2013-2014学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)
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高中数学试卷第1页，共12页 2013-2014学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.若复数z满足z=1-2i，则z的虚部为（ ）
A.-2i B.2i C.-2 D.2
【答案】
C
【解析】
解：∵z=1-2i，
∴z=1-2i虚部为-2，
故选C．
由复数的定义可得．
该题考查复数的基本概念，属基础题．
2.下列求导运算错误的是（ ）
A.x′=1 B.（log2x）′=
ln2
C.（ex）′=ex D.（sinx）′=cosx
【答案】
B
【解析】
解：A．（x）′=1，∴A正确．
B．（log2x）′=
，∴B不正确．
C．（ex）′=ex，∴C正确．
D．（sinx）′=cosx，∴D正确．
故选：B．
根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可．
此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．
3.用数学归纳法证明不等式（1+2+3+…+n）（1+
+
+…+
）≥n2+n-1成立，初始值n0至少应取（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】
C
【解析】
解：n=1时，左边=1，右边=1；n=2时，左边=
，右边=5，
n=3时，左边=11，右边=11；n=4时，左边=
，右边=19， 高中数学试卷第2页，共12页 ∴初始值n0至少应取3．
故选：C．
将n代入计算，即可得出结论．
本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解的关键是发现左边的规律，从而解决问题．
4.利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法中表述错误的是（ ）
A.相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小
B.可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好
C.如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高
D.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值
【答案】
B
【解析】
解：相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故A正确；
由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故B错误；
由残差图的定义可C正确；
在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故D正确．
故选：B
利用由r、R2、残差图的意义以及利用回归方程进行预报的特点进行分析．
部分内容属于了解内容，所以只要记住了r、R2、残差图等的相关概念及性质就可以正确解答．
5.给出如图所示函数图象
其中可能为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象是（ ）
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
【答案】
C
【解析】
解：假设f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立，
即a（-x）3+b（-x）2-cx+d=ax3+bx2+cx+d恒成立，
即-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d恒成立，
∴-a=a，b=b，-c=c，d=d，
∴a=0，c=0，与已知a≠0矛盾，
∴f（x）不可能是偶函数．
事实上，因为f′（x）=3ax2+2bx+c，当a＞0，△=4b2-12ac≤0，d＞0时，图象可能高中数学试卷第3页，共12页 是①，当a＞0，c＜0，d=0，且△=4b2-12ac＞0时，图象可能是③．
故选C
据图分析，②③④三个图反映出了函数的奇偶性，所以可先看其奇偶性，从函数解析式来判断，不可能是偶函数，所以排除②、④，则答案只能是C．
这种识图选式（解析式）的问题，若按常规思路，对函数f（x）的性质一一研究，逐个判断，可能就很费时间，所以一般是由图入手，根据图象所反映出来的不同于其它图象的特征对函数式进行分析研究，结合排除法，可能就容易一些．
6.设曲线y=x3与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是（ ）
A.S=
（x3-x）dx B.S=
（x-x3）dx C.S=
|x3-x|dx D.S=2
（x-x3）dx
【答案】
D
【解析】
解：∵曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）、原点O和B（-1，-1）
∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为
S=2
．
故选：D．
作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x3-x在区间[0，1]上的定积分的值的2倍，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．
7.设f（x）=x2-2x-4lnx，则f（x）的增区间为（ ）
A.（0，+∞） B.（2，+∞）
C.（-∞，-1） D.（∞，-1）和（2，+∞）
【答案】
B
【解析】
解：f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=
=
，令f′（x）＞0得，x＞2，
∴函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）．
故选：B．
求了函数f（x）的导数，f′（x），令f′（x）＞0，求x的取值范围，再求出与定义域的交集，即为函数的增区间．
本题是一道利用导数，求函数的单调区间的导数题，在求单调区间时一定不要忘记考虑定义域．属于基础题．
8.某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表
零件数x（个） 10 20 30
加工时间y（分钟） 22 30 38
现已求得如表数据的回归方程 = x+ 中 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ） 高中数学试卷第4页，共12页 A.84分钟 B.94分钟 C.102分钟 D.112分钟
【答案】
C
【解析】
解：由表中数据得： =20， =30，又 值为0.9，
故 =30-0.9×20=12，
∴y=0.9x+12．
将x=100代入回归直线方程，得y=0.9×100+12=102（分钟）．
∴预测加工100个零件需要102分钟．
故选：C．
求出样本数据的中心坐标（ ， ），代入回归直线方程，求出 ，得到回归直线方程，然后求解加工100个零件所需要的加工时间．
本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，再一点就是代入样本中心点可以求出字母a的值，是一个中档题目．
9.停车站划出一排10个停车位置，今有6辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）
A. 种 B.2 C.6 D.7
【答案】
D
【解析】
解：由题意知有6辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起
则可以把三个空车位看成是一个元素，
这个元素与另外6辆车共有7个元素进行全排列，共有A77种结果，
故选：D．
有6辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起则可以把三个空车位看成是一个元素，这个元素与另外6辆车共有7个元素进行全排列，写出排列数，得到结果
本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是三个相连的车位看做一个元素，再同其他的车进行全排列，车是有区别的．
10.若（x-
）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中x2的系数为（ ）
A.-210 B.56 C.-56 D.210
【答案】
C
【解析】
解：∵（x-
）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
∴ = ，n=8，故通项公式为Tr+1= •（-1）r•x8-2r，
令8-2r=2，求得r=3，故该展开式中x2的系数为- =-56，
故选：C．
由条件可得 = ，求得n=8，在通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2的系数
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
高中数学试卷第5页，共12页 11.现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（ ）
A.12种 B.24种 C.36种 D.72种
【答案】
B
【解析】
解：从4个球种选出2个组成复合元素，再把3个元素（包含一个复合元素）放入3个不同的盒子中有 =36种，
小球甲放在A盒中，其它三个球可以分为两类，第一类，3个球任意放入3个盒子中，有 =6，
第二类，从剩下的3个球种选出2个组成复合元素，再把2个元素（包含一个复合元素）放入B，C两个不同的盒子中有 =6，
利用间接法，故每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有36-6-6=24．
故选：B．
利用间接法，先排甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球的不同放法，再排除小球甲放在A盒中的不同放法，
本题主要考查了排列组合混合问题，先选后排是关键．
12.已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x2+ax-3，对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（-∞，4] B.（-∞，5] C.[6，+∞） D.[4，+∞）
【答案】
A
【解析】
解：f（x）≥g（x）即2xlnx≥-x2+ax-3，
整理得a≤2lnx+x+
，
令h（x）=2lnx+x+
（x＞0），
则h′（x）=
=
，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增，
∴h（x）min=h（1）=4，
∵f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤4，
故选A．
f（x）≥g（x）可整理为a≤2lnx+x+
，令h（x）=2lnx+x+
（x＞0），则问题转化为h（x）min≥a，利用导数易求h（x）min．
该题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.已知P为函数y=f（x）的图象上一点，点P的横坐标是2，若在点P处的切线方程是y=x+1，则f′（2）= ______ ．
【答案】
