奇同偶数的情况。,ac同为奇数的可能的情况为220C，同为偶数的可能的情况为220C，所以一共有2202380C种
答案：C
例3：设集合12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 130
思路：因为0ix或1ix，所以若1234513xxxxx，则在1,2,3,4,5ixi中至少有一个1ix，且不多于3个。所以可根据ix中含0的个数进行分类讨论。
① 五个数中有2个0，则另外3个从1,1中取，共有方法数为23152NC
巧解排列组合的21种模型
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
解析：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种，答案：D.
2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种，选B.
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例3.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种，选B.
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
高中数学排列组合中几种常见的数学模型
排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。
一、特殊元素优先数学模型
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。
例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。（用数字作答）
解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。
点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。
二、捆绑式数学模型 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排， 这种模型称为“捆绑式数学模型”。这种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。
例2.四个工人去住旅店，旅店只剩下三个房间，要求四人中必须有两个住在一个房间，另两个房间各住一人，问共有多少种不同的安排方法？
解：第一步：把四个工人中的二个捆绑在一起，共有C■=6种方法；第二步：把四个工人看成三个工人进行排列，共有A■=6种方法。所以共有36种不同的安排方法。
点评：由于两个工人在同一个房间没有排列问题，所以不能自排。还有一种典型的错误排法，先在四个人中选出三个工人入住三个房间，有24种方法，再把剩下一个人放下四个房间中的任意一个，共有4种方法，故共有96种方法。请学生思考，这种方法为什么是错误的？
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高中数学排列组合中几种常见的数学模型
作者：林子碧
来源：《新课程学习·上》2014年第08期
摘 要：以常见的排列组合试题为例，分析了各种排列组合中的数学模型，以期帮助学生更快更准确地解决排列组合问题。
关键词：高中数学；数学模型；排列组合
排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。
一、特殊元素优先数学模型
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。
例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。（用数字作答）
解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。
点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。
二、捆绑式数学模型
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排， 这种模型称为“捆绑式数学模型”。这种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。
例2.四个工人去住旅店，旅店只剩下三个房间，要求四人中必须有两个住在一个房间，另两个房间各住一人，问共有多少种不同的安排方法？ 龙源期刊网
